導語：如何才能寫好一篇勾股定理證明方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

勾股定理的證明方法如下：

1、以a b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于2分之一ab。

2、AEB三點在一條直線上，BFC三點在一條直線上，CGD三點在一條直線上。

3、證明四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形后即可推出勾股定理。

（來源：文章屋網 ）

篇2

已知ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線l,l,l上,且l,l之間的距離為2,l,l之間的距離為3,則AC的長是()。

A.2 B.2

C.4D.7

這道選擇題是有點難度的,需要學生作相應的輔助線,才能理清思路。如下圖:過A,C兩點作垂直于直線l的兩條輔助線段AE,CF。有這兩條輔助線后,相信只要知道直角三角形全等判定定理的學生都可以得到RtAEB≌RtBFC,所以有EB=CF,由勾股定理可以求得:

AB===,

AC===2。

所以這道選擇題正確答案為A。

這道題目最終得以解決,用到了直角三角形的全等的判定,同時運用了兩次勾股定理。有趣的是這道題本身還蘊含著勾股定理證明的一種方法,如果將上圖中的直角梯形拿出來得到如下圖形:兩個全等直角三角形RtABC,RtBEF,兩條直角邊在同一條直線上,連接頂點A,E,構成一個直角梯形。

設直角三角形的三條邊長分別為a,b,c,

顯然S=(a+b)(a+b)=(a+2ab+b),

又S=S+S+S=ab+ab+c=(2ab+c)。

比較以上二式,便得a+b=c。

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式,證明相當簡潔。據說這個證明方法是美國第二十任總統伽菲爾德證明的。后來,人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明,就把這一證法稱為勾股定理的“總統”證法。這在數學史上被傳為佳話。

關于勾股定理的證明古代中國和古希臘的兩個證明同樣十分簡潔,十分精彩。

1.中國方法

由邊長分別為a,b,c的四個直角三角形構成一正方形,如圖,其中a、b為直角邊,c為斜邊。

由圖:正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab;中間的小正方形邊長為b-a,則面積為(b-a)。于是便可得如下的式子:

4×ab+(b-a)=c。

化簡后便可得:a+b=c。

這就是初中幾何教科書中所介紹的方法。這個對勾股定理進行證明的方法,據說是三國時期吳國的數學家趙爽所給出的方法。

2.古希臘方法

直角三角形三邊AB=c,AC=b,BC=a直接在直角三角形三邊上畫正方形,如圖:

容易看出,ABA′≌AA″C。

過C向A″B″引垂線,交AB于C′,交A″B″于C″。

ABA′與正方形ACDA′同底等高,前者面積為后者面積的一半,AA″C與矩形AA″C″C′同底等高,前者的面積也是后者的一半。由ABA′≌AA″C,知正方形ACDA′的面積等于矩形AA″C″C′的面積。同理可得正方形BB′EC的面積等于矩形B″BC″C′的面積。

于是,S=S+S,

即a+b=c。

這里只用到簡單的面積關系,不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

在歐幾里得的證明方法中,以直角三角形三邊為邊作正方形,證明直角邊上兩個正方形的面積和等于斜邊上的即可。其實勾股定理公式也可以變形為λa=λb+λc,也就是說,對任何相似形這個結論都等價。只要證明了勾股定理,就表明對任何相似形都成立。逆轉過來看,只要對任一相似形證明等式的成立,就證明了勾股定理。

篇3

下面是筆者組織的探究活動實錄及反思,供大家參考。

一、教學目標

1.知識與技能。

(1)理解并掌握勾股定理,了解利用拼圖驗證勾股定理的方法;

(2)學會用拼圖的方法驗證勾股定理,培養學生的創新能力和解決實際問題的能力。

2.過程與方法。

(1)通過豐富有趣的拼圖,經歷觀察、比較、拼圖、推理、交流等過程,發展空間觀念和有條理地思考與表達的能力,獲得一些研究問題和合作交流的方法與經驗;

(2)經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程,體驗解決同一問題的方法的多樣性,進一步體會勾股定理的文化價值;通過驗證過程中數與形的結合,體會數形結合的思想,以及數學知識之間的內在聯系。

3.情感、態度與價值觀。

(1)通過拼圖活動,體驗數學思維的嚴謹性,發展形象思維;

(2)通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷,增進數學學習的信心,在探究活動中,體會解決問題方法的多樣性,培養學生合作交流的意識和探索精神;

(3)利用拼圖方法驗證勾股定理,是我國古代數學家的一大貢獻,借助此過程,對學生進行愛國主義教育。

二、教學重點

經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程,體驗解決同一問題方法的多樣性,進一步體會勾股定理的文化價值。

三、教學難點

經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理。

四、教學過程

1.活動一。

師:每個小組都有四個全等的直角三角形和一個正方形(如圖1),其中直角三角形的直角邊長分別為a和b,斜邊長為c;正方形的邊長為b-a。你能用它們拼成一個正方形嗎?你能用它們拼成兩個正方形嗎?你能說出每個正方形的邊長嗎?

