導(dǎo)語：如何才能寫好一篇實數(shù)集，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

2、所有有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。

3、正整數(shù)和負整數(shù)的總稱叫整數(shù)。包括0的一切實數(shù)，即不存在虛數(shù)部分的數(shù)均為整數(shù)。

4、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)。

篇2

ABCD分值: 5分 查看題目解析 >88.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，若數(shù)列的前項和為，則的值為（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >99. 函數(shù)在處取得最小值，則（ ）A是奇函數(shù)B是偶函數(shù)C是奇函數(shù)D是偶函數(shù)分值: 5分 查看題目解析 >1010. 在中，，，為斜邊的中點，為斜邊上一點，且，則的值為（ ）AB16C24D18分值: 5分 查看題目解析 >1111. 設(shè)是雙曲線的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點）且，則的值為（ ）A2BC3D分值: 5分 查看題目解析 >1212.對于實數(shù)定義運算“”： ，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個互不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >填空題 本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在題中橫線上。1313. 設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是 .分值: 5分 查看題目解析 >1414.若拋物線的焦點的坐標為，則實數(shù)的值為 .分值: 5分 查看題目解析 >1515.已知向量滿足，，與的夾角為，則與的夾角為 .分值: 5分 查看題目解析 >1616.已知函數(shù)時，則下列所有正確命題的序號是 .①，等式恒成立；②，使得方程有兩個不等實數(shù)根；③，若，則一定有；④，使得函數(shù)在上有三個零點.分值: 5分 查看題目解析 >簡答題（綜合題） 本大題共70分。簡答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17已知數(shù)列的前項和為，且.17.證明：數(shù)列為等比數(shù)列；18.求.分值: 10分 查看題目解析 >18中，角所對的邊分別為，且.19.求的值；20.若，求面積的值.分值: 12分 查看題目解析 >19命題實數(shù)滿足（其中），命題實數(shù)滿足.21.若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；22.若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.分值: 12分 查看題目解析 >20在直角坐標系中，已知點，點在第二象限，且是以為直角的等腰直角三角形，點在三邊圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）.23.若，求；24.設(shè)，求的值.分值: 12分 查看題目解析 >21已知函數(shù)的一個零點為-2，當時值為0.25.求的值；26.若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分值: 12分 查看題目解析 >22已知函數(shù)的最小值為0，其中，設(shè).27.求的值；28.對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；29.討論方程在上根的個數(shù).22 第(1)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

解析

的定義域為．由，解得x＝1－a＞－a.當x變化時，，的變化情況如下表：

因此，在處取得最小值，故由題意，所以.考查方向

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用.解題思路

首先求出函數(shù)的定義域，并求出其導(dǎo)函數(shù)，然后令，并判斷導(dǎo)函數(shù)的符號進而得出函數(shù)取得極值，即最小值.易錯點

無22 第(2)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

解析

由知對恒成立即是上的減函數(shù).對恒成立，對恒成立， ……8分考查方向

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.解題思路

首先將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來研究單調(diào)性，進而求出的取值范圍易錯點

無22 第(3)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案

時有一個根，時無根.解析

由題意知，由圖像知時有一個根，時無根或解： ，，又可求得時.在時 單調(diào)遞增.時， ，時有一個根，時無根.考查方向

本題主要考查分離參數(shù)法.解題思路

篇3

[關(guān)鍵詞]數(shù)系 實數(shù)的完備性 閉區(qū)間套定理 循環(huán)證明

中圖分類號：TP260 文獻標識碼：A 文章編號：1009-914X（2016）21-0392-02

引言

實數(shù)系具有完備性這一重要性質(zhì)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)尤其是分析正是建立在這一基礎(chǔ)之上，它可由實數(shù)系六大基本定理刻畫。歷代數(shù)學(xué)家用各種方法證明了實數(shù)完備性六大定理，除了常見的圓周法循環(huán)證明外，還有各種等價性證明。這些證明方法里蘊含著對這六大定理及其運用方法和技巧的理解。這六大定理也可以運用于數(shù)學(xué)分析中其他定理的證明。其中，通過構(gòu)造閉區(qū)間套運用閉區(qū)間套定理能夠解決分析中其他問題。通過對這六大定理的了解和應(yīng)用，能夠了解如何用分析的語言來刻畫數(shù)學(xué)定理，領(lǐng)略數(shù)學(xué)證明的魅力。

1.實數(shù)理論的建立

1.1 從有理數(shù)到無理數(shù)

數(shù)是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念。數(shù)學(xué)不斷發(fā)展進步，與此同時，數(shù)系也不斷擴展。人類很早就認識了有理數(shù)。在公元前五世紀，畢達哥拉斯學(xué)派主張“萬物皆數(shù)”，當時所有人都堅定不移地認為“一切數(shù)均可表示成整數(shù)或者整數(shù)之比”。然而，畢達哥拉斯的學(xué)生希帕索斯一天突然想用勾股定理來測度等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比，卻發(fā)現(xiàn)這個值無法測度，于是提出了無理數(shù)的存在。這一發(fā)現(xiàn)震驚了當時整個數(shù)學(xué)界，人們無法否認無理數(shù)的存在，然而之前長期的認識使得人們同樣無法接受它，這一問題持續(xù)了千年之久。

在希帕索斯提出無理數(shù)之后，人類才開始意識到有理數(shù)并不完美，然而當時的數(shù)學(xué)還并不能很好地解釋無理數(shù)的存在。直到18世紀，基本常數(shù)圓周率和自然常數(shù)e等被數(shù)學(xué)家證明是無理數(shù)之后，才有越來越多的人擁護無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)一起組成了實數(shù)集合，也正是在實數(shù)理論建立之后，人們才從根本上理解和承認了無理數(shù)。

1.2 實數(shù)理論的提出

17世紀，牛頓和萊布尼茲先后提出的牛頓―萊布尼茲公式，成為整個微積分論的基礎(chǔ)。兩人的理論都建立在無窮小量的分析之上，但是他們自身卻不能很好地理解和運用無窮小量。因此微積分也受到了很多人的攻擊和反對。

