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摘要：程式化、僵化的小學數學教學過程越來越難以適應小學生核心素養的發展需要，其主要問題是教師在準備階段對學生的日常數學活動經驗與興趣關切不夠，實施階段對數學本質和數學教育價值缺乏深刻認識和思考，延伸階段未能清楚滲透數學知識的真正用途。對應懷特海智力發展的“浪漫—精確—綜合應用”三節奏說，改進教學過程的準備、實施、延伸三階段，采取在準備階段重視日常數學活動經驗教學、實施階段突出數學概念本質教學、延伸階段注重數學思維教學，有助于學生數學人文、數學意識和數學思想等核心素養的養成。

關鍵詞：小學數學；教學過程；懷特海；智力發展節奏說

一、當前小學數學教學過程存在的主要問題

（一）準備階段對學生的日常數學經驗與興趣關切不夠

準備階段就是教師進行教學設計的階段，在此階段，多數小學數學教師對教學設計的理解過于膚淺，他們誤認為教學設計就是上課之前寫教案，設計方法就是按照書上的教學流程或者參考網上的資料，設計整個教學活動[1]。而且，他們很少花時間去關心學生生活中的數學經驗與課堂外數學學習興趣，教師把自己和學生的準備時間都框限在數學教科書知識的鞏固與預習之中。

（二）實施階段對數學本質和數學教育價值缺乏深刻認識和思考

實施階段就是新知識講授的階段。傳統課堂提倡教師對教學過程的絕對控制，在這個過程中，教師把傳遞客觀、精確的數學知識當做自己義不容辭的責任。但隨著新課程改革的提倡，學生的學習主體觀念已完全深入小學數學教師心中，在教學模式或教學方法上過于追求形式上的對話、合作與探究，教師的嚴肅、認真、追求精確的嚴格精神遭受懷疑；學生混亂、浪漫、碎片的知識觀念受到鼓勵，在課堂上缺乏必要的客觀、精確的數學思維約束。直到現在，很多小學數學老師對“數學是什么”的數學本質論、“為什么學數學”的數學教育價值觀缺乏深入思考，誤認為小學數學知識背后所蘊含的數學思想方法沒必要挖掘，以至于小學生的數學思維和數學素養并沒有隨著課堂上數學知識的掌握而發展、提升。

（三）延伸階段并未清楚滲透數學知識的真正用途

延伸階段可以理解為新知識實際運用階段。部分教師認為學習數學的目的就是掌握精確的數學知識，知識運用要么是做各種各樣的題目，要么就是解決生活中實際困難。孰不知，數學知識除了在實際生活中的應用之外，更重要的用途是為我們提供不同的研究視角。比如，數學教師在講授“三角形三邊關系”新課時，經常遇到學生已經知道了“兩邊之和大于第三邊”（根據兩點之間線段最短的常識判斷）的課堂尷尬，大多數教師還是從“邊和角”這個傳統視角按照“發現-探究-驗證”的教學模式得出結論。其實，教師完全可以從“邊”這個新視角進行教學，把三角形看成一條線段和一條折線，很容易得出“兩邊之和大于第三邊”的結論。正如愛因斯坦所說，畫家、詩人、思辨哲學家和自然科學家所做的，都是按照他們自己建構的圖像去認識世界，而理論物理學家按照自己的圖像描述各種關系時要求盡可能達到最高標準的嚴格精確性，這樣的標準只有用數學語言才能做到[2]。可見，數學除了實際應用之外，還是科學的語言。因此，教師在延伸階段需要清楚地給學生指明數學為我們提供不同研究視角的重要意義。