小組合作完成后,讓學生到黑板上演示并解說。

第4小組:我們首先拼成這樣一個正方形(如圖2),它的邊長為c,然后拼成兩個正方形(如圖3)。(由兩人合作完成)

學生:我在資料上看到,劉徽在證明勾股定理時,也是用的以形證數的方法,只是具體的分合移補略有不同。劉徽的證明原來也有一幅圖,可惜圖已失傳,只留下一段文字:“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其余不動也,合成弦方之冪。開方除之,即弦也。”后人根據這段文字補了一張圖(圖13)。

3.活動三。

師:其實,在國外也有很多很好的用拼圖證明勾股定理的方法。(如圖14)直角三角形ABC的直角邊分別為a和b,斜邊為c,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的邊長分別為a、b、c,我們一起試一試:首先用一條水平直線和一條豎直的直線將正方形Ⅱ分成四部分,再將它們與正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。

小組合作完成后,讓學生到黑板上演示并解說。

第6小組:我們按照這種方法,也將正方形Ⅱ這樣(演示)分成四塊(圖15),但發現拼不成。

第4小組:他們的豎直線畫得和我們不同(圖16),我們認為要用一條水平直線和一條豎直直線將正方形Ⅱ分成四個四邊形,再將四個四邊形有公共頂點的四個直角與正方形Ⅲ的四個直角相對應,最后將正方形Ⅰ放在中間,正好拼成正方形Ⅲ。

第5小組:我們發現無論橫線還是豎線在正方形Ⅱ內部的長度都必須等于直角三角形的斜邊長c。

學生:想不到這么高深的數學問題我也能解決!

學生:現在我知道了動手做也可以研究數學問題。我不再感覺數學是枯燥的了,數學其實很有趣。

學生:我知道了原來我們中國古代數學家曾經取得非常高的成就,我要向他們學習,學好數學,成為像他們那樣的數學家。

五、教學反思

通過“拼圖與勾股定理”探究活動的教學,筆者有以下幾點體會。

1.探究活動的起點不宜過高。

探究活動重在引導學生主動參與、樂于探索、善于實踐,把握知識的全過程,明曉數學的來龍去脈。在“拼圖與勾股定理”的探究活動中,筆者以中國古代和外國已有的證明勾股定理的方法為基礎,精心設計了三個拼圖活動,使學生在教師引導下,通過動手操作和思考,發現用拼圖可以驗證勾股定理,并明白其中蘊涵的數學原理和思想方法。所有的問題,學生通過觀察、比較、拼圖、推理、交流等都能得到解決,既不淺顯,又不是高不可攀,使學生能做、樂做,同時又享受到做中的樂趣。

2.探究活動中學生的參與度很重要。

在“拼圖與勾股定理”的探究活動中,90%以上的時間是學生在思考、交流、操作、發言和演示。每一個小組都有展示,每一個學生都在做、想、說,雖然其中有困惑、有障礙、有失敗,但每個學生樂此而不疲,做的專心致志,想的眉頭緊鎖,聽的津津有味,說的深入淺出,而且總會冒出一些出乎意料的問題和方法。這些得益于各小組的明確分工,使得每個學生都有動手操作的機會和發言的空間,也得益于教師對失敗和錯誤的包容、對成功和精彩發言的表揚鼓勵。整個過程中學生的意見得到發表,創造得到肯定,每個學生都有收獲。

3.探究活動中學生有創造。

學生以前知道的勾股定理證明方法很有限,對于本活動中的許多證明方法,學生以前并不了解。對于學生來說,這些方法都是新的,而且是他們創造的。在數學學習活動中培養學生的創造能力,就是使學生在學習過程中,獨立地發現新知識,獨立解決自己未曾解決過的問題或把所學的知識應用到新的情境中去的能力。

篇4

在數學教學過程中，而是通過數學活動，讓學生渴望新知識，經歷知識的形成過程，體驗應用知識的快樂，從而使學生變被動接受為主動探究，增強學好數學的愿望和信心。為此，本節課主要設計了三個活動。活動一：喚起學生對新知識的渴望。學生為了解決現實生活中的一個樸實、可親、有趣的問題，不斷碰到困難，并不斷在發現中解決，思維探究活躍，好奇心和探索欲望被激起。活動二：學生在探索中體驗快樂。探索“勾股定理”是本節課的重點和難點。在整個探索過程中教師只是一個引導者、啟發者，引導學生動手、觀察、思考、實驗、探索與交流；學生在整個活動中切身體驗到發現“勾股定理”的快樂。從而培養了學生的探索精神和合作交流能力。活動三：學生在問題設計中鞏固勾股定理。本節課是勾股定理的第一課，知識的應用比較簡單，學生設計問題有一定的可行性。引導學生在掌握勾股定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度進行變題，學生的主體性得到了充分的體現。整個教學設計遵循“重視預設、期待生成”的原則。