這使得當時的數(shù)學(xué)家們很是尷尬。在應(yīng)用上，微積分非常成功，然而，在理論上，它自身的邏輯卻是混亂的。為了解決這一問題，數(shù)學(xué)家們將分析基礎(chǔ)建立在實數(shù)體系之上，分別建立了自己的分析體系。也正是在這個時候，實數(shù)理論才被提出并被普遍接受，成為數(shù)學(xué)分析的基石。

2.實數(shù)系六大基礎(chǔ)定理

2.1 實數(shù)系六大基礎(chǔ)定理

19世紀，數(shù)學(xué)家們分別提出了自己的實數(shù)體系，后來，隨著分析的發(fā)展和嚴格，數(shù)學(xué)家們對各種實數(shù)體系進行了歸納和總結(jié)，建立了實數(shù)理論。實數(shù)理論可以歸結(jié)為六大基本定理，包括確界存在定理，單調(diào)有界數(shù)列收斂定理，閉區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂定理和有限覆蓋定理。

2.1.1確界存在定理（實數(shù)系連續(xù)性定理）

定義：非空有上界的閉集一定有上確界，非空有下界的閉集一定有下確界。1817年由捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾提出，刻畫了實數(shù)系的連續(xù)性性質(zhì)，這也是數(shù)學(xué)史上首次提出實數(shù)理論。

2.1.2單調(diào)有界收斂定理

定義：單調(diào)有界數(shù)列必定收斂。這個定理由德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯提出，常用于數(shù)列收斂的判斷和證明。

2.1.3閉區(qū)間套定理

定義：設(shè)一列閉區(qū)間n=1，2，3….滿足1）………….2）。則.

2.1.4致密性定理

定義：有界數(shù)列有收斂的子列。從極限點的角度來敘述致密性定理，就是有界數(shù)列必有極限點。

2.1.5柯西收斂定理

定義：如果數(shù)列{}具有以下特性：對于任意給定的，存在正整數(shù)N，使得當n， m>N時，成立，則稱數(shù)列{}收斂。

2.1.6有限覆蓋定理：

定義：設(shè)G={/}是的一個開覆蓋，則必存在有限子集={，…….}覆蓋。

2.2 循環(huán)證明法

實數(shù)系六大基礎(chǔ)定理彼此之間相互等價，可用循環(huán)證明法證明其成立。循環(huán)證明法，也稱圓周法，是證明多個等價性定理的常見方法。通常假設(shè)其中一個定理成立，用這個定理來證明下一個定理成立，再以下一個已經(jīng)證明的定理為已知，依次證明之后的定理成立。然后，用最后一個定理來證明第一次假設(shè)的定理成立。用循環(huán)證明法證明實數(shù)完備性六大基礎(chǔ)定理的常見思路是，由確界存在定理證明單調(diào)有界收斂定理，由單調(diào)有界收斂定理證明閉區(qū)間套定理，由閉區(qū)間套定理證明致密性定理，由致密性定理證明柯西收斂準則，由柯西收斂準則證明有限覆蓋定理，最后，再由有限覆蓋定理證明確界存在定理。

3.閉區(qū)間套定理的運用

在實數(shù)六大基礎(chǔ)定理中，閉區(qū)間套定理十分典型，也有著較強的應(yīng)用技巧。閉區(qū)間套定理是指滿足一定條件的閉區(qū)間套最后可以收斂到同一個點，主要可由單調(diào)有界收斂定理證明。

從閉區(qū)間套定理的定義可以看出，根據(jù)閉區(qū)間的原有性質(zhì)，可利用閉區(qū)間套定理推導(dǎo)出閉區(qū)間上某點或者該點所在鄰域的性質(zhì)，即已知“整體性質(zhì)”可推導(dǎo)“局部性質(zhì)”。根據(jù)閉區(qū)間套定理的這一特質(zhì)，閉區(qū)間套定理可以容易地推廣到n維空間。在運用閉區(qū)間套定理時，閉區(qū)間套的構(gòu)造和“局部性質(zhì)”的繼承是關(guān)鍵。

3.1運用反證法從“局部性質(zhì)”證明“整體性質(zhì)”

例.設(shè)f（x）在R上有定義，f（x）逐點單調(diào)增加，即

證明：f（x）在R上嚴格單調(diào)遞增。

分析：這是一道典型的由“局部性質(zhì)”推導(dǎo)到“整體性質(zhì)”的證明題。可以考慮閉區(qū)間套定理與反證法結(jié)合。假設(shè)在某個區(qū)間上結(jié)論不成立，通過閉區(qū)間套的構(gòu)造將該性質(zhì)傳遞到某個鄰域上，與已知的“局部性質(zhì)”相矛盾，從而證明結(jié)論成立。

證明：假設(shè)f（x）在R上不是單調(diào)遞增，即。用二分法構(gòu)造閉區(qū)間套。等分，若；若。此時總有，。等分，如上方法可選，滿足，……如此繼續(xù)可以得到一列閉區(qū)間{}滿足

故假設(shè)錯誤，即f（x）在R上單調(diào)遞增。

運用閉區(qū)間套定理的關(guān)鍵在于閉區(qū)間套的構(gòu)造，常見的構(gòu)造方法有二分法等。通過二分法構(gòu)造閉區(qū)間套，選擇合適的閉區(qū)間套繼承并傳遞原有閉區(qū)間的性質(zhì)。最后，該性質(zhì)可逐漸傳遞到某個點或者某個鄰域上。閉區(qū)間套定理經(jīng)常可與反證法連用，由此來解決分析上的問題或者完成定理的證明。

4、總結(jié)

實數(shù)理論體系的出現(xiàn)意味著分析從混亂開始走向嚴格，它是整個數(shù)學(xué)分析大廈的基石，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的邏輯與和諧之美。實數(shù)完備性的六大定理不僅是強大的理論支撐，也廣泛應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)問題的解決和其他定理的證明之中。

參考文獻

[1] 數(shù)學(xué)分析 高等教育出版社.陳紀修.於崇.

