導(dǎo)語：方差的數(shù)學(xué)教案一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

素質(zhì)教育目標(biāo)

(一)知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力.

2.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

(三)德育滲透點(diǎn)

1.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn).

(四)美育滲透點(diǎn)

通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透了數(shù)學(xué)知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)美的鑒賞力.

重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1.教學(xué)重點(diǎn)：方差概念.

2.教學(xué)難點(diǎn)：方差概念.

3.教學(xué)疑點(diǎn)：學(xué)生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢?為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而將其平方呢?對這些問題教師在剖析方差定義時(shí)要講清楚.

4.解決辦法：教師要講清方差，標(biāo)準(zhǔn)差的意義，即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時(shí)的情況.

教學(xué)步驟

(一)明確目標(biāo)

前面我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，這節(jié)課我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)衡量樣本(或一組數(shù)據(jù))和總體的另一類特征數(shù)——方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其計(jì)算.

這種開門見山式引入課題，能迅速將學(xué)生的注意力集中起來，進(jìn)入新課講解.

(二)整體感知

對于一組數(shù)據(jù)來說，我們除了關(guān)心它的集中趨勢以外，還關(guān)心它的波動大小.衡量這個(gè)波動大小的最常用的特征數(shù)，就是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

(三)教學(xué)過程

1.請同學(xué)們看下面的問題：(用幻燈出示)

兩臺機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進(jìn)行測量，結(jié)果如下(單位：毫米)

機(jī)床甲4039.840.140.239.94040.239.840.239.8

機(jī)床乙404039.94039.940.24040.14039.9

上面表中的數(shù)據(jù)如圖所示

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個(gè)機(jī)床做得好呢?

對于這個(gè)問題，學(xué)生會馬上想到計(jì)算它們的平均數(shù).教師可把學(xué)生分成兩級分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(請兩名同學(xué)到黑板計(jì)算)

計(jì)算的結(jié)果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生思考，這能說明兩個(gè)機(jī)床做的一樣好嗎?不能!我們再觀察上圖(給學(xué)生充分的時(shí)間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別)從圖中看到，機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多;機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這

說明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.

教師說明：從上面看到，對于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).

通過引例的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動的大小，為提出方差概念做好了準(zhǔn)

備.

2.方差概念

教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對值，再取其平均數(shù)，用這個(gè)平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，通常，采用的是下面的做法：

設(shè)在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數(shù)，即用

③

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大.教師要剖析公式中每一個(gè)元素的意義，以便學(xué)生理解和掌握.

在學(xué)生理解方差概念時(shí)，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差?(教師說明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時(shí)，為了防止正偏差與負(fù)偏差的相互抵消)為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而要將它們平方?(教師說明，這主要是因?yàn)樵诤芏鄦栴}里，含有絕對值的式子不便于運(yùn)算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的“功能”上，方差更強(qiáng)些)為什么要除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n?(是為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響).

在學(xué)生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計(jì)算機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，再根據(jù)理論說明哪個(gè)機(jī)床做得更好.

教師范解

從知道，機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動要大.

這樣做使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又反過來作用實(shí)踐，不僅使學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

3.例1(用幻燈出示)已知兩組數(shù)據(jù)：

甲：9.910.39.810.110.4109.89.7

乙：10.2109.510.310.59.69.810.1

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差.

讓學(xué)生自己動手計(jì)算，求平均數(shù)時(shí)激發(fā)學(xué)生用簡化公式計(jì)算，找一名好學(xué)生到黑板計(jì)算.

解：根據(jù)公式②(取)，有

從知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動大.

4.標(biāo)準(zhǔn)差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術(shù)平方根

④

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時(shí)用它比較方便.

課堂練習(xí)教材P165中(1)、(2)

(四)總結(jié)、擴(kuò)展

知識小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，使我們知道了對于一組數(shù)據(jù)，有時(shí)只知道它的平均數(shù)還不夠，還需要知道它的波動大小;而描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.

方法小結(jié)：求一組數(shù)據(jù)方差的方法;先求平均數(shù)，再利用③求方差，求一組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的方法：先求這組數(shù)據(jù)的方差，然后再求方差的算術(shù)平方根.

布置作業(yè)

教材P173中1，2(1)(2)

板書設(shè)計(jì)

14.3方差(一)

方差公式③引例例1

標(biāo)準(zhǔn)差公式④

教學(xué)設(shè)計(jì)示例2

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.

