導語：澳大利亞Mathscape數學教材特點分析及思考一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：分析并借鑒國外中學數學教材，有利于我國中學數學教材的建設。澳大利亞mathscape教材有兩大主要特點：混編安排內容，取材豐富，注重練習的層次性；強調大綱的過程性目標──“數學地工作”。這對目前我國初中數學教材的建設有啟示作用：在保持一定系統性和邏輯性的基礎上，適當考慮選擇性和創新性。

關鍵詞：Mathscape教材；數學地工作

澳大利亞包括昆士蘭州、維多利亞州、新南威爾士州、南澳、西澳等，基本沿襲了英國的教育體制，除了個別區域（如昆士蘭州），基本實行小學6年、中學6年（初中4年，高中2年）的學制，初中教育從7年級到10年級，屬于義務教育階段。澳大利亞Mathscape教材是適應目前正在施行的2003年新南威爾士州（NewSou-thWales，簡稱NSW）大綱的系列初中數學教材，共有6本：Mathscape7、8、9、10，其中9，10各有兩套，分別滿足大綱同一階段不同水平要求的學生，7、8、9正在使用，10即將出版發行并使用。教材的編寫者大部分是悉尼大學的數學教師、數學教育研究者①，也有部分中學數學教師參與。

一、新南威爾士州（NSW）數學大綱情況介紹

NSW大綱由州課程研究委員會制定，規定課程的目的是“在數學的應用中發展學生的數學思考、理解，提高能力和自信，培養創造力，以使學生喜歡和欣賞數學，并致力于終生學習”。具體分為知識、技能和理解目標，以及價值和態度目標。大綱充分考慮了不同學生的需求，將整個小學和中學數學學習目標分為6個階段，階段1至階段3是小學1～6年級數學學習的要求，階段4和階段5是初中7～10年級數學學習的要求，階段6是高中11～12年級數學學習的要求。階段5和階段6又都分成了不同水平，階段5包括階段5.1、5.2、5.3，其中5.3包含了5.2的知識和技能，5.2包含了5.1的知識和技能。階段6也被分成四級水平：一般性數學、數學、數學擴充1、數學擴充2。上一級水平包含下一級水平。

雖然大綱針對每個階段安排了內容，但呈現方式卻是有彈性的，學生可以學習不同階段的不同內容，如學生可以學習階段4有關“數”的內容以及階段3有關“測量”的內容。不同學生可以達到大綱規定的不同目標，如一個7年級學生可能正在完成小學階段3的要求，而一個8年級學生，卻在學習9年級甚至更高年級的內容。

義務教育階段大綱對具體內容目標分為“數”“模式和代數”“數據”“測量”“空間和幾何”五部分，并提出了過程性目標──數學地工作（workmathematically），要求學生“通過探究、應用問題解決策略，包括選擇和運用合適的技術，交流、推理和反思，以發展知識、技能和理解”。

二、Mathscape教材特點分析

Mathscape教材7、8適應大綱階段4的要求，9、10適應階段5的要求，前面提到，教材9、10分別包括兩套，一套適應階段5.2，一套適應階段5.3（稱為Mathscape9擴充和Mathscape10擴充）。這樣，學生在學習教材9（相當于國內初二年級）時就已經有了選擇性。教材在內容的編排、材料的選取、練習和習題搭配的層次性，尤其對過程性目標──“數學地工作”的體現上有以下特點。