[2] 關(guān)于實數(shù)完備性定理的用法討論.楊艷.

[3] 論實數(shù)系完備性定理的和諧美.梁俊奇.

篇4

【關(guān)鍵詞】 自然數(shù)集；實數(shù)集；無窮；反證法

對角線論證，可以回答的問題像是：給你無限長的時間，你能否把所有的實數(shù)數(shù)完？而判斷能不能數(shù)完，本質(zhì)上是在比較自然數(shù)與實數(shù)的多少.問題也就等價于探討自然數(shù)集與實數(shù)集大小的關(guān)系.然而兩個集合元素的個數(shù)都是無窮的，如何來比較它們之間元素個數(shù)的關(guān)系呢？看似沒有頭緒的問題，康托卻巧妙地僅僅通過抽象的論證，就證明了這個看似無從入手的問題.

如何比較兩個集合的大小？

討論如何比較兩個集合的大小，先從一個簡單的例子說起，假設(shè)許多觀眾涌入一個禮堂，我們?nèi)绾闻袛嘤^眾數(shù)和座椅數(shù)的關(guān)系？

第一種方法，數(shù)數(shù)法.在觀眾進來之前，我們可以分別數(shù)一數(shù)觀眾與座椅，然后將兩個數(shù)字加以比較，如果這兩個數(shù)一樣，那么就說明觀眾與座椅數(shù)相等.但是這種方法僅限于集合元素可數(shù)的情況下，在無窮集是沒有辦法實現(xiàn)的.

第二種方法，一一對應(yīng)法.觀眾進入禮堂后找座椅坐下，當觀眾全部進入以后，如果剛好把座椅全部坐完，那么人和座椅的數(shù)目就是相等的，在這種狀況下，我們不用通過數(shù)數(shù)就可以判斷兩個集合之間的關(guān)系.而實際上，人們數(shù)數(shù)也是建立在這種一一對應(yīng)的基礎(chǔ)上的，數(shù)數(shù)是把人數(shù)或座椅數(shù)和自然數(shù)做的一一對應(yīng)，一一對應(yīng)的觀念是比自然數(shù)的數(shù)數(shù)更基本的觀念.

喬治?康托對這一概念作出了如下定義：

如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對應(yīng)的關(guān)系，那么，集合M與集合N等價.

為什么（0，1）之間的實數(shù)與全體的實數(shù)一樣多？

將（0，1）線段彎成半圓弧形，圓心為O，半圓下面是一條無限延伸的實數(shù)線.如圖所示.

因為圓弧是由（0，1）線段彎曲而成，所以上面的點仍然代表線段（0，1）上的點.從O點作一條射線，分別交圓弧于A1點，交實數(shù)線于A2點，則A1與A2就是對應(yīng)的，同理可以看出B1與B2對應(yīng)，C1與C2對應(yīng)，而實數(shù)線無窮遠處的點與圓弧的兩個端點對應(yīng)，這樣整個圓弧上的點就和這條無限延伸的實數(shù)線上的點一一對應(yīng)起來，這也就證明了（0，1）集合與實數(shù)集的大小是相等的，（0，1）之間的實數(shù)與全體的實數(shù)一樣多.

為什么實數(shù)永遠數(shù)不完？

判斷實數(shù)能不能數(shù)完，實質(zhì)是比較自然數(shù)集與實數(shù)集之間的大小關(guān)系，因為兩個集合都是無窮集，所以用數(shù)數(shù)的辦法是不可能辦到的，而只能采用一一對應(yīng)的辦法.一一對應(yīng)，也就是建立自然數(shù)與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，因為前面已經(jīng)論證（0，1）之間的實數(shù)與全體的實數(shù)一樣多，所以在這里完全可以用（0，1）之間的實數(shù)代替全體的實數(shù)集.問題轉(zhuǎn)化為比較（0，1）集合與自然數(shù)集之間的大小關(guān)系.

康托的對角線論證，采用的是大家熟悉的反證法，首先假定區(qū)間（0，1）內(nèi)的實數(shù)能夠與自然數(shù)一一對應(yīng)，然后，從這一假定出發(fā)最終推出邏輯矛盾.對應(yīng)關(guān)系我們假設(shè)如下：從（0，1）隨機取一個數(shù)記為a1與自然數(shù)1對應(yīng)，然后再取一個數(shù)記為a2與自然數(shù)2對應(yīng)，依此類推，我們不在乎實數(shù)被取到的順序，而是只在乎最終產(chǎn)生的一一對應(yīng).為了講清楚康托的論證，我們假定存在如下的對應(yīng)關(guān)系：

篇5

概念及其記法

.（2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義

.（3）使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義

能力目標：（1）重視基礎(chǔ)知識的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力

的培養(yǎng)；

（2）啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立

思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；

（3）通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概

括能力和邏輯思維能力；

教學(xué)重點：集合的基本概念及表示方法

教學(xué)難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示

一些簡單的集合

授課類型：新授課

課時安排：2課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

1．簡介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)；

2．教材中的章頭引言；

3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學(xué)家）；

4．“物以類聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）。

二、新課講解：

閱讀教材第一部分，問題如下：

（1）有那些概念？是如何定義的？

（2）有那些符號？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有關(guān)概念（例題見課本）：

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合。

（2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素。

2、常用數(shù)集及其表示方法

（1）非負整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負整數(shù)的集合。記作N

（2）正整數(shù)集：非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+

（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合。記作Z

（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合。記作Q

（5）實數(shù)集：全體實數(shù)的集合。記作R

注意：（1）自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括

數(shù)0。

（2）非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+。Q、Z、R等其它

數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0

的集，表示成Z*

3、元素對于集合的隸屬關(guān)系

（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A

（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

4、集合中元素的特性

（1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，

或者不在，不能模棱兩可。

（2）互異性：集合中的元素沒有重復(fù)。

（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>

注：1、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫。

練習(xí)題

1、教材P5練習(xí)

