摘要：探索和追求精益求精的計算方法和技巧，講究明確的思想依據，著力于靈活和廣泛的應用，是“算經十書”的數學思想精粹。其發展主線是沿著探索、完善和提高“推步”前進的。它把擅長計算的推算和證明的推類結合起來，形成獨特的傳統風格和手段。

關鍵詞：算經十書，傳統數學思想，新理解

Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.

KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding

在世界科學史中，中國傳統數學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統數學中，“算經十書”是典型的代表。所謂“算經十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》（元豐年間已失傳，后來以《數術記遺》代之）、《緝古算經》。唐代時期，國子監內設算學館，置有博士、助教，指導學生學習數學，規定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學習它，研究它，中國數學也因它而形成自身的傳統并將此傳統繼承和發揚。“算經十書”就其內容來說，屬于初等數學；就其數學思想和數學方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數學思想。

1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧

在世界科學史中，中國傳統數學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統數學中，“算經十書”是典型的代表。所謂“算經十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》（元豐年間已失傳，后來以《數術記遺》代之）、《緝古算經》。唐代時期，國子監內設算學館，置有博士、助教，指導學生學習數學，規定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學習它，研究它，中國數學也因它而形成自身的傳統并將此傳統繼承和發揚。“算經十書”就其內容來說，屬于初等數學；就其數學思想和數學方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數學思想。

1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧

就數學內容而言，“算經十書”以善于計算而見長，并且這一長足的發展還被推進到讓世界其他各國都望塵莫及的地步，這已是中外中算史家的共識。“算經十書”能如此輝煌耀目，是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的。

“算經十書”中最早的一種《周髀算經》，其第一章敘述了西周開國時期（約公元前1100年）周公與商高的一段問答。從這段問答中，我們可以見到我國早期數學思想的一些初步端倪。當周公問商高“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數安從出？”時，商高答道：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”接著，商高還說：“故折矩以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤，得三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”這里，我們可以清新地見到，我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時，已經看到了數學的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些數學知識的人（如高商），是注意數學思想和數學方法的。比如，我們從上述商高答問中，就可以看到，古人理解“數之所由生”，是將形與量結合起來考察的。圓和方都是形，而形是有數量關系的，從考察形可以探討到“數之法”，但這形中又包含著豐富的數量關系，特別是平方關系（九九八十一）。數之法是從圓形和方形開始的。圓是內接正多邊形經過無數次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限（我國最早的極限思想，是不是來自于這種“圓出于方”的觀念，希望讀者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數相乘，也就是說，要算出來。我國古代算法好憑口訣，而乘法口訣是從“九九八十一”起的，古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱，故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數的性質來研究形的性質的思想，與古希臘的數學思想旨趣相映。古希臘的畢達哥拉斯定理：a2+b2=c2。而當a=b=1時，則

c=，這既不是自然數，也不是自然數之比，所以不能是可接受的正常的數，被稱為無理數，導致了第一次數學危機，從此古希臘數學發展的方向產生了大改變，“幾何化”占了主導地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理（也稱勾股弦定理、商高定理），是從“折矩”而來然后得“積矩”的，3，4，5及其平方的關系可以體現出勾股定理，但中國并沒有由此而產生數學危機，也沒有發生發展方向的大改變，反而為“幾何代數化”[2]這個中國傳統數學發展主導方向奠定了很好的基礎。中國早期講究以算的方法去解決實際數學問題，是“數之所由生”的重要思想。

