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摘要：探討數學理論為什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不僅要知其然，而且還要知其所以然，簡述該深刻內涵揭示的深入細致的數學真理，…。

探討數學理論為什么1+1=2（原創）

作者：任感恩

摘要：探討數學理論為什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不僅要知其然，而且還要知其所以然，簡述該深刻內涵揭示的深入細致的數學真理，…。

關鍵詞：1、數學理論為什么1+1=2，2、哲理整性質，3、哲理整小數4、廣義整數，5、有限不循環小數，6、有限循環小數，7、最大分數單位1/2，8、小數單位，9、最大小數單位——0.5等等

1、數學理論為什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：

純粹數學理論上存在著缺陷與不足，那就是偶數能被2整除、奇數不能被2整除，換言之，純粹數學在理論上根本無法承認和接受2是數學公理，因為奇數不能被2整除自身就是科學根據與鐵的事實，偶數能被2整除、奇數不能被2整除，如此理論太絕對了，已經給純粹數學的理論造成了不可思議，奇數不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探討、探索——不能還停留在偶數能被2整除、奇數不能被2整除玄學的理論水平上，要深化理論認識，…。

為什么1+1=2，本文回答既簡單又深奧：偶數能被2整除，奇數不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數與偶數相反相成對立統一，1+1=2是數學首要公理，1+1=2蘊涵著深刻的對立統一規律，是啊！它真的既簡單又深奧，它簡單的表面上看似是小學生的基本知識，然而其道理深奧地不可思議、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解與接受，更不是小學生能夠理解的數學知識，...!

偶數能被2整除，奇數不能被2整除卻著實能被2哲理整除，奇數與偶數不僅存在著對立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，…，

其一：奇數不能被2整除卻著實能被2哲理整除就是指奇數與偶數的異中之同，差異中的共性與同一性，

其二：偶數能被2整除、奇數不能被2整除就是指奇數與偶數的差異性、排斥性、對立性，

因此說，奇數與偶數既有對立性又有同一性，奇數與偶數二者存在著相反相成、對立統一的辯證關系，它揭示著2是數學公理系統的首要公理，這是世界觀的認識問題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認識論、方法論，如果玄學，無論如何都是無法理解、接受它，如此真理說不清、理還亂、但是它的廬山真面目就是如此，無法更改，古人云“不識廬山真面目、只緣身在此山中”，需要“跳出廬山看廬山”，要擺脫兩千多年玄學的嚴重束縛，…。

為什么1+1=2不是指數論的“1+1”，為什么1+1=2？不僅要知其然還要知其所以然，…，絕對值1+1=2與數論的“1+1”既有差異又有聯系，如果把素數2看作偶素數，那么數論的“1+1”是指大于等于6的偶數可表示為兩個素數之和——歌德巴赫猜想，無需奇素數，本文素數就是指奇素數3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，數論的“1+1”它是絕對值的特殊公理，數論的“1+1”與絕對值的1+1=2在數值邏輯公理系統中一脈相承，在絕對值1+1=2數值邏輯公理系統中蘊涵著數論的“1+1”，數論的“1+1”是數值邏輯公理系統偶環節上的特殊公理，換言之、數論的“1+1”也是數學公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，無窮無盡）擁有客觀存在性，并非被摘取下來才擁有真實性、摘取不下來就非真實性和非客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可、這背離了數學（邏輯）排中律，…。

雖然哥德巴赫猜想數學命題沒有被數學專家畢了、依然被人們研究著，但傳統的素數“篩法”，此路不通已失去了昔日輝煌，…。

2、自然數與正整數、單位“1”與自然“1”：

1+1=2是科學抽象的、1+1=2以及正整數是相對于廣義的單位“1”而言，單位“1”的含量絕對統一，1+1=2并非自然“1”的意義，事實上自然數與正整數既有差異又有聯系，自然數是相對于自然“1”而言，正整數是相對于單位“1”而言，正整數是把自然數提升到了抽象的科學高度，由于自然數、時常因單位“1”不統一、“含金量”不一致，如果對自然數直接進行運算是有很大的局限性——有時正確、有時有偏差，我們人類是聰明智慧的，有了數學的廣義的單位“1”、正整數，消除了自然數的局限性，…。

