導語：如何才能寫好一篇數據處理與數學建模方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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隨著新技術和新應用帶動數據爆發式的增長，大數據正逐步走進人們生活，并對傳統數學建模課程產生深刻的影響。近年來，在美國大學生數學建模大賽中，具有顯著大數據特征的賽題不斷涌現，以2017年A賽題為例，其關于贊比西河管理問題的解決涉及大量非結構化數據，特別是地理數據，對數學建模能力的考核已經不再表現為分析問題能力和數據執行能力的獲取，而是上述兩種能力的合取。2018年大賽甚至系統性地專門增加一個數據處理題以反映時代對這方面的要求。因此，在數學建模教學中，任何割裂分析問題能力與數據執行能力聯系的做法已經無法應對大數據對數學建模能力提出的挑戰。具體到教學改革上，需要我們分析好大數據型問題對數學建模課程的影響，對傳統數學建模的課程目標、課程內容、教學手段做出相應調整。

一、構建體現大數據特點的數學建模課程目標

課程目標是教學活動的指導思想，是課程設計的出發點和依托。因此，數學建模課程目標應順應大數據發展的要求進行相應調整，為構建與大數據處理相適應的，新的課程觀、課程目標、課程內容、課程結構和課程活動方式奠定基礎。

數學建模的主要目的是培養學生應用數學理論和知識解決實際問題的能力，而應用好數學解決問題的前提是建模時首先能正確地面對數據類型和關系，進行合理假設。人們在自覺和非自覺狀態下創造的大量非結構化數據和半結構化大數據，它們有些表現為傳統的數、表等結構化特征，有些則表現為諸如文本數據、音頻數據和視頻數據等現代非結構化數據和半結構化數據，多且雜亂。因此，在數學建模課程目標的設定上首先應體現數據結構的特點對調整數學建模課程目標提出的要求。

大數據具有5V特征，即Volume（大量）、Velocity（高速）、Variety（多樣）、Value（低價值密度）、Veracity（真實性）。如，智能制造中設備產生的數據流實時、高速，這些高速數據通過通訊網絡快速與控制系統鏈接，數據流數量級的計算加速大幅提升數據處理與分析的效率，使得機器硬件性能得以充分挖掘，進而提升經營與管理的效益；其他如醫學掃描數據、天文數據、網站流量等，其具有低價值密度的特點。這些不同于以往數據的特征要求我們需要有新的數學建模課程目標與之匹配，這主要表現在數據觀、數據刻畫及數據表現等幾個方面。

傳統數學建模中，數據收集只能通過隨機樣本，利用少數的特征對總體的屬性進行統計推斷。在大數據時代，人們可以通過互聯網、即時通訊工具以及數據庫，獲取各種海量數據。因此，大數據背景下，全數據或海量數據成為樣本數據，即樣本就是總體，樣本就是大數據。

面對這樣的全樣本或海量數據，隨機抽樣有時僅表現為一種邏輯上的意義。而在大數據背景下，一方面，?稻菔占?過分地依賴技術手段，很難進行人為的精度控制；另一方面，數據無論在空間和時間方面，來源更加復雜，格式更加多樣，這就使得數據的前期清洗處理變得非常困難。由于存在系統性的偏差，很難將全部的雜質項從數據中萃取掉，在秉持“數據多比少好”的情況下，就得接受數據混亂和不確定性的代價。當然，在大數據中，忽略一部分模型的精確性，并不是說不要模型的精確性，而是指我們對于模型精確性的可控性在減弱。所以，新的數學建模分析應更加側重于發現海量數據下的各種關聯細節，這可以成為數學建模邏輯思維能力培養新的補充目標，從而使我們在知識與技能、過程與方法等維度上把握好該課程的教學。

隨著數據通訊技術，尤其是移動智能設備的普及發展，人們可以在任何時間和地點信息和獲取數據，數據的實時分析成為提高大數據分析效率的必由之路。與傳統數據相比，數據不再局限于一條條記錄，伴隨著大量由物聯網、傳感器等產生的圖片、視頻等非結構化數據的產生，實時分析需要學生掌握新的數據挖掘技術，并以集群、分割、孤立點分析及其他算法深入數據內部挖掘價值，從而實現處理數據量和處理數據速度的統一。

此外，數據倉庫、聯機分析和數據挖掘技術的不斷完善，推動著數據以圖形和圖像等可視化方式的執行，[1]展示數據、理解數據、演繹數據呼喚數據的可視化；從直方圖到網狀圖，從三維地圖到動態模擬，從動畫技術到虛擬現實，枯燥乏味的數據生動形象起來，爆炸性數據壓縮起來，這對于數學建模的數據輸出提出新挑戰。

二、構建兼顧大數據和信息技術特點的數學建模課程內容

數學建模本質上是一種數學實驗，人們在實驗、觀察和分析的基礎上，對實際問題的主要方面做出合理的假設和簡化，明確變量和參數，應用數學語言和方法，形成一個明確的數學問題，然后用數學或計算的方法精確或近似地求解該數學問題，進而檢驗結果是否能說明實際問題的主要現象，能否進行預測。這樣的過程多次反復進行，直到能較好地解決問題，這就是數學建模的全過程。

大數據的處理也有自身的步驟，一般來說可以分為6個不同階段：（1）存儲管理階段，它實現了多維數據的聯機分析；（2）數據倉庫階段，它解決數據整合集成問題；（3）聯機分析階段，它實現數據存儲管理和快速組織；（4）數據挖掘階段，它實現探索性分析，發現數據背后模式和有用信息；（5）輔助決策階段，它綜合運用數據倉庫、聯機分析和數據挖掘，實現結果；（6）大數據分析，它實現非結構化數據、海量數據、實時數據的分析。

因此，面?Υ笫?據，如何實現上述兩者的有機融合，必然需要注意新數學建模各階段表現出的新的特點，如在實驗、觀察階段，樣本數據收集的信息化與自動化，海量信息和全樣本數據成為分析常態。在問題的數學刻畫階段，相關分析可以作為進行模型分析之前數據探索的一個手段，這是因為由于數據的結構復雜，變量眾多，數據體量大，有時候很難用一個“普世”函數描述出變量之間的準確關系，在無法綜合評價出變量之間關系的情況下，我們可以部分揭示出變量之間的關系。事實上，由于相關分析無需太多模型假設，運算成本較低等眾多原因，使得相關關系的分析成為了大數據分析的基礎。[2]在模型驗證階段，以數據為中心的非普世和精確化的數學模型往往可以得到海量信息和全樣本數據的支撐等。

因此，在數學建模課程內容架構中，應兼顧大數據和信息技術的特點，逐漸改變數據挖掘技術在數學建模教學上輔的作用，將有關計算機和信息技術的教學很好地落實到課程計劃、課程標準和教科書中。如在教學中，可以增加通過“網絡爬蟲”程序直接抓取互聯網數據的內容；從傳感器、云端直接獲取智能制造中現實數據的方法；將并行處理數據的思想引入建模教學；加強相關分析的內容教學等。所有這些可以讓計算機的數據采集能力和數據處理能力成為變量間邏輯關系探索、復雜模型構建的有力工具，推動人們對數學建模的認知。

三、強化數學建模中的軟件教學

首先，強化數學軟件的教學。常見的數學軟件有Matlab、Mathematica，Lingo，SAS、SPSS、Eview、

R、Python等，它為計算機解決現代科學技術各領域中所提出的數學問題提供求解手段。

其次，加強數學算法的介紹。常見的數學算法包括運籌學類的算法、概率分析與隨機算法、時間序列算法等，其他的如十大經典算法等。

另外，對于以往建模中的數據處理，人們更習慣運用SPSS、Eview等這類封裝好的、以體驗式為主的方式進行，然而，相比于機械的拖拽軟件分析數據，編程分析更加靈活，因為，編程使數據處理無論在體量上，還是在方式的靈活度上，更有利于激發數據分析者的主動性和創造性，因此，能夠駕馭軟件編程的教學應是更高的數學建模課程的要求。

當然，大數據處理也還有其他特殊的技術，如大規模并行處理數據庫、分布式文件系統、分布式數據庫、虛擬化和內存計算等，其中，大規模并行數據處理運用的hadoop技術，內存計算的hana工作原理等在教學過程需要予以關注。