在古代，不管是西方國家或中國，數學的發展都跟勾股定理結下不解之緣，這不是偶然的歷史巧合，而是不同淵源和發展脈絡的科學認識的一種必然交匯，其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數學研究活動，很自然地會碰到考察形的性質及數量關系，直角三角形成為關注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的，早期先人們（如大禹）能掌握有關的數學知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導致數學發展的不同朝向，至少在初等數學領域內是存在的。古希臘在數、形簡單和諧的觀念被打破之后發生大轉向，從重算發展到重證，發展到重視幾何證明，往后的趨勢就是有了這種發展趨勢和成果的集大成標志——歐氏幾何的產生，它是西方國家初等數學體系確立的標志，而中國此時并不發生方向的大改變，而是沿著算的道路繼續前進，往廣度和深度上延伸發展，導致的是中國傳統數學體系的形成——《九章算術》的出現。《九章算術》中有許多具有世界意義的成就，如負數計算、分數計算、聯立一次方程解法等，正是沿著探索計算的方法和技巧前進的結果。可貴的是，我們的祖先在此數學思想的指導之下，并不以原有的結果為滿足，沒有停留在原有的水平上裹足不進，而是精益求精地深入下去。如《九章算術》246道題，有解題方法202“術”，在當時有如此輝煌成績已難能可貴，但三國魏晉時期的劉徽，就在《九章算術》的基礎上，仔細作注，不但為《九章》提供了系統的理論依據，而且大力向前推進，提出了許多創見，將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數學思想，提到一個更高的水平，并對后世的發展帶來了深刻的實際影響，如他發現的割圓術，為后來祖沖之求得更精確的π值奠定了基礎，唐李淳風注《九章算術》時說：“劉徽特以為疏，遂乃改張其率，但周徑相乘數難契合。

摘要：探索和追求精益求精的計算方法和技巧，講究明確的思想依據，著力于靈活和廣泛的應用，是“算經十書”的數學思想精粹。其發展主線是沿著探索、完善和提高“推步”前進的。它把擅長計算的推算和證明的推類結合起來，形成獨特的傳統風格和手段。

關鍵詞：算經十書，傳統數學思想，新理解

Abstract:Exploringandstrivingfortheconstantlyimprovingmethodsandtechniquesofcalculation,stressingtheexplicitthinkingbasis,andconcentratingonitsflexibleandwideapplicationisthepithofthemathematicideasofSuanjingshishu,thethreadofwhichisadvancingalongtheexploration,improvementanddevelopmentoftuibu(thescienceofcalculatingtheastronomiccalendar).Itcombinescalculationwithanalogy,andthus,formsitsuniquetraditionalstyleandmethod.

KeyWords:SuanJingShiShu,TraditionalMathematicalThinking,newunderstanding

在世界科學史中，中國傳統數學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統數學中，“算經十書”是典型的代表。所謂“算經十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》（元豐年間已失傳，后來以《數術記遺》代之）、《緝古算經》。唐代時期，國子監內設算學館，置有博士、助教，指導學生學習數學，規定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學習它，研究它，中國數學也因它而形成自身的傳統并將此傳統繼承和發揚。“算經十書”就其內容來說，屬于初等數學；就其數學思想和數學方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數學思想。

1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧

第六單元單元教學計劃

單元教學內容：第六單元100以內的加減法

單元教材分析：100以內的加減法是生活中常用的數學知識，是生活數學的最好體現，它的學習對學生學習多位數加減法以及乘除法的基礎，同時也是日常生活中經常使用的心算。因此這一單元的教學是全冊的重點，這部分知識的掌握對以后的計算的正確和迅速程度產生直接影響，不僅有利于學生在用數學中進一步領會加減法的含義，而且還可以為今后發現和解決稍復雜的實際問題打下基礎。本單元的計算按難易程度分三段編排：整十數加減整十數、兩位數加一位數和整十數、兩位數減一位數和整十數。

各節中教學內容的編排大體分為三個層次：一、以實際情境提供計算題，并呈現多種計算方法，二、讓學生動手操作理解和掌握算法，第三、脫離直觀手段，讓學生思考算法，算出得數。從學生熟悉的生活情境出發，提出有關計算問題，容易激發學生的學習興趣，并使學生感受到數學與日常生活密切聯系。教學過程中，由動手操作，觀察、交流依靠動手和實物思考到脫離實物思考，遵循了由具體到抽象的原則，有利于促進學生抽象思維能力的發展。

