一、教學(xué)環(huán)節(jié)

對(duì)幾何定理的教學(xué)，我們?cè)诩兄v授時(shí)分5個(gè)環(huán)節(jié)。第1、2環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3環(huán)節(jié)是基本推理模式，第4環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環(huán)節(jié)是定理在解題分析時(shí)的導(dǎo)向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設(shè)計(jì)如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→組合定理→聯(lián)想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求

我們認(rèn)為，能正確書寫證明過程的前提是學(xué)會(huì)對(duì)幾何定理的書寫，因?yàn)閹缀味ɡ淼姆?hào)語言是證明過程中的基本單位。因而在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關(guān)的定理），集中展示給學(xué)生。

教師在教途上并不是一帆風(fēng)順的，尤其在農(nóng)村中學(xué)，有時(shí)由于教學(xué)上的需要，往往到了初三，也會(huì)出現(xiàn)面對(duì)陌生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學(xué)生會(huì)證的，卻不會(huì)書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結(jié)論，但講不出定理的內(nèi)容；更多的學(xué)生面對(duì)幾何題在證明時(shí)憑感覺。面對(duì)著時(shí)間緊、任務(wù)重，怎么辦呢？經(jīng)過一番苦思冥想，針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄，決定狠抓“定理教學(xué)”。通過一段時(shí)間的復(fù)習(xí)，學(xué)生普遍反映在證題和書寫時(shí)有了“依靠”，也發(fā)現(xiàn)了定理的價(jià)值，基本樹立了“用定理”的意識(shí)。

那么，學(xué)生在證題時(shí)到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點(diǎn)：

⑴不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進(jìn)行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密，就因?yàn)槿狈?duì)定理必要的理解，不會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)，從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。

⑵找不到運(yùn)用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對(duì)應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系，思考時(shí)把定理和圖形分割開來。對(duì)于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué)生就難以思考。

⑶推理過程因果關(guān)系模糊不清。

針對(duì)以上的原因，我們?cè)诮虒W(xué)中采取了一些自救對(duì)策。

一、教學(xué)環(huán)節(jié)

對(duì)幾何定理的教學(xué)，我們?cè)诩兄v授時(shí)分5個(gè)環(huán)節(jié)。第1、2環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3環(huán)節(jié)是基本推理模式，第4環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環(huán)節(jié)是定理在解題分析時(shí)的導(dǎo)向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設(shè)計(jì)如下：

基本要求→重新建立表象→推理模式→組合定理→聯(lián)想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求

我們認(rèn)為，能正確書寫證明過程的前提是學(xué)會(huì)對(duì)幾何定理的書寫，因?yàn)閹缀味ɡ淼姆?hào)語言是證明過程中的基本單位。因而在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關(guān)的定理），集中展示給學(xué)生。

摘要：教師在教學(xué)時(shí)經(jīng)常需要面對(duì)不同的學(xué)生，如何根據(jù)不同的情況采取相應(yīng)的措施顯得非常必要。一些學(xué)生到了初三仍對(duì)幾何證明題書寫感到困難，思考時(shí)沒有明確的目的。本文針對(duì)這些情況，充分重視了“定理教學(xué)”，采取了先集中講授再平時(shí)滲透的方法，提出了從定理的基本要求出發(fā)，通過建立表象、組合定理、聯(lián)想定理等教學(xué)對(duì)策，從而使學(xué)生具備“用定理”的意識(shí)。

關(guān)鍵詞：建立表象、組合定理、聯(lián)想定理

教師在教途上并不是一帆風(fēng)順的，尤其在農(nóng)村中學(xué)，有時(shí)由于教學(xué)上的需要，往往到了初三，也會(huì)出現(xiàn)面對(duì)陌生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學(xué)生會(huì)證的，卻不會(huì)書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結(jié)論，但講不出定理的內(nèi)容；更多的學(xué)生面對(duì)幾何題在證明時(shí)憑感覺。面對(duì)著時(shí)間緊、任務(wù)重，怎么辦呢？經(jīng)過一番苦思冥想，針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄，決定狠抓“定理教學(xué)”。通過一段時(shí)間的復(fù)習(xí)，學(xué)生普遍反映在證題和書寫時(shí)有了“依靠”，也發(fā)現(xiàn)了定理的價(jià)值，基本樹立了“用定理”的意識(shí)。

那么，學(xué)生在證題時(shí)到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點(diǎn)：

⑴不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進(jìn)行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密，就因?yàn)槿狈?duì)定理必要的理解，不會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)，從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。

