導語：如何才能寫好一篇一元一次方程組，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、重點、難點分析

本節教學的重點是使學生了解二元一次方程、二元一次方程組以及二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數值是否是某個二元一次方程組的解．難點是了解二元一次方程組的解的含義．這里困難在于從1個數值變成了2個數值，而且這2個數值合在一起，才算作二元一次方程組的解．用大括號來表示二元一次方程組的解，可以使學生從形式上克服理解的困難；而講清問題中已含有兩個互相聯系著的未知數，把它們的值都寫出來才是問題的解答．這是克服這一難點的關鍵所在．

二、知識結構

本小節通過求兩個未知數的實際問題，先應用學生以學過的一元一次方程知識去解決，然后嘗試設兩個未知數，根據題目中的兩個條件列出兩個方程，從而引入二元一次方程、二元一次方程組（用描述的語言）以及二元一次方程組的解等概念．

三、教法建議

1．教師通過復習方程及其解和解方程等知識，創設情境，導入課題，并引入二元一次方程和二元一次方程組的概念．

2．通過反復的練習讓學生學會正確的判斷二元一次方程及二元一次方程組．

3．通過二元一次方程組的解的概念的教學，通過教師的示范作用，讓學生學會正確地去檢驗二元一次方程組的解的問題．

4．為了減少學習上的困難，使學生學到最基本、最實用的知識，教學中不宜介紹相依方程組如

和矛盾方程組如

等概念，也不要使方程組中任何一個方程的未知數的系數全部為0（因為這種數學中的特例較少實際意義）當然，作為特例，出現類似

之類的二元一次方程組是可以的，這時可以告訴學生，方程（1）中未知數的系數為0，方程（1）也看作一個二元一次方程．

教學設計示例

一、素質教育目標

（－）知識教學點

1．了解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的概念．

2．會將一個二元一次方程寫成用含一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式．

3．會檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解．

（二）能力訓練點

培養學生分析問題、解決問題的能力和計算能力．

（三）德育滲透點

培養學生嚴格認真的學習態度．

（四）美育滲透點

通過本節的學習，滲透方程組的解必須滿足方程組中的每一個方程恒等的數學美，激發學生探究數學奧秘的興趣和激情．

二、學法引導

1．教學方法：討論法、練習法、嘗試指導法．

2．學生學法：理解二元一次方程和二元一次方程組及其解的概念，并對比方程及其解的概念，以強化對概念的辨析；同時規范檢驗方程組的解的書寫過程，為今后的學習打下良好的數學基礎．

三、重點·難點·疑點及解決辦法

（－）重點

使學生了解二元一次方程、二元一次方程組以及二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數值是否是某個二元一次方程組的解．

（二）難點

了解二元一次方程組的解的含義．

（三）疑點及解決辦法

檢驗一對未知數的值是否為某個二元一次方程組的解必須同時滿足方程組的兩個方程，這是本節課的疑點．在教學中只要通過多舉一系列的反例來說明，就可以辨析解決好該問題了．

四、課時安排

一課時．

五、教具學具準備

電腦或投影儀、自制膠片．

六、師生互動活動設計

1．教師通過復習方程及其解和解方程等知識，創設情境，導入課題，并引入二元一次方程和二元一次方程組的概念．

2．通過反復的練習讓學生學會正確的判斷二元一次方程及二元一次方程組．

3．通過二元一次方程組的解的概念的教學，通過教師的示范作用，讓學生學會正確地去檢驗二元一次方程組的解的問題．

七、教學步驟

（－）明確目標

本節課的教學目標為理解二元一次方程及二元一次方程組的概念并會判斷一對未知數的值是否為二元一次方程組的解．

（二）整體感知

由復習方程及其解，導入二元一次方程及二元一次方程組的概念，并會判斷它們；同時學會用一個未知數表達另一個未知數為今后的解方程組埋下伏筆；最后學會檢驗二元一次方程組解的問題．