二、教學過程與反思

1.第一次試上，由我獨立備課，從開始備課到上課結束，始終有兩個疑問沒有得到很好解決。一是如何引出勾股定理。教學過程是讓學生在正方形網格上畫一個兩條直角邊a、b分別是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜邊長c是多少?緊接著讓學生觀察直角三角形的三條邊在大小上有什么關系。事實上，由于缺乏足夠的材料，而且量得的結果可能不一定是整數，因此很難得出正確的結論。另外，也有學生在探究時，根據兩邊和大于第三邊得出a+b>c這個結論，認為這也是直角三角形三條邊之間的關系，這便偏離了教師預先設定的學習目標。二是勾股定理的證明。解決的方案:采用教材提供的方法，即教參上所說的數形結合的方法。通過恒等變形（a+b）2=4×12ab+c2，在教師的引導下作出聯想，將四個全等的直角三角形拼在邊長為（a+b）的正方形當中，中間又是一個正方形，而它的面積正好是c2，從而得出a2+b2=c2。其中的難點在于，讓學生自己很自然地想到用拼圖證明，對于大多數學生來講，做到這一點幾乎是不可能的。教師只能帶領學生進行變形、聯想、拼圖等一系列的教學活動。教師的講授時間明顯多于學生的探究時間，盡管教師一直在講，但是其中的來龍去脈還是很難交代清楚。第一次反思：（1）教師的講授時間多于學生的探究時間原因在于：憑學生已有的知識尚無能力探究這個問題，學生“一路走來”只能回答“是”“對”，思維屢屢受阻，心智活動暴露在無所依托的危機之中。（2）備課時，教師就發現了難點所在，但直到具體實施時仍束手無策，心有余而力不足，無法引導學生進行有意義的自主探究，這與教師自身的經驗不足有很大關系。（3）教師不僅要抓住教學中的難點，更要找到化解難點的辦法。為學生向既定的探究目標邁進鋪設適當的知識階梯，當憑自己的能力無法做到時，應向專家請教，及時有效地解決教學中存在的問題，使自己在教法上能有所改進。2.第二次上課通過集體備課，大家集思廣益，針對前面兩個難點重點設計，基本上解決了原有的問題。設計方案是:將整個教學過程分成八節，每一節都清晰地展現在學生面前。（1）創設問題情境，設疑鋪墊。情景展示：小強家正在裝修新房，周日，小強家買了一批邊長為2.1米的正方形木板，想搬進寬1.5米，高2米的大門，小強橫著放，豎著放都沒能將木板搬進屋內，你能幫他解決這個問題嗎？（2）以1955年發行的畢達哥拉斯紀念郵票為背景，觀察圖形，你發現了什么？并說說你的理由。圖一圖二（3）以小方格背景，任意畫一個頂點在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向外作正方形，剛才你發現的結論還成立嗎？其中斜放的正方形面積如何求，由學生探討。（介紹割與補的方法）（圖一）（4）如圖二，任意直角三角形ABC為邊向外作正方形，上面的猜想仍成立嗎？用四個全等的直角三角形拼圖驗證。（5）介紹一些有關勾股定理的史料（趙爽的弦圖、世界數學家大會會標、華羅庚建議用“勾股定理”的圖作為與外星人聯系的信號等），讓學生感受到勾股定理的歷史之悠久，激起學生的民族自豪感。（6）應用新知，解決問題。①解決剛才“門”的問題，前后呼應；②直角三角形兩邊為3和4，則第三邊長是%%。例：一塊長約120步，寬約50步的長方形草地，被不自覺的學生沿對角線踏出了一條斜路，類似的現象時有發生，請問同學們回答：①走“斜路”的客觀原因是什么？為什么？②“斜路”比正路近多少？這么幾步近路，值得用我們的聲譽作為代價換取嗎？（7）設計問題，揭示本質。請學生概括用上述勾股定理解決問題的實質：已知兩邊求第三邊長，并請學生設計能用勾股定理解決的簡單問題。（8）感情收獲，鞏固拓展。①本節課你有哪些收獲？②本節課你最感興趣的是什么地方？③你還想進一步研究什么問題？說明:（1）通過具體的生活情景，激起了學生對本節課的學習興趣，使他們急于想知道直角三角形的三邊到底存在著怎樣的數量關系，激發了他們的好奇心和求知欲。（2）學會了在小方格的背景下，用割補法求出郵票中斜放的正方形R的面積，同時為勾股定理的引出做好了充分的準備，為學生進行有意義的探究做好了鋪墊。（3）證明方法可以說已經擺在這里，但由于前面的教學中計算強調過多，而忽略了計算原理，致使撤去小方格背景時，學生在證明時出現障礙，想不到補4個直角三角形，或割成四個直角三角形和一個正方形計算斜放的正方形面積。為了解決這個問題，本節課在定理證明時有意用拼圖的方法再次驗證勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一課，應用較簡單，學生設計具有一定的可行。引導學生在掌握定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度變題，學生的主體性得到了最好的發揮。第二次反思：（1）當猜想出直角三角形三邊數量關系時，是不足以讓學生信服的，因為猜想時直角三角形的三邊均為整數，學生可能還存在疑慮：當直角邊的長不是整數時，情況又如何呢？所以讓學生從理性上確信這個猜想是必不可少的環節。為此，設計了任意三邊的直角三角形是否存在這個問題。（2）去掉背景和具體數值，在證明字母為邊的直角三角形的勾股定理時，主要是沒有了正方形網格作背景，學生不能快速產生正確的思維遷移，不易想到用割補法證勾股定理。但是前面有了郵票問題做鋪墊，學生很自然地會聯想到用割或補的方法計算以斜邊為邊長的正方形的面積，從而得出了一般的直角三角形的情況，獲得了勾股定理。如此設計，對于執教者來講，最大的好處在于可以使學生的思維過程顯性化，有利于教師對學生進行過程性評價，有利于及時指導學生在思維過程中存在的細節問題，還有利于教師進行教學過程的改進。（3）在做勾股定理練習時，采用開放式教學法，由學生自己出題自己解決，既鞏固新知識，又提高他們的學習興趣。但由于學生在已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊時，不知道一個數開平方這一知識，會出現第三邊不會算的情況。關于這點，我課前早有預料：如果有這種情況出現，就為下堂課做好鋪墊；如果沒出現這種情況，老師上課時也不提。（4）在課堂小結時一改先前一貫做法，三個問題結束本節課。特別是后兩個問題，當時學生是這么回答的：我最感興趣的地方是割補法證明勾股定理；畢達哥拉斯怎么會從地磚上發現勾股定理的，我們平時也要多觀察生活；我想知道勾股定理還有哪些證明方法；我想知道我的這副三角板中，如果已知一條邊，能不能求出另外兩條邊。聽課的老師們深深地被學生的這些問題感染了，情不自禁地給予了贊揚。這樣的總結設計，把所學的知識形成了一個知識鏈，為每位學生都創造了獲得成功體驗的機會，并為不同程度的學生提供了充分展示自己的機會，尊重了學生的個體差異，滿足了學生多樣化的學習需要。特別是最后一個問題，把本課知識從課內延伸到了課外，真正使不同的人得到了不同的發展。（5）學生在學習過程中舊問題解決，而新問題產生，使我真正認識到上好勾股定理這一堂課是不容易的。課改幾年來雖然理念上有所轉變，但要真正在課堂上能運用自如，還需要不斷實踐。幾個問題間的過渡語言，也是不斷地修改，甚至一個問題要怎么問，問了后學生可能會出現哪些想法都做好了預設準備，更制定了應急方案。

