導語：如何才能寫好一篇高等數學二，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

本大綱適用于經濟學、 管理學以及職業教育類、 生物科學類、 地理科學類、 環境科學類、 心理學類、藥學類(除中藥學類外)六個一級學科的考生。

總要求

本大綱內容包括“高等數學”及“概率論初步”兩部分，考生應按本大綱的要求了解或理解“高等數學”中極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微分學的基 本概念與基本理論;了解或理解“概率論”中古典概型、離散型隨機變量及其數字特征的基本概念與基本國際要聞 學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法，應注意各部分知識 的結構及知識的內在聯系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力;能運用 基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準確地計算;能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。 本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次;對方 法和運算分為“會”“掌握”和“熟練”三個層次。、

復習考試內容

一、極限和連續

(1)極限

1.知識范圍數列極限的概念和性質

(1)數列數列極限的定義性有界性四則運算法則夾逼定理，單調有界數列極限存在定理

(2)函數極限的概念和性質函數在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系 χ趨于無窮(χ∞，χ+∞， χ-∞)時函數的極限函數極限的幾何意義 性 四則運算法則夾逼定理

(3)無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量的定義無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量的性質，無窮小量的比較。

(4)兩個重要極限

sin x lim x = 1 x 0

1 lim 1 + x = e x ∞x

2.要求

(1)了解極限的概念(對極限定義中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函數在一點處的左極限與右極限以及函數在一點處極限存在的充分必要條件。

(2)了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

(3)理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系，會進行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價) 。會運用等價無窮小量代換求極限。

(4)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

(2)連續

1.知識范圍

(1)函數連續的概念函數在一點處連續的定義 左連續和右連續 函數在一點處連續的充分必要條件 函數的 間斷點

(2)函數在一點處連續的性質連續函數的四則運算 復合函數的連續性

(3)閉區間上連續函數的性質有界性定理 值與最小值定理 介值定理(包括零點定理)

(4)初等函數的連續性

2.要求

(1) 理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系， 掌握函數(含分段函數)在一點處的連續性的判斷方法。

(2)會求函數的間斷點。

(3)掌握在閉區間上連續函數的性質，會用它們證明一些簡單命題。

(4)理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數的連續性求極限。

二、一元函數微分學

(一)導數與微分

1.知識范圍

(1)導數概念導數的定義左導數與右導數函數在一點處可導的充分必要條件導數的幾何意義可導與連續的關系

(2)導數的四則運算法則與導數的基本公式

(3)求導方法復合函數的求導法 隱函數的求導法 對數求導法

(4)高階導數高階導數的定義 高階導數的計算

(5)微分微分的定義 微分與導數的關系 微分法則 一階微分形式不變性

2.要求

(1)理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

(2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

(3)熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。

(4)掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。

(5)了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。

(6)理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

(二)導數的應用

1.知識范圍

(1) 洛必達(L′Hospital)法則

(2) 函數增減性的判定法

(3) 函數極值與極值點值與最小值

(4) 曲線的凹凸性、拐點

(5) 曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

2.要求

(1)熟練掌握用洛必達法則求“

0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的極限的方法。 0 ∞

(2)掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。

(3)理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、值與最小值的方法，會求解簡單的應用問題。

(4)會判定曲線凹凸性，會求曲線的拐點。

(5)會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。

三、一元函數積分學

(一)不定積分

1.知識范圍

(1)不定積分原函數與不定積分的定義 不定積分的性質

(2)基本積分公式

(3)換元積分法第一換元法(湊微分法) 第二換元法

(4)分部積分法

(5)一些簡單有理函數的積分

2.要求

(1)理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。

(2)熟練掌握不定積分的基本公式。

(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(僅限形如

2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代換與簡單的根式代換) ∫

(4)熟練掌握不定積分的分部積分法

(5)掌握簡單有理函數不定積分的計算。

(二)定積分

1.知識范圍

(1)定積分的概念定積分的定義及其幾何意義可積條件

(2)定積分的性質

(3)定積分的計算變上限的定積分牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式換元積分法分部積分法

