導語：如何才能寫好一篇方程的意義，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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教學目標：借助生活情境理解方程的意義，能從形式上判斷一個式子是不是方程；經歷從生活情境到方程模型的建構過程，感受方程思想；培養學生觀察、描述、分類、抽象、概括、應用等能力。

教學重點：準確從生活情境中提煉方程模型，然后用含有未知數的等式來表達，理解方程的意義。

教學難點：理解方程的意義，即方程兩邊代數式所表達的兩件事情是等價的。

教學過程――

一、呈現情境，建立方程

1.師：(出示一臺天平)請看，這是一臺天平，在什么情況下天平會保持平衡呢?

教師在天平的一邊放上兩袋100克的食物，另一邊放一個200克的砝碼，這臺天平保持平衡了嗎?

提問：你能用一個式子表示這種平衡嗎?(100+100=200或100×2=100)你怎么想到了用數學符號“=”來表示天平的平衡呢?(引導學生說出：這里的100+100表示的是天平左盤食物的質量，200表示的是天平右盤砝碼的質量，正因為它們的質量相等，天平才會平衡，如果學生說成：食物的質量=砝碼的質量，教師也給予肯定，然后問：現在已經知道這兩袋食物的質量都是100克，砝碼的質量是200克，那么上面的式子可以寫成什么形式?)

2.(出示兩小袋食品)將左盤的食物換成兩袋30克的食物，天平還是平衡的嗎?為什么?你能用一個式子表示這種不平衡嗎?(30+30

師：這里有一袋重x克的小豆，我們把它加到輕的一端，(等待天平平衡后)天平平衡了，你又能想到什么式子?(60+x=200)

3.一盒牛奶有275克，在左盤里換上它，這時候天平會怎樣?(不平衡)會用式子表示這種不平衡嗎?(275>200)咱們班誰喜歡喝牛奶?你喝吧!問：這盒牛奶被喝掉多少克了?再問：這盒牛奶現在的質量可以怎么表示?(275-x)克。

4.再將這盒喝過的牛奶放在天平的左盤，可能會出現什么情況?可以怎么表示?寫一寫!點名匯報，(切忌一問一答!當學生答出一種情況，老師隨機問這種情況表示的是什么情況)

當學生說出275-x>200、275-x=200、275-x

5.剛才，我們列出了這么多的式子表示天平的平衡情況，其實，不單是天平的平衡與否可以用這樣的一些式子來描述，很多問題也可以用類似的式子來描述，老師這兒就有幾個問題，想試試嗎?在紙上寫一寫!

(3)學生寫時，教師巡視，接著點名匯報，詢問學生是怎么想的后，根據學生的回答，隨機板出：3x

設計意圖：從實際情境中列出等式和不等式(其中有兩個方程)，是為了讓學生用數學的符號把要說的話(兩件事情等價)表達出來，抽象出數學模型，初步感知方程的表現形式，從生活中的提煉到數學表達再到形式化的過程，正是為了滲透建模思想。

6.對式子100+100=200，30+30200，275-x>200，275-X=200，275-x

二、變化情境，理解方程

1.運用上面的三盒彩筆的情境圖，教師說，根據這幅圖能列出方程嗎?如果換成：買4盒，分給每人一枝，則剛好，怎么列方程?

2.聯系剛才的情境，要求學生再說說對方程的理解，(學生可能說，方程表示平衡；方程的兩邊雖然形式不一樣，但總是相等的；方程表示數量關系；方程一定是等式……)

3.小明也根據一些生活情境列出了一些式子，哪些是方程?

①35+65=100，②x-14>72，③y+24④5x+32=47，⑤2x+3)=34，⑥6(a+2)=42

(對不是方程的式子，一定要學生從本質上解釋為什么不是方程)

學完方程后。小明又列了兩個式子，卻不小心被墨水給弄臟了，猜猜他原來列的是不是方程?

讓學生明白，不管墨跡處是什么，第一個都是方程，第二個則可能是也可能不是，可小明說，他列的第二個式子也是方程，猜一猜，他列了個什么方程?

4.看來，大家對方程又有了更深刻的認識，其實，早在三千六百多年以前，人們就對方程有了自己的認識你知道嗎?

課件出示(配以錄音)：早在三千六百多年前，埃及人就會用方程解決數學問題了，在我國古代，大約兩千年前成書的《九章算術》中，就記載了用一組方程解決實際問題的史料，一直到三百年前，法國的數學家笛卡爾第一個提倡用x、y、z等字母代表未知數，才形成了現在的方程。

篇2

教學內容:

教學目標:

1.知識與技能使學生理解和掌握等式與方程的意義。

2.過程與方法

:通過自主探究學習，弄清方程和等式兩個概概念

3.情感與價值觀：讓學生感受方程與生活密切聯系。

教學重推點

重點:

理解和掌握方程的意義。

難點：弄清方程和等式的意義。

教學過程

一、課前復習(課件出示做習題，用字母表示長方形的周長和面積)。

談話導入：前面我們學習了用字母表數或表系數量關系，今天我們就學

習新的知識

認識天平：天平是由天平秤和砝碼組成的。因為物體的質量有輕重，所以砝碼也有大小，砝碼越大就越重。把要稱量的物體放在左邊的托盤，右邊的托盤放相應的砝碼,當天平平衡、指針指在正中央，說明這個物體的重量就是砝碼的重量。

三、實際操作，探究新知。

1.

