一、“數學思想”教育研究的重要意義

日本數學家米山國藏指出：多數學生進入社會后，幾乎沒有機會應用他們在學校所學到的數學知識，因而這種作為知識的數學，通常在學生出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管人們從事什么業務工作，那種銘刻于大腦的數學思想卻長期在他們的生活和工作中發揮著重要作用。

為便于進行“數學思想”的教育研究，本文圍繞“數學思想”的內涵、分類、特點和功能等問題作些基礎工作。

二、數學思想的內涵和分類

數學思想是幾千年數學探索實踐所創造的精神財富。根據數學哲學的近代研究，所謂數學思想指的是數學活動中的價值觀念和行為規范。數學思想的內涵十分豐富，主要有數學創新思想、數學求真思想、數學理性思想、數學合作與獨立思考思想等。限于篇幅，本文重點僅就其中三種數學思想進行論述。

三、數學創新思想

摘要：探索和追求精益求精的計算方法和技巧，講究明確的思想依據，著力于靈活和廣泛的應用，是“算經十書”的數學思想精粹。其發展主線是沿著探索、完善和提高“推步”前進的。它把擅長計算的推算和證明的推類結合起來，形成獨特的傳統風格和手段。

關鍵詞：算經十書，傳統數學思想，新理解

Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.

KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding

在世界科學史中，中國傳統數學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統數學中，“算經十書”是典型的代表。所謂“算經十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》（元豐年間已失傳，后來以《數術記遺》代之）、《緝古算經》。唐代時期，國子監內設算學館，置有博士、助教，指導學生學習數學，規定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學習它，研究它，中國數學也因它而形成自身的傳統并將此傳統繼承和發揚。“算經十書”就其內容來說，屬于初等數學；就其數學思想和數學方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數學思想。

1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧

以素質教育為導向的初中數學教學大綱明確指出：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理及其內容所反映出來的數學思想和方法。”可見數學思想和方法已提高到不容忽視的重要地位。素質教育下的數學教學更注重數學品質的培養和數學能力的提高，這較以題海戰為主、靠成績說話的應試教育上升了一個新的臺階。在這新的臺階上，數學教師面臨著一個新的課題——如何“滲透數學思想，掌握數學方法，走出題海誤區。”我們的做法是：端正滲透思想，更新教育觀念，明確思想方法的內涵，強化滲透意識，制定滲透目標；在數學思想上重滲透，數學方法上重掌握，滲透途徑上重探索，數學訓練上重效果。

一、端正滲透思想更新教育觀念

縱觀數學教學的現狀，應該看到，應試教育向素質教育轉軌的過程中，確實有很多弄潮兒站到了波峰浪尖，但也仍有一些數學課基本上還是在應試教育的慣性下運行，對素質教育只是形式上的“搖旗吶喊”，而行動上卻留戀應試教育“按兵不動”，缺乏戰略眼光，因而至今仍被困惑在無邊的題海之中。

究竟如何走出題海，擺脫那種勞民傷財的大運動量的機械訓練呢？我們認為：堅持滲透數學思想和方法，更新教育觀念是根本。要充分發掘教材中的知識點和典型例題中所蘊含的數學思想和方法，依靠數學思想指導數學思維，盡量暴露思維的全過程，展示數學方法的運用，大膽探索，會一題明一路，以少勝多，這才是走出題海誤區，真正實現教育轉軌的新途徑。

二、明確數學思想和方法的豐富內涵

所謂數學思想就是對數學知識和方法的本質及規律的理性認識，它是數學思維的結晶和概括，是解決數學問題的靈魂和根本策略。而數學方法則是數學思想的具體表現形式，是實現數學思想的手段和重要工具。數學思想和數學方法之間歷來就沒有嚴格的界限，只是在操作和運用過程中根據其特征和傾向性，分為數學思想和數學方法。一般說來，數學思想帶有理論特征，如符號化思想，集合對應思想，轉化思想等。而數學方法則具有實踐傾向，如消元法、換元法、配方法、待定系數法等。因此數學思想具有抽象性，數學方法具有操作性。數學思想和數學方法合在一起，稱為數學思想方法。

在數學教學中，怎樣寓知識、技能、方法、思想于一個統一教學過程中，是數學教學的重要課題。由于數學的高度抽象性、嚴謹的邏輯性、結論的確定性以及應用的廣泛性這些特征，決定了數學教學的難度。如果教師只是注重單純地傳授知識，而不注重學習方法的指導和能力的培養，學生就會跟在老師的后面跑，整天忙忙碌碌，全是死記硬背。聽老師講時還會，自己做時就錯，臨到考時就蒙，這樣下去是越來越糊涂。所以，要使學生變書本知識為自己知識，就必須學會學習知識的方法。下面就其怎樣使學生在原有知識基礎上學習新知識的方法談些教學體會。