(4)無窮區間的廣義積分、收斂、發散、計算方法

(5)定積分的應用平面圖形的面積、旋轉體的體積

2.要求

(1) 理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。

(2) 掌握定積分的基本性質

(3) 理解變上限的定積分是上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。

(4) 熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式

(5) 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

(6) 理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。

(7) 掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成旋轉體的體積。

四、多元函數微分學

1.知識范圍

(1)多元函數多元函數的定義 二元函數的定義域 二元函數的幾何意義

(2)二元函數的極限與連續的概念

(3)偏導數與全微分一階偏導數 二階偏導數 全微分

(4)復合函數的偏導數隱函數的偏導數

(5)二元函數的無條件極值和條件極值

2.要求

(1)了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。

(2)了解二元函數的極限與連續的概念。

(3)理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數全微分的求法。

(4)掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。

(5)會求二元函數的無條件極值和條件極值。

(6)會用二元函數的無條件極值及條件極值求解簡單的實際問題。

五、概率論初步

1.知識范圍

(1)事件及其概率隨機事件 事件的關系及其運算 概率的古典型定義 概率的性質 條件概率事件的獨立性

(2)隨機變量及其概率分布隨機變量的概念 隨機變量的分布函數 離散型隨機變量及其概率分布 (3)隨機變量的數字特征 離散型隨機變量的數學期望方差 標準差

2.要求

(1) 了解隨機現象、隨機試驗的基本特點;理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。

(2) 掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容(或互斥)關系及對立關系。

(3) 理解事件之間并(和) 、交(積) 、差運算的定義，掌握其運算規律。

(4) 理解概率的古典型定義;掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。

(5) 會求事件的條件概念;掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。

(6) 了解隨機變量的概念及其分布函數。

(7) 理解離散型隨機變量的定義及其概率分布，掌握概率分布的計算方法。

(8) 會求離散型隨機變量的數學期望、方差和標準差。

篇2

1 多元復合函數的二階導數

多元復合函數的類型多種多樣，這里僅以一種類型加以說明。

設z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y），如果函數u=φ（x，y），v=ψ（x，y）都在點（x，y）具有對x及對y的偏導數，函數z=f（u，v）在對應點（u，v）具有連續偏導數，求，或的二階偏導數。多元復合函數的二階偏導數的計算是在一階偏導數的基礎上再求一次偏導數。必須注意的是，在第二次求導數的過程中，具有與變量z相同的函數結構，、得看成是以u、v為中間變量，x、y為自變量的復合函數。

例1、設w=f（x+y+z，xyz），f具有二階連續偏導數，求。

2 由參數方程確定的函數的二階導數

設參數方程的一般形式為x=φ（t）y=ψ（t）α≤t≤β，其確定的一元函數為y=f（x）。由復合函數以及反函數的求導法則，有

如果x=φ（t）、y=ψ（t）還是二階可導的，那么從（1）式又可得到函數的二階導數。此時，（1）式兩端同時對變量x求導。右端變量t看成是變量x的函數，t的表達式看成是以t為中間變量，x為自變量的復合函數。根據復合函數的求導法則以及反函數的求導法則，即可得到參數方程的二階導數。

篇3

【關鍵詞】一元二次不等式 二次函數 方程 數形結合 圖象

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1006-9682(2010)07-0140-02

一元二次不等式的解法是高中數學教學的重點之一。從內容上看,二次不等式、二次方程與二次函數密不可分,該內容涉及的知識點較多且應用廣泛。從思想層次上看,它涉及到數形結合、分類轉化、方程函數等數學思想,這些內容和思想將在中學數學中產生廣泛而深遠的影響。我們現用的教材在處理上是下了一番功夫的,它將二次不等式的解法分成了兩部分――首先介紹了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式,即利用“同號兩數相乘得正,異號兩數相乘得負”的原理,將一元二次不等式轉化為一元一次不等式組加以解決。毫無疑問,這種解法具有極大的局限性和不完整性,這就為后面介紹二次不等式的圖象法(也就是結合了與二次函數之間的關系)作了必要的鋪墊和準備。一元二次不等式的解法是以后研究函數的定義域、值域等問題的主要工具,它可滲透到中學數學的幾乎所有領域中,對今后的學習起著十分重要的作用。筆者將從以下兩個方面去探討教學中一元二次不等式的解法及與二次函數的關系。