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關鍵詞 建筑物位移監測；自回歸模型；時間序列；預報分析

中圖分類號：G267 文獻標識碼：A 文章編號：

1 引言

隨著現代社會城市化步伐的不斷加快，城市中大中型高層建筑物不斷涌現，外界環境對建筑物的地基增加了一定的荷載，造成地基的變形，影響到建筑物的安全使用；與此同時，伴隨測繪科學和技術的不斷進步，可用于建筑物位移監測數據處理的數學模型逐漸增多，如曲線擬合模型、灰色預測模型、神經網絡模型等方法，但這些模型在建立時設定的函數關系式具有很強的理論性，需要先以特定的假設為前提，使用時具有一定的局限性。

建筑物位移監測的變化量隨時間不斷變化，位移變化數據的時間序列從其特征來看是一系列隨時間變化而又相關聯的動態數據序列，通過對數據進行分析，找出反映位移變化隨時間變化的規律，從而對數據的變化趨勢做出正確的分析和預報，因此，本文采用時間序列方法中的自回歸模型對建筑物位移監測數據進行預報分析處理，并驗證其在建筑物位移監測數據處理中的可行性與實用性。

2 自回歸模型

自回歸擬合模型是依據已知樣本值，通過一系列的分析步驟對AR（）模型做出估計，利用包括現在和以前的所有監測資料，對未來時刻的可能值進行預報分析。

2.1 數學形式

假設是一個平穩數據序列，已有的測量觀測值為，未來時刻的變化量為，將其預測值記為，即從t時刻開始向前步進行預測。根據最小二乘原理，有：

(1)

即，使預測誤差的方差最小，則稱為的最佳估值。

設是白噪聲，實數使多項式的零點都在圓外，即：

(2)

則稱階差分方程

(3)

為階自回歸模型，簡記為AR()模型，其中是一個平穩時間序列的子樣觀測值，是序列自某一時刻t的前P個時刻的子樣觀測值。

根據自相關函數的估值，求出自相關函數的估值，然后將其帶入自相關函數和偏相關函數的關系式：

(4)

根據式4可求得偏相關函數的估值，考慮到偏相關函數一般可近似認為服從正態分布，且落在上的概率為95．5％，據此可確定自回歸模型的階數，即：若之后所有的都小于，則取為模型的階。

2.2 模型參數求解

設對時間序列有樣本觀測值，，，，根據自回歸模型原理，可以寫出以下方程式：

(5)

令：,，

則由最小二乘法可得：

(6)

將式(6)求出的系數代入式（3），即可得到自回歸AR()模型預測方程。

2.3 模型精度評定和預測

自回歸模型精度（即模型擬合程度）評定的方法采用后驗差法，模型精度的好壞由后驗差比值和小誤差概率共同描述。

在模型精度檢驗合格后，由建立的自回歸模型遞推公式：

(7)

代入前項已知監測數據觀測值，即可得到AR（p）預測模型第期預測值。

3 實例分析

根據以上自回歸模型建模原理，利用對某建筑物一個位移監測點監測獲取的23期監測數據（見表1，其中前20期數據用于建模，后3期監測數據（第21、22、23期）用于監測模型預測效果評價）進行建模分析，得到自回歸模型方程如式（8）、（9）、（10）所示：

(8)

(9)

(10)

利用式（8）、（9）、（10）建立的模型方程，對用于建模的11期到20期數據進行擬合，具體結果如表2所示。（為觀測周期，、、為三個方向的觀測值，、、對應觀測值的預測值）

表1 建筑物位移監測數據

根據表1中位移變化量擬合的情況，對自回歸模型擬合結果進行分析：觀測值與擬合值的差別都在小數點后四位，模型內符合精度很高，其中方向位移擬合模型殘差平方和為，中誤差為；方向位移擬合模型殘差平方和為，中誤差為；方向位移擬合模型殘差平方和為，中誤差為，模型精度經檢驗都為1級（好），能夠滿足建筑物位移監測精度要求。

根據建立的自回歸模型預測后三期的位移變化量，如表4所示。（為觀測周期，、、為三個方向的觀測值，、、對應觀測值的預測值）

表2 位移觀測值與模型預測值

根據建立的自回歸模型，對建筑物位移監測X方向位移變化量的擬合預測效果如圖1 X方向擬合預測效果圖所示。

圖1 X方向擬合預測效果圖

Y方向位移變化量的擬合預測效果如圖2 Y方向擬合預測效果圖所示。

圖2 Y方向擬合預測效果圖

Z方向位移變化量的擬合預測效果如圖3 Z方向擬合預測效果圖所示。

圖3 Z方向擬合預測效果圖

由表2中所列出的未來三期（21期、22期、23期）預測值，根據位移殘差公式：，可計算第21期位移變化量為10.454mm，預測殘差為0.044mm，誤差比為0.42%；第22期位移變化量為10.769mm，預測殘差為0.115mm，誤差比為1.06%；第23期位移變化量為11.073，預測殘差為0.256mm，誤差比為2.31%。

4 結論

通過對建筑物位移監測數據處理方法的研究，介紹了時間序列中的自回歸模型在建筑物位移監測數據處理中具體的建模和實現過程，并結合具移監測數據進行了實例分析。結果表明，自回歸預測模型在建筑物位移監測數據處理中具備較高的擬合和預測精度，在短周期預測分析中可以得到較好的預報結果。

參考文獻：

黃聲享,尹暉,蔣征.變形監測數據處理[M].武漢:武漢大學出版社.2010.

王佳璆.時空序列數據分析建模[D].廣州:中山大學碩士學位論文,2008.

王正明,易東云.測量數據建模與參數估計[M].北京:國防科技大學出版社,1996.

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【關鍵詞】數學建模；混沌；時間序列；經濟預測

預測根據屬性不同，可以分為定性預測方法和定量預測方法。定性預測方法就是以人的經驗、事理等主觀判斷為主的預測方法，對事物未來的性質作出描述。因此定性預測受主觀因素的影響較大，難以對事物發展作出數量上的精確度量。定量預測方法是利用預測對象的歷史和現狀的數據，按變量之間的函數關系建立數學模型，從而計算出預測對象的觀測值。定量預測方法較少依賴于人的知識、經驗等主觀因素，而是更多地依賴于預測對象客觀的歷史統計資料，利用電子計算機對數學模型進行大量的計算而獲得預測結果。因此定量預測法偏重于預測事物未來發展數量方面的準確描述。本文利用數學建模思想方法，建立混沌時間序列預測模型，對2003-2012年江蘇省GDP這一指標數值的發展趨勢進行了預測，對于制訂相應的宏觀調控政策有著十分重要的意義。

一、數學模型和數學建模[1]

數學模型是對現實的對象通過心智活動構造出的一種能抓住其重要而且有用的表示，它是指對于現實世界的某一特定對象，為了某個特定目的，做出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到的一個數學結構。它或者能解釋待定現象的現實性態，或者能預測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優決策。而建立數學模型的全過程稱為數學建模[1]。

二、數學建模的思想方法

數學建模的過程是一種創新過程，需要在深入了解實際問題的背景，獲悉大量基礎資料的前提下，弄清問題的性質、建模的目的，然后充分發揮想象力，憑借建模經驗、靈感，應用相關知識，創造性地開展工作。數學建模方法不同于其他數學方法，沒有普遍的準則和技巧，而經驗、想象力、洞察力、判斷力及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數學知識更大。數學建模實踐的每一步都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數據處理能力等。在提出假設時，又需要用到想象力和歸納簡化能力。

三、數學建模的方法

建立數學模型主要采用機理分析及統計分析兩種方法。機理分析法是指人們根據客觀事物的特性，分析其內部的機理，弄清其因果關系，再在適當的簡化假設下，利用合適的數學工具得到描述事物特征的數學模型。統計分析法是指人們一時得不到事物的特征機理，便通過測試得到一串數據，再利用數理統計知識對這串數據進行處理，從而得到最終的數學模型。