三、教學理念的升華

篇5

思考一：教師的根本素養在教材的深入研究

我們要思考一下下面幾個問題：

（1）為何要學習“勾股定理的逆定理”？

（2）“勾股定理的逆定理”認知基礎是什么？

（3）本內容對學生培養學生的數學思維的哪些方面？

（4）證明“勾股定理的逆定理”的方法是怎么想到的？

（5）符合學生的認知結構嗎？

首先，作為一流名校的學生，有很好的認知能力，勾股定理的逆定理證明基于構造全等的直角三角形三角形，這正是七年級上冊的重點、難點內容，學生掌握的較好，能把新舊知識聯系起來，應該啟發學生自己去討論鉆研，但是我們教師缺乏引導。

其次，我們的教師有很好的科研能力，有老師說這是舊教材的內容，與新教材不符，站在學習數學的角度來看，我們可以根據學生的水平，不同程度的去參透，像這樣的問題需要學科組討論，該怎樣講？講到什么程度？特別是給青年教師一個指引，學會用教材教，而不是教教材。

記得上學期末的時候，特級教師李慧珍老師到了我們年級聽了每位數學老師的課，她給我評課的時候，除了給予好評之外，她很嚴肅的提出，為什么不用書上的課堂練習？而自己額外補充練習？說實話，當時我不是很理解。經過一段時間的思考，我能感悟到其中的道理，我們常常談到的教學基本功，往往提到語言表達能力，課堂調控能力，以及板書、情感、教態等。其實，最關鍵的是教師對教材的理解準確不準確、深刻不深刻。不準確會產生誤導，不深入必然流于淺薄。沒有對數學內容的準確把握、深刻理解，即使有高技巧的華麗教學，也不會有高水平的數學教學。因為，學生新認知結構的構建需要提供知識結構的優質素材，“教什么”比“怎樣教”更重要。所以，教學中教師要實現有“教教材”向“利用教材來教”的觀念和行為轉變，努力做好聯系實際，還原教材生活本色。似真發展，還原知識的生長過程。民主教學，促進教材動態生成。改編習題，促進學生發散思維能力的發展。拓展教材，促進課程資源有效開發。

思考二：教師應該關注知識的生長過程，培養推理能力

注意知識方法過程教學，特別是數學定理、公式的推導過程和例題的求解過程，基本數學思想和數學方法、基本的解題思路方法被想到的過程，要敢于、勇于向學生暴露自己的思維、展現自己的思維，讓學生了解感悟教師的求解過程的思路方法，避免教師一說就對、一猜就準、一看就會，只給學生現成結論局面的出現。教學中，要將數學教學作為一種數學思維活動來進行，要讓學生親身經歷數學問題的提出過程、解決方法的探索過程、方法能力的遷移過程。讓學生在參與數學思維活動、經歷知識產生發展過程中，逐步提高數學能力。由于受“應試教育”慣性的影響，傳統教學過程中存在一些弊端，突出表現在：萎縮和削弱知識產生、發展的過程，過分膨脹應用的過程，即概念公式一帶而過，大量時間用于練習應用。要改變上述現象，必須提高認識，變“結果”教學為“過程”教學，即在課堂教學中充分揭示數學思維過程，加強知識產生發展過程的教學，也就是要認真研究概念被概括的過程、結論被推導的過程和解題方法被想到的過程。

就說勾股定理的逆定理的證明過程，是不是容易能被想到呢？筆者認為未必。在不了解同一法時，能想出來的可能性很小。但是在講解這個證明的過程中對學生的推理能力，能夠有很好的鍛煉，也積累了新的一種數學方法。對本節內容，教學目標之一經歷直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）的探究過程，進一步發展學生的推理能力。這里我就想談談推理。