⑵找不到運(yùn)用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對(duì)應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系，思考時(shí)把定理和圖形分割開來。對(duì)于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué)生就難以思考。

教師在教途上并不是一帆風(fēng)順的，尤其在農(nóng)村中學(xué)，有時(shí)由于教學(xué)上的需要，往往到了初三，也會(huì)出現(xiàn)面對(duì)陌生學(xué)生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學(xué)生會(huì)證的，卻不會(huì)書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結(jié)論，但講不出定理的內(nèi)容；更多的學(xué)生面對(duì)幾何題在證明時(shí)憑感覺。面對(duì)著時(shí)間緊、任務(wù)重，怎么辦呢？經(jīng)過一番苦思冥想，針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差、底子薄，決定狠抓“定理教學(xué)”。通過一段時(shí)間的復(fù)習(xí)，學(xué)生普遍反映在證題和書寫時(shí)有了“依靠”，也發(fā)現(xiàn)了定理的價(jià)值，基本樹立了“用定理”的意識(shí)。

那么，學(xué)生在證題時(shí)到底是由哪些原因造成思維受阻，產(chǎn)生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點(diǎn)：

⑴不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進(jìn)行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密，就因?yàn)槿狈?duì)定理必要的理解，不會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)，從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。

⑵找不到運(yùn)用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對(duì)應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系，思考時(shí)把定理和圖形分割開來。對(duì)于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué)生就難以思考。

⑶推理過程因果關(guān)系模糊不清。

針對(duì)以上的原因，我們?cè)诮虒W(xué)中采取了一些自救對(duì)策。

現(xiàn)行高中第五章"平面向量"是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容之一。該內(nèi)容的引入既豐富了高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，又體現(xiàn)了向量作為數(shù)學(xué)工具的重要性。通過利用向量去解決一些實(shí)際問題，深化了數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，為更好地學(xué)好高中數(shù)學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。向量的基礎(chǔ)知識(shí)較多，且與其他很多部分知識(shí)都有聯(lián)系，如向量與函數(shù)的聯(lián)系、向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、向量與立體幾何的聯(lián)系、向量與解析幾何的聯(lián)系等。因此，有必要加強(qiáng)對(duì)向量這一章節(jié)的進(jìn)一步研究和總結(jié)。

一、從運(yùn)算的角度來講，向量可分為三種運(yùn)算

（一）、幾何運(yùn)算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運(yùn)算問題，從中去體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

（二）、代數(shù)運(yùn)算

1、加法、減法的運(yùn)算法則；2、實(shí)數(shù)與向量乘法法則；3、向量數(shù)量積運(yùn)算法則。

【摘要】本文通過對(duì)高中第五章"平面向量"的研究，從運(yùn)算的角度，教學(xué)內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)，本章的特點(diǎn)三個(gè)方面進(jìn)行了總結(jié)，得出了五個(gè)方面的教學(xué)體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】平面向量；數(shù)形結(jié)合；向量法；教學(xué)體會(huì)

現(xiàn)行高中第五章"平面向量"是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容之一。該內(nèi)容的引入既豐富了高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，又體現(xiàn)了向量作為數(shù)學(xué)工具的重要性。通過利用向量去解決一些實(shí)際問題，深化了數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，為更好地學(xué)好高中數(shù)學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。向量的基礎(chǔ)知識(shí)較多，且與其他很多部分知識(shí)都有聯(lián)系，如向量與函數(shù)的聯(lián)系、向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、向量與立體幾何的聯(lián)系、向量與解析幾何的聯(lián)系等。因此，有必要加強(qiáng)對(duì)向量這一章節(jié)的進(jìn)一步研究和總結(jié)。

一、從運(yùn)算的角度來講，向量可分為三種運(yùn)算

（一）、幾何運(yùn)算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運(yùn)算問題，從中去體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

【摘要】本文通過對(duì)高中第五章"平面向量"的研究，從運(yùn)算的角度，教學(xué)內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)，本章的特點(diǎn)三個(gè)方面進(jìn)行了總結(jié)，得出了五個(gè)方面的教學(xué)體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】平面向量；數(shù)形結(jié)合；向量法；教學(xué)體會(huì)