（三）教學過程

1．創設情境、復習導入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能舉一個一元一次方程的例子嗎？

回答老師提出的問題并自由舉例．

【教法說明】提此問題，可使學生頭腦中再現有關一元一次方程的知識，為學元一次方程做鋪墊．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售價為5元／千克，蘋果的售價為3元／千克，小華共買了香蕉和蘋果9千克，付款33元，香蕉和蘋果各買了多少千克？

學生活動：思考，設未知數，回答．

設買了香蕉千克，那么蘋果買了千克，

根據題意，得

解這個方程，得

答：小華買了香蕉3千克，蘋果6千克．

上面的問題中，要求的是兩個數，能不能同時設兩個未知數呢？

設買了香蕉千克，買了蘋果千克，根據題意可得兩個方程

觀察以上兩個方程是否為一元一次方程，如果不是，那么這兩個方程有什么共同特點？

觀察、討論、舉手發言，總結兩個方程的共同特點．

方程里含有兩個未知數，并且未知項的次數是1，像這樣的方程，叫做二元一次方程．

這節課，我們就開始學習與二元一次方程密切相關的知識—二元一次方程組．

【教法說明】學生自己歸納總結出方程的特點之后給出二元一次方程的概念，比直接定義印象會更深刻，有助于對概念的理解．

2．探索新知，講授新課

（1）關于二元一次方程的教學．

我們已經知道了什么是二元一次方程，下面完成練習．

練習一

判斷下列方程是否為二元一次方程，并說明理由．

①②③

④⑤⑥

練

分組練習：同桌結組，一人舉例，一人判斷是否為二元一次方程．

學生活動：以搶答形式完成練習1，指定幾組同學完成練習2．

【教法說明】這樣做既可以活躍氣氛，又能加深學生對二元一次方程概念的理解．

練習三

課本第6頁練習1．

提出問題：二元一次方程的解是惟一的嗎？學生回答后，教師歸納：一元一次方程只有一個解，而二元一次方程有無限多解，其中一個未知數（或）每取一個值，另一個未知數（或）就有惟一的值與它相對應．

練習四

填表，使上下每對、的值滿足方程．

師生共同總結方法：已知，求，用含有的代數式表示，為；已知，求，用含有的代數式表示，為．

【教法說明】由此練習，學生能真正理解二元一次方程的解是無限多的；并且能把一個二元一次方程定成用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式，為用代入法解二元一次方程組奠定了基礎．

（2）關于二元一次方程組的教學．

上面的問題包含兩個必須同時滿足的條件，一是香蕉和蘋果共買了9千克，一是共付款33元，也就是必須同時滿足兩個方程．因此，把這兩個方程合在一起，寫成

這兩個方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．

方程組各方程中，同一字母必須代表同一數量，才能合在一起．

練習五

已知、都是未知數，判別下列方程組是否為二元一次方程組？

①②

③④

【教法說明】練習五有助于學生理解二元一次方程組的概念，目的是避免學生對二元一次方程組形成錯誤的認識．

對于前面的問題，列二元一次方程組要比列一元一次方程容易些．根據前面解得的結果可以知道，買了香蕉3千克，蘋果6千克，即，，這里，既滿足方程①，又滿足方程②，我們說

是二元一次方程組

的解．

學生活動：嘗試總結二元一次方程組的解的概念，思考后自由發言．

教師糾正、指導后板書：

使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解．

例題判斷是不是二元一次方程組的解．

學生活動：口答例題．

此例題是本節課的重點，通過這個例題，使學生明確地認識到：二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程；同時，培養學生認真的計算習慣．

3．嘗試反饋，鞏固知識

練習：（1）課本第6頁第2題目的：突出本節課的重點．

（2）課本第7頁第1題目的：培養學生計算的準確性．

4．變式訓練，培養能力

練習：（1）P84．

【教法說明】使學生更深刻地理解二元一次方程組的解的概念，并為解二元一次方程組打下基礎．

（2）P8B組1．

【教法說明】為列二元一次方程組找等量關系打下基礎，培養了學生分析問題、解決問題的能力．

（四）總結、擴展

1．讓學生自由發言，了解學生這節課有什么收獲．

2．教師明確提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義，會檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解．

3．中考熱點：中考中有時會出現檢驗某個坐標點是否在一次函數解析式上的問題．

八、布置作業

（一）必做題：P73．

（二）選做題：P8B組2．

（三）預習：課本第9～13頁．

篇2

“三元一次方程組”是蘇科版《義務教育教科書?數學》（以下簡稱“修訂版教材”）七年級下冊第十章第4節內容（選學）.