（一）混編安排內容、取材豐富，注重練習的層次性

教材按照大綱對具體內容目標的分類，以混編方式螺旋式展開。Mathscape7的部分內容是回顧和加深小學已有知識，如有關“數”的內容是在小學自然數、分數、小數等基礎上進一步研究計數法、羅馬數字、斐波那契數字、回文數字、數的平方根和立方根等。其他幾冊則鞏固、發展和進一步擴充前面的相關部分內容，如Mathscape8在介紹了Mathscape7已有的二維平面的角、幾何圖形的特點，在三維平面的立體后又研究了平面的畢達哥拉斯定理、角和幾何圖形、作出幾何圖形、全等和相似以及圓和圓柱體，Mathscape9引進了坐標幾何，等等。“數據”部分內容是在Mathscape8開始介紹，包括數據表示、數據分析和分類、概率等內容。“測量”內容主要包括時間、長度和周長、面積、體積等的度量。“模式和代數”部分則是在介紹了數字模式和未知數基礎上，研究代數式的運算、尋求一般模式并代數化、方程和不等式等的有關內容。每冊教材的“數”“模式和代數”“數據”“測量”“空間和幾何”五部分內容又劃分為不同小節。以Mathscape7為例，共分為13章：正整數和數字系統、數字理論、時間、分數、數字模式和變元、小數、整數、代數、角、幾何圖形的特征、測量和長度以及周長、立體、面積。每章又劃分為具體小節（有的達到14節），穿插展開。每冊教材內容螺旋式編排，注重與前面內容的銜接。

教材取材豐富，編排生動。每章按照“小節、關注于數學地工作、語言描述有關概念、本章回顧”展開，在部分小節中安排有“試一試”的內容，如“猜一猜我的規則”“一個瓷磚多長”“跑步者”“汽車顏色”等是在“代數式的運算”“畢達哥拉斯定理”“折線圖”“解方程”后安排。“語言描述有關概念”是對本章所學主要概念的總結和回顧，以問題形式呈現，要求用自己的語言描述概念，評估對本章內容意義的理解。

教材的練習分成基本練習、鞏固練習、進一步應用練習，體現一定層次性。其中鞏固練習是最主要的部分，題量較大，有時達20多個，不過一般學生都能夠完成。進一步應用是難度相對提高的練習，其問題可能是開放性的，也可能包括擴展材料或大綱外的材料，但大部分問題仍然是一般學生能夠接受的。三部分練習題目的難易程度有明顯區分。

（二）強調大綱的過程性目標──“數學地工作”

教材在每章具體內容的后面安排有“數學地工作”，以強調大綱對此部分的要求，這是本套教材的最突出特色。教材從現實生活引入，然后是數學問題，按照“引入、學習活動、挑戰、交流、反思”進行，以加深對本章知識的理解。此部分選材尤為豐富，從古到今、從人文地理到社會、從數學到其他科學等，通過豐富和有創意的聯系生活實際的素材，體現了數學知識的綜合應用和相互聯系，如“澳大利亞的本土居民”“神秘社會”“數學和魔法”“網球錦標賽”“一個核潛艇的相對尺寸”“夢、想象和數學想法”“分裂原子”等。下面介紹的是Mathscape9“代數”一章“數學地工作”的實例，是在介紹完模式與代數以及代數式的運算等內容后安排的，體現了通過學生的探究、解決問題過程，以加深對知識的理解，并培養交流、推理和反思等能力的過程性目標的要求。

數學地工作──“來自于帕斯卡1654年的數字模式”

引入：

帕斯卡（BlaiszPascal1623—1662），法國偉大的數學家、哲學家、作家和神學家，是與費馬（Fer-mat）和笛卡兒（Descarte）同時代的人。盡管他在幾何上做了很多貢獻，人們記住更多的仍是帕斯卡三角形：

1

11

121

1331

14641

15101051

……

其中每個數字是它上面一行相鄰兩個數字的和。這早就為人們所知。然而帕斯卡是第一個系統地探究其模式的人，而且得到了（a＋b）n（n是正整數）的代數展開式的字母系數，如（a＋b）2＝1a2＋2ab＋1b2。