四、混沌時間序列模型

根據混沌時間序列理論[3]，按照數學建模方法，建立混沌時間序列模型[4]。

對，由相空間重構將此序列嵌入一個維空間中，構造出維空間軌跡序列：

現在假定已知，需要預測一步之后的，因為含有信息的最近的維軌跡點是：

故需在維空間找出的下一個軌跡點，且：

其中所包含的新信息就可以作為對的一個預測，也就是要在維空間中構造一個映射使得。

具體步驟是：在維相空間中的個點中找出距離最近的個點，即先選定一個實數作為搜索半徑，在中任選個滿足條件的狀態點。

因為下一步迭代到，下一步迭代到，下一步迭代到，根據這個狀態點的迭代規律，可利用一個多項式來擬合：

由于上述采用的是局域方法，因此在局域范圍內可以認為是線性的，從而可取為線性的，即由狀態點的迭代情況，依據最小二乘擬合一個形如：

的線性函數（為單位向量）。

五、混沌時間序列模型的應用和評價

按混沌時間序列模型預測方法，江蘇省GDP（2003-2012）的預測值與實際值比較見表1，數據來源于《江蘇省統計年鑒2012》（其單位：億元）為了客觀地說明混沌時間序列是一種用于經濟預測的較好方法，本文又建立了灰色GM（1，1）時間序列預測模型[5]，從而得到如下數據，見表2（其單位：億元）。

從表1、2可以看出，與灰色GM（1，1）時間序列預測模型相比較，利用混沌動力學原理，建立的混沌時間序列預測模型具有下列優點：

1、運用混沌時間序列模型所得到的預測值圍繞實際值上下波動、絕對偏差較小，比用灰色GM（1，1）時間序列預測模型所得到的預測值精度高；

2、混沌時間序列預測模型形式簡單，在計算機上可實現自動建模、運算并輸出結果，模型的可操作性較好；

3、混沌時間序列預測模型尤其對中短期預測效果更好，使從少量經濟數據中預測經濟發展趨勢成為可能。

因此運用混沌時間序列預測模型對經濟預測不僅是可行的，而且結果較好，為經濟管理提供了一種良好的經濟預測方法。混沌時間序列預測模型還可以應用到其它社會領域，并在不斷的應用中得到優化和改進。

參考文獻：

[1]顏文勇.數學建模[M].高等教育出版社，2011.

[2]陸士華，陸君安.混沌動力學[M].武漢水利電力大學出版社，1998.

[3]姜詩章，李宏綱.混沌最鄰近預測及應用[J].數量經濟技術經濟研究，1999，9（2）：26-28.

[4]于景華，田立新.混沌時間序列及其在能源系統中的應用[J].江蘇大學學報（自然科學版），2002，23（4）：84-86.

[5]張江凌.灰色預測法在經濟預測中的應用[J].廣西商業高等專科學校學報，2000，4（17）：49-51.

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【關鍵詞】數學建模；水文預報；水資源規劃

中圖分類號：TV12 文獻標識碼：A 文章編號：1006-0278（2013）07-202-01

近半個多世紀以來，隨著計算機技術的迅速發展，數學的應用不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經濟、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等新的領域滲透，所謂數學技術已經成為當代高新技術的重要組成部分。不論是用數學方法在科技和生產領域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數學模型，并加以計算求解。人們常常把數學建模和計算機技術在知識經濟時代的作用比喻為如虎添翼。

數學建模在水文與水資源工程專業中更是發揮著重要的作用，尤其是在水文預報和水資源規劃方面。

一、數學建模的介紹

（一）數學建模概述

數學建模是在20世紀60和70年代進入一些西方國家大學的，我國清華大學、北京理工大學等在80年代初將數學建模引入課堂。經過20多年的發展現在絕大多數本科院校和許多專科學校都開設了各種形式的數學建模課程和講座，為培養學生利用數學方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效的途徑。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。

（二）數學建模的應用

數學建模應用就是將數學建模的方法從目前純競賽和純科研的領域引向商業化領域，解決社會生產中的實際問題，接受市場的考驗。可以涉足企業管理、市場分類、經濟計量學、金融證券、數據挖掘與分析預測、物流管理、供應鏈、信息系統、交通運輸、軟件制作、數學建模培訓等領域，提供數學建模及數學模型解決方案及咨詢服務，是對咨詢服務業和數學建模融合的一種全新的嘗試。

（三）數學建模十大算法

1.蒙特卡羅算法，該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性。2.數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法，通常使用Matlab作為工具。3.線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題，通常使用Lindo、Lingo軟件實現。4.圖論算法，這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決。5.動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法。6.最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現比較困難，需慎重使用）7.網格算法和窮舉法，網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。8.一些連續離散化方法，很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要。9.數值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用）。10.圖象處理算法。

二、數學建模在水文與水資源中的應用

（一）數學建模在水資源規劃中的應用

全國水資源綜合規劃的目的是為我國水資源可持續利用和管理提供規劃基礎，要在進一步查清我國水資源及其開發利用現狀、分析和評價水資源承載能力的基礎上，根據經濟社會可持續發展和生態環境保護對水資源的要求，提出水資源合理開發、優化配置、高效利用、有效保護和綜合治理的總體布局及實施方案，促進我國人口、資源、環境和經濟的協調發展，以水資源的可持續利用支持經濟社會的可持續發展。

（二）數學模型在水文預報中的應用

水文預報是水文學為經濟和社會服務的重要方面，特別是對災害性水文現象做出預報，對綜合利用大型水利樞紐做出短期、中期和長期的預報，作用很大。中國已開展預報服務的項目有：洪水水位與流量、枯水水位與流量、含沙量、各種冰情、水質等。

水文預報的方法，在產流方面常用降雨徑流相關圖，在匯流方面常用單位線。現在的發展方向是應用流域水文模型，根據流域上實測的降雨或降雪資料預報流域出口的流量過程。

在實際應用中，通過建立模型并求解，做出短期或中長期的預報，對防洪、抗旱、水資源合理利用和國防事業中有重要意義。

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關鍵詞： 數學應用問題 數學應用能力 數學建模 網絡游戲

新課程標準對于學生應用的能力提出了一定的要求。職業學校的學生普遍數學能力欠缺，對數學有恐懼心理，主要體現在缺乏對數的感覺、空間想象能力欠佳，沒有較好的邏輯思維，無法準確地使用數學語言來表達。學生進行數學的應用自然就更加困難了。教師在教學過程中，應不斷地培養學生的數學能力，體現新課程標準的要求，還應不斷提高學生的數學應用水平，將教材中的問題改編成數學應用問題是一種常用的方法。

一、數學建模的定義

當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調查研究、了解對象信息、做出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言，把它表述為數學式子，也就是數學模型，然后通過計算得到的模型結果來解釋實際問題。這個過程就是數學建模。[1]數學建模是一種數學的思考方法。應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。先要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣，以及廣博的知識面。

二、數學建模的幾個過程

目前，校園網上非常流行一個叫開心農場的網頁游戲。簡單介紹一下就是開墾農田，種植各種各樣的蔬菜水果，收獲后可以得到經驗和金錢，經驗不斷地積累便可以升級，升級之后就可以種植更多品種，還可以開墾更多的農田。還可以將別的玩家加為好友，好友之間的經驗和金錢數可以排名，也可以幫助好友澆水、除蟲來獲得經驗。這個游戲得到很高的點擊率就是因為有趣，在這樣一個有趣的游戲中也可以體現競爭，如何才能獲得更多的經驗，種植每一種作物時間、經驗、金錢數均不同，當選擇的范圍很廣的時候，應該怎樣種植才能獲得最大的收益？這是每一個玩家都會想的問題，它可以簡化成一個數學問題，成為數學應用素材，學生可以通過建模來尋求答案。

1.模型準備：了解實際背景，明確其實際意義，掌握各種信息，用數學語言來描述問題。

首先通過了解獲得數據：（表格中白色部分，按種植經驗升序排列）

問題：種植何種作物可以獲得最佳的金錢收益？是不是等級越高的作物種植的經驗越多？

2.模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行簡化，并提出恰當的假設。

假設實際常量均按表格中的數據（增產和被好友偷竊果實的情況互相抵消）。

3.模型建立：利用適當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構。

在這些已知量的條件下，計算每小時獲得的經驗數和金錢的數量。

每小時金錢=■

每小時經驗=■

4.模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（估計）。

利用所得的數學關系式來求出相應的數據，完成表格。

5.模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。

制作圖表的優點是比較直觀，學生易于理解，用Excel等軟件來完成也很方便。從圖表中可以比較明顯地看出問題的答案，進而可以進一步思考怎樣種植才能兼顧經驗和金錢兩方面。