2、下列各組對象能確定一個集合嗎？

（1）所有很大的實數(shù)。（不確定）

（2）好心的人。（不確定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重復(fù)）

閱讀教材第二部分，問題如下：

1．集合的表示方法有幾種？分別是如何定義的？

2．有限集、無限集、空集的概念是什么？試各舉一例。

（二）集合的表示方法

1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的

方法。

例如，由方程的所有解組成的集合，可以表示為{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

從51到100的所有整數(shù)組成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇數(shù)組成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a與{a}不同：a表示一個元素，{a}表示一個集合，該集合只

有一個元素。

描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條

件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。

格式：{x∈A|P（x）}

含義：在集合A中滿足條件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示為：或

所有直角三角形的集合可以表示為：

注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。

如：{直角三角形}；{大于104的實數(shù)}

（2）錯誤表示法：{實數(shù)集}；{全體實數(shù)}

3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個集合的方法。

注：何時用列舉法？何時用描述法？

（1）有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法。

如：集合；集合{1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}

注：集合與集合是同一個集合

嗎？

答：不是。

集合是點集，集合=是數(shù)集。

（三）有限集與無限集

1、有限集：含有有限個元素的集合。

2、無限集：含有無限個元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。記作Φ，如：

練習(xí)題：

1、P6練習(xí)

2、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

3、用列舉法表示下列集合

①{x∈N|x是15的約數(shù)}{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}寫成{1，2}或{x=1，y=2}

③

④{-1，1}

⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1．集合的有關(guān)概念

（集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無限集、空集）

2．集合的表示方法

（列舉法、描述法、文氏圖共3種）

篇6

關(guān)鍵詞：希爾伯特旅館悖論；無窮集；一一對應(yīng)；等勢；可數(shù)集

希爾伯特旅館內(nèi)設(shè)無限個房間，所有的房間也都客滿了。這時又有一位新客人想投宿。旅館主人就讓1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間，3號房間的客人搬到4號房間，這樣繼續(xù)移下去。這樣一來，新客人就被安排住進了已空出來的1號房間。

再設(shè)想旅館又客滿了，這時又來了無窮多個人想投宿。旅館主人怎么辦呢？他讓1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到4號房間，3號房間的客人搬到6號房間，這樣繼續(xù)下去。現(xiàn)在，所有的單號房間都空出來了，新來的無窮多位客人可以住進去，問題解決了。

這就是大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特提出的著名悖論。雖然叫做悖論，但它在邏輯上是完全正確的，意大利數(shù)學(xué)家伽利略在他的最后一本科學(xué)著作《兩種新科學(xué)》中也提到一個問題：正整數(shù)集{1，2，3，4…}和平方數(shù)集{1，4，9，16…}哪個大呢？由高中的集合知識我們知道集合的真子集的元素個數(shù)一定小于全集元素個數(shù)，那么奇數(shù)號房間數(shù)應(yīng)小于房間總數(shù)。問題出現(xiàn)在哪呢？因為這是一個與無限有關(guān)的悖論，有限集合的真子集元素的個數(shù)一定小于全集元素個數(shù)。而無限集合與有限集合的性質(zhì)并不相同。無限集合與無限集合又應(yīng)如何比較呢？無限集是如何定義的呢？高中集合說集合中元素是有限的，集合叫有限集，集合中元素是無限的，那么集合就叫無限集。我們熟悉的實數(shù)集、自然數(shù)集都是無限集。那么無限集的本質(zhì)是什么？它是否具備有限集合所具有的性質(zhì)。

集合是初中升高中所學(xué)的第一個數(shù)學(xué)概念，這門研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被稱為集合論，它是數(shù)學(xué)的一個基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個極其獨特的地位。其創(chuàng)始人是德國數(shù)學(xué)家康托爾，他也以其集合論的成就被列為二十世紀數(shù)學(xué)發(fā)展史上影響最深的學(xué)者之一。十七世紀數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分。一些基本概念如極限、實數(shù)、級數(shù)等的研究都涉及無窮多個元素組成的集合，這樣就導(dǎo)致了集合論的建立，狄利克雷、黎曼等人都研究過這方面的問題，但只有康托爾在這一過程中系統(tǒng)發(fā)展了一般點集的理論，并開拓了一個全新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。

1872年康托爾開始提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。最能顯示出他獨創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數(shù)問題的研究。他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集，用字母N來表示。”康托爾開始關(guān)注這樣的問題：像自然數(shù)那樣的無窮集合和像實數(shù)集那樣的無窮集合存在著怎樣的關(guān)系？他提出用一一對應(yīng)準則來比較無窮集元素的個數(shù)。1873年11月29日，康托爾在給戴德金的信中將上述問題以更明顯的形式提出來：全體正整數(shù)集合N和全體實數(shù)集合R能否建立一一對應(yīng)？這個問題看起來似乎不成問題，因為N是離散的，R是連續(xù)的，但康托爾認為這個問題也許并不是那么簡單，不能過分相信直覺。