課件出示第一幅圖:左盤放50克的兩個砝碼,右盤放上100克砝碼。

師提問:

（1）仔細觀察，現在天平處于什么狀態?(平衡)

（2）天平平衡說明什么?

(左右相等)

師:你能用一個式子表示這種平衡了狀態嗎?

教師根據學生回答板書:

50+50=

I00

師:

50+50=100這個式子是用等號連接的。數學上就把“用等號連接的式子”叫等式。它表示等號左右兩邊相等。

師:其實“等式”大家并不陌生，我們在過去學過的加減、乘、除

運算時就得到許的“等式”。誰能說幾個等式?(請學生回答)

2.老師提問：如果要稱一個杯子的重量，如何操作天平。（左物右碼)

課件出示第二幅圖:一個天平左盤上放了一個玻璃杯，右盤上放100克重的砝碼，正好平衡。

師:仔細觀察,現在天平處于什么狀態?

(平衡)

師;對，我們知道了杯子重100克。

3.師：在空杯子里加滿水，右邊不變，天平會怎樣?

(天平失去平衡)

你發現了什么?哪邊重?

(左低右高、左邊重)

題問:如果水重X克，杯子和水重多少?(一懷水共重的少?)

生:

100+x

師：要使天平平衡應該怎么辦?

(加砝碼)

4.課件演示:在右邊加100克砝碼。

師:仔細觀察，你發現了什么?

那邊重?（天平不平衡，左低右高，左邊重)

師：天平左邊重100+X，右邊重200克，能用一個式子表示嗎？

生：100+x

>

200

師：像100+x

>

210

這樣左右兩邊不相等的式子叫做不等式

5.繼續演示:在右邊增加100克法碼,觀察能否讓天平平衡。

師:你又發現了什么？(天平平衡了)

師：能用一個式子表示嗎？

生:

100+x

300

(它也是一個不等式).

6.課件演示:將右盤中一個100克砝碼換成50的克法碼

師:看現在天平處于什么狀態?

(平衡)用一個式子表示(100+X=250)

師:

100+X=250是一個等式，因為它由“=”連接，左右相等。

7.課件出示:一本練本x元，3本2.4元。

提問:你們可以用一個式子表式這個等量關系嗎?

生：3x=2.4

8.課件出示以上所有的式子,和些其它式子。讓學生找出等式。再從等式中找出含有未知數的等式。

給出方程的意義:

像100+x=250

，3x=2.4

...這樣含有未知數的等式就是方程。

三鞏固練習

1.判斷哪些式子是方程。

62+口=78

3x+口=42是不是友程。

2.看圖式方程。

四、課堂小結

說一說你有哪些收獲?

五、布置作業

第6頁

練習十四，第2題前兩題。

六、板書設計

50+50=100(等式)

等式:用等號連的式于叫等式。

100+x

>

200

(不等式)

100+X

300

(不等式)

100+X

=

250

（方程）

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【關鍵詞】微分方程；齊次方程；變量代換；分離變量

1.問題的提出

稱形如dydx=f（yx）的微分方程為齊次方程.對方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，當c1=c2=0時，即為齊次方程；當a1b1a2b2≠0時，可通過線性變換將其轉化為齊次方程進行求解.對于a1b1a2b2=0或c1，c2不定的情況，該微分方程又如何求解呢？

2.問題的求解

對于方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，隨著常數取值的不同，可以把其轉化為其他類型的微分方程進行求解，下面根據二階行列式為零的幾種特殊情況分別進行討論：

（1）當a1=b1=0，c1≠0時，

dydx=c1a2x+b2y+c2.（*1）

令u=a2x+b2y+c2，得：dudx=a2+b2dydx.

將（*1）代入上式，得：dudx-a2=b2c1u.

這是典型的可分離變量的微分方程，不妨設解為φ（u，x，C）=0（C為任意常數，下同），從而原微分方程的解為φ（a2x+b2y+c2，x，C）=0.

（2）當a2=b2=0，c2≠0時，方程可整理為：

dydx=a1x+b1y+c1c2=b1c2y+a1x+c1c2，

即dydx-b1c2y=a1x+c1c2.

這是一階線性微分方程，直接可借助求解公式，

y=e-∫P（x）dx（∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C），

其中P（x）=-b1c2，Q（x）=a1x+c1c2.

（3）當a1a2=b1b2=c1c2時，

不妨設比值為k，則可將原微分方程化為：

dydx=ka2x+kb2y+kc2a2x+b2y+c2=k.（*2）

顯然，此時微分方程的解為y=kx+C.

（4）當a1a2=b1b2≠c1c2時，

仍令a1a2=b1b2=k，代入原微分方程，得：

dydx=ka2x+kb2y+c1a2x+b2y+c2=k+c1-kc2a2x+b2y+c2（*3）

令u=a2x+b2y+c2，則：dudx=a2+b2dydx.

代入微分方程（*3）并整理，得

u（a2+kb2）u+b2（c1-kc2）du=dx.

兩邊積分可得：

1a2+kb2{a2x+b2y+c2-（c1-kc2）b2a2+kb2ln[（a2+kb2）（a2x+b2y+c2）+（c1-kc2）b2]}=x+C.

3.問題的擴展

考察方程dydx=f（a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2），右邊盡管是a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的表達式，但變量代換令u=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，整理后得到：

a2ux+b2uy+c2u=a1x+b1y+c1.

兩邊關于x求導，得

a2dudxx+a2u+b2dudxy+b2udydx+c2dudx=a1+b1dydx.