新知識的獲得，離不開原有認知基矗很多新知識都是學生在已有知識基礎上發展起來的。因此，對于學生來講，學會怎樣在已有知識的基礎上掌握新知識的方法是非常必要的。這就需要教師在教學中精心設計、抓住知識的生長點、促進正遷移的實現。

例如，在研究多邊形內角和定理時，可向學生提出：我們已經知道三角形的內角和等于180°，那么，你能根據三角形的內角和求出四邊形的內角和嗎？這樣簡單、明了的一句話就勾通了新舊知識間的內在聯系。問題的提出，激發了學生學習的興趣，促使了學生思維的展開，提供了回答問題的機會，創造了活躍的教學氣氛，學生會準確地回答出四邊形的內角和等于360°。又問：你是根據什么說四邊形的內角和等于360°呢？是猜想的？還是推理得到的？學生的回答是作四邊形的對角線，將四邊形分為兩個三角形，而每個三角形的內角和等于180°，兩個三角形的內角和等于360°。教師馬上對學生的回答給以肯定和鼓勵，再問：五邊形、六邊形的內角和等于多少度？學生很快就會回答出五邊形的內角和等于540°，六邊形的內角和等于720°。接著又問：你知道十邊形、一百邊形、一千邊形的內角和是多少度嗎？這是老師故意設置“知識障礙”，激發學生的求知欲望。及時引導、啟發、遷移、總結規律。讓學生觀察、發現求四邊形、五邊形、六邊形的內角和，都是從它們的一個頂點作對角線將它們轉化為三角形來求得的，并且內角和是由從它們的一個頂點作對角線所分得三角形的個數確定的，而三角形的個數又是由這個多邊形的邊數確定的。從而可知從n邊形的一個頂點作對角線可將n邊形分成（n－2）個三角形，所以n邊形的內角的和等于（n－2）·180°，即得多邊形的內角和定理。這個定理的出現，是教者通過設疑、引導、啟發學生思維，尋求解題方法，由個性問題追朔到共性問題，總結出了一般規律。這樣做，不但使學生學會了在原有知識基礎上學習新知識的方法，又培養了學生分析問題和解決問題的能力，還滲透了把多邊形轉化為三角形來研究的數學轉化思想。

當學生在原有知識的基礎上掌握了學習新知識的方法和數學的轉化思想，對于諸如此類的問題就迎刃而解了。如，研究梯形中位線定理，學生很自然就會將它轉化為三角形中位線來解決。對于平行四邊形、梯形的問題學生也很容易就想到轉化為已有知識來研究。又如，對于解二元二次方程組，學生根據已學過的解一元二次方程等知識，自然就會想到通過消元將原方程組轉為一元二次方程來解之，或將二元二次方程組通過降次轉化為一次方程或有一個一次方程和一個二次方程組來解決。對于分式方程要通過去分母或換元轉化為整式方程來解。對于無理方程需把方程兩邊乘方或換元化為有理方程來解。

在數學教學中，教師只要做到精心設計教學環節，科學的提出問題，采取得體的教學方法、適時疏導，幫助學生學會用自己的語言對所學知識進行概括和總結，以知識講方法，以方法取知識，就能夠調動學生學習數學的積極性，達到開發學生智力、提高學生能力的目的。

中學數學教學過程，實質上是運用各種教學理論進行數學知識教學的過程。在這個過程中，必然要涉及數學思想的問題。因為數學思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓，它對數學教育具有決定性的指導意義。本文對這個概念的意義及在教學中的作用作一探討。希望能再引起廣大數學教育工作者的關注。

一、對中學數學思想的基本認識

“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現在以及將來有名與無名的數學家；而認識的客體，則包括數學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯和相互支持的關系等。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。

通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。

關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。

屬于宏觀的，有數學觀(數學的起源與發展、數學的本能和特征、數學與現實世界的關系)，數學在科學中的文化地位，數學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發展過程中積淀下來的內容上的對立與統一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構中特定內容和方法的認識，包括對所創立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。

中學數學教學過程，實質上是運用各種教學理論進行數學知識教學的過程。在這個過程中，必然要涉及數學思想的問中學數學教學過程，實質上是運用各種教學理論進行數學知識教學的過程。在這個過程中，必然要涉及數學思想的問題。因為數學思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓，它對數學教育具有決定性的指導意義。本文對這個概念的意義及在教學中的作用作一探討。希望能再引起廣大數學教育工作者的關注。

一、對中學數學思想的基本認識

“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現在以及將來有名與無名的數學家；而認識的客體，則包括數學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯和相互支持的關系等。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。

通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。

關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。

屬于宏觀的，有數學觀(數學的起源與發展、數學的本能和特征、數學與現實世界的關系)，數學在科學中的文化地位，數學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發展過程中積淀下來的內容上的對立與統一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構中特定內容和方法的認識，包括對所創立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。

