導語：剖析電子商務中最優網絡拍賣方案一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

內容摘要：本文研究了電子商務環境中，當拍賣參與者不確定時拍賣人的最優拍賣方案的設計和特征。我們用泊松過程來描述拍賣參與者得到達，比較了兩種拍賣的停止規則下的最優拍賣，并用例子進行了說明和比較。

關鍵詞：拍賣泊松過程停止規則

拍賣這種交易方式有著悠久的歷史，拍賣這種交易方式起源很早，根據記載公元前500年的中亞巴比倫地區，男人們通過拍賣的方式來得到妻子。拍賣在古羅馬也很盛行，人們用拍賣的方式出售戰利品，貨物，地產甚至王位。關于拍賣的形式和歷史，在Cassady(1967)的書中有很詳細的記載，可惜這本書國內不易見到。古往今來，被拍賣的物品也形形色色，從古玩字畫到日常用品，從農產品到海鮮，政府債券，營業執照，電波頻率的各種有形無形的物品無所不報。最近幾年，拍賣被用來出售政府資產，電信執照以及電力市場的產品引起了人們的關注。另一方面，因特網和電子商務的發展，網絡拍賣也日漸興盛。不但出現了專業的拍賣網站，許多交易也采用拍賣的方式。

拍賣理論是最近二十年蓬勃發展的經濟學分枝，1996年現代拍賣理論的奠基人Vikery獲得了諾貝爾經濟學獎就是一個重要的標志。拍賣的方式起源很早，但是有記載的理論研究卻是從上世紀的五六十年代開始的。Vikery提出了正式的拍賣模型，并得到了著名的“收益等價原理”。Vikery的模型是私人價值(Privatevalue)模型，不久之后，Wilson提出了公共價值模型(Commonvalue)，對于各種拍賣的研究出現在各種管理學的雜志中。到了八十年代，拍賣理論的研究也出現了新的重要進展。Reliey和Samuelson(1981),Myerson(1981)同時證明了更加一般的“收益等價原理”：在任何兩個不同私人價值拍賣模型中，如果物品總是由評價最高的人得到，并且評價最低的人在兩個模型的收益是一樣的，那么這兩中拍賣產生相同的預期收益。而且，Myerson(1981)也證明了一般的最優拍賣機制的設計要滿足的條件。同時，Milgrom和Weber(1982)提出了“AffiliatedValue”模型，統一了私人價值和公共價值模型，為拍賣理論的研究提供了新的框架。

收益等價原理成為拍賣理論發展的基準，之后的理論進展在于放松假設原理的假設條件。收益等價成立的條件有：（1）參與者風險中性。不論是拍賣者（auctioneer）,還是竟價者（bidder）都是風險中性。（2）只有一件物品拍賣。（3）不同竟價者對拍賣品的評價是獨立的私人評價，不受其他人評價的影響。（4）竟價者之間不存在合謀和勾結。（5）竟價者之間是對稱的，他們的評價有相同的分布，對于拍賣的結構有相同的信息。同時，文獻提出了四種標準的拍賣模型：英式拍賣，荷蘭式拍賣，第一價格拍賣和第二價格拍賣。其中。前兩種拍賣是公開拍賣，后兩種拍賣是密封價格拍賣。在所有放松收益等價原理條件的研究中，往往考察四種標準拍賣的收益比較情況，得到的結論有時是英國式拍賣最優，有時是第一價格最優。拍賣的機制設計有重要的影響，沒有普遍最優的拍賣方式。一方面，隨著上世紀九十年代政府用拍賣的方式來頒發電信執照，電力管制和進行公用事業的私有化，現實的經濟現象對拍賣理論提出了新的問題；另一方面，隨著理論的進展，拍賣理論的研究突破了單一物品拍賣的研究，討論同時多單位產品同時拍賣的問題。早期的研究中關注的是各種拍賣形式的收益問題，逐漸轉移到討論最有效率的拍賣的問題：即拍賣的結果是對物品評價最高的竟價者獲得拍賣品。這反映了在政府主持的拍賣中效率問題是考慮的關鍵，是理論和實踐結合的顯著例子。