顯然，這樣的代換只能使得方程求解更為復雜.因此對這類形式的微分方程，一般通過考察a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的具體形式選擇具體的求解方法.例如當a1b1a2b2≠0時，可通過線性變換x=X+h，y=Y+k將微分方程轉化為

dYdX=fA1X+B1YA2X+B2Y.

這是典型的齊次方程，該方程的求解可以按照前面方法進行.而當a1b1a2b2=0的討論要復雜一些，需要對內部進行整理并尋求合適的變量代換.限于篇幅，這里不再贅述.

4.結 論

微分方程的求解對研究實際問題具有重要意義，這里針對由齊次方程衍生的一類特殊方程，通過考慮參數的不同取值，基于傳統的變量代換和分離變量以及現有微分方程理論，研究了不同條件下的具體求解方法.從求解過程可以看出，微分方程的求解方法完全依賴于方程的具體形式，對形式復雜的微分方程只有通過分析局部特點，簡化方程形式，類比基本模型，才能獲得原方程的解.

【參考文獻】

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關鍵詞：小學數學；方程；教學

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）12-141-01

一、為什么要用等式基本性質解方程

順應著基礎教育的這一發展，新一輪課程改革中推出的各學科課程標準，都將小學、初中視為一個整體，予以通盤考慮，這是一大進步。數學學科當然也不例外。可以說，義務教育數學課程標準的研制、頒布為我們研究和踐行中小學數學教學的銜接，提供了教學內容、教學要求等多方面的支撐和保障。我們應該基于這樣的背景，展開有關的討論。

其實，解方程的依據，嚴格說來，應該是方程的同解定理。但由于中小學數學的理論要求不高，再說在陳述等式的第一條性質時，只要指出等式兩邊都乘或除以，加上或減去同一個不等于零的數，就可以作為同解定理來使用。所以，多年以來，即使是中學數學教材，也大多采用等式的基本性質作為解方程的依據。這樣處理可以避開“同解方程”等概念，減少教學的麻煩。

過去，在小學教學解方程，依據的是四則運算之間的關系，如“加數=和-另一個加數”，“因數=積÷另一個因數”等等。由于這些關系小學生在學習加減法、乘除法時，早就不斷有所感知，積累了比較豐富的感性經驗，所以到小學中高年級再加以概括就顯得水到渠成，運用這些關系解未知數只出現在等式一邊的簡易方程也比較自然。

但是，這種“算術”的解方程思路畢竟走不了多遠，一到中學就被徹底拋棄，取而代之的是等式的基本性質。而且小學依據四則運算關系解方程教得越多，練得越鞏同，初中方程教學的負遷移就越明顯，入門障礙就越大。當然，負遷移的程度也取決于初中數學教師的教學策略與教學藝術，但在整體上存在負遷移是一個不爭的事實。

既然如此，那是不是意味著四則運算法則就到了窮途末路的境地呢？其實不然，下面我們來綜合比較一下等式的基本性質、四則運算法則和移項法這三種簡易方程解法的優劣。

二、移項法PK等式的基本性質

例如方程5x+2=7x-8，為了使方程化為ax=b的形式，我們就要把同類項合并，但它們又不在等號的同側，如何合并？不妨我們利用等式的基本性質，在方程的兩邊都減去2，然后在方程的兩邊都減去7x，這樣就得到：5x-7x=-8-2，然后再合并同類項就可以了.這里的2就改變符號移到了方程的右邊，7x就改變符號移到了方程的左邊，這種變形相當于把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項。

方程中的任何一項都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，即可以把方程右邊的項改變符號后移到方程的左邊。也可以把方程左邊的項改變符號后移到方程的右邊。移項中常犯的錯誤是忘記變號，還要注意移項與在方程的一邊交換兩項的位置有本質的區別。如果等號同一邊的項的位置發生變化，這些項不變號，因為改變某一項在多項式中的排列順序，是以加法交換律與給合律為根據的一種變形，但如果把某些項從等號的一邊移到另一邊時，這些項都要變號。例如5x=4x+8，如果用等式的基本性質來解，學生只知道等式兩邊加上或減去同一個數，等式不變，學生就會認為只能加已知數，很難想到兩邊可以同時減去4x，給教學帶來了一定的麻煩。但如果移項的話就容易理解了，4x左移加號變減號，5x-4x=8，解方程就很容易了。這種情況下，移項法占一定優勢。又例如20-8=4x，如果采用移項法把未知數左移變成-4x=-20+8，反而把簡易方程復雜化了。但如果采用等式的基本性質，根據天平平衡原理，左右交換變成4x= 20-8就容易多了。這種情況下，等式的基本性質占優勢，綜合比較，各占千秋。

三、四則運算法則PK等式的基本性質

新課標人教版教材五年級數學上冊“簡易方程”教學內容由原教材用加減乘除四則運算之間的關系解方程改成天平平衡原理（等式的基本性質）解方程。然而，在學生的學習中，都用這種方法解決的話，有些方程不太容易解，大部分學生老是學不會。怎么辦呢？

回顧學生學過的四則運算之間的關系，實質是由等式的基本性質得到的，是否可以教用學生已經熟悉的四則運算之間的關系來解方程呢？于是我就嘗試讓學生回憶加、減之間的關系和乘、除法之間的關系，弄清楚它們之間的關系后，我讓學生試著用“一個加數等于和減去另一個加數” “被減數等于差加減數”“減數等于被減數減差” “ 一個因數等于積除以另一個因數”“被除數等于商乘除數”“除數等于被除數除以商”這六句話來解方程，沒想到學生嘗試后都覺得好用，大部分學生都學會了用這種方法來解方程。