推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養。演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。培養和提高學生演繹推理或邏輯證明的能力是高中數學課程的重要目標，合情推理和演繹推理之間聯系緊密、相輔相成。初中階段，我們應該從合情推理入手，波利亞呼吁。“讓我們教猜想吧！”再聯想到有關團體對中外學生調查結果顯示的中國學生科學測驗成績較差的信息，不能不使我們感到加強對推理能力的培養已是刻不容緩。因此，“既教證明，又教猜想”，不至于在上了高中以后，覺得很不適應。若在教學中能正確地使用推理的教學模式，至少不會削弱學科教學的技術功能，而文化教育功能將得到明顯的加強，學生有效地應用推理的技能得到提高，創造能力得到加強。

羅增儒教授在解題學引論中指出：“編擬數學題需要深厚的數學知識功底，良好的思維素質和熟練的編題技巧。有時候，創造一個問題比解決一個問題更為困難。”這就告訴我們試題的創新應扎根于教學研究之中，不斷學習，加強解題研究是試題創新的條件。我們要不斷努力探索，將培養和發展學生數學思維能力，提高教師的專業素養。

【參考文獻】

[1]中學教學參考

[2]喬治.波利亞，閻育蘇譯.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982

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一、歸納法的含義與標準形式

1.歸納法的含義

歸納法，簡單說就是對事物的特殊性質或現象進行總結和觀察，從中找出一般規律的思維方法。其核心精髓在于實驗與總結。

歸納法主要包括不完全歸納法與完全歸納法，前者主要是針對事物某一些特殊性質或個別現象來進行一般規律總結的猜測式推斷方法；后者則是針對覆蓋事物一切特殊現象進行研究，最后總結出一般規律的推理方法，這一總結往往更加準確。

2.歸納法的標準形式

歸納法最早來自于關于自然數的歸納，經過發展成為多種表現形式，主要的形式是標準形式。標準形式也就是根據歸納原理，能夠證明：當P（n）是自然數n的命題，（基礎）如果當n=1時，P（n）成立，（總結）當P（k）成立的條件下能夠證明P（k+1）也成立（其中k為任意自然數），那么P（n）關于所有自然數都成立這樣的形式。

二、歸納法在數學概念教學中的應用舉例

1.歸納法在三角函數概念教學中的應用

三角函數是初中數學中非常重要的概念，將歸納法應用在三角函數的證明中，能夠說明三角函數的一些性質。

例1 已知三角形ABC的三個邊長a、b、c均為有理數，證明：（1）cosA為有理數；（2）當n為任何正的自然數時，cosnA都為有理數。

歸納法的證明過程如下：

對于（1）的證明：因為a，b，c均為有理數，根據有理數的概念和余弦定理可得：cosA=，因為是有理數，所以cosA也為有理數。

對于（2）的證明則采用歸納法進行論證，也就是cosnA為有理數的具體證明過程。

2.歸納法在勾股定理證明中的應用

勾股定理以其簡單、便捷的邏輯關系呈現了直角三角形的兩條直角邊長與斜邊長的關系，體現了數形結合的思想。

例2 證明勾股定理。

勾股定理概念的內容闡述為：任何一個直角三角形兩條直角邊平方之和等于斜邊的平方，即直角三角形ABC中，如果∠C=90° 那么直角對應邊c與兩銳角對應邊a、b的關系為c2=a2+b2.

為了能夠讓學生更加深入地理解這一原理，可以通過歸納法來證明，具體的過程如下：

欲證明RtABC中c2=a2+b2（a，b，c都為正數）對于任何正數都成立，只需證明c2=sin2A?c2 +sin2B?c2 對于任何正數都成立，（由于sinA所以a=sinA?c，b=sinB?c）

歸納法證明：

c2=sin2A?c2+sin2B?c2可以看作是關于c的命題，

（1）當c=1時，1= sin2A+sin2B，sinB=sin（90°-A）=cosA，即：1= sin2A+ cos2A 即命題成立。

（2）假設c=k（k屬于正數集，且k≥1）時命題成立，也就是k2= sin2A?k2 +sin2B?k2 成立，那么當c=k+1時，

（k+1）2= sin2A?（k+1）2 +sin2B?（k+1）2

k2+2k+1= sin2A（k2+2k+1）+ sin2B（k2+2k+1）

k2+2k+1=sin2Ak2+ sin2A?2k+ sin2A+sin2Bk2+ sin2B?2k+ sin2B.

因為k2= sin2A?k2 +sin2B?k2，2k+1=2k（sin2A+ cos2A）+ sin2A+ sin2B，

又因為1= sin2A+ cos2A 成立，所以，2k+1=2k+1.

即：（k+1）2= sin2A?（k+1）2 +sin2B?（k+1）2成立。也就是當c=k+1時，結論是成立的。

綜合（1）和（2）得出，c2 =sin2A?c2 +sin2B?c2 對于任何正數都成立，也就是c2=a2+b2 （a，b，c都為正數）對于任何正數都成立。所以，直角三角形中的勾股定理是成立的。

三、歸納法在數學概念教學中的應用原則

1.由淺入深，逐步引導

歸納法體現的是一個思維過程，教師在運用歸納法幫助學生進行概念推理與理解時，要根據學生的接受能力，對學生進行逐步地教育和引導。

例3 利用歸納法推導 “三角形中位線性質”。

教師帶領全班學生拿出一張白紙，隨心所欲地剪出一個三角形，并用尺測量出自己所裁剪出的三角形ABC的各個邊長，分別做好記錄，然后在這個三角形的三條邊上取中點E、F、G，將任意兩個腰上的兩點連接，繼續測量其長度，將其同對應的底邊長對比，試問學生發現了什么規律？