6.模型驗證：根據自己所得的方法實際操作，看看是否達到預定的效果，若有偏差則分析原因進行修正，最后將自己的研究成果寫成報告。

三、在教學中滲透數學建模

數學建模的思想將生活實際與數學緊密地聯系了起來，使得數學有了更多實際的應用。一個好的模型的建立需要有充分的數據、可靠的假設、準確的數學關系、正確的求解、較全面的分析和實際的檢驗修正。在教學中實施過程中則要考驗教師和學生的多種能力。

1.教師要能充分發掘應用的實例，為學生的建模創設良好的情境。

建模的問題來源于生活，這就使教師有一個敏銳的觸覺，能夠及時發掘適合學生的數學建模問題。問題不能太過復雜，要符合學生的最近發展區，為學生的建模創設一個好的情境。

2.學生具有一定的數學能力，會使用一些輔助工具。

數學建模是對數學的應用，層次要求比較高，學生應該具備一定的數學能力。這些能力是教師在平時教學中逐漸培養出來的，如數據處理、數據分析、Excel等輔助的工具軟件的使用。

3.教師的組織和對學生的指導，在建模過程中發揮學生的主動積極性。

在數學建模前期，教師發揮著重要的引導作用，在建模的過程中是以學生為主，要充分地使學生參與，積極發揮主動性。可是，數學建模是一個靈活性很強的項目，學生在過程中必定會遇到各種各樣的困難。所以教師就要適時地做出點撥和指導，讓學生不至于被挫折問題阻攔而產生心理陰影，從中體會到思維運動的快樂，從而培養學生的受挫能力。學生在建模過程中不僅體會到了數學的強大作用，還培養了各種能力。數學建模除了鍛煉了邏輯思維能力和創新能力，還可以培養學生的團隊合作意識和團隊合作精神[2]，這也是高職學生未來必備的一項重要的能力。

參考文獻：

篇6

【關鍵詞】高校數學建模教學方法

隨著經濟社會的發展和進步，數學已成為支撐高新技術快速發展和廣泛應用的基礎學科。由于社會各生產部門均需借助于數學建模思想和方法，用以解決實際問題。因此，高校在數學建模教學過程中，必須注重將實際問題和建模思路加以有效結合，完善數學建模教學思路，創新教學方法，以培養學生的綜合能力，為社會源源不斷地輸送優秀實踐性人才。

1、數學建模的內容及意義

數學建模，指的是針對特定系統或實踐問題，出于某一特定目標，對特定系統及問題加以簡化和假設，借助于有效的數學工具，構建適當的數學結構，用以對待定實踐狀態加以合理解釋，或可以為處理對象提供最優控制決策。簡而言之，數學建模，是采用數學思想與方法，構建數學模型，用以解決實踐問題的過程。數學建模，旨在鍛煉學生的能力，數學建模就是一個實驗，實驗目標是為了使學生在分析和解決問題的過程中，逐步掌握數學知識，能夠靈活運用數學建模思想和方法，對實際問題加以解決，并能夠將其用于日后工作及實際生活中。數學建模特點如下：抽象性、概括性強，需善于抓住問題實質；應用廣泛性，在各行各業均有廣泛應用；綜合性，要求應具備與實際問題有關的各學科知識背景。數學建模不僅需要培養學生扎實的數學基礎，還要求培養學生對數學建模的興趣，積淀各領域學科知識，培養學生的綜合能力，包括發現問題、解決問題的能力，計算機應用及數據處理能力，良好的文字表達能力，優秀的團隊合作能力，信息收集與處理能力，自主學習能力等。由此可見，數學建模對于優化學生學科知識結構，培養學生的綜合能力具有重要的促進作用。

2、完善高校數學建模教學方法的必要性

作為多學科研究工作常用基本方法，數學建模是實際生產生活中數學思想與方法的重要應用形式之一。上文已經提到，數學建模過程中，多數問題并沒有統一答案和固定解決方法，必須充分調動學生的創造能力及分析解決問題能力，構建數學模型來解決問題，這要求高校數學建模教學過程中，必須注重培養學生的創新意識與能力。但是，當前我國多數高校數學建模教學過程中所采用的教學手段落后，教學改革意識薄弱，教學方法單一，缺少多樣性。數學建模教學中，教師多對理論方法加以介紹，而且重點放在講解與點評方面，學生獨立完成建模報告的情況較少，如此落后的教學方法，導致高校數學建模教學實效性差，難以充分發掘和培養學生的創新意識和創造能力。為此，有必要加快創新和完善高校數學建模教學方法，積極探索綜合創新型人才培養模式。

3、創新高校數學建模教學方法的策略

3.1科學選題

數學建模教學效果好壞，很大程度上依賴于選題的科學與否，當前，可供選擇的教材有許多，選擇過程中教師必須考慮到教學計劃、學生水平及教材難易程度。具體而言，在高校數學建模教學選題時，必須遵循如下原則：1）價值性原則。即所選題目應具有足夠的研究價值，能夠對實際生活中的現象或問題進行解釋，包括開放性、探索性問題等；2）問題為中心的原則。是指建模教學中應注重培養學生發現問題、分析問題、構建模型解決問題的能力，在選擇題目時，必須堅持這一原則，將問題作為中心，組織大家開展探究性活動；3）可行性原則。要求所選題目必須源自于生活實際，滿足學生現有認知水平及研究能力，經學生努力能夠加以解決，可以充分調動學生的研究積極性；4）趣味性原則。所選題目應為學生感興趣的熱點問題，能夠調動學生的建模興趣，同時切忌涉及過多不合實際的復雜課題，考慮到學生的認知水平，確保學生研究過程能夠保持足夠的積極性。

3.2多層面聯合

在數學建模教學過程中，應注重建模方法的各個層面，做到多層面聯合。一方面，應著重突出建模步驟。對不同步驟的特點、意義及作用，以及不同步驟之間的協作機制及所需注意的問題進行闡述，并從建模方法層面上，對情境加以創設、對問題進行理解、做出相應的假設、構建數學模型、對模型加以求解、解釋和評價。在各步驟教學過程中，必須圍繞著同一個建模問題展開，著重對問題的背景進行分析、對已知條件進行考察，對模型構建過程加以引導和討論，力圖對不同步驟思維方法加以展現，使學生能夠正確地理解各步驟及相互間的作用方式，便于學生整體把握建模方法與思路，以更好地解決實際問題，為學生構建模型提供依據和指導。另一方面，必須注重廣普性建模方法的應用，包括平衡原理方法，類比法，關系、圖形、數據及理論等分析方法。同時，善于利用數學分支建模法，包括極限、微積分、微分方程、概率、統計、線性規劃、圖論、層次分析、模糊數學、合作對策等建模方法。在針對各層面建模方法進行教學的過程中，應將各層面分化為具體的建模方法，選擇對應的實際問題加以訓練，實現融會貫通，必要時可構建“方法圖”，從整體層面研究各建模方法、步驟及其同其他學科方法間存在的多重聯系，從而逐步形成立體化的數學建模方法結構體系。

3.3整合模式

所謂的“整合”，即關注系統整體的協調性，充分發揮整體優勢。數學建模整合模式指的是加強大學各年級的知識整合，對其相互間的連續性與銜接性加以探索，以便提高數學建模教學實效性。在模式整合過程中，必須重點關注核心課程、活動及潛在課程的整合，其中，核心課程包括微積分、數學模型、數學實驗等課程；潛在課程主要指的是單科或多科選修課；建模活動，指的是諸如大學生建模競賽、CUMCM集訓、數學應用競賽、社會實踐活動等。與之所對應的建模教學結構，包括如下模塊：應用數學初步、建模基礎知識、建模基本方法、建模特殊方法、建模軟件、特殊建模軟件、經濟管理等學科數學模型、機電工程數學模型、生物化學數學模型、金融數學模型、物理數學模型及綜合類數學模型等。本文提出“三階段”數學建模教學模式：第一階段，針對的是大一到大二年級的學生，該階段旨在培養其應用意識，使其掌握簡單的應用能力。教學結構包括應用數學初步、建模入門、軟件入門、高數、線性代數案例及小實驗。第二階段，面向的是大二到大三年級的學生，該階段用以培養學生的建模及應用能力。教學結構主要包括建模基礎知識、建模基本方法、建模軟件，以及經濟管理學科數學模型，或機電工程數學模型、生物化學數學模型、金融數學模型、物理數學模型。通過開設建模課程、群組選修建模課程、講座、CUMCM活動等教學模式開展；第三階段，面向的是大三到大四年級的學生，用以培養學生綜合研究意識及應用能力。教學結構包括建模特殊方法、特殊建模軟件、綜合類數學模型等模塊。通過CUMCM集訓、畢業論文設計及相關校園文化活動與社會實踐活動開展。