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關鍵詞：一元一次方程；應用題；等量關系

一元一次方程應用題是建模思想的具體運用，就是把應用題中的數量關系建立成方程模型，運用方程解決實際問題，學生通過解答這種類型的題目有助于培養自身的綜合運用能力。由于受列式計算的影響，很多學生缺乏建模觀念，面對實際問題感覺無從下手，不能靈活運用方程解決實際問題。教師在實際教學中要為學生灌輸建模思想，并積極傳授一些方法和技巧，不斷提高學生解決問題的能力。本文結合筆者多年教學實踐經驗和具體教學實例，簡要闡述了解決一元一次方程應用題的方法技巧。

一、仔細審題，找出關鍵

審題是解決問題的前提，在解答一元一次方程應用題時，有很多學生在審題時不能夠深入題目，對題目內容理解得模棱兩可或者不到位，找不到解決問題的關鍵，這種不夠深的審題導致很多學生無法找到解決問題的切入點，常常會使問題陷入僵局，究其原因，是因為學生在解答這種類型的題目時缺乏必要的審題方法與技巧，從而影響到學生的審題效果，導致學生在做題時出現不應有的失誤。因此，在教學這部分內容時，教師必須給學生傳授一些審題方面的技巧，讓學生明白審題并不是單純意義上的閱讀，而是要通過閱讀找到題目中的關鍵詞、關鍵句，只有抓住這些關鍵之處，才能為順利解決問題打下堅實的基礎。

如，“假期到了，小華和表哥小明約好去騎車旅行，他們計劃各自從自己的家出發碰面，已知小明騎車的速度是每小時50公里，小華騎車的速度是每小時40公里，并且兩家在相距150公里的直線上。如果兩人同時出發，相向而行，則經過多少小時兩人車相距30公里？”這是一道非常普通的行程類應用題，學生在閱讀時對于題目中的數量非常容易理解，也不會混淆，但是在實際解決問題時仍然有些學生出現了錯誤，通過對學生的錯因分析，主要是因為學生審題不夠仔細，沒有正確理解題目中的關鍵詞“相距”，這種由于審題不清造成的錯誤實際上是可以避免的。通過閱讀分析，教師要引導學生找出此題中的關鍵詞句應是“兩人相距30公里”，很多學生理解為“兩人還差30公里就要相遇”，但是在實際運用中“兩人相距30公里”包括“兩人相遇前的相距”和“兩人相遇后的相距”兩種情況，本題到底是哪種形式的相距，很多學生搞不清，這時教師可以畫出兩車的運行圖，讓學生結合運行圖理解和分析，很容易就會發現這兩種情況都成立，從而順利解決問題。

二、按照需要，靈活設元

應用題是讓學生運用所學的數學知識解決實際生活中的一些問題，在這種類型的題目中蘊含著許多錯綜復雜的數量關系， 如何將這些錯綜復雜的數量表示出來是解決問題的關鍵，而要具體表示這些數量，往往需要根據題意設未知數，也就是設元。而設元也有一定的技巧，設元并不僅僅是問什么設什么，問什么設什么僅僅是設元的一種，除了這種直接設元的方法外，還有間接設元的方法，多設元少設元等方法，這些方法需要根據問題的實際靈活選擇，如果我們讓學生掌握設元的方法和技巧，就能夠使問題的解決事半功倍。但是正確選擇合適的設元方法解決一元一次方程實際問題對于初學者來說有一定的難度，這就需要我們教師在教學這部分內容時教會學生正確靈活地設元。

如，“小明在指導弟弟做作業時發現了這樣一個有趣的兩位數，這個兩位數的個位數字與十位數字的4倍相等，如果他將這個兩位數個位與十位上的數字對換位置，則對換后的兩位數要比原來的兩位數大54，這個兩位數是多少？”對于這一問題如果學生不仔細地分析，直接設原兩位數是x，這必定會使問題的解決陷入困境，這時，教師可以引導學生分析個位和十位之間有什么關系，學生通過認真分析發現組成這個兩位數個位和十位上的數字之間為4倍關系，可設十位上的數字為x，從而根據題意很容易就能知道個位數字為4x，可以用含有x的式子表示出這個兩位數為10x+4x=14x，而新的兩位數可以表示為：40x+x=41x，再根據題目中給出的關系列出方程：41x-14x=54，這樣就可以比較容易地解決問題。由此可見，設元對于列方程解應用題至關重要，只有合理地設元，才能為后面順利解決問題提供便利。

三、加強訓練，構建代數式

將題目中的未知數量通過代數式的形式表示是審題和正確設元之后的重要環節，也是列方程的關鍵步驟，只有熟練地構建代數式才能合理地列出方程。但是有很多學生缺乏這方面的能力，從而導致無法列方程解應用題，這就需要教師在教學時對列代數式的內容加強訓練，首先，可以訓練學生對只含有一次結果的普通數學語言和代數式之間的直譯，通過這樣的訓練為列方程掃除障礙，打下基礎；其次，可以讓學生嘗試設未知數，并用含未知數的式子表示另一個數，初步感知列代數式的方法和技巧；最后，通過具體的應用題讓學生設未知數，并用含未知數的代數式表述多個復雜的量，體會特殊到一般、實際到抽象的過程。