2.使學(xué)生了解樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：方差、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義.

難點(diǎn)：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算.

三、教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法?

引入新課

在很多實(shí)際問題中，只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠

的，還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動大小?這正是我們要解決的問題.

新課

引例兩臺機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進(jìn)行測量，結(jié)果如下(單位：毫米)：

表中數(shù)據(jù)表成如下形式：

可在此處讓學(xué)生用公式②分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問學(xué)生a取什么值最好，這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當(dāng)學(xué)生算出如下平均數(shù)：

讓學(xué)生思考，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時(shí)，甲、乙兩機(jī)床性能是否都一樣好?提出問題讓學(xué)生議議后，再引導(dǎo)學(xué)生看圖1，讓學(xué)生認(rèn)識到“機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多;機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.”這說明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.

這反映出，對一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平以外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).

在此處要告訴學(xué)生：描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹“方差”即是一種方法.即：

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.

要強(qiáng)調(diào)“一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大”.條件許可時(shí)，還可介紹③式可表示為：

接下來可以請兩個(gè)學(xué)生計(jì)算引例中機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差.

從0.026>0.008可以比較出，機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動要大.(接下來教師再給出如下例題.)

例1已知兩組數(shù)據(jù)：

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差.

講此例后，要強(qiáng)調(diào)求解步驟為：

(1)求平均數(shù);(2)求方差;(3)比較方差得出結(jié)論.

此后接前面問題說，用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，即

公式④(即標(biāo)準(zhǔn)差)也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要的量.

在本節(jié)引例中，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可讓學(xué)生算一下，得出：

說明：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時(shí)用它比較方便.

小結(jié)

1.本課學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③.

2.本課在方差的基礎(chǔ)上又學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的公式④.

練習(xí)：選用課本練習(xí)題.

作業(yè)：選用課本習(xí)題.

四、教學(xué)注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例3

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義.

2.使學(xué)生掌握利用簡化公式計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差的方法.

3.使學(xué)生會根據(jù)同類問題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：簡化計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差公式.

難點(diǎn)：利用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.

三、教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1.什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差?

2.一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)如何計(jì)算?

引入新課

我們看到，用公式③計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩.那么，有否較簡便的計(jì)算方法呢?

新課

教師應(yīng)在黑板上進(jìn)行如下推導(dǎo)：

推導(dǎo)上述公式后，可讓學(xué)生仿①～④四個(gè)公式的方法歸納推理出如下結(jié)論：

一般地，如果一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是n，那么它們的方差可以用下面的公式計(jì)算：

在這時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時(shí)，用公式⑤計(jì)算方差比公式③計(jì)算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步，因此比較方便.

例2計(jì)算下面數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第1位)：

3-121-33

教師可讓學(xué)生共同來完成此例.

接下來教師按教材指出，當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時(shí)，可按下述公式計(jì)算方差：

其中x''''1=x1-a，x''''2=x2-a，…，x''''n=xn-a，x1，x2，…，xn是原已知的n個(gè)數(shù)據(jù)，a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個(gè)常數(shù).

為使學(xué)生對公式⑥加深印象，可讓學(xué)生用公式⑥解下例.

例3甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語口語測驗(yàn)成績?nèi)缦?單位：分)：

哪個(gè)小組學(xué)生的成績比較整齊?

解后，指出解題步驟有如下三步：

(3)代入公式⑥計(jì)算方差并比較得解.

小結(jié)

1.本課介紹了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時(shí)，用以計(jì)算方差的簡化計(jì)算公式⑤.

2.本課又學(xué)習(xí)了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時(shí)，用以計(jì)算方差的簡化公式⑥.

練習(xí)：選用課本練習(xí)題.

作業(yè)：選用課本習(xí)題.

補(bǔ)充作業(yè)

2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13，標(biāo)準(zhǔn)差之和為5，且甲的波動比乙的波動大，求它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差.(答案：S甲=3，S乙=2.)

3.在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙兩校各8個(gè)班，不及格的人數(shù)分別如下：

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.

四、教學(xué)注意問題

要注意給學(xué)生講如下三點(diǎn)：

1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差是衡量樣本和總體波動大小的特征數(shù).

2.用簡化計(jì)算公式求方差較為方便.

3.對同類問題的兩組數(shù)據(jù)，方差小的波動小、方差大的波動大.