3、哲理整小數以及哲理整小數的雙重性質（或哲理整分數和哲理整分數的雙重性質）：

小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的絕對值擁有相互矛盾的雙重性質，其一是哲理整性質、其二是普通小數性質，哲理整性質是指小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它們的小數部分均為0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的絕對值比其他普通小數的絕對值整裝、…、本文將它們的這一特性簡稱為哲理整性質（相對整），因為1/2是最大分數單位，則0.5是最大小數單位，因此0.5擁有哲理整性質，它地地道道、的的確確客觀存在著，我們的認識迄今為止還未意識到，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，唯恐越看越不明白，令人意亂、勞神，...。

哲理整小數：本文將小數0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它們的哲理整性質（相對整）統稱為哲理整小數，務必明確的說明，哲理整小數擁有相互矛盾的雙重性質，其一是哲理整性質、其二是普通小數性質，…。

哲理整分數：本文將分數1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它們的哲理整性質統稱為哲理整分數，哲理整分數擁有相互矛盾的雙重性質，其一是哲理整性質、其二是普通小數性質，…。

普通小數：不包含哲理整小數在內的小數簡稱為普通小數。

普通分數：不包含哲理整分數在內的分數簡稱為普通小數。

4、1/2和0.5哲理整性質的科學依據:

分數擁有分數單位，數學教科書應該明確指出1/2是最大分數單位，1/1不是最大分數單位、是整數分數，1/1=1依然體現整數性質、是一個特例，然而迄今為止還沒有小數單位，數學需要向前發展提出小數單位、最大消暑單位，要明確指出最大小數單位是“0.5”，而且為奇數能被2哲理整除提供客觀科學依據，才更符合數學的客觀實際！單憑直覺，最大分數單位1/2和最大小數單位0.5還未體現出其真正數學意義，最大分數單位和最大小數單位在本質上體現哲理整性質才是其真正的數學意義，這是如何對待數學真理的重大認識問題，并非可有可無，可無必然是一個數學錯誤，1/2和0.5的哲理整性質是微小微妙、微乎其微的變化、微不足道的差異性，若不仔細認真觀察很難被人們發現，形而上學排斥它、大多數人無法理解接受它，有理難辯啊，難！真的很難！不僅如此還會遭人諷刺、挖苦等等，…。

關于分數和小數：分數單位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對應下的小數應為小數單位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。

哲理整性質的來龍去脈：在數值邏輯公理系統中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…從系統發展變化中分化出來，占據整數的位置充分地十足地體現其哲理整性質或者說體現其相對整性質，數值邏輯公理系統為其提供科學依據；最大分數單位1/2、最大小數單位0.5也為其提供科學依據，只有在數值邏輯公理系統中才能夠發現0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）擁有哲理整性質，單憑直覺無從談起，單憑直覺只能看到最大分數單位和最大小數單位，…。

能被2整除的是偶數，…，整數0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…為偶數能被2整除提供科學依據舉世公認，…。

為了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暫時將它們看作哲理整數（相對整數），哲理整數為奇數能被2哲理整除提供客觀科學依據，哲理整數指小數0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的絕對值比其他普通小數的絕對值整裝——因為0.5是最大小數單位，與整數形成異中之同，差異中有共性，數學與哲學將這一特性簡稱為哲理整性質（相對整）——哲理整數（相對整），但是理解接受以后：絕對不能忘記了哲理整數擁有相互矛盾的雙重性質，一是擁有普通小數性質、二是擁有哲理整性質，只承認它們的小數性質認識是片面的，只承認0.它們的哲理整性質認識是片面的，…。

事實上只有把哲理整數統稱為哲理整小數體現雙重性質才更確切、完整、正確，…。

5、有理數系數值邏輯公理系統（就不展開敘述了）：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此結構式上下交錯對應不能散開）

[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1環節：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2環節：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3環節：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4環節：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5環節：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6環節：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

