導語：柔性機械臂逆動力學探究論文一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

1動力學和逆動力學模型

一般情況下，柔性機械臂的兩根連桿橫向彈性變形(彎曲)較小，則忽略機械臂的徑向變形；假定關節及臂端負載均為集中質量，則忽略其大小。同時，暫不考慮電機轉子的轉動慣量和電機的阻尼。

圖1是一雙連桿柔性機械臂，兩臂間關節電機質量為，上臂端部集中質量為，兩連桿質量和抗彎剛度分別為和，和，兩連桿的長度分別為和，和為兩關節電機提供的力矩。

連桿變形很小，對每根連桿建立一個運動坐標系，使得連桿在其中的相對運動很小。機械臂的整體運動則可由這兩個動坐標系的方位角來描述。于是，在動力學模型中將有兩類變量，一類是幅值很小但變化迅速的彈性坐標，另一類是變化范圍較大的方位角。本文采用端點連線坐標系，即將連桿兩端點的連線作為動坐標系的x軸（見圖1）。描述整體運動的是兩個角度和，而連桿相對于動坐標系的運動則可視為簡支梁的振動。這樣，動力學模型剛度陣的彈性坐標互相不耦合，臂端的位置可由和確定，其期望運動形式（或數值解）：

(1)

如采用其他形式的動坐標系，兩桿的彈性坐標將耦合在一起，而且在逆動力學求解時，將不得不處理微分方程與代數方程組合的方程組。

對每個機械臂取兩階模態坐標來描述，應用拉格朗日方法得到動力學方程：

(2)

式中。為6×6質量陣；為速度的二次項；為6×6剛度陣；為重力的廣義力向量；為驅動力矩的廣義力向量；，其中和、和分別是兩個機械臂的一階和二階彈性坐標。

柔性臂系統的逆動力學問題，是指在已知期望末端操作器運動軌跡的情況下，結合逆運動學與動力學方程對關節力矩進行求解。如果直接進行逆動力學求解，即把式(1)代入動力學方程式(2)中，對方程中的彈性坐標和力矩進行求解，一般情況下，其數值解將很快發散。

表達系統運動狀態的坐標可以看成有兩部分組成：大范圍的相對緩慢的運動（慢變）部分和小范圍的振動（快變）部分。本文試圖將這兩部分分離，分別討論它們的逆動力學特性，并以此來分析整體系統的逆動力學問題。

2快變部分的逆動力學問題

首先，尋求兩個關節力矩使端點保持不動，先不考慮大范圍的運動。此時，重力只起了一個改變平衡點的作用，在方程中把與它相關的部分略去，在動力學方程(2)中令，得：

(3)

式中

在方程(3)中消去和得：

(4)

式中：

，,

,,,

,,,

,,,

,

對式(4)降階：

(5)

式中

其中，

I是四階單位陣。方程(5)可化為下列形式：

(6)

式中。求出的特征值分別為

式中。

因的特征值存在正實部，則方程(3)所表示的系統不穩定，其解發散，即雙連桿柔性臂在這種情況下，其振動問題的精確逆動力學解是發散的。

的各特征值在復空間分布關于虛軸對稱，必然會出現正實部，如選取更多階模態函數離散時，會出現同樣的情況。因此，選取更多階模態函數離散時，其振動問題的逆動力學解是發散的。

如應用應用文獻[10]中給出的迭代法進行逆動力學求解，當積分步長很小時，其解是發散的；當積分步長較大時，便可得到較好的結果。其原因是因為快變部分的逆動力學解發散，當步長較大時相當濾掉了快變部分，便可得到較好的結果。

3慢變意義上的逆動力學

在進行慢變意義上的逆動力學求解時，應試圖將彈性坐標中的振動部分濾掉，彈性坐標中不應含有振動部分，再結合期望的、求得力矩。

如圖1所示，機械臂的各參數：L1=0.87m,L2=0.77m,M1=1.9kg,M2=0.8kg,m1=12.75kg,m2=2.4kg,=602.5,=218。期望運動軌跡：機械臂端點繞以(0.8,0)為圓心，做半徑為0.5m,以每周1s作勻速圓周運動。

由機械臂的動力學仿真結果可以看到，彈性坐標的一階、二階時間導數項振動幅值很大，但它們都在零值附近振動，即其慢變部分很小。因此，在式(2)中去掉彈性坐標的一階、二階時間導數項，相當于濾掉了彈性坐標中的振動部分，經過整理得到如下形式：

(7)

式中，、、中含、及其一階時間導數項。

將式(1)代入式(7)中，再對方程求解，可以得到彈性坐標和力矩，彈性坐標見圖2（圖中不含振動的曲線）。為了考察得到的力矩，將力矩代入動力學方程式(2)中，得到的各彈性坐標見圖2（圖中含振動的曲線），軌跡跟蹤曲線、端點坐標與期望運動相比較的誤差曲線分別見圖3和圖4。

Fig.4theerrorsofcoordinatesinxandyDirectionsfortheendmovement

由圖2中可以看出，由式(7)得到的彈性坐標（不含振動）與機械臂的動力學仿真得到的彈性坐標（含振動）的慢變部分十分相似，所以在式(2)中去掉彈性坐標的一階、二階時間導數項相當于濾掉了彈性坐標中的振動部分，說明這種方法是合理的。

由圖3與圖4給出的仿真結果可以看出，軌跡跟蹤很好，由此可見，得到的力矩精度很高.

4結束語

由圖2可以看到，機械臂在運動過程中，其彈性坐標由兩方面組成，一方面是振動部分（快變部分），另一方面是與載荷、慣性力有關的慢變部分。而彈性坐標速度、加速度的慢變部分很小，在逆動力學求解中將其略去是合理的，由式(7)得到了比較準確的彈性坐標慢變部分并非偶然。

由以上分析可以看出，對于柔性機械臂系統，振動部分的精確逆動力學解是發散的，進行逆動力學求解時，應濾掉振動部分，在慢變的意義上進行，才能得到比較好的前饋力矩。

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摘要：采用割線坐標系對機械臂的運動進行了描述，并分快變（振動）和慢變兩方面進行逆動力學問題的分析與求解。在對快變部分逆動力學性質的分析中發現，快變部分精確的逆動力學解是發散的。在進行柔性機械臂逆動力學求解時，應在慢變的意義上進行。文中給出了一種去掉系統快變部分的簡單方法，并進行了逆動力學求解。數值仿真結果表明，該處理方法是合理的。

關鍵詞：柔性機械臂；動力學；逆動力學；振動；大范圍運動