如，“小花家現有60米長的護欄，打算要用它圍一塊長方形的雞圈，根據地塊的實際，需要圍成的長方形的長要比寬的2倍少3米，你能幫助她求出這個雞圈的面積嗎？”學生要想利用列方程解決好這一問題，必須首先設出未知數，將題目中涉及的數量用含未知數的代數式表示出來，通過對題目分析可以發現要想求長方形的面積，必須知道長方形的長和寬，因此，可以先讓學生設長方形的長為x米，根據護欄總長60米，可以用含有x的代數式表示出長方形的寬為30-x米，再根據長比寬的2倍少3米可以列出長的另一種代數式為[2（30-x）-3]米，從而列出一元一次方程[2（30-x）-3]=x，這樣就可以使應用題迎刃而解。由此可見，列代數式是用方程解決實際問題的關鍵，教師必須加強學生這方面的能力培養，只有這樣，才能達到化繁為簡、化難為易，順利解決問題的目標。

四、深入分析，找等量關系

探求數量之間的關系是列方程解決實際問題的突破點和關鍵點，這需要教師對學生進行合理的方法指導，讓他們學會在題目中準確地找出等量關系。首先，要讓學生明確數量關系是蘊含在題目的一些句子或公式之中的，數量關系的個數可能只有一個，也可能有幾個；其次，要教會學生利用應用題中的關鍵性語句找等量關系的方法，教師可以結合具體的例題，通過一步步的演示，讓學生掌握在各種不同類應用題中快速準確地找等量關系的方法；最后，學生根據在題目中找到的等量關系列出方程，從而完美地解決一元一次方程應用題。

如“有人要從陽朔坐船到桂林去旅游，去時逆水用了3小時，來時順水用了2小時，假如來去水流的速度都是3千米/時，你能求出陽朔距離桂林有多遠嗎？”此題中的等量關系不明確，通過仔細分析發現這之間的距離是一個不變量，順水和逆水行駛的時間又知道，只需知道順水和逆水的速度即可，而題目中已給出水流速度3千米/時，根據以前學習過的水流速度、逆水速度和順水速度三者之間的關系，則可以得出順水速度為（x+3）千米/時，逆水速度為（x-3）千米/時，最后根據公式：路程=速度×時間，兩碼頭之間的距離可表示為2（x+3），也表示為3（x-3），從而列出方程2（x+3）= 3（x-3），使此題得到圓滿解答。

總之，一元一次方程應用題是初中數學教學的重要內容，對于培養學生的綜合運用能力具有重要意義。教師要注重解題技巧的指導，讓學生全面地掌握解答一元一次應用題的具體方法，從而不斷提升做題的效率，讓這種類型的題目不再成為學生數學學習中的“攔路虎”。

參考文獻：

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1．使學生會解含有字母系數的一元一次方程。

教學分析

重點：含字母系數的一元一次方程的解法。

難點：含字母系數的一元一次方程的解法。

教學過程

一、復習

1．什么叫方程？什么叫方程的解？什么叫解方程？

2．試述一元一次方程的意義及解一元一次方程的步驟。

3．什么叫分式？分式有意義的條件是什么？

二、新授

1．含有字母系數的一元一次方程

引例：一數的a倍（a≠0）等于b，求這個數。

用x表示這個數，根據題意，可得方程

ax=b（a≠0）

在這個方程中，x是未知數，a和b是用字母表示的已知數。對x來說，字母a是x的系數，b是常數項。這個方程就是一個含有字母系數的一元一次方程。

含有字母系數的方程的解法與以前學過的只含有數字系數的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。

例如：解方程5x+6=3x+10與解方程ax+b=cx+d。

解：移項，5x-3x=10-6，ax-cx=d-b，

合并同類項，2x=4，（a-c）x=d-b，

x=2。當a-c≠0時，

x=.

可以看出，上述兩個方程的解法及其步驟基本相同。只是最后一步，從2x=4與（a-c）x=d-b中求出x不同，其中2≠0是很明顯的，所以得x=2。而a-c必須指明a-c≠0時x=.

例1解方程ax+b2=bx+a2（a≠0）.

解：移項，得ax-bx=a2-b2，

合并同類項，得（a-b）x=a2-b2。

因為a≠b，所以a-b≠0，方程兩邊同除以a-b，得

x=，x=a+b.

注意：方程的解是分式時，一般要化成最簡分式或整式。

例2解方程。

解：去分母，得b（x-b）=2ab-a（x-a），

去括號，得bx-b2=2ab-ax+a2，

移項，得ax+bx=a2+2ab+b2，

分解因式，得（a+b）x=（a+b）2。

a+b≠0，x=a+b。

三、練習

練習：P90中練習1，2，3，4。

四、小結

本課內容：含有字母系數的一元一次方程的解法。

五、作業

作業：P93中習題9.5A組7，8，9。

需要注意的幾個問題

篇7

化學學科是一個研究微觀世界的科學，而物質的存在狀態和相互發生的關系是其研究的主要內容，在看似平凡的世界內部，每時沒刻都在發生著怎樣的變化，產生什么新物質，或者有什么物質消失了。對這種規律的描述，就是化學語言中的符號樣式——化學方程式。

1 了解化學方程式的內涵及意義

1.1 定義及內涵:化學方程式，也稱為化學反應方程式，是用化學式表示不同物質之間化學反應的式子。即用化學式（有機化學中有機物一般用結構簡式）來表示化學反應的式子，叫做化學方程式。化學方程式反映的是客觀事實。

從書寫的角度看，化學方程式的書寫必須建立在客觀事實的基礎上，不能憑空去想象物質不存在的物質和化學反應，同時，要能夠滿足物質守恒的規律，也就是說在化學方程式等號的兩邊各種原子總類與數量必須相等。