3.4分層進行

數學建模教學應分層進行，根據學生掌握、運用及深化情況，分別以模仿、轉換、構建為主線來進行。

3.4.1模仿階段。

在建模教學中，培養學生的建模模仿能力必不可少。在這一階段的教學過程中，應著重要求學生對別人已構建模型及建模思路進行研究，研究別人所構建模型屬于被動性的活動，和自我探索構建模型完全不同，因此，在研究過程中，應側重于對模型如何引入和運用加以分析，如何利用現有方法從已知模型中將答案導出。在建模教學過程中，這一階段的訓練很重要。

3.4.2轉換階段。

指的是將原模型準確提煉、轉換到另一個領域，或將具體模型轉換為綜合性的抽象模型。對于各種各樣的數學問題而言，其實質就是多種數學模型的組合、更新與轉換。因此，在教學過程中，應注重培養學生的模型轉換能力。

3.4.3構建階段。

在對實際問題進行處理時，基于某種需求，需要將問題中的條件及關系采用數學模型形式進行構建，或將相互關系通過某一模型加以實現，或將已知條件進行適當簡化、取舍，經組合構建為新的模型等，再通過所學知識及方法加以解決。模型構建過程屬于高級思維活動，并沒有統一固定的模式和方法，需要充分調動學生的邏輯、非邏輯思維，還要采用機理、測試等分析方法，經分析、綜合、抽象、概括、比較、類比、系統、具體，想象、猜測等過程，鍛煉學生的數學建模能力。因此，在教學中除了需要加增強學生邏輯及非邏輯思維能力的培養以外，還應注重全面及廣泛性，盡量掌握更多的科學及工程技術知識，在處理實際問題時，能夠靈活辨識系統、準確分析機理，構建模型加以解決。

4、結束語

總而言之，數學建模是聯系數學與生產生活實踐的重要樞紐。在高校數學建模教學中，必須注重確立學生的教學主體地位，關注學生需求及興趣，積極完善教學方法，深入挖掘學生的創造潛能。為了切實提高學生分析和解決問題的能力，必須引導學生大膽探索和研究，鼓勵大家充分討論和溝通，使其知識火花不斷碰撞，求知欲望逐步提高，創新能力進一步增強。

參考文獻：

[1]楊啟帆,談之奕.通過數學建模教學培養創新人才———浙江大學數學建模方法與實踐教學取得明顯人才培養效益[J].中國高教研究,2011,12(11):84-85+93.

[2]王宏艷,楊玉敏.數學教育在經濟領域人才培養中的作用———經濟類高校數學課程教學改革的思考與探索[J].河北軟件職業技術學院學報,2012,02:38-40.

[3]胡桂武,邱德華.財經類院校數學建模教學創新與實踐[J]衡陽師范學院學報,2010,6(6):116-119.

篇7

在這里，以幾個中學教材以及高考題為例，探討中學數學建模與大學數學建模的區別和聯系.

例1 北師大版數學必修1函數一章引例中的加油站儲油罐儲油量v與高度h、油面寬度w的函數關系（北師大版數學必修1第24頁）與2010年全國大學生數學建模競賽A題[1]（CUMCM 2010A：儲油罐的變位識別與罐容表標定）不謀而合，體現了中學數學建模與大學建模目的的統一，即應用數學知識解決實際問題.這里將兩個題目摘要如下：

2010年全國大學生數學建模競賽A題“儲油罐的變位識別與罐容表標定”：為加油站儲存燃油的地下儲油罐設計“油位計量管理系統”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況.圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖1 儲油罐正面示意圖教材例題：圖2是某高速公路加油站儲油罐的圖片（見北師大版必修一第24頁），加油站常用圓柱體儲油罐儲存汽油.儲油罐的長度d、截面半徑r是常量；油面高度h、油面寬度w、儲油量v是變量.儲油量v與油面高度h和油面寬度w存在著依賴關系.在這里，主要討論變量之間的依賴關系和函數關系.

圖2 加油站圓柱形儲油罐示意圖可以看出，這道大學生建模競賽題與中學教材的例題殊途同歸，具有異曲同工之妙.二者都是研究加油站儲油罐儲油量與油面高度和油面寬度的關系，從而給出儲油量v與油面高度h和油面寬度w之間的對應關系，而在大學生建模中更深入的要求給出地下儲油罐“油位計量管理系統”的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）的實時變化情況，并且深入研究罐體變位后對罐容表的影響.顯然中學教材中出現的例題只是要求研究簡單的函數關系，符合中學生的能力水平；大學生數學建模競賽則根據大學生的實際能力，考慮實際問題的需求，直接設計可供加油站應用的罐容對照表.

例2 引用一道高考題敘述高中數學模型思想在概率統計中的應用，并分析與大學生數學建模的聯系.

（2012年高考北京文）近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數據統計如表1.

表1：某市垃圾統計數據 單位：噸

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060

（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率；

（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；

（Ⅲ）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>；0，a+b+c=600.當數據a，b，c的方差S2最大時，寫出a，b，c的值（結論不要求證明），并求此時S2的值.

殊不知，這道題目取材于2011年全國大學生數學建模夏令營題目“垃圾分類處理與清運方案設計”[2].作為新課標的高考題，題目結合概率統計模型的思想，考查學生基本能力，立意貼近生活.

例3 （2012年高考陜西卷理科第20題）銀行服務窗口的業務辦理過程中的等待時間問題，現實生活氣息濃厚，它對應用數學模型分析問題與解決問題能力的考查，起到良好的示范作用.同時，這道題目借用運籌學排隊論[3]的思想，解決服務系統的排隊問題.具體題目如下：

某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業務所需的時間統計結果如表2.

表2：銀行顧客辦理業務時間統計

辦理業務所需的時間/min12345頻率0.10.40.30.10.1

注：從第一個顧客開始辦理業務時計時.

（Ⅰ）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務的概率；

（Ⅱ）X表示至第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求X的分布列及數學期望.

排隊論模型[4]是大學生數學建模的基本模型之一，模型基于概率論以及數理統計課程，通過建立一些數學模型，以對隨即發生的需求服務提供系統預測.現實生活中諸如排隊買票、病人排隊就醫、輪船進港等等問題服務系統.

這道高考題基于銀行服務窗口的排隊問題，出于排隊論思想命題，同時又考慮中學生實際能力，結合考點，成功地將題目適當的簡化為一道具有實際背景的概率問題.體現了中學建模與大學建模同樣是出于解決實際問題的需求，卻又需要考慮題目使用對象，做出適當改編.在全國大學生數學建模競賽（CUMCM）中應用排隊論思想的題目也很多，例如CUMCM 2009 B題眼科病床的合理安排：醫院就醫排隊是大家都非常熟悉的現象，它以這樣或那樣的形式出現在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務.考慮某醫院眼科病床的合理安排，建立數學模型解決該問題；又如CUMCM 2007 D題體能測試時間安排：根據學生人數和測試儀器數安排體能測試時間，使得學生等待時間最小。2 結論和建議

2.1 一些結論

通過以上幾個例題以及對中學數學建模和大學數學建模的分析，可以得到二者各自的特點：

中學數學建模問題或者建模競賽：

①問題背景涉及的知識領域的專業性比較基本、初級，問題在專業和數學上都已經做了較大的簡化和提煉.

②要解決的主題比較具體，比較單純，容易理解，子問題深入程度的層次少、擴展小，學生容易找到切 入點.

③所用的數學知識或專業知識的層次符合中學生的知識結構水平和學習能力.

④問題的難度不大，遠低于大學生數學建模.

⑤數學模型或解決方案往往比較簡單、現成，對信息查詢能力的要求不很高，模型計算不太復雜.