假定三角形最上端的頂點1作為第0行，則“121”是第2行，我們的活動就從這兒開始。

學習活動：

1．第10行的數字應該是什么？

2．寫出n＝0，1，2，3，4，5時的（a＋b）n的展開式，并完成下表：

3．當展開式中b的指數增加時，a的指數有什么變化特點？運用模式預測：

（a)（a＋b）6的第一個和最后一個字母；

（b）第二個字母；

（c）第四個字母。

4．寫出（a＋b）6和（a＋b）10的展開式。

5．取b＝3，猜測（a＋3）5的展開式。

6．假定最上面的數字1作為第0行，將每一行的數字相加，有什么規律嗎？第n行的數字和是多少？

7．將每一行作為一個獨立數字，如1，11，121，1331，14641，…，你注意到了什么？

8．你能否發現1，3，6，10，15，…以及斐波那契數字？你還能發現哪些數字模式？

挑戰：

1．在當地冰激凌店中有19種口味供你選擇，你想一次買三種口味品嘗，可以得出供你選擇的不同方式共有1330種。提示：三種口味都相同，三種口味都不同，兩種口味相同而另一種不同。

注意：兩個草莓口味和一個香草口味的冰激凌，與一個香草口味和兩個草莓口味的冰激凌是同一個選擇。

2．解釋和說明下面表格中的數據

冰激凌的品種數（n）

可供選擇的總數目

（每次選三個品種）

3．繼續完成上表，當n＝19時，你是得到1330種選擇嗎？

4．在帕斯卡三角形中你能否得到數字模式：1，4，10，20，…？

5．對此問題有個一般性解答，如果有n個品種，那么會有種選擇，驗證n＝1，2，3，4成立，并示n＝19時的值。

交流:

分組活動，完成下面兩個表格并展示你的結果。

1．制作一個表格，描述（a＋b）n的展開式（稱為二項式定理）和帕斯卡三角形的關系，說明如何不通過具體相乘而寫下展開式的字母，可以包括a＝b＝1的特殊情況。

2．制作一個表格描述帕斯卡三角形中你能找到的不同數字模式。

反思：

帕斯卡崇尚“直覺”，一種不需要借助推理的能力。在他的數學工作中他喜歡預測結果，他經常表現出極好的猜想和發現捷徑的能力。

你喜歡對一個問題作出猜想和尋求捷徑嗎？帕斯卡的一個著名結論是：“推理是那些不知道事實的人發現的慢和曲折的方法。”你贊同這個觀點嗎？反思“直覺”在數學學習中的作用，并和你的老師討論一下。

三、從Mathscape教材分析和思考中國初中數學教材

Mathscape教材在一定程度上體現了澳大利亞NSW初中數學教材的特點，對照中國初中數學教材，并結合中國國情，筆者提出以下思考和建議。

（一）如何對待選擇性和統一性

澳大利亞大綱從階段5就有了選擇性，同一年級學生允許達到不同的水平和要求，有為優秀學生準備的專門教材，如Mathscape9擴充和Mathscape10擴充，也允許學生進行較低階段水平的學習，如8年級學生可以學習7年級的課程等。學生初中畢業后有兩種選擇：繼續學習兩年的高中課程后升入大學或選擇直接工作，這體現了學生數學學習的個性差異，反映了教育不能以相同模子塑造人才的特點。對此，我們要結合社會背景進行分析。

首先，要分析國情。澳大利亞大學入學沒有年齡限制，大學入學率相對較高，學生初中畢業后可以選擇先工作，有一定實踐經驗后再進入大學學習。澳大利亞的大學教育也充分考慮了學生的個性差異，達到不同階段要求的學生升入大學后，可以選擇學學數學的不同水平。

其次，要分析學生的實際情況。在低年齡段就實現數學學習的分流，有可能會使部分學生僅僅因為某些暫時困難，或個人的興趣和愛好就放棄數學學習，而必要的某些數學訓練對一個人適應社會還是非常重要的。

因此，中國初中數學教材在選擇時，就需要充分考慮我國的國情、考慮中學教育與大學教育的銜接以及可施行性與漸進性等。以往的初中教材較多關注了學生的整齊劃一，要求學生按照同一步調達到相同水平，實際這是很困難的，因為不同學生的數學學習速度、學習水平是不一樣的，目前階段，考慮針對同一內容的不同水平要求，或對優秀學生的學習內容補充或提前進行下階段的學習等，是較為現實可取的。