……，…，

∑{[0～1]}意指0與1之間的基數之和，它是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數組，其他依次類推，符號↓：意指派生子集合，很顯然，在系統數值邏輯運算過程中，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統發展變化過程中產生分化出來，占據整數位置，充分體現其哲理整性質，即派生子集合，為奇數能被2哲理整除提供科學依據，蘊涵著完整的數值運算規律，數論、集論、算術三位一體、辯證統一，蘊涵著完整數學公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。

潛無限給數值邏輯奠定基礎并給作科學指導，潛無限排斥實無限，…。

實無限只能給數理邏輯奠定基礎，如何給數值邏輯作科學指導？實無限排斥潛無限，事實上互相排斥，…。

6、廣義整數：

廣義整數：將整數和哲理整小數統稱為廣義整數（將整數和哲理整分數統稱為廣義整數），…。

7、有限不循環小數：

有限不循環小數：為了便于理解，簡言之，我們把無限不循環小數有限數字（小數點右邊至少有兩位或兩位以上不循環數字）稱之為有限不循環小數，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有無限不循環小數必然存在著有限不循環小數，在數值邏輯中，有限不循環小數與潛無限不循環小數擁有替代無理數數值的巨大意義與作用；有限小數中的小數再如此細致地劃分出有限不循環小數、有限不循環小數，才更切合實際，在數值邏輯公理系統中會發現：有限不循環小數擁有客觀存在性，擁有無限不循環小數就必然存在著有限不循環小數，這的確是一個認識問題，有限不循環小數可表達為分數形式，因此有限不循環小數是有理數，同時還是超越無理數的有限形式，因此可替代無理數數值（無理數的近似值），只談無限不循環小數（只談無理數），不涉及到有限不循環小數是不行的，…。

尤其是有限不循環小數，在實質上擁有替代無理數數值的巨大意義與作用——此乃有限不循環小數的重要數學意義。

8、有限循環小數:

有限循環小數:為了便于理解，簡言之，我們把無限循環小數有限個循環節（小數點右邊至少有兩個或兩個以上數字循環節）稱之為有限循環小數，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有無限循環小數必然存在著有限循環小數，有限循環小數客擁有客觀存在性，它可替代無限循環小的數值，…，這也是一個認識問題，有限循環小數可表達為分數形式，因此有限循環小數是有理數，…。

9、普通有限小數：

把小數點后邊有一位數或兩位數以內的小數簡稱為普通有限小數，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。

10、總之、數學理論要有所突破、要有所進展：

數學（算術）需要向前發展有所突破：

（1）提出數學理論為什么1+1=2，

（2）明確指出1/2是最大分數單位，

（3）提出小數單位、最大小數單位、0.5是最大小數單位，

（4）將有限小數細致劃分為：

a、哲理整小數：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，

b、普通有限小數，

c、有限不循環小數，

d、有限循環小數，

（5）有理數系數值邏輯公理系統，

（6）廣義整數，

（7）哲理整分數：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，

（8）整數分數：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……統稱為整數分數，擁有雙重身份，…。

（9）雙素數：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值素數之和，雙素數星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，無法否定它，

（10）偶素數——2：2既是一個偶數又一個素數，把2簡稱為偶素數，

等等才更接近數學的實際情況，希望數學教師率先轉變數學思維理念給以鼎力支持，…。

總之，依然還是把整數與分數統稱為有理數，只不過是又將分數劃分為哲理整分數、普通分數、還有整數分數，...，為什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次說明，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，這是很正常的，且末當真、切莫較真，同時也說明一點本文為什么1+1=2的含義不同于1+1為什么等于2？，也未直接涉及到數論的“1+1”，…。

錯字、多字、漏字、錯誤在所難免，本文作為數學學術最新觀點，僅供參考、并不強加于人。

參考文獻：

1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國人民大學出版社出版

2、《古今數學思想》（北京大學數學系數學史翻譯組譯）上海科學技術出版社出版，1981年7月。原作者：（美國數學家）M.克萊因著

3、《普通邏輯原理》，主編：吳家國，高等教育出版社出版，1992年9月

4、《數學詞典》：上海辭書出版社出版，1993年11月

5、為什么1+1=2——試論《數學基礎》數值邏輯有理數系基本理論自身的深刻變革