⑥學生的考慮及其實現都需要切合數學建模的基本模式，較高的數據處理及數據分析的能力，而在建模的整體性、系統性方面的綜合分析思維能力是不強調的.

全國大學生數學建模問題或建模競賽

①問題背景取材比較廣闊，例如：

有當時社會或科學關注問題：CUMCM 1998B災情巡視路線、2002B彩票中的數學、2003A SARS的傳播、2004A奧運會臨時超市網點設計、2010B 2010年上海世博會影響力的定量評估；

有源于生物醫學環境類的：DNA序列分類、中國人口增長預測、血管的三維重建、SARS的傳播、艾滋病療法的評價及療效的預測、眼科病床的合理安排、長江水質的評價和預測；還有源于交通運輸管理類的、源于經濟管理與社會事業類的、源于工程技術設計類的等.

②強調對問題的建模和求解，對模型或方案設計的質量、計算能力、建模仿真實現、模型及結果檢驗的要求比較高.

③開放性問題逐漸增多，不好入手.

④從數學建模解決問題的思維層次角度看，在深度和廣度上都有一定的要求.

產生以上特點的原因可以總結如下：

第一，中學生和大學生起點不同.中學建模和大學建模是分別基于各自對應的數學以及其他知識基礎進行的.對數學知識的要求差異很大.大學生數學建模需要具有數學分析、數值分析、離散數學、運籌學以及常（偏）微分方程等高等數學知識，甚至在建模過程中還需要快速學習其他方面的知識；而對中學生則以初等數學知識為主，適合中學生的認知水平，在建模過程中一般不需要大量的知識補充；

第二，需要研究的問題不同.大學生數學建模涉及的范圍較為廣泛，其表述形式較為隱晦，對數學化的要求較高；而中學生數學建模的問題大多貼近中學生的生活實際，具有一定的實踐性和趣味性，學生較易入手；

第三，二者側重點不同.中學生數學建模更多的是滲透建模思想、樹立建模觀念，學會處理實際問題的思考方法和解決途徑；大學生數學建模則強調建立模型的實用性以及對問題實質性的分析和求解，對科學計算（計算機編程）的要求較高；

另外，一個客觀的原因，即二者組織形式不同.大學數學建模以課程形式走進學生，同時開展三級數學建模競賽（校內競賽、國家級競賽、國際競賽）引導學生參與.而中學數學建模競賽活動尚未普及，只是在一些地方開展過，因此只能從課堂教學和以教師為引導的實踐活動展開.

當然，同樣作為數學在實際問題中的應用，二者都是對實際問題分析簡化，基于數學知識，應用計算機進行科學計算，最終得出對實際問題的最優解.而且二者在很多問題上可以建立姊妹題的形式，上述幾個例題也證實了這一點。

2.2 幾點建議

中學數學教材中多處體現的數學模型的應用預示著數學模型思想在中學數學中越來越重要，同時引用的幾個例題不但說明了大學建模與中學建模的區別與聯系，還體現了中學教材中數學建模思想的廣泛應用.近年來，數學建模競賽作為全國開展的最為廣泛的學生科技活動，備受廣大師生關注，因此，這幾道例題也為平時的教育教學發出信號：

1.中學數學建模的教學以創新性、現實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準，對建模的要求不可太高，重在參與.

2.數學建模問題難易應適中，千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學，題目難度以“跳一跳可以把果子摘下來”為度.

3.廣大師生日常中應該注意以教材為藍本的知識挖掘，特別是對中學數學教材中出現的實際應用型問題深入分析，以課題學習或者探究活動形式開展數學建模.主動關注大學生數學建模競賽的動向，甚至大膽對大學生建模競賽題目做出改編，作為中學建模題目或者考試試題.

4.建模教學對高考應用問題應當有所涉及.鑒于當前中學數學教學的實際，保持一定比例的高考應用問題是必要的，這樣更有助于調動師生參與建模教學的積極性，保持建模教學的活動，促進中學數學建模教學的進一步發展。

參考文獻

[1] 教育部高等教育司.全國大學生數學建模競賽題目[OL].http：//mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html.2012.8.8.

篇8

關鍵詞：數學建模；Matlab

近幾十年來，數學科學迅速向自然科學、工程、經濟、管理和社會科學等各個領域滲透，在許多方面發揮著越來越重要的作用，在很多情況下起著舉足輕重、甚至決定性的作用；數學建模和與之相伴的計算正在成為工程設計中的關鍵工具，數學科學與計算機技術結合，形成了一種普遍的、可以實現的關鍵技術――數學技術，并已經成為當代高新技術的一個重要的組成部分。“高技術本質上是一種數學技術”已為越來越多的人們所認同。用數學方法解決各類問題或實施數學技術，首先要求將所考慮的問題數學化，即建立數學模型，這就使數學建模日益顯示其關鍵作用，成為現代應用數學的一個重要領域。Matlab這一數學軟件能夠非常方便、快捷、高效的解決數學建模所涉及的眾多實際問題，其功能和規模比其他數學軟件強大的多。本文主要通過具體實例討論Matlab在數學建模中的應用，增強解決實際問題的能力。

一、數學建模的一般步驟

數學建模并不是新東西，粗略地說，數學建模是一個多次迭代的過程，每一次迭代大體上包括：實際問題的抽象、簡化，做出假設，明確變量和參數；形成明確的數學問題；以解析形式或者數值形式求解該數學模型；對結果進行解釋、分析以及驗證；若符合實際即可，不符合實際則要進行修改，進入下一個迭代。其一般過程如圖1所示。

第一，模型準備。了解實際背景，明確建模目的，搜集有關信息，掌握對象特征，形成一個比較清晰的“問題”。第二，模型假設。針對問題特點和建模目的，做出合理的、簡化的假設。在合理與簡化之間作出折中。對數據資料進行分析計算，找出起主要作用的因素，經過必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。第三，模型構成。用數學的語言、符號描述問題。發揮想象力，使用類比法。盡量采用簡單的、適當的數學工具表達各變量之間的關系，建立相應的數學結構，即建立數學模型。第四，模型求解。利用各種數學方法、數學軟件和計算機技術。在難以得出解析解時，借助計算機求出數值解。第五，模型分析。結果的誤差分析、模型對數據的穩定性分析。第六，模型檢驗。與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性。第七，模型應用。通過檢驗，模型與實際相符后，投入實際應用，解決實際問題。

二、Matlab的功能與特點

Matlab是美國MathWorks公司自20世紀80年代中期推出的數學軟件，優秀的數值計算能力和卓越的數據可視化能力使其很快在數學軟件中脫穎而出。隨著數值運算的演變，它逐漸發展成為各種系統仿真、數字信號處理、科學可視化的通用標準語言。在科學研究和工程應用的過程中，往往需要大量的數學計算，傳統的紙筆和計算機已經不能從根本上滿足海量計算的要求，一些技術人員嘗試使用Basic、Fortran、C、C++等語言編寫程序來減輕工作量。但編程不僅僅需要掌握所用語言的語法，還需要對相關算法進行深入分析，這對大多數科學工作者而言有一定的難度。與這些語言相比，Matlab的語法更簡單，更貼近人的思維方式。用Matlab編寫程序，猶如在一張演算紙上排列公式和求解問題一樣，因此被稱為“科學便箋式”的科學工程計算語言。Matlab是集數值計算、符號運算、圖形處理及程序設計等強大功能于一體的，已經發展成為多學科、多種工作平臺的科學和工程計算軟件。

Matlab的主要特點是：有高性能數值計算的高級算法，特別適合矩陣代數領域；有大量事先定義的數學函數，并且有很強的用戶自定義函數功能；有強大的繪圖功能以及具有教育、科學和藝術學的圖解和可視化的二維、三維；基于HTML的完整的幫助功能；適合個人應用的強有力的面向矩陣(向量)的高級程序設計語言；能與其它語言編寫的程序結合，輸入、輸出格式化數據；有在多個應用領域解決難題的工具箱。

三、Matlab在數學建模中的應用舉例

正因為Matlab這一數學軟件能夠非常方便、快捷、高效地解決數學建模所涉及的眾多實際問題，因此，Matlab在數學建模中為許多建模工作者重視。

例1：（包含無風險證券的投資組合問題）

金融市場上有兩種證券：風險證券和無風險證券。我們一般稱風險證券為股票，其收益率不確定；無風險證券稱為債券，其收益率是確定的。通常情況下，無風險利率也可以認為是國有銀行的存貨款利率。