在教學中以具體事物和學生熟悉的生活情景出發激發學生的學習興趣，再通過動手操作促進學生理解知識，利用小組合作交流與獨立思考的方法內化知識，促進思維的發展。

單元教學要求：

尊敬的各位領導、各位評委：

大家好！

不僅要有過硬的業務工作能力，3多年的核算崗位健全了品格。深知作為一名合格的核算員。而且要有積極健康的心態、良好的品德和品格。深知做事必須先學會做人。為人要坦蕩、待人要誠懇、處事要謹慎、工作要勤奮。

今年歲，叫。自年畢業后分配在制罐公司擔任統計核算工作。調入物資公司，現在消防廠的核算員。十幾年核算工作中，積累了豐富的經驗，也取得了一定的成績。沒有出過一次錯誤，得到財務部們一致認可。

主要緣于以下三大理由：決定這次競聘外經公司的統計核算崗位。認為我可以勝任這項工作。

非常熱愛統計核算工作。由于熱愛，1統計工作需要細心、認真、責任心強。而且。所以工作起來特別勤奮、特別認真，并在業余時間積極學習各種統計核算的專業知識及相關知識，先后取得了保管員中級、經管員中級職業技能等級證書及統計從業資格證書。相信良好的學習能力及對這份工作的熱愛一定會使我勝任今后的工作。

教學內容：8、7、6加幾

教材分析：20以內的進位加法是20以內退位減法和多位數計算的基礎，著部分學習的好壞，將隊今后計算的正確和迅速程度產生直接的影響，本節課的內容是在9加幾的基礎上學習的，對各種算法如“點數”，“接著數”，“湊十”都已經有了比較，本節課主要是要求學生能用“湊十”進行計算。

教學實錄及評析：

一、情境入課，初探8加幾算法

師：星期天上午，小朋友們到公園去玩，先來了8個小朋友，又來了3個，一共要買幾張門票呢？

生：13張。

教學目標

(一)使學生學會兩位數減一位數、整十數不退位減法的口算方法，并能正確地進行口算．

(二)使學生掌握兩位數減一位數、整十數口算的思維過程，提高計算能力．

教學重點和難點

重點：理解和掌握口算的方法．

難點：弄清相同數位的數相減的道理．

第二單元：單元教學計劃

單元教學內容：20以內的退位減法

單元教材簡析：本單元學習的主要內容有兩個：一是十幾減幾需要退位的減法，簡稱“20以內的退位減法”；二是用“20以內的退位減法”和以前學過的進位加法解決螽鐵實際問題，即“用數學”。口算20以內的退位減法對進一步學習多位計算和其他數學知識，與20以內的進位加法同等重要，都是基礎知識。因此，學生學習這部分內容時，必須在理解算理的基礎上學會計算方法，并通過合理的練習達到一一的熟練程度，切實為以后后學習打好基礎。學會計算并動用于生活中解決問題，對理解運算的意義，體會數學的作用，和逐步提高解決問題的能力是十分有益的。同時在本單元的教學中，要注意1、重視引導學生在具體的情景中學習數學知識；2、引導學生動手操作開展多種形式的教學活動，學習知識；3、處理好算法多樣化的教學；4、采取靈活、有趣的方法提高計算練習的效果；5、引導學生把所學知識用到生活中去，解決身邊的數學問題。

單元教學要求：

1、學生經歷與他人交流各自算法的過程，能夠比較熟練地口算20以內的退位減法。

2、使學生初步學會用加法和減法解決簡單的問題。

教學目標

(一)使學生學會用乘法分配律進行簡算，提高計算能力．

(二)培養學生靈活運用乘法運算定律進行計算的習慣．

教學重點和難點

繼續加深對乘法分配律的理解，能比較熟練地應用運算定律進行簡算是教學的重點；學生對乘法分配律與乘法結合律的應用容易混淆，特別是反向應用乘法分配律是學習的難點．

教學過程設計

在漢代的財政收入中，賦稅占有重要的地位。研究漢代的賦稅，有這樣一點頗值得注意：即漢代諸賦的征收與國家的軍費需求之間有相當密切的關系。漢代的賦稅，大體上可分為三宗——租、賦、稅。租指田租，是地稅，征收谷物與芻稿；賦指諸賦，按人或戶征收，形式是貨幣；這兩宗都由大司農掌管，歸屬國家。稅大致是指按行業或地區征收的雜稅，形式以貨幣為主，由少府掌管，歸屬皇室。在這三宗收入里，由大司農掌管的諸賦，供應漢代的軍費開支。