一、明確教學目標及教學重難點

教學分為三大目標。①知識目標:使學生掌握一元二次不等式的圖象法,理解掌握這種解法的理論依據,并在教學中滲透高考對本內容的考察程度;②能力目標:通過圖象解法滲透數形結合、分類化歸等數學思想,培養學生動手能力、觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結等系統的邏輯思維能力,培養學生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質;③德育目標:通過圖象法,有意識地向學生滲透抽象與具體、聯系與轉化、特殊與一般觀點和方法,培養學生良好的心理素質和競爭意識。沒有目標就像無帆的船,所以在教學中始終要堅持以貫穿這樣的目標為中心,讓學生做到心中有數,清楚學習一元二次不等式的重要性,從而進一步提高學生學習的積極性與主動性,從而教學才會卓有成效。

教學重點與難點:教學重點是三種類型的一元二次不等式圖象解法。教學難點是二次不等式、二次方程和二次函數三者關系的有機聯系,數形結合和分類轉化等數學思想的理解和運用。學生在學習中必須明確清楚這兩者之間的關系,不然會把握不住學習的方向性,針對重要環節以及薄弱環節可以相應的采取不同的學習方式,達到有的放矢,需要掌握的知識點(即重點,有時難點也是重點)要非常熟悉,需要理解的知識點了解它所要體現的內容即可。

二、掌握一元二次不等式與二次函數的密切聯系

首先,要掌握二次函數和一元二次方程之間的聯系,二次函數的圖象是一條拋物線,其開口方向由二次項系數決定,可得此重要結論:二次函數與x軸的交點坐標的橫坐標就是其對應的一元二次方程的根――有兩個不相等的實數根則有兩個不同的交點,有兩個相等的實數根則有一個交點,沒有實數根則沒有交點。從而可觀察到二次函數和不等式的關系就是不等式的解集和方程的根之間的關系:“小于取中間,大于取兩邊”,從而歸納出圖表(一元二次不等式與一元二次方程及二次函數的關系):

從上表中我們就可求解一元二次不等式,如高一教材中第22頁的例題:求解不等式(x+4)(x-1)

與 ,從而求出不等式的解集。

我認為還可以采取更為簡潔的方法求解此類不等式,如上例中的4比-1大,從而可判斷出x+4比x-1大,因此可得到x+4>0,x-1

(x+a)(x+b)>0, 或(x+a)(x+b)

的解法,只需去判斷a與b的大小,就可知x+a與x+b的大小,也就進一步求出不等式的解集。這種方法顯然比上述方法顯得更為簡單,并且避免了討論。

其次,要滲透一元二次不等式與二次函數間的密切聯系,這建立在對一元二次不等式和二次函數的知識點掌握牢固的基礎上。如二次函數的定義域、值域、單調性、最值和圖象等性質,學生都需要理解透徹,不等式與二次函數結合的知識,在一定程度上可以很準確的反映學生的數學思維。

例如,設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)

-x=0的兩個根x1,x2滿足0

(1)當x∈(0,x1)時,證明x

(2)設函數f(x)的圖象關于直線x=x0對稱,證明x0< 。

解題思路:本題要證明的是x

由題中所提供的信息可以聯想到:①f(x)=x,說明拋物線與直

線y=x在第一象限內有兩個不同的交點;②方程f(x)-x=0可變為ax2+(b-1)x+1=0,它的兩根為x1、x2,可得到x1、x2與a、b、c之間的關系式,因此解題思路明顯有三個:①圖象法;②利用一元二次方程根與系數的關系;③利用一元二次方程的求根公式,輔之以不等式的推導。現以思路②為例,解決這道題:

(1)先證明x

由00,從而證得x

根據韋達定理,有x1x2= ,0

=f(x1),又c=f(0),f(0)

根據二次函數的性質,曲線y=f(x)是開口向上的拋物線,因此,函數y=f(x)在閉區間[0,x1]上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到,而且不可能在區間的內部達到,由于f(x1)

(2)

函數f(x)圖象的對稱軸為直線x=- ,且是唯一的一

條對稱軸,因此,依題意,得x0=- ,因為x1、x2是二次方

程ax2+(b-1)x+c=0的兩根,根據韋達定理得x1+x2=- ,

x2-

我們還可以對上述例題進行相應的變形可得:已知二次函數f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a>0),設方程f(x)=x的兩個實根分別為x1、x2。

(1)若x1

x0>-1;

(2)若|x1|

對于這個例題,我們采取的常規思路如下:

(1)證明:f(x)=x,ax2+(b-1)x+1=0。

設g(x)=ax2+(b-1)x+1,由題意可得:

,即

x0=- >-1

(2)對于方程ax2+(b-1)x+1=0,令b-1=c,則有ax2+cx+1=0。

由|x2-x1|=2,得 ,即c2-4a=4a2,c2=4a2

+4a(1)

又|x1|

即-6

而=c2-4a>0,4a

由(1)(2)得a>

c2=4a2+4a>  c> 或c

又b=c+1,b> 或b

上述例題中的第(2)小題我們還可采取例外的思路進行求解,而且這種思路顯得更為快捷和簡便,解法如下:

由|x2-x1|=2,得|x2|-|x1|≤|x2-x1|=2,又|x1|

對于方程ax2+(b-1)x+1=0,由韋達定理我們有 =x1

x2≤|x1||x2| 而|x2-x1|= =2,(b-1)2

=4a2+4a,又a> ,b> 或b< 。

上述思路就是有效的結合了不等式與函數、方程的思想,這樣就可大大簡化運算的過程,而且思路清晰,學生較容易接受,因此我們在教學過程中對于這一類問題就要擴展學生的思維,不讓其只陷入一個思路當中,這樣就無形中使學生得到了思維的鍛煉,又增強了學生學習數學的興趣。

綜上所述,二次不等式與二次函數之間有著豐富的內涵和外延,以它為代表來研究函數的性質,可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系,可以編擬出層出不窮、靈活多變的數學問題,考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質,特別是能從解答的深入程度中,更好的區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

參考文獻

1人民教育出版社中學數學室編.全日制普通高級中學教科書(必修)數學第一冊(上).北京:人民教育出版社,2007:21～23

2 任志鴻.高中新教材優秀教案高一數學(上).海口:南方出版社,2006:78～83

篇4

數學二考察高等數學和線性代數兩部分，分別占總分的百分之78和百分之22。

根據考研大綱，數二考察144個考點，不考察：向量代數與空間解析幾何、三重積分、曲線積分、曲面積分以及無窮級數。根據每年的考研真題，數學二只覆蓋考試大綱的百分之82、5，所以復習時要懂得抓重點，數學二重點考察的內容是：曲率、弧長以及質心問題。在復習時要重點關注。

（來源：文章屋網 ）

篇5

一、專升本考試科目

專升本考試科目：政治、英語、專業基礎。

其中專業基礎包括：大學語文、藝術概論、高等數學一、高等數學二、民法、教育理論、生態學基礎、醫學綜合。考生根據報考類別只考一門。

二、高中起點升本科考試科目

高起本考生分文理科報考，考試科目分別是：

文科：語文、數學（文）、外語、史地

理科：語文、數學（理）、外語、理化。

三、高中起點升專科考試科目

高起專考生分文理科報考，考試科目分別是：

文科：語文、數學（文）、外語。

理科：語文、數學（理）、外語。

四、其它

篇6

一、專升本考試科目

專升本考試科目：政治、英語、專業基礎。

其中專業基礎包括：大學語文、藝術概論、高等數學一、高等數學二、民法、教育理論、生態學基礎、醫學綜合。考生根據報考類別只考一門。

二、高中起點升本科考試科目

高起本考生分文理科報考，考試科目分別是：

文科：語文、數學（文）、外語、史地

理科：語文、數學（理）、外語、理化。

三、高中起點升專科考試科目

高起專考生分文理科報考，考試科目分別是：

文科：語文、數學（文）、外語。

理科：語文、數學（理）、外語。

四、其它

篇7

數學一、二、三科目考試區別：

1、線性代數：數學一、二、三均考察線性代數這門學科，而且所占比例均為22%，從歷年的考試大綱來看，數一、二、三對線性代數部分的考察區別不是很大，不同的是數一的大綱中多了向量空間部分的知識。

2、概率論與數理統計：數學二不考察，數學一與數學三均占22%，數一比數三多了區間估計與假設檢驗部分的知識。

3、高等數學：數學一、二、三均考察，而且所占比重最大，數一、三的試卷中所占比例為56%，數二所占比例78%。

（來源：文章屋網 ）

篇8

摘要：隨著經濟的發展和人們生活水平的提高，社會對人才的需求也不斷發生著變化。數學作為一門重要的就學科，在一定程度上表現了學生的邏輯思維能力，在高考中也是十分重要的。但是通過觀察我們可以發現，高中數學與高等數學之間存在一個比較大的跨度。本文將主要對高等數學與高中數學銜接存在的問題進行分析并給出一些建議。