設金融市場上有兩種風險證券A和B，它們的期望收益率分別為 A=12%、 B=12% ，方差分別為σ2A＝10 ，σ2B＝10，協方差σ2AB＝0。同時，市場上還有一種無風險債券，利率為rf＝6%，試構造一種投資組合，使得風險最小。

解：分析與假設：假設市場上有N種風險證券和一種無風險證券，以x=(x1,x2,…，xN)T表示N種風險證券上的投資比例，則1-xTI就是在債券上的投資比例。

模型的建立：對給定的N種風險證券的期望收益率 i和風險σi2及協方差σij(i,j=1,2,…N,i≠j)，無風險債券的期望收益率 rf，如果給定投資組合的期望收益率 p，則可以求出投資比例x，使得投資收益率的協方差σp2最小，可以轉化為求解如下規劃問題：

其中v為協方差矩陣，I為N維單位向量。

設總資本單位為1，分別以比例x1購買股票A，x2購買股票B，x3購買無風險債券，則可以建立如下的規劃問題：

其中

因為債券無風險，所以方差、協方差都為0， rp為投資組合的期望收益率。

根據兩基金分離定理，任意指定一個期望收益率rp如令rp=10%目標函數為二次的，約束條件為一次的。應用Lagrange數乘法，得到

x1=6/19,x2=20/19,x3=-7/19

也就是說，為了獲得10％的期望收益率，應以無風險利率從銀行貸款7/19單位，將貸款和手中已有的1單位現金的總和的6/19購買A股票，20/19購買B股票。

由于這并不是標準的線性規劃問題，需要用到Lagrange數乘法，進而求解線性方程組。

例2：（極大似然估計的原理：關于廢品率的問題）

廠家每生產一批產品，總有正品或廢品的區分，那么我們自然關心每批產品的廢品率的問題。例如，某質檢員在某批產品中抽取50件產品進行檢驗，根據以往經驗將產品質量分為6個檔次，對應廢品率分別為0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06。現在質檢員要對50件產品檢查的結果，決定該批產品檔次，我們為他提供一種合理方案。

解：分析與假設：模擬抽樣數據。設想有一批產品，可以設定它們的檔次，例如設廢品率為p=0.04。隨機抽取n=50個樣品檢驗。

一件產品非正即廢，用統計術語以隨機變量X表示這一事實，則有X=10 ，其中1表示產品為廢品，反之為正品，顯然X服從兩點分布，即p(x=1)=p,p(x=0)=q=1-p ，稱X為總體，它的分布為總體分布。總體分布決定了產品的檔次，p的取值范圍是0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06。

質檢員對產品n次抽樣相當于對總體X復制了n次，得到了n 個獨立同分布的隨機變量X1,X2ΛXn。X1,X2ΛXn稱為容量為n的簡單樣本，n次抽樣就相當于對總體X作n次模擬。模擬的結果相當于得到了簡單樣本的一組樣本觀察值x1,x2Λxn。

似然函數L(p)的定義如下：

要注意的是,因xi僅取0或1的值，故P(Xi=xi)=pxiq1-xi=p xi=11-pxi=0所以pxiq1-xi是兩點分布的另一種表示。

當質檢員獲得一批樣本，需要根據樣本推斷p的哪一個值更接近真實總體。顯然，應該有一個度量指標來衡量未知參數和總體的相似性，似然函數正是這樣的相似指標，由上式得知：L（p）是簡單樣本X1,X2…Xn取值于某個特定觀察值x1,x2…xn的聯合概率，而x1,x2…xn反映了真實總體X的某些特征。因此，對于p的兩個可能取到的值p1,p2，如果有L（p1）＜L（p2），則p2更像總體，因此，如果某個p0使L（p）達到了最大值，則它最像真實總體，我們把這個p0 作為真實廢品率的估計，這就是極大似然估計。六個似然函數的最大值為L(0.04)=max L(p)=0.0002255, 即似然函數的最大值恰好在該產品的真實廢品率為0.04時達到。

四、結論

從以上優化問題和高等統計學問題這兩個實例中，可以看出Matlab在數學建模中的巨大優勢，充分顯現出了其強大的數值計算、數據處理和圖形處理功能，無論是在建立模型的哪個階段，Matlab都有其他語言無法比擬的高效、快捷、方便的功能，大大提高了數學建模的效率，豐富了數學建模的方法和手段，有力地促進了問題的解決。另外，將Matlab應用于實際的教學過程中，可以激發學員學習數學的興趣和熱情，從而提高學員運用所學數學知識分析、解決實際問題的能力。

參考文獻：

1、姜啟源.數學模型[M].高等教育出版社,1993.

2、飛思科技產品研發中心.Matlab7基礎與提高[M].電子工業出版社,2005.

篇9

【摘 要】 近年來，高速發展的生產力和日新月異的科技，不僅給數學的應用提供了廣闊的市場，也日益凸顯著數學建模的重要性。但數學應用意識以及社會實踐能力的培養，一直是初中生在數學學習過程中比較薄弱的環節。為了給學生們創設一個好的自主學習的環境，提高其用數學這一工具解決實際問題的能力，中學數學建模教學的開展的至關重要，這對形成學生應用數學的意識，提高分析問題并解決問題的能力，培養其聯想與想象的抽象思維能力，以及其敏銳的洞察力，還有團隊協作的精神都有很大的幫助，對于全面促進中學數學素質教育有非常重要的意義。

關鍵詞 數學應用；初中數學；興趣；創新

一、對數學教學問題的看法和分析

一直以來，中學數學教學存在很多問題，新人教版教材也是如此：教學中重知識輕思想，重結論輕證明，重理論輕應用，教學內容遠離實際。面對諸多問題的教學系統，學生是受影響最大的群體。很多中學生會說：數學就是虛無縹緲并且枯燥無味的，比如說求sin、cos、tan，求兩三角形相似等等問題，為什么要求它呢？對于我今后的生活毫無意義，很多人沒有學數學，但是照樣生活幸福。因為在目前的體系中，數學確實給學生們的感覺就是脫離實際的，沒能使學生真正認識到數學在歸納演繹、訓練思維、科學應用等方面的樂趣，更不用談充分發揮學生的創新能力。所以《新數學課程標準》提出：數學模型的建立，對于合理的描述社會和自然現象有良好效果。可以讓學生在課程的學習中從問題情境出發，然后嘗試建立模型，然后求解，最后對應用進行解釋。經過這樣的過程，增強學生對數學的理解，提高學生的觀察力、想象力、實際操作與思維能力，隨著學習的不斷深入，創造性便由此醞釀并發揮巨大作用。

二、數學建模發展的背后意義

隨著計算工具的發展，特別是因為計算機的產生而催生的信息時代，龐大的數據、各行各業激烈的競爭，對于定量分析、數據處理等等問題，都需要數學的參與。雖然數學的實際應用已經到達了空前的繁榮，但是數學建模在數學學習中的應用卻沒能體現出來，遠遠落后于現實世界的發展腳步。眾所周知，數學建模在四、五十年前進入一些西方國家大學，不到20年時間，我國的幾所大學對數學建模的引進也風生水起。數學建模的相關課程也在各類高校形成規模，一條為培養廣大學子的數學分析、實踐能力的道路開辟了出來。數學建模思想如雨后春筍，以欣欣向榮之勢橫掃西方和中國各大高校，但是數學建模作為一種特有的思考模式，它通過抽象、簡化的方法，建立起能夠近似刻畫并解決實際問題，已然不僅僅是一種語言和方法，而更是一種有利的手段。雖然有在大學階段進行強化和補充，但從其效果來看是遠遠不夠的。于是，對于在初中時期就進行數學應用能力的培養成為了新的要求、重點。當前，學生作為教學環境的主體，是否能夠將所學轉化成所用就成為教學效果的重要評判標準。