就教材地位變化而言，蘇科版《義務教育實驗教科書?數學》（以下簡稱“實驗版教材”）將“三元一次方程組”作為第十章（二元一次方程組）章末的閱讀材料（轉化）呈現.由于學習目標定位為“閱讀”，所以常態的教學法就是讓學生課后看看而已，沒有明確的閱讀指向，甚至忽略不計，這對后續用待定系數法求解二次函數解析式、圓的一般方程等通式、通法帶來不便.如若學生不會解三元一次方程組，就會造成知識斷層或解題思路中途擱淺.因此，就這個層面而言，三元一次方程組的地位有待提高，有必要與二元一次方程組并肩行走.盡管，修訂版教材為此作了必要的微調，將其“閱讀”地位提升到“選學”行列，但依然不能解決學生不會解的問題.直面考試的壓力，大多數教師經常掛在口邊的一句話“不考的堅決不講”，何況是選學，怎么可能講？相信基于繼后學習以及知識結構化的需要，三元一次方程組將會與二元一次方程組齊頭并進，攜手同行.

就課程標準指向而言，《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程內容中指出，“能解簡單的三元一次方程組.”其實，要達成這一目標并不像說得那樣簡單，學生學過了二元一次方程組的解法，解的過程依然磕磕絆絆，沒學的可想而知.課標在實施建議中指出，“教材內容的呈現要體現數學知識的整體性，體現重要的數學知識和方法的產生、發展和應用的過程，并關注對學生人文精神的培養.”這里的“整體性”在一定層面上就要求一次方程組要平行行走，門當戶對，當然也包括三元一次方程組.可是，高中教材沒留位置，初中教材也沒妥善安置，而后續的求解卻要用到解三元一次方程組的技術，這就勢必產生矛盾.要解決這一矛盾就必須給它合適的位置，在文本空間限量的情況下，只能在教學設計中預留領地.事實上，教材可以在不違背數學知識邏輯關系的基礎上，根據學生的數學認知規律、知識背景和活動經驗，合理的安排學習內容，形成自己的編排體系，體現出自己的風格和特色.這就表明在設計空間彈性限度內，借助校本教材、特色課堂的展演，能解決編者因文本所限而無法解決的問題.

就思想方法孕伏而言，三元一次方程組的解法和應用是轉化思想和化歸方法的具體表現，思維行走的線路是：三元二元一元.“轉化思想方法”不僅是具體知識的精髓，而且是數學課堂教學的靈魂，一直伴隨著方程成長，伴隨著歲月長大，無處不在、無處不用.

在學習一元一次方程的解法時，讓學生明確解方程的過程是通過去分母、去括號、移項、合并同類項、方程兩邊同除以未知數的系數等步驟，將所給方程轉化為最簡方程x=a的過程.在學習一次方程組的解法時，繼續孕育轉化思想，讓學生明確解一次方程組的過程就是用代入消元或加減消元，將“多元”轉化為“一元”的過程.在一次方程（組）的基礎上，以“一元二次方程”“可化為一元一次、二次方程來解其他方程”“二元二次方程組”等方程內容為載體，通過教師對蘊涵思想的不斷揭示和學生自身的內化，以此領悟并形成轉化思想，進而由學生個體歸結出解方程組的基本思想：無理方程有理化、分式方程整式化、高次方程低次化、多元方程一元化，凝結為一句話，消元降次簡單化.

2特色教學設計與思考

2.1領悟教材

站在初中三年甚至未來六年的層面研讀教材是一種教學智慧，能提升課堂教學的執行力.