現(xiàn)行高中第五章"平面向量"是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容之一。該內(nèi)容的引入既豐富了高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，又體現(xiàn)了向量作為數(shù)學(xué)工具的重要性。通過利用向量去解決一些實(shí)際問題，深化了數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，為更好地學(xué)好高中數(shù)學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。向量的基礎(chǔ)知識(shí)較多，且與其他很多部分知識(shí)都有聯(lián)系，如向量與函數(shù)的聯(lián)系、向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、向量與立體幾何的聯(lián)系、向量與解析幾何的聯(lián)系等。因此，有必要加強(qiáng)對(duì)向量這一章節(jié)的進(jìn)一步研究和總結(jié)。

一、從運(yùn)算的角度來講，向量可分為三種運(yùn)算

（一）、幾何運(yùn)算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運(yùn)算問題，從中去體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

摘要：本文通過對(duì)高中第五章"平面向量"的研究，從運(yùn)算的角度，教學(xué)內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)，本章的特點(diǎn)三個(gè)方面進(jìn)行了總結(jié)，得出了五個(gè)方面的教學(xué)感悟。

關(guān)鍵詞：平面向量；數(shù)形結(jié)合；向量法；教學(xué)感悟

現(xiàn)行高中第五章"平面向量"是高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容之一。該內(nèi)容的引入既豐富了高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，又體現(xiàn)了向量作為數(shù)學(xué)工具的重要性。通過利用向量去解決一些實(shí)際問題，深化了數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性，為更好地學(xué)好高中數(shù)學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。向量的基礎(chǔ)知識(shí)較多，且與其他很多部分知識(shí)都有聯(lián)系，如向量與函數(shù)的聯(lián)系、向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、向量與立體幾何的聯(lián)系、向量與解析幾何的聯(lián)系等。因此，有必要加強(qiáng)對(duì)向量這一章節(jié)的進(jìn)一步研究和總結(jié)。

一、從運(yùn)算的角度來講，向量可分為三種運(yùn)算

（一）、幾何運(yùn)算

本章教材給出了三角形法則，平行四邊形法則，多邊形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運(yùn)算問題，從中去感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

《求最大值和最小值的方法》一書中，已對(duì)微分理論進(jìn)行了比較系統(tǒng)的探討。他把直線平面坐標(biāo)應(yīng)用于幾何學(xué)也早于笛卡兒，在其所著〈平面及空間位置理論的導(dǎo)言〉中，最早提出了一次方程代表直線，二次方程代表截線，對(duì)一次與二次方程的一般形式，也進(jìn)行了研究。費(fèi)馬還研究了對(duì)方程ax2+1=Y2整數(shù)解的問題。得出了求導(dǎo)數(shù)所有約數(shù)的系統(tǒng)方法。

著名的費(fèi)馬大定理是費(fèi)馬提出的至今尚未解決的問題。1637年費(fèi)馬提出：“不可能把一個(gè)整數(shù)的立方表示成兩個(gè)立方的和，把一個(gè)四次方冪表示成兩個(gè)四次方冪的和，一般地，不可能把任一個(gè)次數(shù)大于2的方冪表示成兩個(gè)同方冪的和。”1665年這一定理提出后，引起了許多著名數(shù)學(xué)家的關(guān)注，至今尚在研究如何證明它的成立，但始終毫無結(jié)果。

費(fèi)馬在光學(xué)方面，確立了幾何光學(xué)的重要原理，命名為費(fèi)馬原理。這一原理是幾何光學(xué)的最重要基本理論之一，對(duì)于笛卡兒的“光在密媒質(zhì)中比在疏媒質(zhì)中傳播要快”的觀點(diǎn)給予了有力的反駁，把幾何光學(xué)的發(fā)展推向了新的階段。

幾何光學(xué)已有悠久的發(fā)展歷史。公元前400年，我國(guó)《墨經(jīng)》中便有光的直線傳播和各種面鏡對(duì)光的反射的記載。公元100年亞歷山大里亞的希羅（Hero）曾提出過光在兩點(diǎn)之間走最短路程的看法。托勒密在公元130年對(duì)光的折射進(jìn)行過研究。公元1611年開普勒對(duì)光學(xué)的研究達(dá)到了較高的定量程度。最后，1621年斯涅爾總結(jié)出了光的折射定律。費(fèi)馬則是用數(shù)學(xué)方法證明了折射定律的主要學(xué)者之一。

費(fèi)馬原理是根據(jù)經(jīng)濟(jì)原則提出的，它指出：光沿著所需時(shí)間為極值的路徑傳播。可以理解為，光在空間沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。

費(fèi)馬定理不但是正確的，同時(shí)它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。由于費(fèi)馬原理的確立，幾何光學(xué)發(fā)展到了較為完善的程度。