關鍵詞：高等數學；高中數學；內容銜接；研究分析

在高中時代，數學是非常重要的重點課程，而在大學時代，高等數學就成為了高等院校尤其是工科院校的基礎課程。大學有突出的專業，強調專業特色，但是數學會成為后續專業課程的基礎，可以為專業的學習提供數學知識和解決問題的基本方法。所以，高等數學對學生的學習與發展是很重要的。

一、高等數學教育現狀

高中數學主要介紹關于常量的內容，是初等數學的范疇。而大學的高等數學主要是關于變量的。他們在研究對象、研究方法甚至思維方式和邏輯的嚴密性上都存在很大差異。隨著高中數學和高等數學都在不斷的進行教學改革，它們之間內容重復的部分和知識延伸的重點也在不斷地發生變化。這些變化導致有些學生高中數學成績優秀到了大學卻不得要領不斷下降甚至學習有障礙，反而有些學生高中數學成績普通卻能輕松自如地學習高等數學。雖然高等數學與高中數學二者之間有著密切的聯系，但是仍然存在比較大的跨度，是兩個相對獨立的學習與教學階段。但在實際教學過程中，高中教師一般會注重現有理論的教學，沒有延伸和拓展，大學教師又常常會忽略二者之間的聯系，造成高中數學教學和高等數學教學存在比較嚴重的脫節現象。讓學生產生了畏難情緒。尤其是在高中艱苦學習的階段過渡到相對輕松和自由的大學階段，學生更容易喪失學習的興趣和動力。

二、高等數學與高中數學內容銜接存在的問題

1、高等數學與高中數學存在脫節的問題

普遍存在的情況是，高中數學教學主要是為沖刺高考而服務的，一切以迎戰高考為中心。所以在教學過程中，教師大多會按照高考考綱進行教學，這樣就忽略了一些高考沒有涉及到的知識點的教學，而這些知識點很有可能恰好是大學數學教學中涉及到的問題。如此一來，從高中過渡到大學，在數學的學習中就會存在脫節問題。例如，在階常系數線性齊次微分方程y″+py′+qy=0時，學生要先求出其特征方程r2+pr+q=0的根，然后根據特征方程根的情況，寫出方程的通解。在實際教學過程中，學生對由特征方程所得的一元二次方程r2+pr+q=0解答的認識主要停留在Δ=p2-4q≥0實數解上，這給微分方程的學習帶來一定困難。

2、高中數學存在邏輯嚴密性問題

無論是在高等數學還是初等數學中，嚴密性都是至關重要的。必要的邏輯推理訓練是不可少的，因為它是創造性數學思維中不可少的工具。這也是數學教學過程中逐步形成的一個特點。但是與高等數學比較而言，高中數學教學存在邏輯的嚴密性問題。如在高中教材中沒有單獨給出極限的定義，只有描述性表述，但在介紹導數的概念時又利用了極限的概念。

3、時間間隔造成的知識點遺忘

在大學數學的教學過程中，很多的知識點是與高中數學的知識點串聯在一起的。比如集合、實數、自然數、整數、有理數、無理數、函數、極限、導數、概率等。在高中階段，這些知識點會頻繁的用到并會不斷的重申，學生記憶深刻。但忙碌的高考過后，學生的身心得到放松，時間的間隔導致他們忘記了原來的知識點，而大學教師清楚的知道他們學習過這些基本的知識點，所以會一次性的復習或者根本就不復習而直接開始新的課程。學生一時間難以接受，學習就會怠慢，久而久之，嚴重影響學習的效果和效率。

三、如何避免高等數學與高中數學教學內容銜接問題

1、避免高等數學與高中數學知識點脫節的問題

例如上面講到的剛進入大學的學生對一元二次方程的主要認識。那么學生在學習在微分方程內容時，應先補習求一元二次方程r2+pr+q=0在復數范圍內的解和重根的概念。要解決“脫節”的問題，大學教師應該主動去了解高中教材，了解高中數學教學的內容、范圍及教學的側重面，然后針對性的進行教學。知道那些知識點是要補充的。例如：反三角函數、正余割函數、函數有界性及周期性的數學描述、曲線的參數方程、極坐標系、復數的概念。