經過學生的詳細測量與計算發現，中位線，幾乎所有的學生都得出了這樣的測量結果，說明了中線同底邊的關系，歸納得出：三角形的中線是底邊長的一半。

2.實例引導，歸納總結

歸納法在于通過對某一數學關系殊例子的運用總結出其中的一般規律，是人們對客觀事物或規律的認知的體現。教師在教學數學概念知識的時候，可以將這一思想納入數學概念教學中，使學生經歷認識事物的過程，讓他們的思維得到鍛煉，逐步掌握歸納法的數學思維。

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關鍵詞：素質教育；數學教學；提高質量

在實施素質教育的今天，面對每周每天一節的數學課，要想高質量、輕負擔地完成教學任務，使每位學生既學知識又長智慧，就急需每位教師提高自身業務素質，在鉆研教材、研究教法的同時，更應注重研究學法，使每一位學生參與到課堂教學中去。

課堂教學除發揮好教師的主導作用外，主要就是出色地發揮每位學生的主體作用，使每一位學生積極、直接、主動地參與課堂教學，提高課堂效率，挖掘學生的潛力，使每位學生都得到發展提高，使課堂真正成為學生學習的樂園。怎樣才能使學生積極、直接、主動地參與到課堂教學中來？下面筆者綜合自己的教學實踐，談談幾點體會。

一、創設情境，激發學生參與學習的興趣

托爾斯泰說，成功的教學，所需要的不是強制，而是激發學生的興趣。學生興趣是直接推動學生參與學習全過程的動力。要讓學生對學習感興趣，就在于為他們創造一個生動活潑輕松愉快的學習環境。例如：在講等腰三角形性質定理時教師主要是揭示定理證明的思想：證明兩個角相等轉化為證明兩個三角形全等的化歸思想，在提示了證明的思想、方法后，學生不難找到證明的途徑，即添輔助線。通過實驗發現定理，具體如下：

要求學生畫一個等腰三角形,先觀察圖形三邊關系、三角關系，然后用工具測量兩個底角的大小從而發現命題：等腰三角形兩底角相等。

已知：在ABC中,AB=AC,求證：∠B=∠C(圖略)。對于初中年齡的學生，讓他們看看、畫畫、量量是培養興趣的一種手段，當量出兩個底角相等，就有了為什么相等、如何證明的沖動，這時教師再引導、點撥學生進行分析：

證明兩角相等常用什么方法?如此問題化歸為證明兩個三角形全等,如何產生兩個三角形？添輔助線,如何添輔助線？學生較快地找到了以下方法：

方法1：取BC中點D,連結AD,通過SSS公理證明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

方法2：ABC的角平分線AD，通過SAS公理證ABD≌ACD，得∠B =∠C。

方法3：作ABC的高AD,通過HL公理證明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

又問：剛才添了不同的輔助線，若畫在同一個等腰三角形中，是三條不同的輔助線嗎？為什么？讓學生在實驗中得出推論，又從證明中加深對推論的認識、理解。像三角形內角和定理、角平分線定理、線段的垂直平分線定理都可由學生先實驗、歸納再研究、探索，尋求達到目的的方法和手段，學生始終處于獲取知識的過程中，從中體會到樂趣，從而積極主動地投入到學習中。

二、運用遷移規律，在參與學習過程中培養學生的能力

學生參與學習過程，不僅要重視激趣，更重要的是要重視培養能力。在教學中，如果能巧妙利用遷移規律，抓住新舊知識的連接點作為溝通新舊知識的內在聯系，精心安排以學生的“學”為軸心的教學活動，給學生搭建一個用已學的知識解決新知識的階梯，激發、引導學生自覺、主動地參與課堂教學，就能達到培養學生能力的目的。如在講分式通分時：

復習分數通分類比分式通分

關鍵：找2、4、8最小公倍數 關鍵：找x,x2,x3的最簡公分母x3

方法：分數基本性質 方法：分式基本性質

問：為什么最簡公分母是x3,而不是x4式x5式x3 x2等等?

學生通過思考回答體現了“最簡”,又要體現“公”,在此基礎上變式為通分。

，，

。

。

觀察歸納出如何找最簡公分母？(求所有因式的最高次冪的積)

又問:兩個公式的分母有不同的系數能通分嗎？如何通分？

再變式為通分：，，。

此時做一組練習鞏固所學內容(通分),在初步鞏固基礎上,提出變式題：

,的最簡公分母是什么?怎樣通分?變式為,又怎樣通分?再做一組練習使學生熟練。

后一組題與前一題相比，有一定的變化，所以解題并不單調，盡管題目在發展，障礙在增加，但題目之間的坡度不大，能使全班學生都投入到探究活動中，在不知不覺中學到了新知識，體會到了獲取知識的樂趣。在這個教學過程中，教師巧妙創設合理的情境，組織好遷移條件，使學生主動參與學習的全過程。隨著老師的不斷啟發、引導、點拔，學生積極主動地參與探索、發現，很快地懂得今天的新知識“分式的通分”就是“分數的通分”的引申。這個過程學生在教師的引導下，在正遷移規律的作用下，正確運用所學的舊知識，學習新知識，在掌握知識的同時，發展了學生的智力，培養了學生的能力，為今后的學習中能融會貫通、舉一反三奠定了堅實的基礎。