不但政府方面重視拍賣，隨著電子商務和網絡交易的發展，網上拍賣的日漸發展對理論也提出了要求。在最優拍賣理論的研究中，拍賣的參與者的數目是固定的。從機制設計的角度來看，拍賣就是一組規則，決定拍賣的嬴家和所有參與者的支付，Myerson(1981)證明的一般最優拍賣機制中參與者的數目就是固定的。在重要物品的拍賣時，通常要有一段籌備時間，為傳播拍賣的消息以便吸引足夠的竟價者，使拍賣順利進行。但是在網絡的環境中，參與拍賣的參加者是可以變化的，拍賣的參與者受瀏覽拍賣網頁的人數的影響，可以認為這是一個隨機變量，因而在拍賣的設計時要考慮這個因素。對于這種情況，我們可以用下面的一個例子來說明。假設你有一臺隨身聽，現在的潮流是聽各種款式的MP3播放機，你也想加入潮流之中，但是你的現款不夠。這時，你想到把隨身聽賣掉。你經常上網，知道網上拍賣很流行，你就想把它拍賣掉。你需要錢，希望隨身聽越快賣掉越好，但是你也希望能賣一個好價錢。你開始拍賣時不知道會有多少人參加拍賣，但你知道上網的人中參與你的拍賣的人有一定的分布。你可以確定拍賣持續的時間來進行拍賣，你也可能等不急，只要有一定的參與者可以結束拍賣。這樣，就有兩種不同的規則可以結束拍賣，在這不同的規則下，最優的拍賣應當是什么樣的形式？由于參與者到達是隨機的，你要在人數和時間之間進行權衡。

本文研究這樣一類模型，參與網上拍賣的竟價者服從泊松過程，拍賣者具有時間偏好的情況下，兩種拍賣結束規則下的最優拍賣設計。第一種規則是“定時規則”：規定拍賣開始和結束的時間，拍賣持續的時間是事前規定的，在拍賣進行的時間內，參與者服從泊松分布。第二種規則是“定員規則”：規定拍賣開始的時間和參與者數目，當拍賣持續到參與者達到規定的數目時拍賣結束。在文章接下來的部分中，第二節模型的基本定義和假設。為了便于比較和分析，第三節是參與者數目固定時最優拍賣機制的設計，第四節和第五節分別討論“定員規則”和“定時規則”下的最優拍賣機制設計問題，第六節是一個例子，最后一節是對文章的總結和評注。

二、模型

這里我們使用私人價值的框架，參與者都是風險中型的，只拍賣一單位的物品。對于此物品，拍賣者的估價為，拍賣者的貝努利函數，這里是拍賣者的時間偏好率，是拍賣結束的時間，我們假設拍賣結束時，得到收入。這樣，拍賣者的效用函數=，這里，其中表示“定時規則”，表示“定員規則”，不同的規則下有不同的參與者數目和拍賣結束時刻。

我們假設當拍賣開始后，到達的買者的數目服從參數為的泊松過程，即有：（1）；（2）；（3）有獨立增量的性質。這里，我們記拍賣開始的時刻為0，表示到時刻時買者的數目。是泊松過程的參數，表示單位時間到達的人數。下面我們定義拍賣的停止規則：

“定時規則”是一個實數，表示拍賣持續到時刻停止，拍賣者決定拍賣停止。（2.1）

“定員規則”是一個整數,表示當參與者的數目達到時，拍賣者決定拍賣結束。（2.2）

我們可以看到，在“定時規則”下，拍賣持續的時間是固定的，但是參與者的數目是不確定的，根據泊松過程的性質我們知道在有限的時間內參與人數也是有限的；在“定員規則”下，參與者的數目是確定的但是拍賣持續的時間是不確定的。我們令表示在“定員規則”下拍賣結束的時刻，則根據泊松過程的性質我們知道服從參數為和的伽馬分布，分布密度函數為，，平均等待時間為有限值。

令表示拍賣結束時竟價者的集合。表示拍賣參與者的數目，在不同的規則下，有不同的含義。在“定時規則”下，是個隨機變量，。在“定員規則”下=，是一個固定的數。

對于每一個，參與者的私人評價為，貝努利函數。這里有連續分布表示評價小于的概率，具有連續密度函數，分布的支撐為=，在上嚴格正。同時，我們假設是的單調增函數。我們用表示拍賣結束時所有可能的參與者類型組合的笛卡兒集，。。對于每個，我們用表示其他參與者所有可能的類型組合。我們假設參與者之間的評價是獨立的，并且都獨立于到達的泊松過程。

三、固定數目參與者的最優機制

根據顯示原理（revelationprinciple）(Myerson,1981)我們可以考慮直接顯示機制。拍賣者設計每個參與者得到物品得到概率和支付滿足：和（3.1）

在拍賣結束時拍賣者根據每個參與者報告他的私人評價，計算和，我們用表示概率組合，表示參與者的支付組合。這樣，一個機制就是組合。

在這樣一個機制下，參與者報告時的預期贏得物品的條件概率為，條件預期支付為。參與者的效用函數為=-，由于參與是自愿的，任何可行的機制都要滿足參與者的參與約束：對，，有（3.2）