2、解決邏輯嚴密性問題

高中數學注重理論本身的教學，忽略了延伸和拓展，大學教師需要把這些知識點重新詳細系統地講述一遍，給予嚴格的定義并澄清概念，加強學生嚴格的數學語言描述訓練。但抽象的數學語言描述常常讓大一新生望而卻步，因此從高中階段的直觀描述到大學階段嚴格的數學語言描述這個過程必須循序漸進，要結合直觀描述讓學生理解嚴格的數學語言描述。例如高中數學是這樣介紹對數理論的：“一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數x 叫作以a 為底N 的對數，記作x=logaN”，利用指數函數的逆運算產生了對數函數，并且用對數的定義給出了對數的運算性質：loga（MN）=logaM+logaN。事實上，在數學發展史上對數是出現在指數之前的。在大學數學教學中，可以利用積分的知識重新審視對數理論。由雙曲線y=1/x下面的面積得出了自然對數函數的定義 這種新函數的引入是極其自然的，符合數學的歷史發展。這樣講既避免了與中學數學知識的簡單重復，又對高中數學教學的補充和拓展。

3、知識點的復習和鞏固

對于一些高中數學和大學數學重復的內容，在進入大學后，教師應該進行一個知識點的梳理，幫助學生盡快的復習之前的知識，這樣可以幫學生盡快的進入狀態，為后面的學習打好基礎。

總而言之，數學是一門重要的學科，是眾多學科和專業的基礎。無論是在高中階段還是在大學階段，數學的學習都是十分重要的。但是高中數學與高等數學之間存在一個比較大的跨度，這個就導致了高等數學的學習和教學都存在一定的難度。教師應該注重知識點的重溫和銜接，彌補疏漏。這樣才能提高高等數學學習的效率。

參考文獻：

[1]季素月，錢林；大學與中學數學學習銜接問題的研究[J]；數學教育學報；2000年04期

[2]高雪芬；王月芬；張建明；；關于大學數學與高中銜接問題的研究[J]；浙江教育學院學報；2010年03期

篇9

關鍵詞：微分中值定理；證題技巧

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）38-0126-02

微分中值定理是高等數學的重要內容，也是考研必考內容，因此，掌握其證題技巧，十分必要。下面就三種情形對其證題技巧進行探討.

一、命題f（n）（ξ）=0的證法

證題方法：方法1：驗證f（x）在包含x=ξ的區間上滿足羅爾定理條件；

方法2：驗證ξ為f（x）的最值或極值點，利用極值存在的必要條件或費馬定理即可得證；

方法3：利用泰勒公式證明。

例1設函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內二階可導，且f（a）=f（c）=f（b），（a

證明：顯然f（x）在[a，c][c，d]上滿足羅爾定理條件，于是分別?ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b）使f'（ξ1）=0，f（ξ2）=0，再對f'（x）在[ξ1，ξ2]上用羅爾定理，故?ξ∈（ξ1，ξ2）?（a，b），使f"（ξ）=0

例2設函數f（x）在[a，b]上可導，且有f'+（a）.f'-（b）

證明：由題設可知有f'+（a）與f'-（b）異號，不妨設有

f'+（a）0，當x∈（a，a+δ1）時，有

同理，由極限的保號性可知?δ2>0，當x∈（b-δ2，b）時，有>0，從而f（x）

例3若f（x）在[a，b]上有n階導數，且f（a）=f'（b）=f'（b）=f"（b）=…=f（b）=0，則在（a，b）內至少存在一個ξ，使f（ξ）=0

證明：將f（x）在x=b處按泰勒公式展開

f（x）=f（b）+f'（b）（x-b）+f"（b）（x-b）2+…+f（b）（x-b）+f（η）（x-b）

（x

例4若f（x）在[0，1]上有三階導數，且f（0）=f（1）=0，設F（x）=x3.f（x），試證在（0，1）內至少存在一個ξ，使F'''（ξ）=0

證明一：由題設可知F（x），F'（x），F"（x），F'''（x）在[0，1]上存在，又F（0）=F（1），由羅爾定理，?ξ1∈（0，1）使F'（ξ1）=0，又F'（0）=[3x2.f（x）+x3.f（x）]|x=0=0，可知F'（x）在[0，ξ1]上滿足羅爾定理，于是?ξ2∈（0，ξ1），使得，F''（ξ2）=0。又對F''（x）在[0，ξ2]上再次利用羅爾定理，故有ξ∈（0，ξ2）?（0，ξ1）?（0，1），使得F'''（ξ）=0