三、數學建模教育的重要作用

1.對應用數學的意識的培養。遇到實際生活中的問題，可以學以致用。以一個數學學習者以及實踐者的立場來解決問題。

2.極大的提高數學學習的樂趣。能夠在生活的諸多方面利用數學思維來解決問題，可以說成為生活中一個有力的助手。

3.提高對于數學學習的信心。傳統教學中，數學以其抽象的思維以及各種看似脫離實際的問題，讓學生暈頭轉向，逐漸讓學生開始害怕數學學習。而數學建模讓抽象的數學一下子變得貼近生活，更容易接受。憑借不斷的學以致用，自信心便會慢慢樹立。

中學生正處于人生的黃金時期，對于各種能力的培養都是關鍵時期，所以對于數學思想的灌輸應該跟上來，這將讓學生終身收益。教師可以在適當的時候研究哪些內容可以引入模型教學，通過一些生活實踐來讓學生建立模型來解決問題，結合教材中一些不大復雜的應用問題，帶著學生一起來完成數學化的過程，給學生一些數學應用和數學建模的初步體驗。比如說：出租車作為現代日漸流行的代步方式，對其收費標準的探討可以引入數學模型。某地的收費標準有兩種，A方案的起步價是15元，5千米以上1.5元/km，B方案的起步價為10元，3千米以上1.2元/km，如果你要到達10km以外的某地，問選何種方案更經濟，相比另外一種方案省了多少錢？雖然初中數學中出現的很多應用問題是一些比較簡單的數學建模問題，但是麻雀雖小，五臟俱全，它包含了數學建模的全過程，我們可以把數學建模的思想方法滲透其中。

四、結語

寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。這就需要在廣大教育戰線上辛勤耕耘的各位同仁在教學的始終，要把數學建模意識貫穿起來，也就需要對學生進行不斷地引導，形成用數學思維的觀點去分析、觀察和表示各種事物的邏輯關系、空間關系和數學信息的習慣，從五花八門的實際問題中抽象概括出我們熟悉的數學模型，進而運用這一數學手段來解決問題，讓數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。所謂工欲善其事必先利其器，當數學建模思維已經成為學生自然而然的思維方式，用數學建模思想解決實際問題也運用自如，那么創新能力，對實際生活的駕馭能力的提升將可見一斑。量的不斷積累，帶來的將是質的飛躍，隨著數學建模思想對學生的熏陶，對提高學生分析問題、解決問題的能力，提高其聯想與想象的能力，培養其敏銳的洞察力，以及團隊協作的精神都有很大的幫助，對于全面促進中學數學素質教育有非常重要的意義。

參考文獻

[1]譚永山.建模思想在提高初中數學教學質量中的作用與教學策略[J].學子(理論版).2015.05:39

[2]莊紅敏.初中數學教學中如何引導學生自主學習[J].中國校外教育.2015.01:35

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關鍵詞：中職數學 應用意識 培養

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）01（a）-0132-01

隨著當前數學教學內容的逐漸深入，我國中職數學教學已經出現了非常明顯的轉變，開始逐漸應用到實際中。數學應用意識不僅可以從根本上提升學生的邏輯思維能力，改善學生的數據處理、數據計算效果，提升學生數學能力，還能夠在很大程度上改善科學技術發展質量，提升我國科學技術建設效果。而我們在過去的數學教學中過分強調學生的計算能力和計算技巧的培養，忽視了運用數學知識解決實際問題能力的培養。一個學生學習了數學知識不會運用，將很難適應社會高速發展的需要。因此，將中職數學課堂教學中學生數學應用意識于教育結合起來，建立統一的結構主體，已經成為當前教育發展的必然。

1 提升數學意識，形成良好應用教學體系

在進行中職數學課堂數學應用意識提升的過程中，教師要：（1）對數學應用意識進行明確，確保學生了解到在進行數學教育的過程中數學應用意識的重要性。教師要讓學生了解到在數學學習的過程中不僅有數學計算，還有嚴密的邏輯思維，要讓學生了解到數學邏輯與實際之間的關系，自覺培養自身的數學應用意識。（2）教師要保證學生形成正確的價值體系，確保學生能夠在內心正視數學，正視數學應用，積極、主動參與到數學學習的過程中，激發學生動手操作能力及數學日常應用能力。（3）教師要引導學生對數學應用資料進行合理分析和應用，要向學生展現數學在生活中的應用方式及應用價值，確保學生能夠將數學知識合理應用到日常生活中。與此同時，教師還要鼓勵學生自己進行資料搜集，相互交流、相互促進，從根本上拓展學生的視野。

隨著科學技術的飛速發展，數學的發展的領域越來越廣泛。數學化的家電系列，宇航工程、臨床醫學、市場的調查與預測、氣象學等等，無處不體現數學的廣泛應用。讓學生搜集這些信息，既可以幫助學生了解數學的發展，體現數學的價值，激發學生學好數學的勇氣和信心，更可以幫助學生領悟數學知識的應用過程。例如，在進行概率教學的過程中，教師可以通過對常見體育賽事射擊中的射擊概率進行分析。已知甲、乙、丙三人獨立擊中目標的概率分別為1/2，1/3，1/4，現在三人射擊目標，則全部擊中目標的概率為多少？根據分析可知甲乙丙聯合射擊，三者之間概率相互獨立，所以總概率P=P甲*P乙*P丙=1/24。通過上述常見的射擊中的概率分析，可以讓中學生能夠充分了解到概率數學在實際應用中的魅力，改善學生對概率分析的認識，從根本上提升學生的數學應用意識，改善數學應用質量。

2 引入生活場景，從生活問題引入數學應用

數學來源于生活又高于生活。因此在進行中職數學課堂教學的過程中，教師可以適當引入生活中實際教學案例，從學生日常生活中可以接觸到的內容出發，提升學生的數學應用意識。在該部分內容教育的過程中，教師要對生活數學教學的方法及內容進行合理深化，盡可能多得從各個方面、各個角度分析、處理問題，提升學生的數學應用能力。教師可以通過建立“問題情境-問題模型-解釋應用”教學大綱，對教學問題進行多層次編排，提升學生數學應用意識。

教師要加強對數學應用角度處理問題的效果，從不同層次對數學應用進行闡述，確保學生深入了解和認識數學應用。要培養學生應用實踐能力，為學生創建應用環境，注重培養學生的數學應用意識，提升學生親身實踐的質量。例如，當前公園中票價10元一張，但是春節臨近，為了滿足游客的需要，公園在原票的基礎上推行一種個人年票（個人年票從購買日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三類：A類每年120元，持票進入公園后無需買票；B類每年60元，持票進入公園后需要買2元票；C類每年40元，持票進入公園后需要買3元票。（1）當每年你準備花80元在購票上，請問你該選擇哪一種最為優惠？（2）當你每年到公園多少次選取A類票價最為合適？

3 通過數學建模，提升學生數學應用能力

數學建模是當前中職數學發展中的重要內容。通過數學建模可以有效提升學生自身的數學知識運用能力，能夠有效改善學生應用數學技術質量，確保數學教學又好又快發展。在對數學建模教學內容進行應用的過程中，教師要從課本中對最基礎的教學題型進行全面講解，為學生數學建模應用奠定堅實的基礎。教師要對學生的語言轉化能力進行提升，從初級數學題中對數學建模思想及建模方法進行提煉，在教學過程中潛移默化提升學生對數學建模的認識，培養學生數學建模的能力。

教師要在教學完成后對學生中的實際教學問題進行總結，應用“實際一理論一實際”教學模式，從實際問題出發，對各項數學問題進行解決和處理，逐步構建完善的數學建模構架。教師要引導學生向數學建模方向發展，在日常教學中適當鍛煉學生的數學建模能力，提升學生對數學問題及數學模型的轉變化歸效果。要確保學生能夠對自身的檢驗效果，對各項數學計算方式及結果進行評價，保證學生不斷完善和提升。

4 結語

在中職數學教學的過程中，教師需要對課堂教學中學生數學應用意識進行講解，建立大體的數學應用框架體系，確保學生形成良好的數學應用意識及應用觀念，能夠對數學知識學以致用。教師要提升數學意識，形成良好應用教學體系、引入生活場景，從生活問題引入數學應用、通過數學建模，提升學生數學應用能力，層層深入，層層遞進，從根本上改善中職學生數學學習效果和質量。

參考文獻

[1] 陳宇.淺談如何在中職數學教學中培養學生的應用意識[J].中國科教創新導刊，2008，2（2）：39-41.