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“自然數和正偶數，哪一種數更多？”（正偶數是指能被2整除，大于零的自然數。本文中規定0不是自然數。）“自然數和正偶數一樣多，因為將n和2n對應就可以得到自然數到正偶數的一個一一對應。既然每一個不同的自然數都對應而且只對應一個不同的正偶數，所以自然數和正偶數一樣多。”許多朋友會這樣說，這當然是對的；但是也有許多朋友會覺得奇怪，并非所有的自然數都是正偶數，而所有的正偶數卻都是自然數，它們怎么會一樣多呢？特別是，自然數的個數應該是正偶數的兩倍才對！

關于用一一對應的方法來判斷兩個集合之間的大小關系，已經有許多文章談過了，我只在這里再簡單地重復一遍：

給定兩個集合A和B，

1)如果存在A到B的一個單射f:A→B（也就是說A和B的一個子集有一一對應），那么我們稱A的“基數”（或“勢”）不大于B的“基數”，簡稱A不大于B，或A中元素個數不多于B中元素；

2)如果存在A到B的一個一一對應f:A→B，那么我們稱A和B的“基數”相同，簡稱A和B一樣大，或A中元素個數和B中元素個數相同；

3)（施羅德-伯恩斯坦定理）如果A不大于B，且B不大于A，那么A和B一樣大。

由這個定義可以得出一些推論：

1)任何一個無限集都至少和自然數集合一樣大；

2)兩個集合的并集同這兩個集合中比較大的那個一樣大，特別地，兩個同樣大小的集合的并集和它們本身一樣大；

3)兩個集合的積集同這兩個集合中比較大的那個一樣大。

但是這種判斷集合大小的方法得出的結論，比如說上面所說的“自然數和正偶數一樣多”，甚至于“自然數和有理數一樣多”，或者“一條直線上的點的個數和一個平面上的點的個數一樣多”，總會讓不熟悉集合論的人感到很別扭，一個集合的一部分怎么會和自己一樣大？歐幾里得的第五公理說：“整體大于部分。”在《幾何原本》中，公理的地位要高于公設，前者是“放之四海而皆準”的，而后者卻只是幾何（也就是當時的數學）中的“不證自明”的命題。歐幾里得也搞錯了？數學家們為什么不按照符合大家直覺的方法來規定集合的大小？他們似乎喜歡故意發明出一些和常識相悖的稀奇古怪的概念和方法，讓人上當后自己卻在暗地里竊竊偷笑別人的不高明。

這可就冤枉了數學家們，如果有既符合常識和直覺，又嚴格且有用的關于集合大小的定義，數學家一定是非常樂意接受的。但是如果這種“常識”只是象愛因斯坦所言的，是“十八歲以前所積累的偏見”，那么就不適合于作為嚴格的數學定義了。我想首先討論一下數學家被迫采用一一對應的方式來比較集合大小的原因。