三元一次方程組在“實驗版教材”中編寫意圖是思想方法大于數學結論，借助生活中轉化事例（運動員的姓名轉化為號碼）、數形轉化（引入絕對值就能將實數轉化為兩點間的距離）、數與式內部運算的轉化（引入相反數和倒數就將有理數減法轉為加法、除法轉化為乘法）以及由方程（組）輾轉而來的轉化（方程建模可將實際問題轉化為數學問題，探求解方程組問題可采用代入消元或加減消元將二元轉化為一元）等事項將“轉化”的方法變遷為學生的解題思想.然后直白提出，運用“轉化”的思想方法，你能解三元一次方程組嗎？在說明（只要設法消去某個未知數就可以將三元一次方程組轉化為二元一次方程組求解）的幫助下，借助“試一試”，讓學生自主完成求解思路的探求與表達.由此可見，教材行走線路是：轉化示例轉化思想運用轉化方法求解深化認識轉化思想.沿著這樣的思考主線展開，遵循了學生的認知規律，利于思想方法的孕伏，但疏于解題技藝，不利于后續解題.我們深知強勢的“解題關”不過，所有的思想方法在解題視界將淪為“雞肋”.因此，就某種角度而言，打造解題技藝尤為必要.

“修訂版教材”為獲取三元一次方程組的求解技藝和思想方法，高仿二元一次方程組的母版.沿著“問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的模式設置了三個活動.活動1是以人人喜愛的“足球運動”為載體，借助“比賽賦分規則”將實際問題轉化為數學問題，在建模思想的參與下將數學問題轉化為求解三元一次方程組問題.這一思維提煉的過程就是三元一次方程組發生、發展和應用的過程.在“試一試”活動的諧振下，借助小明和小麗的旁白（代入消元和加減消元），能讓學生明白如何將三元一次方程組轉化為二元一次方程組.在已有的解二元一次方程組經驗的支持下，不僅能獲得正確結論，還切身領悟轉化的思想方法.這一編寫序列表明在思維最近發展區內施教，不僅符合學生獲得新知的習慣，利于學生思維梯度推進，而且外顯教材蘊涵的教學價值.活動2設置一道解三元一次方程組的典例.學生在獲得解題經驗的基礎上，求解不是難事，關鍵是教師要全方位下放“學權”，學生的作答路徑才會是開放的、喜人的；若只是教師“表演”，則教學效果將大打折扣，也就體現不了例題應有的教學價值，違背了編者的設計初衷.在探求例題求解的過程中，插入“想一想”活動，能讓學生深度參悟轉化思想的支點是消元的方法，利于學生理解“終于思想，源于經驗”的微言大義.活動3是具有診斷功能的練習和習題，解方程組具有梯度性，能滿足學生學習的個性化需要；第105頁104習題的第2題則是二次函數通式求法的范例，為后續用待定系數法求二次函數解析式埋下伏筆.遺憾的是圓的一般方程求法沒有觸及，出現知識短暫性脫節的現象，延緩了思維伸長的速度.事實上，思維的連續性是排斥因簡單而犧牲過程為代價的.

2.2特色設計

活動目標

1.在具體情境中體驗三元一次方程組的建立以及求解過程，進一步領悟“模型”思想.

2.能靈活選用消元方法解簡單的三元一次方程組，感受運用轉化思想的必要性.

活動過程

活動一：學一學

1.足球比賽規則規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.某足球隊賽了22場得47分，且勝的場數比負的場數的4倍還多2.該球隊勝、平、負各多少場？

2.三個小動物年齡的和是26歲.流氓兔比加菲貓大1歲，流氓兔年齡的兩倍與米老鼠的年齡之和比加菲貓大18歲.求三個小動物的年齡.

設計理念基于學生的愛好興趣不一樣，試圖滿足個性化學習的需要，提供不同的學習載體，讓學生自主選擇自己喜歡的問題情境，借此激發思維興趣的正狀態.