（二）如何看待基礎性和創新性

Mathscape教材按照“數”“模式和代數”“數據”“測量”“空間和幾何”五部分混編、穿插安排內容的方式，可以使學生體會代數、幾何、統計等內容的相互關聯，但過分零散而又較為獨立的分章節安排，又很難讓學生體會數學知識的整體性和系統性，難以從眾多的各小節中理清本章以及整本教材中這五部分內部的線索，也沒有一個嚴密的邏輯體系貫穿其中。中國初中數學教材需要體現知識之間的關聯，體會代數、幾何、三角、統計等內容之間的聯系，這是我們以前較為忽視的，但同時，我們不應該放棄我們的優勢所在：注重數學知識的系統性和邏輯性，注重基礎知識和基本技能，培養良好的思維習慣等。

Mathscape教材的一大特點是內容取材豐富，從古代瑪雅文化到現代核潛艇，從分裂原子到太陽系，從悉尼的市場價格到世界健康問題，內容包羅萬象，教材厚度合適（32K本500多頁），既是一本教科書，一定程度上又是一本內容豐富的課外讀物；既有數學的概念、定理，又有這些概念、定理的實際生活應用背景，包括某些挑戰性題目練習等。從上面所舉“數學地工作”的實例中，我們不難分析看出如下訓練：1．通過對歷史人物帕斯卡的介紹，擴大學生的知識面，提高數學學習的興趣。2．重視對學生進行猜想、歸納、發現等合情推理能力的培養，如通過觀察數字特征，尋找代數展開式的規律，發現代數展開式的字母系數與帕斯卡三角中數字之間的關系，以及探究帕斯卡三角形數字的其他規律，等等，使學生經歷帕斯卡最初發現的過程。3．隨后的選擇不同品種的冰激淋問題，實際是將有關組合、規律探究，以及代數式和帕斯卡三角形數等融合在一起的問題，也是一個現代問題和古代問題相結合的問題。4．通過分組活動并展示結果，以及反思數學中的直覺，使學生進一步理清所經歷的發現過程以及發現的結果，評判自己的思維過程，進而培養批判性思維品質。Mathscape教材的這一特點促使我們思考：如何讓我們的教材體現創新性，培養學生的交流能力、反思能力和創造能力等。對此，考慮的幾種可能實現途徑有：展現知識的發現過程，以使學生經歷猜想、發現、歸納等過程；豐富內容素材、提供來于生活實際和數學內部的問題，以及更多挑戰性問題；指導利用教材以外的更寬泛學習資源，如互聯網、數學雜志、課外讀物等，充分發揮學生潛能；引導利用各種可能的其他學習途徑，如小組學習、綜合活動、實踐調查、小組或個人報告等，促進數學學習興趣，培養創新能力。

另外，Mathscape教材通過數學知識的具體應用進一步體現數學概念和定理的意義，還通過教材配套光盤介紹大綱本階段的目標。這也是可以吸取之處。

總之，中國初中數學教材可以在保持一定系統性和邏輯性的基礎上，適當考慮選擇性和創新性。我們以往教材重視系統性，這是我們的特色。如何使得這一特色更加符合學生的認識規律和認識特點，符合社會發展特點，是應該我們深入研究的。國外教材的選擇性、開放性、創造性是需要我們學習和借鑒的，然而，過分零散、缺乏系統和邏輯的編排體系是否適合中國的中學數學教學，如同上面實例介紹的，我們也可以反思一下，“如何理解教材中的推理，教材對培養推理和直覺的作用”等。目前中國初中數學教材的系統性和邏輯性是需要的，是需要一種適度的、符合學生特點的系統性和邏輯性。同時，我們也要認識到，我們的教材是面向有生機、有活力的生機勃勃的青少年，他們需要繼承前人的知識，也需要創新，他們喜歡挑戰，也需要挑戰，只有讓我們的教材在保持已有優良傳統的基礎上，進一步增加教材的挑戰性、親和性、時代性，才是學生喜歡并樂于接受的教材。

①澳大利亞悉尼大學隸屬于新南威爾士州。