二、懷特海的智力發展節奏說與小學生數學核心素養

艾爾弗雷德•諾斯•懷特海是世界著名的哲學家、數學家、教育理論家。他認為教育要培養的是有創新精神、有智慧、具有“既能很好地掌握某些知識，又能出色地做某些事情”的人文精神和審美能力的人[3]。這種思想與我們提倡的新課程理念不謀而合，也與當前強調的培養小學生的核心素養——“數學人文、數學意識和數學思想”基本理念一致[4]。特別是懷特海在其教育名著《教育的目的》中提出“教育的節奏”這一論點，他認為“不同的科目和不同的學習方式應該在學生的智力發育達到適當的階段時采用”，強調教育中按照學生的智力發展階段實施相應的教育非常重要。懷特海認為人的智力的發展是周期性的、有節奏的，他將智力發展分為三個階段：浪漫階段、精確階段、綜合運用階段[3]32。浪漫階段是直接認識事物并開始領悟的階段。在這一階段，我們必須關注學生情感上的興奮狀態，浪漫的遐想以及紛繁而活躍的思想，對新奇、未知充滿渴望。懷特海認為傳統教育的弊端之一就是沒有意識到浪漫階段的重要性，導致過去越來越多的教育失敗。而“數學人文”素養就是要求我們的學生能夠愿意學數學、直面數學中難題、不斷嘗試建構生活中的數學問題，能夠發現并欣賞數學中的真、有序、簡單、規則統一、答案唯一的價值與美，能嘗試用數學進行閱讀、交流與寫作等，從而讓學生喜歡數學。精確階段是個體掌握精確知識、對先前大腦中紛繁而活躍的思想進行梳理的階段，分析前一階段感知的事實，證實事實之間存在的種種可能性，建立知識體系[3]34。此階段“精確”居于首要地位，知識得到了梳理、排序和理解，前一階段的模糊認識在此變得清晰。他認為必須重視這個階段，教育者不僅要強調浪漫對興趣的激發，也要重視精確階段艱苦的準確訓練。進一步，“數學意識”素養即是要求學生能夠掌握基本的數學運算、空間觀念、符號意識、解題策略等有關知識與方法。綜合運用階段是在精確訓練之后，將一般概念應用于具體事實，也即從認識知識到發展知識的階段。個體將所學的準確而豐富的知識應用到更新更多的情境之中，從而再一次引發對新事物的好奇和一知半解的領悟，也稱之為“重歸浪漫”[3]35。但與浪漫階段相比，在經過中間階段精確性訓練以后，個體已進入主動應用知識的自由狀態。在這一階段，知識的細節可能會減少，但個體獲取知識的能力卻提高了。進一步，“數學思想”素養即表現在學生能夠在數學思維品質的引領下能夠對從未遇到復雜數學問題進行合理推理，能夠對復雜的生活情境進行數學建模。總之，懷特海強調智力發展節奏遵循從浪漫階段到精確階段再到綜合運用階段的循環往復的周期過程?；久抗澱n、每天、每星期、每學期都可以構成一個個循環往復的漩渦周期。并且需要注意的是，這種循環不是線性的、單向一次完成的，而是螺旋上升的。我們也不應該過多強調這三個階段間差別，之所以做出這種區分，只是為了強調各個階段的“側重不同、主要物質不同—浪漫、精確、綜合運用，自始至終存在著。但是占主導地位的階段交替出現，正是這種交替構成了各個循環周期”[3]31。

三、懷特海智力發展節奏說對小學數學教學過程的啟示

（一）準備階段重視日常數學活動經驗教學

懷特海認為“浪漫”表達的是一種情感體驗,是充滿聯想、不受約束的，屬于積累經驗事實到開始認識事實間廣泛聯系的階段[6]。在此階段，學生用“模糊”表達浪漫階段處于廣泛聯系的沒有清晰揭示知識的認識狀態。而“基本數學活動經驗”是《全日制義務教育數學課程標準（2011）》“四基”核心理念之一，能培養學生的數學核心素養[5]。因此，教師在浪漫階段要重視學生的日常數學活動經驗。比如學生在日常生活中見到各種形狀的容器以及它們的容量，就為課堂上理解幾何體、體積提供了思考的教學對象；學生在日常生活或游戲中獲得的平衡觀念也為理解等式、方程等提供了直覺上的教學幫助。學生的知識體系尚未完全建立，但呈現給學生的教材內容相互間存在著種種聯系，有待學生去探索、發現。這時教師可以根據該課的學習內容創設一個情景、講一個故事或設計一個游戲，吸引學生的注意力，使學生不自覺地進入到情景中并獲得浪漫的體驗。情景創設的原則盡量貼近生活、自然、新奇、有挑戰。浪漫階段是一種有“預謀”的伏筆和鋪墊，需要教師的精心設計。也就是說小學數學教學的浪漫階段不是讓學生無目的地去想象、思考，而是要讓學生根據教師創設的情景思考，自然而然地產生各種想法。比如，在學年級下冊的“有余數除法（一）”這一課時，教師可以設計安排班里16名同學參加“抱團”游戲。游戲規則：老師任意說一個數，16位同學根據這個數抱成一團，例如老師說3，參加游戲的同學就3人抱成一團。這個“抱團”游戲，在生活中學生可能見過或玩過，對他們來說有一定的吸引力，能激發他們興趣。而且這個游戲貼近這節課的內容“有余數除法”，學生通過游戲比較容易理解當報成團的人不能整除參加游戲的人數時，就有同學多余，初步了解余數的含義，為接下來學習有余數除法的豎式做鋪墊。需要指出的是，學生雖然在上課前已經有一些生活經驗和知識經驗，但要讓小學生將已有的經驗與要學的內容聯系起來，有一定的困難。而且對有些學習內容，學生之前可能完全沒有經驗，也不知道從什么角度思考，在知識的迷宮里游蕩，這時就需要教師進行適當的引導，突破領悟。當然，教師的引導不是直接將答案告訴學生，而是為學生提供思考的方向，教師引導得好，有利于學生的思考及產生各種各樣的想法。在浪漫階段，教師還應該特別注意要維持好課堂的秩序，情境、故事、游戲最好跟數學思維訓練有關，而不是漫無目的地聯想。