數學思想方法是指數學本身的論證、運算以及應用的思想、方法和手段。實踐證明，教師依據數學教材的特點和學生的認知規律，圍繞各種數學思想方法的要求，有計劃地對學生進行數學思想方法的訓練，對于提高學生的數學素質和數學課堂教學的質量非常有益。本文結合小學數學教學僅就幾種綜合性的數學思想方法作一探討。

一、聯想能力的訓練聯想

是由一種事物的觀念想到另一事物的觀念的心理過程。教育心理學認為，聯想既是一種記憶方法，也是一種思維能力。其種類包括縱、橫向的單維聯想和立體交叉式的多維聯想。多維聯想是指對眼前呈現的問題，從多角度進行思考以尋求問題解決的聯想方法，它又包括條件的多維聯想和解題方法的多維聯想。例如，我們由完成與未完成工程量的比是"5∶6"這一條件，可以聯想到下列可做逆推的其他條件：已完成的占總工程量的511，未完成的占總工程量的611，未完成的是已完成的115倍；已完成的是未完成的56，未完成的比己完成的多16，已完成的比未完成的少16等。此關不過，學生解分數應用題難的現狀就不易解決。現在用上述條件組編一個應用題："一個建筑隊20天完成一件工程的511，再干幾天可以完成該工程？"我們從不同角度進行聯想，可得到以下解題方案：（1）用剩下的工作量除以每天的工作效率，列式：（1－511）÷（511÷20）或（11－5）÷（5÷20）；（2）先求出完成該工程的總天數再減去已干的天數，列式：20÷511－20；（3）看剩下的工作量是已完成工作量的幾倍，就有幾個20天，列式：20×〔（1－511）÷511〕；（4）看已完成的工作量是未完成的工作量的幾分之幾，由已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數的算法可列式為：20÷〔511÷（1－511）〕。進行多維聯想的能力訓練，要圍繞一定的目的，要做到適時、適度、因人而異，要善于發現最佳解題思路，使其真正達到培養學生創造性思維的目的。

二、轉化能力的訓練

轉化思想是數學的基本思想之一，是一種十分重要的教與學的策略。常見的轉化思維方法有量的轉化、式的轉化、類比轉化等，考慮到數學的研究對象--數與形，在教學中有意識地對學生進行數形轉化能力的訓練就顯得尤其重要。所謂數形轉化觀是把數、形問題從一種表示形態轉化成另一種表示形態或數形相互轉化的思想和方法。從這一表述可以看出，數形轉化有數的轉化、形的轉化和數與形的相互轉化三種具體形態。數的轉化要通過恒等變形，借助數的分解、變換數的位置或對數進行重新調整組合以及利用相關關系等方式進行。如，0．25根據需要可轉化為25％，可以轉化為14，還可以轉化為1∶4。

通過數的轉化可使運算過程簡單明了，達到計算對、快、巧的要求。形的轉化要通過割、補、拼等操作技能，主要借助等積變形來實現轉化。既可以把整體轉化為部分，又可以把部分拼成整體。如，在推導梯形的面積計算公式時可制作轉動式幻燈片進行演示，使學生清晰地看到兩個全等的梯形拼補成平行四邊形的方法，造成一種動態的視覺形象美，使演示過程更生動、有趣，給學生留下的印象也是深刻的。又如，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。此題若按常規解法，不但計算繁瑣，而且因π取近似值，存在計算誤差。若把它看成是一個以內外圓周長為上、下底，以2厘米為高的梯形，即利用"把曲線看作直線的思想"，其計算量不但減少，而且提高了答題的準確率。

一、數學思想方法教學的心理學意義

美國心理學家布魯納認為，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”所謂基本結構就是指“基本的、統一的觀點，或者是一般的、基本的原理。”“學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的。”數學思想與方法為數學學科的一般原理的重要組成部分。下面從布魯納的基本結構學說中來看數學思想、方法教學所具有的重要意義。

第一，“懂得基本原理使得學科更容易理解”。心理學認為，“由于認知結構中原有的有關觀念在包攝和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習。”當學生掌握了一些數學思想、方法，再去學習相關的數學知識。就屬于下位學習了。下位學習所學知識“具有足夠的穩定性，有利于牢固地固定新學習的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學生已有的認知結構中去。學生學習了數學思想、方法就能夠更好地理解和掌握數學內容。

第二，有利于記憶。布魯納認為，“除非把一件件事情放進構造得好的模型里面，否則很快就會忘記。”“學習基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來。高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具。”由此可見，數學思想、方法作為數學學科的“一般原理”，在數學學習中是至關重要的。無怪乎有人認為，對于中學生“不管他們將來從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”