三、動手操作,提高學生主動參與的意識

動手操作，一方面可以培養學生的動手操作能力，激發學生的學習興趣，提高學生主動參與的意識，另一方面利于根據認識規律，引導學生從形象思維為主向抽象思維為主過渡，從而從操作中豐富、完善認知過程，從感性到理性建立知識框架。例如，在講《勾股定理》證明時，我課前布置同桌共同做八個全等的直角三角形，三個分別以直角三角形三邊為邊長的正方形，授課時，引導學生動手拼圖，拼好后，觀察圖形特點，教師起畫龍點睛的作用，提出問題，學生借助于自己拼好的圖形，回答問題，最后得出“直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方”。之后，再舉一例子讓學生應用勾股定理，加深印象。這樣，通過教師的啟發、引導，讓學生真正理解了勾股定理的證明，并達到會應用勾股定理，這樣學生不但學到了知識，又培養了動手動腦能力,促進學生在主動參與的學習進程中準確地掌握知識。

四、引導討論，提高學生參與的積極性

課內開展小組討論是參與教學的一種有效方法。教學中，我們把不同智力層次的學生搭配成若干小組，在教師的指導下，引導學生就教學中的某個問題發表看法，通過必要的組織、引導、探討、交流、歸納，得出正確的結論，從而完成某一教學任務的一種教學組織形式。在協作學習中，學生展開充分的討論和交流，人人積極主動地參與教學過程，并發揮集體的智慧，開展合作學習，形成智慧互補，這對于提高各層次學生的學習參與能力，大面積提高教學質量有著重要作用。

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一、運用多媒體，激發學生的學習動機，提高學生學習數學的積極性

興趣是推動學生進行學習活動的內在動力。在數學教學中，適時、適當地選用多媒體來輔助教學，能使抽象的教學內容具體化、清晰化。例如，在學生初次接觸幾何圖形時，教師應適當運用多媒體，引進“圖形運動”，對平行線、平行四邊形、等腰三角形和圓中一些比較直觀的基礎知識，使原來呆板的圖形變活。這既優化了教學過程，也激發學生的興趣和求知欲。

二、運用多媒體，突出重點，突破難點，引導學生克服學習障礙

利用多媒體進行教學，突出重點、突破難點，促使學生對知識的理解是決定學習效果的關鍵。如，教學平移、旋轉、軸對稱等幾何變換時，在電腦上動畫演示圖形變換比在黑板比畫易懂，直觀得多。幾何圖形的變換在數學教學中有著重要位置，通過圖形的變換，不僅可以激發學生的學習興趣，還可以鍛煉學生的思維。

三、運用多媒體，減輕教學負擔，提高教學效率，關注校外

傳統的教學方法很難提供給學生足夠的空間和時間，而多媒體技術則可以提供給學生無限的學習空間和時間。利用多媒體技術進行教學，可以增加容量，提高教學效率。

通過多媒體技術我們還可以將課內與課外結合起來，在勾股定理教學時，我在課前就布置了預習，讓學生自己通過網絡尋找勾股定理的內容及證明方法，上課時向全班展示，由于證明方法各異，本來一節枯燥的定理證明課變得氣氛活躍。

四、運用多媒體，化難為易，增強學生自信

遵循學生的認知規律，采取多媒體計算機能融聲、形、色等為一體的教學手段，可以將教學內容具體化，并能根據教學內容的需要，將教學內容在大與小、遠與近、快與慢之間實現靈活的相互轉化，使教學內容涉及的事物、現象等再現于教學中，減輕了學生的負擔，激發學生的信心。

五、運用多媒體，設計娛樂性練習，有效鞏固新知

《義務教育數學課程標準》在實施建議中指出：“教師應該充分利用學生已有的生活經驗，隨時引導學生把所學的數學知識應用到現實中去，以體會數學在現實生活中的應用價值。”因此我們可以利用多媒體技術來編寫有針對性的練習，它的最大成功之處在于化學習被動為主動，化抽象為具體，通過帶娛樂性的練習，輕松鞏固已學知識。

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現行初中數學教材中，數形結合問題占有不小比例。代數、幾何這兩個學科聯系密切，是互相統一的，所以在數學教學中必須重視數形結合。

一、理解數形結合的概念。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖像的對應關系；（3） 以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數等； （4）所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義，如等式。

二、利用數軸、平面直角坐標系培養學生運用數形結合解題的能力。初中教材中不論用代數方法研究幾何問題，還是幾何圖形研究數和式，都貫穿著數形結合方法分析問題和解決問題的思想，要強化數形兩意識的滲透和能力的培養。

數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。要在解題中有效地實現“數形結合”，最好能夠明確“數”與“形”常見的結合點，從“以數助形”角度來看，主要有以下兩個結合點：（1）利用數軸、坐標系把幾何問題代數化（在高中我們還將學到用“向量”把幾何問題代數化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數研究角的大小、利用線段比例證明相似等。

【說明】建立坐標系，利用坐標及相關公式處理一些幾何問題，有時可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點）.在高中“解析幾何”里，我們將專門學習利用坐標將幾何問題代數化.