1878年康托爾明確提出了“基數(shù)”或“等勢”的概念：給定兩個集合M和N，如果能根據(jù)某種規(guī)則在它們之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系（即對于其中一集合的每個元素，另一個集合中有且僅有一個元素與之對應(yīng)），就稱這兩個集合有相同的“基數(shù)”或者說“等勢”。由于一個無窮集可以和它的真子集建立一一對應(yīng)，如正整數(shù)和正偶數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，也就是說無窮集合可以和它的真子集等勢，即個數(shù)相同。這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾，而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征。在這個定義下，正整數(shù)集{1，2，3，4…}和正偶數(shù)集{2，4，6，8…}之間具有相同個數(shù)，他稱其為可數(shù)集。可數(shù)集（countable set）是能與自然數(shù)集N建立一一對應(yīng)的集合，又稱可列集。1895年他證明了有理數(shù)集是可數(shù)的，他還證明了全體實代數(shù)的集合也是可數(shù)的，而直覺上實代數(shù)似乎要比有理數(shù)多得多。他證明了實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集。他證明在無窮集之間還存在著無窮多個層次，對無窮大建立了一個完整的序列，他稱為“超限數(shù)”，他用希伯萊字母表中第一個字母“阿列夫”來表示超限數(shù)，“阿列夫零”表示自然數(shù)集的基數(shù)，2的“阿列夫零”次冪表示實數(shù)集的基數(shù)，最終他建立了關(guān)于無限的阿列夫譜系，它可以無限延長下去。這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實無限思想。康托爾的實無限思想在當時遭到一些數(shù)學(xué)家的批評與攻擊。然而康托爾并未就此止步，他以前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮。他在實無限觀念基礎(chǔ)上進一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠的理論。這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。

中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的只是集合論的最基礎(chǔ)知識，對于復(fù)雜而重要的無窮集合的性質(zhì)課本上并未涉及。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生或許覺得一切都很簡單，根本無法想象它在誕生之日起所遭到的激烈反對，康托爾成為這一激烈爭論的犧牲品，在猛烈的攻擊與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷入精神崩潰。然而集合論前后歷經(jīng)二十余年，最終獲得了世界的公認。康托爾集合論的建立，不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一座高聳的里程碑，甚至還是人類思維發(fā)展史上的一座里程碑。

參考文獻：

[1]葉飛.再談對中學(xué)生數(shù)學(xué)“無限”觀念的教育.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007.

篇7

[關(guān)鍵詞]:復(fù)數(shù)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想 應(yīng)用

一、前言

教學(xué)過程是一種特殊的認知過程，通過數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想，會有利于完善和發(fā)展認知結(jié)構(gòu)，有利于開發(fā)智力和發(fā)展數(shù)學(xué)能力，也能促進數(shù)學(xué)觀念的形成，為此，本文將探索“復(fù)數(shù)教學(xué)如何突出數(shù)學(xué)思想”的問題。

基本數(shù)學(xué)思想是高度概括得到的，它們的概括性是有層次之分的，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中最高層次的基本數(shù)學(xué)思想是：“公理化思想”、“結(jié)構(gòu)思想”和“集合對應(yīng)思想”。因此，筆者認為，復(fù)數(shù)教學(xué)突出數(shù)學(xué)思想可歸結(jié)為突出“公理化思想”、“結(jié)構(gòu)思想”和“集合對應(yīng)思想”。

數(shù)學(xué)思想體系是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)和核心，于是，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，理所當然地應(yīng)該給予數(shù)學(xué)思想的教學(xué)以重要的甚至核心的地位，筆者認為，對復(fù)數(shù)全章的教學(xué)應(yīng)采取科學(xué)的的教學(xué)方法，以達到突出數(shù)學(xué)思想的目的。

二、數(shù)學(xué)思想在復(fù)數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

1.通讀掌握

通讀掌握，是指通讀復(fù)數(shù)全章內(nèi)容并掌握全章的邏輯演繹過程，經(jīng)教師啟發(fā)、引導(dǎo)、總結(jié)使學(xué)生掌握了該章的大致邏輯演繹過程：由記數(shù)的需要建立了自然數(shù)，自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N；為表示相反意義的量滿足記數(shù)法的要求把N擴充到整數(shù)集Z；為解決測量、等分的需要把Z擴充到有理數(shù)集Q；為表示“無公度線段”的需要把Q擴充到實數(shù)集R；由解方程的需要把R擴充到復(fù)數(shù)集C，由復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R且a是實部；b是虛部) 用r(cosθ+isinθ)表示復(fù)數(shù)的三角形式。由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)的加、減、乘（包括乘方）、除四則運算；由復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的乘、除、乘方、開方運算解方程。這樣，使學(xué)生從整體上對全章產(chǎn)生了印象、形象、想象，最后能用語言闡述全章的邏輯演繹過程，不僅為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)奠定了基礎(chǔ)，而且還重點突出了公理化思想。

2.深刻理解

深刻理解是指深刻理解復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的相等、其軛復(fù)數(shù)、復(fù)平面、向量、復(fù)數(shù)的模和輻角、二項方程的概念。概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，概念的教學(xué)過程是“引入、理解、深化、應(yīng)用”，引入是指引入新概念的必要性及從需要、類化、類比、實例等方法引入新概念；理解是指理解概念的形成過程；深化是指明確概念的內(nèi)涵和外延，概念在結(jié)構(gòu)中所處的位置及引伸、聯(lián)系、變化。例如，通過啟發(fā)、引導(dǎo)使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的引入是解方程的需要，復(fù)數(shù)的形成是i與實數(shù)的線性組合（這里i2=-1,實數(shù)與i進行四則運算時保持實數(shù)集的加、乘運算律）；復(fù)數(shù)的內(nèi)涵是a+bi(a,b∈R)，它的外延是當b=0時就是實數(shù)、當b≠0時叫做虛數(shù)，復(fù)數(shù)在數(shù)系表中處于最高層次的位置，它有代數(shù)、幾何（點或向量）、三角三種表現(xiàn)形式；復(fù)數(shù)成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中普遍使用的一種數(shù)學(xué)工具，因此，必須重點突出其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想。