在這個機制下我們這里考慮的拍賣人面對固定個數的買者，這里拍賣人面對的不確定性只是賣者評價的不確定性，拍賣人的收入為（3.3）

由于參與人對拍賣品的評價為私人信息，任何機制都必須使得參與者真實報告是一個Nash均衡,滿足激勵相容機制:-對任意的，，（3.4）

這樣，在拍賣的直接機制中，一個可行機制就是組合滿足（3.1）（3.2）（3.4）。

使用通常的技巧，充分的利用激勵相容約束我們可以得到下面的引理：

引理1是可行機制當且僅當下面的條件滿足：

如果，那么有（3.5）（3.6）（3.7）以及和（3.1）

這個引理充分刻畫了可行機制的特征，這樣拍賣者的問題就是選擇滿足引理1的機制，來最大化他的預期收益（3.3）。利用條件（3.6）和，的定義我們得到拍賣者的收入為=（3.8）

這樣一來，拍賣者的問題就是在滿足約束（3.1）（3.5）（3.7）的機制中選擇來最大化收入（3.8）。解這個最大化問題，由于問題關于是凹函數，而且是線性的，我們在上逐點最大化就得到了引理2，就是拍賣人的最優機制。

引理2是最優機制當且僅當滿足約束（3.5）（3.1）最大化并且（3.9）（3.7）以及和（3.1）

這樣，由引理2和我們關于參與者評價分布的假設就得到固定數目參與者時的最優拍賣機制。我們可以知道，，由于是線性函數，因而>時，拍賣人保留物品不予售出，僅當>時，>0。可以解釋為邊際收益，只把物品分配給具有最高邊際收益的買者。由于我們假設是單調遞增的，對任給，最優機制就是最大化同時滿足約束，。由的單調性，我們可以知道也是單調的，因而滿足約束（3.5）。為了得到參與者的支付函數，對任何關于其他人的估價的向量，我們定義，是參與者相對于的最小成功出價。這樣我們就可以根據（3.9）和上邊的分析得到下面的推論。推論1當參與者數目固定時，最優拍賣機制的結構如下：

參與者獲得成功的概率滿足：參與者的支付

最優機制滿足具有最高邊際評價的買者的到物品，他的支付是最小獲勝評價。由于分布是連續的，出現相同邊際評價的概率為0。

四、“定員規則”下的最優機制

這里和整篇文章一致，我們假設拍賣者有完全的承諾能力（fullcommitment）,拍賣者對物品的評價是公共知識。在“定員規則”下，拍賣人在事前就確定了拍賣的參與人，拍賣人對參與者的人數沒有不確定；拍賣人在這時不確定拍賣停止的時刻。由于買者到達的時刻和他的信息的分布是獨立的，因而拍賣人在拍賣停止時的參與人數事固定的，因而在給定人數時，第三節的推論1的機制是最優的。

由于在“定員規則”和第三節分析的不同之處在于前邊的參與者人數是固定的，在這時我們要選擇拍賣的結束人數。這時，一個可行的拍賣機制就是一個三元組（，，），其中滿足約束（2.2），給定，（，）滿足引理1。此時的可行機制由停止規則，物品分配概率向量和支付向量組成。

從第二節我們知道=，由于評價和到達時間是獨立的對任意可行的機制，我們知道和是獨立的，因而對任一可行機制有：==（4.1）

這樣，拍賣者就可以在可行機制中進行選擇最大化他的效用（4.1）。這一目的可以通過兩步來的到，首先給定，計算最優機制得到和（，）,這里（，）滿足推論1。第二步我們計算最優的最大化導出的效用=，就可以得到最優的停止人數。這樣我們就得到：

引理3“定員規則”下的最優機制是如下的三元組（，，），滿足條件：（1）；

（2）給定，（，）滿足推論1。

由于，不一定具有可微性，同時沒有明確參加者評價的分布函數時，不易得到一般的結論。后面在第六節我們用例子來說明機制的結構。簡單分析可以知道，時間偏好對機制的選擇有影響。前邊我們也看到，時間偏好對分配機制的影響只是通過停止規則來發生作用。

五、“定時規則”下的最優機制

和“定員規則”不同，在“定時規則”下拍賣結束時拍賣參與人的數目時不確定的。拍賣人在事前確定了拍賣的停止時刻，拍賣人對參與者的人數是不確定的；拍賣人對拍賣停止的時刻的選擇就是對參與人數概率分布的選擇。由于買者到達的時刻和他的信息的分布時獨立的，同樣拍賣人在給定拍賣停止時的參與人數固定時，第三節的推論1的機制是最優的。

由于在“定員規則”和第三節分析的不同之處在于后者的參與者人數是固定的，在這里我們要選擇拍賣的結束時間。不同的結束時間對應著結束時參與人數不同的概率分布。

“定時規則”下一個可行的拍賣機制就是一個三元組（，，），其中滿足約束（2.2）。這里，與前邊的不同之處在于，拍賣者事前無法確定結束時刻買者的數目，于是它的可行的配置必須對每一個可能的參與者數目都給出規定。（，）=就是結束時刻人數的函數，對于每一個給定，滿足引理1。此時的可行機制由停止規則，物品分配概率向量和支付向量組成。