【說明】利用勾股定理證明垂直關系是比較常用的“以數助形”的手法，另外，熟練的代數運算在這道題中起到了比較重要的作用，代數運算是學好數學的一個基本功，就像武俠小說中所說的“內功”，沒有一定的內功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的。

【分析】本題是研究拋物線和直線相交的相關問題，只是由于a、b、c的符號不確定，導致拋物線和直線在坐標系中位置不確定，考慮問題需要進行分類討論，比較麻煩.如果將問題代數化，看成有關方程的問題，進行相關的計算，就省去了分類的麻煩。

三、數形結合的思想方法應用廣泛。常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、最值問題中，在求三角函數解題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。

四、中考試題中的巧妙運用。縱觀多年來的中考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。幾何直觀運用于代數主要有以下幾個方面：

（1）利用幾何圖形幫助記憶代數公式，例如：正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式等.

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數學是抽象的，一些學生感到數學公式、數學概念枯燥乏味，然后就放棄了。要使他們學好數學，首先得激發學生的數學興趣，使他們把學習數學看作是一種享受、一種樂趣。多媒體集文字、圖形、圖像、聲音、動畫于一體，能以形象、生動、直觀的形式向學生傳遞信息，刺激學生的各種感覺器官，能將數學課本中的一些抽象的概念、復雜的變化，或者在通常條件下很難演示的實驗、動態變化的過程等，直觀地展現在學生的面前，使得教學內容直觀化、趣味化、多樣化、強化對學生眼、耳、腦、手等的感覺器官，使他們的情緒興奮起來，對數學產生興趣，形成一種愛數學的良好學習氛圍，變“要我學”為“我要學”，真正把學習數學作為一種樂趣。

一、運用多媒體手段創問題情境，激發學習興趣。

在教學中創設與教學內容貼近的情境，會使課堂教學過程形象化、直觀化、趣味化。利用多媒體計算機聲像結合，圖文并茂的功能營造一種良好的學習情境，符合中學生的心理需要。如：三角表內角和定理，學生通過剪紙、拼接和度量的方法讓學生直觀感受，在學生動手操作后，及時利用幾何畫板隨意畫一個三角形，度量出它的三角形的形狀和大小，發現：無論怎樣變，三個內角的和總是180度，這無疑大大加深了學生探究“為什么”的欲望。如，通過播放“海上日出”的錄像讓學生對直線（地平線）與圓（太陽）的位置關系有一個直觀的印象，然后利用課件讓學生討論直線與圓的位置關系有哪些數學量有關？圖形中，A是動點，拖動它可改變圓的大小：直線與圓的位置關系與圓的大小（半徑）有關L是動直線，拖動它可改變直線與圓之間的距離：直線與圓的位置關系與直線到圓距離（圓心到直線的距離）有關，錄像中優美的畫面刺激著學生的感官，讓學生將熟悉的場景與抽象的數學問題聯系起來，并通過操作可運動的課件，體會抽象的過程，大大提高學生的學習興趣，產更快地投入到學習之中。

二、運用多媒體手段呈現教學過程，突破難點

多媒體教學可以在一定程度上克服時間和空間上的限制，充實直觀內容，豐富感觀材料，能夠較徹底分解知識技能信息的復雜程度。減少信息在大腦中從形象到抽象，再由抽象到形象的加工轉化過程，充分傳達教學意圖，運用多媒體技術的豐富表現手段可以很好的突破數學教學中的難點。

我們的數學課堂中，有些知識的獲得學生感覺很困難，有些地方需要向學生展示過程，但有些不便于操作，有些操作又太浪費時間，有些操作又不太可行，這種情況下，多媒體技術就可以幫你大忙了。比如夫一個幾何體，在開始截一些簡單的幾何體，可以師生共同動手操作，但當問題越來越復雜時，操作難度就加大了，這時學生不一定能在短時間內操作成功，我們就可以用多媒體來幫助展示。比如我們截正方體最多能截出幾邊形這個問題，學生很難想象最多能截出六邊形，操作起來也有難度，時間不允許，我們就用多媒體課件展示截出六邊形的這一過程，以突破難點，讓學生加深印象，這就很好地發揮了多媒體的形象直觀的優勢。再比如在九年級止冊《概率的意義》中的擲硬幣的實驗，由于實驗條件及次數的限制，最后正面向上的頻率可能跟我們所期待的結果有一定的出入，但若用多媒體課件演示這個游戲，不但節約了時間，效果會更直觀。又如：如果對截面是三角形、正方形、梯形、矩形的情形，學生還能理解的話，那么對截面是五邊形或六邊形的情形就很難想像了，利用多媒體中教學平臺里，通過演示，學生能真正感受截割的過程。這樣通過多媒體課件的演示，不斷激活學生的思維。讓學生逐層參與瓣知識的構建過程，最終完成由形象思維向抽象思維的過渡。

三、運用多媒體手段增加容量，提高課堂教學效率

最優的教學過程應該是在規定時間內，在教養、教育和發展三個方面獲得最高可能的水平，因為提高活動效率、和節省時間這兩個法則，是勞動活動的普遍法則。圖形不是語言，但比語言更直觀、生動，利用多媒體我們設計出能給學生的感官以豐富的刺激，提高學生的學習興趣的課件，提高了學生的學習熱情也就可以在單位時間內增加一堂課的容量，優化教學信息，從而提高教學效率。