證明二：寫出F（x）在x=0處的二階泰勒展開式為

F（x）=F（0）+F'（0）x+F''（0）x2+F'''（ξ）x3，（ξ在0與x之間） （*）

因為F'（x）=3x2f（x）+x3f'（x），F"（x）=6xf（x）+6x2f'（x）+x3f"（x），所以F（0）=F'（0）=F"（0）=0，由（*）式得F（x）=F?（ξ）x3，注意到F（1）=f（1）=0，代入得F'''（ξ）=0，故F'''（ξ）=0

二、證明至少存在一點ξ∈（a，b），使f（ξ）=k（k≠0）或a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ），f'（ξ），…f（ξ）所構成式子成立

證題方法：

作輔助函數F（x），驗證F（x）滿足羅爾定理條件。

輔助函數F（x）的構造是證題的關鍵，以下介紹輔助函數的構造方法。

微分方程法：（1）將欲證結論中的ξ換成x；（2）將式子寫成容易去掉一次導數符號的形式；（3）去掉一次導數符號，移項使等式一端為0，另一端即為所求的輔助函數F（x）。

作輔助函數的方法十分重要，拉格朗日定理的證明在2009年考研數學一和數學二中出現。拉格朗日中值定理的結論：=f'（ξ）

令ξ=x得=f'（x）積分x=f（x）+c

令c=0并舉移項f（x）-x=0令F（x）=f（x）-x即可。

柯西中值定理的結論：=

令ξ=x得=變形g'（x）=f'（x）

積分g（x）=f（x）+c令c=0并移項，

f（x）-g（x）=0令F（x）=f（x）-g（x）即可。

例5設f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（0）=f（1）=0，f（）=1，試證至少存在一個ξ∈（0，1），f'（ξ）=1

分析：f'（ξ）=1?f'（x）=1?f（x）=x?f（x）-x=0?F（x）=f（x）-x

證明：令F（x）=f（x）-x，顯然，F（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，又F（1）=f（1）-1=-1

f（）-=>0，（f（）=1），由零點定理可知，存在一個η∈（，1），使F（η）=0；又F（0）=f（0）-0=0，對F（x）在[0，η]上用羅爾定理，存在一個ξ∈（0，η）（0，1）使得F'（ξ）=0即f'（ξ）=1

例6設函數f（x）在[0，]上二階可導，且f（0）=f'（0），f（）=0，試證：至少存在一點ξ∈（0，），使得f''（ξ）=

分析：f"（ξ）=?f"（ξ）（1-2ξ）-2f'（ξ）=f'（ξ）?f"（x）（1-2x）-2f'（x）=f'（x）?[f'（x）（1-2x）]'=f'（x）?f'（x）（1-2x）=

f（x）+c?f'（x）（1-2x）-f（x）=0?F（x）=f'（x）（1-2x）-f（x）

證明：令F（x）=f'（x）（1-2x）-f（x），顯然在[0，]上連續，在（0，）內可導，

且F（0）=f'（0）（1-0）-f（0）=0，F（）=f'（）（1-2.）-f（）=0，所以F（x）在[0，]上滿足羅爾定理條件，則至少存在一點ξ∈（0，），使得F'（ξ）=0即f"（ξ）（1-2ξ）-3f'（ξ）=0，亦即f"（ξ）=

三、證明在（a，b）內至少存在ξ，η，ξ≠η滿足某種個代數式成立

證題方法：用兩次拉氏中值定理，或者使用兩次柯西中值定理，或者使用一次拉氏中值定理、一次柯西中值定理。

例7設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，0

證明：因為0

即=f'（η），又因為f（x）在[a，b]上滿足拉格日中值定理，所以?ξ∈（a，b）使得=f'（ξ），由上面二式可得f'（ξ）=f'（η），ξ，η（a，b）

例8設f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（0）=0，f（1）=1，試證：對任意給定的正數a，b，在（0，1）內存在不同的ξ，η，使+=a+b.

證明：因為a與b均為正數，所以0