3.分段進行

分段進行，是指將復(fù)數(shù)的運算分成兩段進行教學(xué)，第一段是以復(fù)數(shù)的代數(shù)形式來表述復(fù)數(shù)的概念：先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法和乘法滿足實數(shù)集的運算律，又規(guī)定了復(fù)數(shù)的加減法是復(fù)數(shù)加法的逆運算、復(fù)數(shù)除法是復(fù)數(shù)乘法的逆運算，從而得出復(fù)數(shù)的減法和除法運算法則，從復(fù)數(shù)的四則運算結(jié)果得出：任意兩個復(fù)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍是復(fù)數(shù)。第二段是以復(fù)數(shù)的三角形式來表述復(fù)數(shù)的概念，由復(fù)數(shù)（代數(shù)形式）的乘法運算法則和運算律及兩角和的正、余弦公式推導(dǎo)出復(fù)數(shù)（三角形式）的乘法運算法則。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，由兩個復(fù)數(shù)（三角形式）的積推廣到N個復(fù)數(shù)（三角形式）的積，當這N個復(fù)數(shù)都相等時就得出復(fù)數(shù)（三角形式）的乘方法則，根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義得出復(fù)數(shù)（三角形式）的除法的運算法則，根據(jù)n次方根的定義和復(fù)數(shù)（三角形式）相等的條件及正、余弦函數(shù)的周期性得出復(fù)數(shù)（三角形式）的開方運算法則，通過這段教材（法則、例題、習(xí)題）的教學(xué)，不僅為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)抓住了重點，使學(xué)生能牢固掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，并積累解題經(jīng)驗，提高分析問題和解決問題的能力，而且還重點突出了集合間的運算關(guān)系思想和數(shù)學(xué)模型思想。

4.加強聯(lián)系

加強聯(lián)系是指通過本章教學(xué)，把一個個知識點發(fā)展成知識“鏈”，形成知識網(wǎng)絡(luò)，研究各知識點之間轉(zhuǎn)化的條件，用聯(lián)系、運動、變化的觀點來研究各知識點之間的轉(zhuǎn)化，展示給學(xué)生一個動態(tài)的知識“再生產(chǎn)”過程，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)與代數(shù)、平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等的聯(lián)系。如復(fù)數(shù)與實數(shù)、復(fù)數(shù)與方程、復(fù)數(shù)與因式分解、復(fù)數(shù)的模與實數(shù)的絕對值、復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)歸納法、復(fù)數(shù)與向量、點與向量、復(fù)數(shù)平面與坐標平面、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方的幾何意義、復(fù)數(shù)與它的模和輻角、復(fù)數(shù)與兩角和的正、余弦及用復(fù)數(shù)求角、兩點間距離、曲線方程、動點軌跡等，這樣，不僅使學(xué)生思路開闊，善于聯(lián)想，有助于發(fā)展認知結(jié)構(gòu)，提高靈活運用和綜合運用數(shù)學(xué)知識能力，而且還重點突出了變換思想和集合間的關(guān)系思想。

5.提煉思想

提煉思想是指啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生從本章數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法中提煉數(shù)學(xué)思想。（1）從本章的邏輯演繹過程中可提煉出公理化思想，使學(xué)生基本掌握；由“群―環(huán)―域”和由“良序―全序―偏序”過程中，可向?qū)W生滲透公理化思想。（2）從數(shù)的擴充過程中可提煉出整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)思想，使學(xué)生掌握，可向?qū)W生滲透：自然數(shù)集對乘法形成群結(jié)構(gòu)思想，整數(shù)集對加、乘法形成環(huán)結(jié)構(gòu)思想；自然數(shù)集是良序集，整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集是偏序集，由良序、全序、偏序構(gòu)成序結(jié)構(gòu)思想；從復(fù)數(shù)平面中可提煉出二維向量空間思想，使學(xué)生掌握。（3）本章中有豐富的數(shù)學(xué)模型,如N,Z,Q,R,a+bi(a,b∈R),z(a,b), oz,r(cosθ+isinθ),平行四邊形法則(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，d=(x2-x1)2+(y2-y1)2，[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosθ+isinθ)(n∈N)等，從中可提煉出數(shù)學(xué)模型思想，使學(xué)生掌握；從復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方運算中可提煉出集合間運算和復(fù)數(shù)集、復(fù)平面、以原點為始點的二維向量間的一一對應(yīng)及曲線與方程等可提煉出集合間的等價關(guān)系思想；從復(fù)數(shù)集包含實數(shù)集及邏輯演繹等可提煉出序關(guān)系思想；從復(fù)數(shù)與點的互化、復(fù)數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為向量的運算等可提煉數(shù)學(xué)思想的方法，從而進一步促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的形成和發(fā)展。

三、結(jié)束語

通過以上的教學(xué)，學(xué)生能從整體上較好地掌握全章的內(nèi)容以及以復(fù)數(shù)為出發(fā)點的有條理地串聯(lián)全章各個知識點及它們之間的聯(lián)系，促進學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的完善和發(fā)展，開發(fā)學(xué)生的智力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，使學(xué)生逐漸產(chǎn)生了推理意識、整體意識、抽象意識、化歸意識等，這將促進學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成。

參考文獻:

[1]陳福平.在排列組合單元進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的認識[J].數(shù)學(xué)通報，2001，(8)：19-21.

篇8

對于兩個集合M與N,它們的構(gòu)成一般不同,我們忽略它們的構(gòu)成,而考慮一個自然的問題:這兩個集合的元素的數(shù)量哪個多哪個少?

如果集合M是有限的,那么它的元素的數(shù)量可以由某個自然數(shù)(即其元素的數(shù)目)來表達。在這種情形之下,為了比較集合M與N的數(shù)量,只要計算一下M與N的元素的個數(shù),然后比較一下所得到的這兩個數(shù)目大小就可以了。同樣,假若集合M與N中,一個是有限的,另一個是無限的,那么很自然地可以認為無限集合包含著比有限集合更多的元素。然而,如果兩個集合M與N都是無限集合,那么用簡單地計算元素的個數(shù)的方法是什么也得不到的,所以立刻引起這樣的問題,即是否所有的無限集合的元素的數(shù)量都是一樣的,或者是否存在元素數(shù)量互相不同的無限集合?假如后者是正確的,那么用什么方法可以比較無限集合的元素數(shù)量呢?這就需要“一一對應(yīng)”的思想。