第三，學習基本原理有利于“原理和態度的遷移”。布魯納認為，“這種類型的遷移應該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識。”曹才翰教授也認為，“如果學生認知結構中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學習是有利的，”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現遷移。”美國心理學家賈德通過實驗證明，“學習遷移的發生應有一個先決條件，就是學生需先掌握原理，形成類比。才能遷移到具體的類似學習中。”學生學習數學思想、方法有利于實現學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以較快地提高學習質量和數學能力。

第四，強調結構和原理的學習，“能夠縮挾‘高級’知識和‘初級’知識之間的間隙。”一般地講，初等數學與高等數學的界限還是比較清楚的，特別是中學數學的許多具體內容在高等數學中不再出現了，有些術語如方程、函數等在高等數學中要賦予它們以新的涵義。而在高等數學中幾乎全部保留下來的只有中學數學思想和方法以及與其關系密切的內容，如集合、對應等。因此，數學思想、方法是聯結中學數學與高等數學的一條紅線。

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646～1716）對數學有兩項突出貢獻：發明了符號邏輯和微積分。由于這兩項成就分屬不同的數學分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為研究萊布尼茨的數學思想、完整地理解數學史和科學發現的規律帶來不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。

一、符號邏輯：“通用數學語言”

萊布尼茨對數學問題的最早探索和最初貢獻是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構所謂的“通用語言”。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號進行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規則改變為演算規則，以便更精確更敏捷地進行推理。（［1］，p．8）或者說，“通用語言”是一套表達思想和事物的符號系統，利用這些符號可以進行演算并推出各種知識。在《論組合術》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創設“一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。”（［2］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個“完全不同于代數的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。……它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運算完成結論和推理，這些記號不經過非常精細的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導向〔所需要的〕結果。我相信力學差不多可以象幾何學一樣用這種方法去處理。”（［3］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設想，他的宏偉規劃大體旨在創造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現存語言的局限性和不規則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規則的語言，規定符號的演變規則與運算規則，使邏輯演變依照一條明確的道路進行下去，進而解決所有可用語言表達的問題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯結等形式概念的設計。關于第一方面，萊布尼茨首次設想用數目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術中的乘或除來代替。他認為用這種數字的不同方式排列組合，進行各種運算，就可產生無窮多的復合概念。這一思想后來改進為以素數代表基本概念，而復合詞項即可借分解相應的數字成為它們的素數因子來加以分析。以“人是理智動物”為例，用素數“3”代表“動物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構設“通用語言”，萊布尼茨又以設想的“人類概念字母表”為語言詞匯基礎創制了一些邏輯符號，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來。

關于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個年代為標志劃分為三個階段。（［4］，pp．271～273）

一、滲透數形結合的思想，養成用數形結合分析問題的意識

每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學生的坐位等等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數學數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖象，二元一次方程組的解與一次函數圖象之間的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。

如：直線是由無數個點組成的集合，實數包括正實數、零、負實數也有無數個，因為它們的這個共性所以用直線上無數個點來表示實數，這時就把一條直線規定了原點、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數軸。建立了數與直線上的點的結合。即：數軸上的每個點都表示一個實數，每個實數都能在數軸上找到表示它的點，建立了實數與數軸上的點的一一對應關系，由此讓學生理解了相反數、絕對值的幾何意義。建立數軸后及時引導學生利用數軸來進行有理數的比較大小，學生通過觀察、分析、歸納總結得出結論：通常規定右邊為正方向時，在數軸上的兩個數，右邊的總大于左邊的，正數大于零，零大于負數。讓學生理解數形結合思想在解決問題中的應用。為下面進一步學習數形結合思想奠定基礎。

-1--,--3---,---6--,----10--,--15----,--21----,---28--,--36---……-----在講解通過形來說明數的找規律問題中應該從形中找數。如第一個圖形有一個小正方形，第二個圖形有三個小正方形，第三個圖形有六個小正方形，那么第四個圖形將有幾個小正方形呢？從前三個中尋找規律，第二個比第一個多兩個小正方形，第三個比第二個多三個小正方形，那么第四個就比第三個多四個小正方形，第四個圖形就有十個小正方形，第五個比第四個多五個小正方形，那么第五個就有十五個小正方形，依次類推，第六個圖形就有二十一個小正方形，第七個圖形就有二十八個小正方形，第八個圖形就有三十六個小正方形。那么上面的橫線上分別填上10、15、21、28、36，第n個圖形就應該有1+2+3+4+5+6……+n=個小正方形。這也體現數形結合的思想。

例2:小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親看了10分報紙后，用了15分返回家。你能在下面的平面直角坐標系中畫出表示父親和母親離家的時間和距離之間的關系嗎？

結合探索規律和生活中的實際問題，反復滲透，強化數學中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合的意識。并能在應用數形結合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數還是知數確定形，在探索規律的過程中應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納總結出一般性的結論。