化學方程式不僅表明了反應物、生成物和反應條件，同時，化學計量數代表了各反應物、生成物物質的量關系，通過相對分子質量或相對原子質量還可以表示各物質之間的質量關系，即各物質之間的質量比。對于氣體反應物、生成物，還可以直接通過化學計量數得出體積比。

1.2 表示意義：每一個化學方程式，都表示一定的特定意義：表示反應物和生成物；表示化學反應的條件；表示各物質之間的質量比；表示參加反應的各粒子的相對數量；表示化學反應的類型；表示反應前后質量守恒(即反應物的質量總和等于生成物質量總和)。

2 化學方程式的結構依據和正確書寫

以客觀事實為依據。所謂的事實依據，指的是作為化學反應參與的物質過程，由哪些物質參與化學反應這一行為，從而促進和推動物質間向另外一種狀態變化。變化發展的過程，必須是實實在在可以發生，并且條件缺一不可，或者至少能通過某種相關的輔助手段，實現化學反應的實現。這一事實，即是化學反應不可改變的規律。同時，這里的事實是說明反應的過程是客觀存在的，而不是主觀臆造的，也不會因為我們意志的改變而發生改變。

遵循質量守恒定律。化學方程式遵循質量守恒，是指在方程式兩邊參與式子反應的物質，在質量、式量和總能量方面，都保持前后一致。這個原則告訴我們，在進行化學方程式復習時，要隨時檢查是否與質量守恒保持平衡，是否能在能量守恒方面找到恰當的等量關系，以突破解決的最佳方案。

那么，如何才能書寫化學方程式呢？

這里，總結一個四字步驟：寫——配——注——等。

寫——寫出反應物和生成物的化學式并用短線或箭頭相連。寫方程式，首先保證所寫的物質的化學式書序正確，包括所描述的元素符號、下角線要保持一致，如果書寫的式子不是所描述的物質，那么，描述的反應過程就會產生與化學事實不符的情況，造成記錄和科學實驗的嚴重后果。

配——配平化學方程式。書寫化學方程式的第二個重要步驟，就是在書寫好的反應式兩端，尋找恰當的系數與等號兩邊相配合，在配平方程式的過程中，可以使用觀察法、最小公倍數法、奇數偶配法、定一法（把其中某個式子系數假定為“1”）、待定系數法、分數法、化合價升降法、得氧失氧法等方法。

注——注明反應條件，生成物的狀態。

等——將短線或箭頭改為等號。

3 化學方程式的分類復習

3.1 按照教材知識編排：這是根據所使用的教材知識結構順序，分門別類地進行復習，這個方法適合于高三年級第一輪復習使用。在梳理教材知識點的過程中，每個一個化學知識最基本的線索就是具體看似分散的一個個化學方程式組成的。

應該說，化學方程式是化學語言中最基礎的語言符號，它直觀地描述了某種化學物質的特征，性質，同時，也真實地反映了某一化學現象產生、變化和發展的動態改變過程。所以，學生在做第一輪復習時，不僅僅是回憶老師講授過的內容，更要把知識中的文字敘述部分，與化學符號語言的關聯部分進行配合理解，做好分析整理，明白每個化學方程式是如何推演而來，又描述一件什么樣驚人的物質變化。

在按照教材復習化學方程時要注意每個知識點與方程式之間的對應，做到準確務實，包括化學方程式的書寫，條件的生成，以及反應結果的文字描述等，一定要忠誠于教材的觀點，不能想當然地發揮。

3.2 按照物質分類來復習

3.2.1 非金屬單質：高中階段常見的非金屬單質有F2、Cl2、O2、S、N2 、P 、C 、Si、 H等。這幾種單質有可以根據反應條件的不同，而有所區別。

假如是氧化反應。

篇8

【關鍵詞】一元二次方程應用 題型歸類

在初中數學的教學中，應用題的教學是一個難點，一元二次方程的應用也不例外是一個，在近幾年的中考中時時刻刻困擾著學生，下面我就一元二次方程的應用做一個歸納。僅供參考：

應用一元二次解決實際問題有下面常見的幾種類型：

增長率或降低率問題：

關于一元二次方程應用題中的增長（降低）率問題，根據相等關系，多渠道籌措會得出基本關系式為： a（1±x）2=b，

套用公式a（1±x）2=b，注：（1）a是初始量，b是連續增長兩次或連續降低兩次的量，x為百分率，“+”為增長，“-”為降低；（2）解的過程用直接開平方法，無論是增長的百分率還是降低的百分率都是正值，把負值舍去。

青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200kg，2003年平均每公頃產8712kg，求水稻每公頃產量的平均增長率。

解：設水稻每公頃產量的平均增長率為x，于是有

7200（1+x）2=8712

解方程，得

x1=0.1=10%， x2=-2.1（舍去）

根據問題的實際意義，水稻每公頃產量的平均增長率為10%。

這類問題在現實世界中有許多原形，它可以用一元二次方程作為數學模型，設平均變化率為x，則有下列關系

變化前數量×（1+x）2=變化后數量

營銷問題：

問題背景是商品買賣中的定價、銷量、利潤的關系，其中定價的高低直接影響到銷量的變化，價格降低，銷量增加；價格升高，銷量減少，進而會引起利潤和管理成本的變化，主要數量關系由售價、成本、銷量、利潤四部分組成。