數(shù)學(xué)中還有一類非常重要的對應(yīng),那就是映射。集合A到集合B的一個映射是A到B的滿足下列條件的一個對應(yīng):對于A中每一個元素,B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)。特別地,如果A中不同的元素對應(yīng)于B中的元素也不同,就稱為單射,如果B中每一個元素都有A中一個元素對應(yīng)之,則稱滿射。同時具備兩點的映射稱為一一映射。映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個基本的概念。數(shù)學(xué)中的映射主要有以下幾種:

①數(shù)集到數(shù)集里的映射。函數(shù)就是這類映射。

②數(shù)集到點集的映射。實數(shù)集到數(shù)軸上的點集的映射,復(fù)數(shù)集到平面點集的映射。它是我們實現(xiàn)代數(shù)、幾何問題互化的理論根基。

③幾何圖形集合到數(shù)集里的映射。在幾何測量中,圖形集合中每一個圖形與一個非負實數(shù)―這圖形的測度相對應(yīng)。

④點集到點集里的映射。幾何變換就是這種映射。

數(shù)(數(shù)組)與形的映射對應(yīng)導(dǎo)致數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)和形(或者說數(shù)量關(guān)系和空間形式)都是數(shù)學(xué)的研究對象,并且由數(shù)學(xué)中不同的分支學(xué)科來研究。17世紀以后,由于建立了實數(shù)集與直線上點集的一一對應(yīng)、有序?qū)崝?shù)對(x,y)的集合與坐標平面上點集的一一對應(yīng),從而在二元方程f(x,y)=0的集合與平面曲線集合之間建立了對應(yīng)關(guān)系,實現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合,導(dǎo)致解析幾何學(xué)的產(chǎn)生,數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì),圖形性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,幾何問題能用代數(shù)方法來研究,代數(shù)由于運用幾何模型而具有鮮明的直觀性。正如戈丁所說:“解析幾何是下面的事實的系統(tǒng)應(yīng)用:在實數(shù)與直線上的點之間,在實數(shù)與平面上的點之間,以及在實數(shù)三元組與空間中的點之間,都存在著自然的對應(yīng)。于是數(shù)的計算可以用幾何的方式來解釋,而幾何問題可以重新表述為代數(shù)問題。”例如,常常用線段圖使數(shù)量關(guān)系形象化,其實質(zhì)就是用線段的長短表示數(shù)量的大小,借助線段長度的和、差、倍、分關(guān)系表示數(shù)量關(guān)系。由于蘊涵在題意中的數(shù)量關(guān)系直觀地表示出來了,因而能調(diào)動學(xué)生的形象思維,以支持他們的邏輯思維活動,這樣就有利于分析題意,從而找到解題途徑。數(shù)形結(jié)合對于初步認識分數(shù)幾乎是不可缺少的,可讓學(xué)生對分數(shù)有直觀感受。

形與形的映射對應(yīng)導(dǎo)致變換思想。變換思想主要有數(shù)的變換、式的變換、名數(shù)的變換與形的變換等。例如,分數(shù)與小數(shù)、百分數(shù)的互化,假分數(shù)與帶分數(shù)或整數(shù)的互化,都是數(shù)的變換。式的變換的目的是為了簡便計算,它是以運算律、運算性質(zhì)作為變換的依據(jù)。名數(shù)的變換反映了用不同的計量單位量同一個量時得到的形式上不同的結(jié)果。形的變換有分割、拼合、對稱、旋轉(zhuǎn)、平移等。

利用對應(yīng)思想可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)換而有效解決一些看上去不易解決的問題。

例1:有40支乒乓球隊參加比賽。比賽采用淘汰制,最后產(chǎn)生冠軍隊。共需賽多少場?

分析:每賽一場淘汰一支球隊,每淘汰一支球隊就得賽一場。這樣,就可以在安排的賽場集合和被淘汰的球隊集合之間建立一一對應(yīng)。因此,這兩個有限集的元素個數(shù)相等。為了產(chǎn)生1個冠軍隊,40支球隊需要淘汰40-1=39支球隊。因此,也就需要安排39場比賽。

在這里,由于我們發(fā)現(xiàn)了兩個有限集之間的一一對應(yīng)關(guān)系,使得我們有可能將求一個有限集的元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求與之對等的另一個有限集元素的個數(shù)。

例2:如圖1,是一個城區(qū)的街道示意圖,問從A到B最近路線有幾種走法?

分析:所謂的最近走法,就是只按兩個方向走:向下(記作|)、向左(記作―)。顯然一種走法就對應(yīng)著“― ― ― ― | | | |”的一個排列,而它們的一個排列也同樣對應(yīng)著一種走法,是一個一一對應(yīng)。而排列的條件是8個位置選出4個(不區(qū)分)位置放“―”,剩下的安排“|”,共C種。

例3:集合S={1,2,…,16}的五元子集S1={a,a,a,a,a}中,任何兩元素之差不為1,這樣的子集S有多少個?

分析:由于S中的每個元素都在S中且任兩個之差不為1,不妨設(shè)a,a,a,a,a為上升排列,作子集S′={a,a-1,a-2,a-3,a-4},則S′與S一一對應(yīng),而S′是{1,2,…,12}的五元子集,故共有C個。

實際上,此問題等價于:有16名學(xué)生,其中女生5名,要排成一排,其中任何兩名女生不得相鄰,問共有多少種不同的排法?