一

賦在最初產生時就與軍事需要相關。《漢書·食貨志》在記述“先王”之制時說：“有賦有稅。稅謂公田什一及工商衡虞之入也。賦共車馬甲兵士徒之役，充實府庫賜予之用。”《漢書·刑法志》亦曰：“因井田而制軍賦。......有稅有賦。稅以足食，賦以足兵。”可知賦是在土地與工商山林川澤之外的收入，其用途是供應軍需。

秦人的賦出現于戰國中期。《史記·秦本紀》：“（秦孝公）十四年，初為賦。”《集解》徐廣曰：“制貢賦之法也。”《索隱》譙周云：“初為軍賦也。”秦孝公十四年（公元前348年），正是商鞅在秦國變法之時。征賦是商鞅的一項變法措施，其主要目的是供應軍費，故稱此賦為“軍賦”。

秦人的賦，開始時大約是以戶為單位征收的。商鞅的變法令規定，一戶之中，有兩個以上成年男子而不分立門戶的，就要加倍征賦：“令民有二男以上不分異者，倍其賦。”[1]又睡虎地秦簡《法律答問》：“可（何）謂‘匿戶’及‘敖童弗傅’？匿戶弗繇使，弗令出戶賦之謂也。”[2]可見秦人曾有“戶賦”。但不清楚當時是否還另有人頭稅，也無法判定此“戶賦”是否為一戶之內人頭稅的集合。我們能夠確知的是，到秦始皇時，已經有了人頭稅。《淮南子·氾論訓》：“（秦）發適戍，入芻稿，頭會箕賦。”《史記·張耳陳馀列傳》：“秦為亂政虐刑，以殘賊天下......百姓疲敝，頭會箕斂，以供軍費。”睡虎地秦簡《金布律》：“官府受錢者，千錢一畚。”“畚”即畚箕，“頭會箕賦”和“頭會箕斂”即用畚箕按人頭斂錢，“以供軍費”則說明其目的是用作軍費。

秦朝的人頭稅叫作“口賦”。《漢書·食貨志》載董仲舒曰：“（秦）田租口賦，鹽鐵之利，二十倍于古。”《七國考·秦食貨》引《咸陽大事記》曰：“秦賦戶口，百姓賀死而吊生。故秦謠曰：‘渭水不洗口賦起。’”可知從秦人從很小起就繳納口賦，其負擔之重，到了“百姓賀死而吊生”的地步。秦朝口賦的繳納數額，史籍中沒有記載。當時，“秦禍北構于胡，南掛于越，宿兵無用之地，進而不得退。行十余年，丁男被甲，丁女轉輸，苦不聊生，自經于道樹，死者相望”。[3]秦始皇長時期大規模地用兵，軍費消耗極巨，遂苛斂民賦以供需求。《漢書·食貨志》記載：“至于始皇，遂并天下，內興功作，外攘夷狄，收泰半之賦，發閭左之戍。”《史記·淮南衡山列傳》記載：“往者秦為無道，殘賊天下，興萬乘之駕，作阿房之宮，收太半之賦，發閭左之戍。”以上史料均稱秦朝“收泰（太）半之賦”，即所征的賦達到了百姓收入的三分之二。這當中或許包括了田租和其他稅項，如董仲舒所謂“鹽鐵之利”，但人頭稅應是其重要成分。《史記·秦始皇本紀》記載，秦末“關東群盜并起”，馮去疾、李斯、馮劫向秦二世進諫：“盜多，皆以戍漕轉作事苦，賦稅大也。”這表明，賦稅沉重乃是導致秦朝動亂以至滅亡的原因之一。二