百貨商店服裝柜在銷售中發現：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了迎 “六一”國際兒童節，商場決定采取降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，市場調查發現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售2件，要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？

解：設每件童裝應降價x元，于是有：

（40-x）（20+2x）=1200 即 x2-30x+200=0

解方程，得 x1=20， x2=10

根據題意，因為要擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，所以x=20。

方程的兩個根都是正數，但它們并不都適合問題的解，必須根據它們的值來確定哪個合乎實際，這種取舍選擇要考慮問題的實際意義，教學中應注意培養學生將數學知識與實際問題結合的能力。

幾何問題：

與幾何問題有關的一元二次方程應用題主要有兩類：（1）幾何圖形的面積問題：這類問題的面積公式的等量關系，如果圖形不規則，應分割或組合成規則圖形，找出各部分面積之間的關系，再運用規則圖形的面積公式找出等量關系列出方程。（2）勾股定理問題：直角三角形的兩直角邊的平方等于斜邊的平方是這類問題的等量關系。

下面是我國南宋數學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直天積（矩形面積），八百六十四步，（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步，（寬比長少一十二步，問闊及長各幾步？

解：設闊（寬）x步，則長為（x+12）步，

根據題意，列出方程：

x（x+12）=864

即 x2+12x-864=0

解方程，得 x1=24， x2=-36（舍去）

答：矩形的闊（寬）為24步，長為36步。

與幾何圖形有關的一元二次方程的應用題主要是將數字及數字間的關系隱蔽在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要有三角形、四邊形，涉及三角形的三邊關系、三角形全等、面積的計算、體積的計算、勾股定理等。解決這類問題的關鍵是把實際問題數字化，這就要求我們認真分析題意，先把實際問題中的已知條件與未知條件歸結到某一個幾何圖形中，然后用幾何定理來尋找它們之間的關系，列出一個相關的一元二次方程，從而問題得以解決。

數字問題：利用一元二次方程解決數字問題的關鍵是正確而巧妙地設未知數，一般采用直接設未知數的方法。

一個兩位數，個位數字比十位數字大3，個位數字的平方剛好等于這個兩位數，求這個兩位數。

解：設十位數字為x，則個位數字為x+3，于是有：

（x+3）2=10x+x+3

解方程，得 x1=2， x2=3

根據題意，x1， x2都是方程的解

所以這個兩位數是52或63

方法技巧：從文字語言中找出存在的相等關系

注意：做一元二次方程的應用這些題目時，首先要正確地設未知數并列出方程，然后正確地解方程，所以要對這類問題進行適當的歸納，但不要搞成偏重死記硬背題型的教學方式，要教會學生分析問題的能力。

本內容的背景和表達都比較貼近實際，其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確地建立一元二次方程是主要難點，突破難點的關鍵是弄清問題背景，把有關數量關系分析透徹，特別是找出可以作為列方程依據的主要相等關系。

經歷將實際問題抽象為數學問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述。

篇9

關于x的分式方程 ，（1）、方程若有增根，則增根是

這是中考總復習《導學精練》上面的一道例題，原題只有第二問，解法指導是：去分母，把分式方程轉化為整式方程，再將增根一一代入，可求出a的值。我認為這種說話存在一些問題，去分母，把分式方程轉化為整式方程，這是必須的，也沒什么問題，可是再將增根一一帶入，你得把增根先求出來吧，可怎么求增根呢？只有最簡公分母x（x-1）=0可求出x=0或x=1，你怎么能確定哪一個或者兩個是不是增根呢？具體應該如何操作呢？

我們首先來探討一下增根的概念，增根是在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0）那么這個根叫做原分式方程的增根。這也就意味著增根要同時滿足兩個條件：（1）、增根一定是分式方程轉化的整式方程的根。也就是說他一定滿足整式方程，（2）、增根一定是使最簡公分母等于零的未知數的值。這樣一來你把分式方程化為整式方程也求不出增根，單純的由最簡公分母也不能確定增根。例如上面的題目你也不能由最簡公分母就確定增根為x=0或x=1，當我們把整式方程的解表示出來就會發現問題，整式方程的解x= 根本是不可能等于零的， 是一個分式，而分式等于零的條件是分子等于零而分母不等于零。這就是說x=0不是整式方程的根，增根的第一個條件他都不滿足，所以x=0不可能是增根， =1是有可能的，方程若有增根，那增根就只有x=1。

這樣可以看出，要求出分式方程的的增根要分兩步，要把分式方程轉化的整式方程的解表示出來，再看最簡公分母等于零的未知數的值能否滿足整式方程的解，有可能滿足就有可能是增根。例題中而如果直接代入就會出現這種結果：（a-1）×0=5，則0=5.明顯的矛盾就出現了，這樣的a也是不存在的。為此要強調，求分式方程的增根不能只根據最簡公分母等于零來求，他有可能連整式方程都不滿足。

增根是滿足整式方程而不滿足分式方程的，這樣若求出了增根再求第二問的a的值就簡單了，我們把分式方程轉化為整式方程的解都表示出來了，就沒有必要再代入整式方程了，代入整式方程的解會更快的解決問題。像第二問， =1，則a=6即可。這樣一來，方程有增根求字母的值的問題，實質上還是要先求出增根，再將增根帶入表示出來的整式方程的解或者代入整式方程也可以。由此可見，沒有第一問的結果是不能解決第二問的。