從第二節我們知道=，由于評價和到達時間是獨立的對任意可行的機制，我們知道是事前選擇的，因而對任一可行機制有：=（5.1）

這里我們看到，拍賣者獲得收入的時刻時確定的這樣，拍賣者就可以在可行機制中進行選擇最大化他的效用（5.1）。這一目的可以通過兩步來的到，首先給定，計算最優機制得到最優機制下的條件效用和條件最優機制（，）,這里（，）滿足推論1。第二步我們選擇最優的來選擇參與人數的分布萊最大化的效用=，就可以得到最優的停止時間。

這樣我們就得到：引理4“定時規則”下的最優機制是如下的三元組（，，），滿足條件：（1）；

（2）給定，對結束時刻的任意人數,滿足推論1。

由于，不一定具有可微性，同時沒有明確參加者評價的分布函數時，我們選擇停止時刻是在不同概率分布之間選擇，我們可以預料這使得最大化問題更復雜。我們甚至不能一般性的證明解的存在性。在第六節我們用例子來說明機制的復雜性。

六、一個簡單的例子

這里，我們假設買者是對稱的，他們的私人評價服從相同的分布，都是服從區間上的均勻分布。拍賣者對拍賣品的估價為=0。

（i）在給定參與者人數為的時候，我們可以計算出拍賣者最優的預期收益=，同時，我們可得到最優的概率分配機制，，(7.1)

我們可以看到評價最高的參與者獲得了拍賣的勝利。此時最優的支付為，(7.2)

這里，={1，2，…..，n}表示買者的集合,勝者的支付為最高的失敗價格。這和通常的第二價格拍賣是一致的，可以通過第二價格拍賣來執行最優機制。

(ii)在“定員規則”下，我們計算最優的機制。首先，給定任一可行的停止規則，我們可以計算得到停止時的期望收益為=，這樣，在這種規則下。拍賣者的效用函數==

接下來選取停止人數最大化，我們得到。從這里我們可以看出，最優停止人數的選擇受拍賣人的時間偏好和買者到達特征決定的。當，有，當拍賣人沒有耐心時，他會和遇到的第一個人交易，他的期望收益為0。當，有，拍賣人不存在時間偏好的時候，他會充分利用買者的特征，等待足夠多的買者，得到更大的效用。在本例中，當，時，拍賣者可以得到最高的收益1。但是為了得到這一收益，拍賣者的平均等待時間要接近取窮大。

（iii）在“定時規則”下，首先，給定任一可行的停止規則，我們可以計算得到停止時參與人數為=時的，期望收益為=，這樣，在這種規則下。拍賣者的效用函數===

我們可以看到，簡化的效用函數是關于停止時刻的一個復雜的超越函數，我們沒有辦法得到關于最優停止時間的解析解，但是如果知道具體參數的值，我們可以用數值解法來得到最優的時刻。為了說明最優時刻的存在性，我們去參數，，作圖如下，說明確實存在最優的時刻。這一性質是普遍成立的。=Exp[-0.5t](1–2(1-Exp[-2t])/(2t)),{t,0,10}

當然，我們可以假設其他的分布函數計算最優拍賣機制的特征，不同的停止規則造成拍賣結束時不同的參與人數分布，這是本文考察的兩類停止規則的最大的不同。

七、結語

拍賣理論仍然是一個具有廣泛發展前景的研究領域，仍然有許多為解決的問題需要討論同時隨著拍賣實踐的發展，也不斷的出現新的問題。本文假設參與拍賣的買者服從泊松分布，比較了兩種不同停止規則下的最優設計問題。本文沒有涉及的一個問題是這兩種規則是否等價：即給定一種規則下達到的效用，存在另一種規則下的一個選擇達到同樣的效用；或者這兩種規則中的一種帶來更大的收益。更進一步的，是否存在一個一般的最優的停止規則，而不僅僅局限在這兩種規則中進行選擇？這需要進一步]研究的方向。

另一方面，本文沒有涉及的內容是買者的策略問題，即沒有考慮最有機制如何實施的問題。本文中，買者只是被動的報告評價。如果買者到達是外生隨機的，在許多常用的拍賣形式中就會有一個買者選擇出價時間的問題。這在“定時規則”下就是買者出價時間的選擇，這超出了本文的框架。對于這一現象的研究可以參看Roth(1999)文章對于Ebay和Amzon兩大拍賣網站的拍賣中買這出價時間現象的有趣分析。

參考文獻：

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