（二）實施階段突出數學概念本質教學

精確階段的主要任務是對浪漫階段產生的各種想法進行整理、分析、概括，使學生獲得準確的知識。在這一階段，學生分析浪漫階段感知的事實，弄清事實之間的種種關系，建立知識體系。而在小學數學教學中涉及很多數學知識，如各種概念、定理、公理、運算法則等，包含在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”和“綜合與實踐”四個部分之中。其中，數學概念達到500多個。因此，教師必須把這些知識準確無誤地教給學生，保證學生學到的是準確的、科學的知識。教師最好運用變式、正反例等突出數學概念本質。正如我國數學教育界泰斗張奠宙先生所說“數學教育研究似乎有兩個方面，一種是從大局著眼，探討中小學數學內容的整體結構，幫助學生樹立正確的數學觀念；另一種是從嚴謹性出發，弄清數學概念的準確含義，精雕細刻地給學生以數學推導訓練……搞得過細也會流于瑣碎，乃至于墮入形式演繹的海洋而失去方向”[7]。比如，對于“方程”概念的教學，就可以用不同的字母或者一些更為復雜的符號表達式及特殊符號去替代原先經常使用的字母x。如將3x+7=25變形為3y+7=25，以及進一步變形為3(2m+1)+7=25，3ξ+7=25，或者變為更為復雜的變式6=24-3x，6+x=24-2x等[8]。需要注意的是，實施階段不能像浪漫階段那樣讓學生的想象和思維自由馳騁，而應有更多的限制以及約束。教師的指導增加，學生需要集中注意力聽講，理解數學概念、公式、定理、運算法則等，并進行大量的有關準確的知識細節方面的練習，在理解的基礎上領悟其實質。因此，在這階段中教師要想辦法引起學生的有意注意，幫助學生理解和掌握準確的知識。

（三）延伸階段注重數學思維教學

延伸階段是綜合運用階段，學生在這一階段對所學的精確知識已經有了深刻的認識和理解。所以，在此階段教學應該以研究性學習為主，教師應更多地給學生提供一些有挑戰性的問題，注重學生數學思維的培養。如激勵學生把已學的知識應用到新的情境中，給予學生更多的自由，鼓勵學生進行積極的探索。比如對類似于“小明今年8歲，爸爸現在比小明大28歲，18年后爸爸比小明大幾歲？”這樣一道題，就可以引導學生將“當被減數與減數同時增加（或減少）相同的數時，差是不變的”這一自然語言描述，用符號語言進行轉化，即△和○等符號表示未知數，分別代替爸爸和小明的年齡，就是“△-○=（△+18）-（○+18）=（△+□）-（○+□）=28”，對學生滲透△和○可以表示一個變量這一知識，體現符號語言的概括化與一般化，促進學生對相等關系有更深層次的代數思維的發展[9]。如在一堂具體的數學課中，可以通過“擴展與延伸”的形式。比如，對于學習“長方形、正方形的面積”，在完成兩個階段后，就可以提出一個具有挑戰性的問題：某小區要修建一個用鐵柵欄圍成的長方形的停場，停車場靠一面長80米的墻，用了100米長的鐵柵欄，停車場的面積不得少于800平方米，可以怎么圍？對于剛學完長方形、正方形面積的學生來說，他們渴望運用已學到的知識。但這個問題不是運用長方形的面積計算公式就可以解決的，學生需要在逆向思維的過程中，鞏固長方形面積的計算，也使解決問題的能力得到發展。還比如針對《組合圖形的面積（二）》的教學，教師通過提問“是不是所有圖形的面積我們都可以求了？”讓學生獨立思考。學生經過思考容易得出用本節課所學的方法不能算出不規則圖形的面積。繼而教師還可以讓學生思考怎樣才能計算出不規則圖形的面積，這也為學習下一節課“成長的腳印”估計不規則圖形的面積做一定的鋪墊。需要指出的是，在小學數學教學中，浪漫階段、精確階段和綜合運用階段既是有序的，又是相互交織和相互滲透的，三個階段并不是要在一堂具體的數學課中都體現出來，而是小學數學教師在教學過程中要調控大體方向。如果從整個小學階段來考慮，小學的第一學段應該以浪漫階段為重心；第二學段應該以精確階段為重心，但也要重視浪漫階段和綜合運用階段。

作者:賈志國 孫慶括 王巧玲 單位:金華職業技術學院 南昌師范學院 金華市賓虹小學

參考文獻：

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[2]鄭毓信.概念教學應該注意的一些問題[J].小學教學設計，2014（5）：4-7.

[3]懷特海.教育的目的[M].徐汝舟，譯.北京：三聯書店，2002：1.

[4]劉曉萍，陳六一.小學數學核心素養的構成要素分析[J].課程教學研究，2016（4）：42-45.

[5]劉翠平.懷特海教育節奏說對我國當代數學教育的啟示[J].吉林省教育學院學報，2009（1）：92-93.

[6]馬云鵬.小學數學核心素養的內涵與價值[J].小學數學教育，2015（5）：3-5.

[7]張奠宙.數學教育經緯[M].南京：江蘇教育出版社，2003.

[8]鄭毓信.數學思維的學習與教學[J].小學教學（數學版），2013（8）：22-25.

[9]李志，孫慶括.小學高年級學生代數思維形成的影響因素和培養途徑[J].科技信息，2014（4）：20-21.