對應(yīng)是人的思維對兩個集合間聯(lián)系的把握,對應(yīng)將各種類別、各種層次的對象聯(lián)系起來,呈現(xiàn)出它們之間某些相似或相同的屬性,使各種數(shù)學(xué)對象能夠相互結(jié)合、轉(zhuǎn)化。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該掌握對應(yīng)思想。

參考文獻:

篇9

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般來說要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用(包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運用)等階段,而學(xué)生對抽象性東西的理解、掌握卻是最困難的,特別是職高生,他們的思維能力較弱,認知水平較低。所以,職高數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的一個重要內(nèi)容,就是要想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景,克服概念的抽象性。

根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式,結(jié)合學(xué)生的認知特點,我們可以用下列幾種方法來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景。

一、從學(xué)生的認知水平出發(fā),創(chuàng)設(shè)聯(lián)系實際的問題情景

因為數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展有各自不同的途徑,有的是直接從現(xiàn)實生活的模型中抽象出來的,所以,數(shù)學(xué)概念教學(xué)要根據(jù)學(xué)生的認知水平,盡可能地模擬客觀實際情況,讓學(xué)生能從熟悉的生活、生產(chǎn)和其它活動的實際問題中,經(jīng)歷由感性到理性、由實踐到認識的過程,然后形成準確、完整的概念。因此,教師提供給學(xué)生所學(xué)概念的直觀背景材料,顯然應(yīng)該是學(xué)生熟悉的,且是能從中親身體驗思維加工過程的。

如在“角的概念的推廣”教學(xué)中,“推廣”的主要內(nèi)容是:從原有的0°―360°的角,推廣到正、負任意大、小的角。重點的、也是首先的,是解決正、負角問題。這一概念,可看成是原有0°―360°角內(nèi)部衍生出來的,但更多的成分可看成是實際現(xiàn)實模型中抽象出來的,因為現(xiàn)實生活中普遍存在兩種方向相反的角。因此,本概念教學(xué)的設(shè)計重心是:著力選擇生活模型抽象出正、負角。

選擇什么模型呢?進入我思考范圍的有:A例:時鐘的指針形成的角。B例:用扳手對螺帽擰緊、擰松形成的角。C例:醫(yī)院B超顯示屏上扇形面上掃描線,左轉(zhuǎn)與右轉(zhuǎn)運動形成的角,等等。C例符合概念模型,但不為大多數(shù)學(xué)生所熟悉,非但不能較好地為概念教學(xué)服務(wù),而且要增加B超掃描屏幕的解釋,影響教學(xué)進程,不取為好。A例雖然能演示相反方向的角,但缺乏現(xiàn)實生活意義,不足以說明正、負角引進的必要性,也不可取。B例事例簡單、鮮明、突出、有真實感,在擰緊、擰松中,學(xué)生易感知兩種相反方向角的形成,是一個好例子。

這里,學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是正、負數(shù)引進中的原有認識:用正、負區(qū)分具有相反意義的兩個量,即對正、負數(shù)產(chǎn)生的認識。學(xué)生在感知扳手對螺帽的擰緊、擰松過程中,能較好地認識到現(xiàn)實生活中是有兩種不同方向的角,并且原有的記述方法已經(jīng)不能區(qū)分出這兩種角。在此基礎(chǔ)上,我設(shè)計以下問題進行教學(xué):

1.怎樣區(qū)分這兩種不同方向的角呢?

2.你遇到過類似的兩種相反意義的量的問題嗎?

3.它是如何解決的呢?能用它的方法解決本問題嗎?

如此,順利地進行角的概念的推廣教學(xué)。

二、回顧已有概念的擴展過程,創(chuàng)設(shè)再擴展概念的問題情景

有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴展,若能揭示已有概念的擴展規(guī)律,便可以水到渠成的引入新概念。

如復(fù)數(shù)概念的教學(xué),先回顧已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴展的事實:引進負數(shù)數(shù)集擴展到有理數(shù),引進無理數(shù)數(shù)集擴展到實數(shù)。后提出問題:

1.這些數(shù)集擴展的原因及其規(guī)律如何?(實際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運算無法進行)

數(shù)集的擴展過程體現(xiàn)了如下規(guī)律:

(1)每次擴展都增加規(guī)定了新的元素;

(2)在原數(shù)集內(nèi)成立的運算規(guī)律,在新數(shù)集內(nèi)仍然成立;

(3)每次擴展后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題。

有了上述準備后,教師提出問題:負數(shù)不能開平方的事實說明實數(shù)集不夠完善,因而提出將實數(shù)集擴充為一個更為完整的數(shù)集的必要性。那么,怎樣解決這個問題呢?

2.借鑒上述規(guī)律,為了擴充實數(shù)集,引入新元素i,并作相關(guān)的規(guī)定,這樣學(xué)生對i的引入就不會感到疑惑,對復(fù)數(shù)集概念的建立也不會覺得突然,使思維很自然地步入知識發(fā)生和形成的軌道中,順利地進行算數(shù)概念的擴展,同時為概念的理解和進一步研究奠定基礎(chǔ)。

三、引導(dǎo)新、舊概念對比,創(chuàng)設(shè)概念間遷移的問題情景

學(xué)生感知和理解事物的一般方式是由學(xué)生的已有認知結(jié)構(gòu)來決定的。新的概念不是被同化到現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)中,就是改造這個現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)以接納新概念。所以,在概念教學(xué)中,教師要充分調(diào)動學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)。許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系,教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點設(shè)計成問題情景,引導(dǎo)學(xué)生將新的概念轉(zhuǎn)化為已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念,建立起新舊概念間的聯(lián)系,便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。

四、通過具體實驗,創(chuàng)設(shè)概念直觀化模型的問題情景

篇10

sinx是對邊比斜邊。sinx函數(shù)，即正弦函數(shù)，三角函數(shù)的一種。正弦函數(shù)是三角函數(shù)的一種。對于任意一個實數(shù)x都對應(yīng)著唯一的角（弧度制中等于這個實數(shù)），而這個角又對應(yīng)著唯一確定的正弦值sinx，這樣，對于任意一個實數(shù)x都有唯一確定的值sinx與它對應(yīng)，按照這個對應(yīng)法則所建立的函數(shù)，表示為y=sinx，叫做正弦函數(shù)。

函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對A中的元素x施加對應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示，函數(shù)概念含有三個要素：定義域A、值域B和對應(yīng)法則f。其中核心是對應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

（來源：文章屋網(wǎng) ）