下面我們看看第三問關于分式方程無解的問題，很容易想到的就是把分式方程解出來，將增根代入，從而求出之母的值。實質上這里面忽視了一個問題，那就是有可能分式方程轉化的整式方程都無解，那樣一來分式方程不也是照樣無解了嗎？上面的例題中，整式方程的解可以表示為x= ，當a=1時a-1=0， 是沒有意義的，也就是說當a=1整式方程是無解的，即a=1時原分式方程無解。可能有時候沒考慮整式方程無解的問題結果也會做對是什么問題呢，在一般情況下，那就要看表示整式方程的解的代數式是不是分式，例如某分式方程轉化為整式方程的解表示為x= ，則a等于任何實數，整式方程都是有解的。這種狀況下，你忽視了整式方程無解的情況也與最后結果沒關系。但就我們分析分式方程無解的解題思路上來說還是不對的，由此總結分式方程無解，求某一字母的值過程應該是：（1）、先將分式方程轉化為整式方程，表示出整式方程的解。（2）、看看整式方程是否有無解的可能，若有，求出無解的字母的值。（3）、求出增根帶入整式方程的解，求出字母的值。（4）上述兩種情況求出的值綜合到一起就是我們所需要的結果。

篇10

一元二次方程這一章容量遠大于一元一次方程和二元一次方程組，學習的要求遠高于一元一次方程和二元一次方程組，既是第三學段數與代數的重點內容，更是繼續學習的重要基礎。《義務教育數學課程標準（2011年版）》規定：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程。能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等。能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。

根據課程標準的要求，我安排了授課內容，在第一環節中我選取的題目是常見的但卻容易出錯的，比如，解方程中的（1）2（x+3）2=x（x+3），學生會兩邊約去（x+3），從而導致丟根。接下來的解答題和應用題都是易錯題型，比如，（2）若關于x的一元二次方程 （m-1）x2+x+1=0有兩個實數根，求m的取值范圍。（3）某校去年對實驗器材的投資為4萬元，預計今明兩年的投資總額為9.24萬元，若該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率相同，求這個增長率？學生作業都能完成，但出現的問題不少，甚至第二小題多半學生都做得不完整，第三小題也因為讀題不清做錯得較多。

在第二環節中，由學生講解復習作業中的題目，其中第一題解方程的第一個小題，請一位學生將自己的解題過程展示給大家，其余小題請一位學生與大家對答案即可。剩余的2、3、4題分別請學生展示自己的解題過程并且講述自己的解題思路，再由其他學生進行補充說明或者糾錯。對于第一題，學生普遍完成比較好。第二題較多學生在做題時只考慮了方程有兩個實數根，令根的判別式大于等于0就求解了，而實際上還應該考慮二次項的系數不能為0。第三題學生在完成時大部分做錯了，都說沒有看清題目條件，其實也反映出學生在找這道題的等量關系時出錯了，他們就按照一般情況下求第三次的量列出了方程，也提醒學生常見題型在做時也要認真審題，找準題目的等量關系是做對應用題的關鍵。第四題上黑板展示的學生講解得很好，其余學生也完成得很好。請做錯的學生自己給自己找錯，我覺得這種形式的教學可能教學效果會很顯著，因為這種強化勢必會讓這些曾經犯過一些錯誤的學生記憶非常深刻。

接下來第三環節中考鏈接中，要選擇了具有代表性的兩個題目，一個是動點問題，一個是增長率與不等式應用結合的題，這兩個題都是近年的中考題，選擇讓學生自主探究與小組探究結合的方式去完成。第一題學生在自主探究時就有大半能找到等量關系列出方程，在相互交流時就已經很多人會做了，最后由一位學生給大家講解了完整過程。第二題的第一問因為已經有了前車之鑒，大家找等量關系都沒費時，順利完成，到這時本章的基本應用學生已大致掌握，數學建模思想初步形成。在第二問的合作學習過程中，呈現出不同的思維形式，各組針對“使用新設備幾個月后，所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤”展開了討論，各種想法的提出，真正展現了學生開闊的思維，真正體現了合作學習的優勢。通過對這兩個題目的具體分析，學生再次經歷在實際問題中抽象出一元二次方程的過程，發展他們分析問題、解決問題的意識和能力，也為下一章二次函數的學習奠定一定的基礎，體現了教材螺旋式上升的設計意圖。

到此時學生已經經歷了由最初的發現本章中自己易犯的錯誤到糾正錯誤，再到細心地解決問題的過程，第四環節反思小結就很有必要了，讓學生都來說一說這一章中重點是什么，需要注意什么，然后第五環節跟上課堂小測，讓每位學生看看這節復習課到底有沒有收獲。最后環節回家的作業是回歸課本，閱讀本章內容。

一節復習課上完之后，學生的反應給了我很多提示，（1）復習課就是為了查漏補缺，學生總覺得我已經學過了而不重視，所以上課時一定要讓他們動起來，我想在梳理一元二次方程知識點時可以讓學生說，學生總想比一比自己是不是比別人說得多，這樣復習課就會活起來。（2）復習課時讓學生搜集平時的錯題，讓學生準備他認為這一章大家應該掌握的題型帶到課堂上來大家交流。平時的復習課總是老師認為這些或那些需要復習，其實學生才是學習的主人，由他自己準備他才會認真整理全章的知識。（3）復習課后是不是可以由學生出一份單元測試卷并附上標準答案呢？這樣就可以知道他自己是不是已經全部掌握了。

總之，復習課就要查缺，就要補漏，每位準備上復習課的教師都要事先想好這個，只有這樣，復習課才能起到事半而功倍的效果。

參考文獻：