活動二：練一練

解方程組：

（1）x+y=20

y+z=19

x+z=21（2）x-y+z=7

x+y=-1

2x-y-z=0

（3）3x-y+z=10

x+2y-z=6

x+y+z=12

設計理念三個方程組的求解過程都具有極強的開放性，不同的消元視角，探解的思路不同.因為每道題未知數的系數具有均衡性，洗練的效果是殊途同歸的.這種選材視點既展現一題多解的合情性，還提供了多樣化學習的操作范式.

活動三：議一議

1.在等式y=ax2+bx+c中，當x=-1時，y=5；當x=1時，y=1；當x=2時，y=2.求a、b、c的值.

2.在方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，當x=-1時，y=0；當x=0時，y=1；當x=-2時，y=1.求D、E、F的值.

設計理念基于數學學習的循序漸進性，為預防知識真脫節，特設課時長遠目標性問題，能為繼后的二次函數和圓的一般方程的待定求解鋪路架橋.

活動四：試一試

1.請任意寫出一個三元一次方程組并求解.

2.編制一道以三元一次方程組x+y+z=22

3x+y=47

x=4z+2為模型且符合實際意義的應用型問題.

設計理念立足于“學以致用”的教學觀，讓學生經歷創編問題的過程，感受編者的思維求索過程，深度體悟知識的來龍去脈，挖掘學生的創造潛能.

活動說明

本次活動是借用校本教研時間，改教師間的互動研討為觀察學生的特色學習（游戲、競賽或小老師的說教等豐富多樣的自助形式）.立足于學生全方位自學，下放“組織權”于組內，讓學生自行確定學法以及測量學習效果.是一節真正無老師的課堂，所有的教師都是聽眾抑或學習者，學習效果毋容置疑.為選學而又必學的課程提供一種特色示范，豐富了校本教研的內涵，奠定了學有所優的格局，其中飽含理念的升華和境界的高遠.

3對教學設計的兩點認識

31欣賞教材應有“度”

教材是達成課程目標、實施教學的重要資源，但絕不是金科玉律，更不是真理的化身，不是不容改動的.因此，欣賞教材應有度.“越度”的教學行為會帶來些許不良的后果.要么迷信教材，僵化地使用教材，照本宣科.導致活生生的知識變成了死知識，教師教的死，學生學的板，用的僵硬，束縛了思維的手腳，剝奪了學生創造的契機；要么輕視教材，脫離課本，信馬由韁，不分青紅皂白的堆砌中考題，舉輕若重，遠離課程目標，打亂學生學習的心理程序，辜負編者的整編意圖，不能實現教材應有的教育價值.因此，欣賞教材理應把握好“度”.本文設計示例就是沿著課本指向，秉持開放理念（興趣開放、解法開放、思維開放），融入學情、教情、實情、方法、思想供選擇性學習的需要，借以提升學習效能.顯然，適度的欣賞是對教材的尊重和理解，也是對學生認知規律的尊重，能更好地發揮教材的教育功能，同時也是對編者勞作的尊重和認可.

3.2重組教材應有“心”

教材教材宜教之材.教材能為學習活動提供基本線索和實施素材，不同素材踐行的方式不同；同一素材，施教的方式也是千差萬別的，這就是教學的辯證法，是對具體學情的有力回應，是對教材進行重組和開發的結果.亦如“一千個讀者，就有一千零一個哈姆雷特”的研讀觀.其實，教材開發的過程就是課堂即將運行的脈絡路徑，怎樣的開發視角就有怎樣的教學行為.淺層的開發，造就花架式課堂，表面熱熱鬧鬧，實質缺乏數學味，遮蔽數學教學的本質，是一種“假開發”、“粗開發”.尤其是當下的有些賽課，不乏其現象.生活化情境一個接一個，問題接二連三，短短的45分鐘能提問上百次，只需回答是或否的頻率高.就課堂表征看，學生玩的開心，學的快樂，笑聲頻頻，事實上，缺乏真思考.風聲大，雨點小，沒有實質性的真收獲，只是一種過程性的過場或過場性的過程，是對數學本質的誤解.契合學情，基于教材，融入年齡特點、認知情緒、思維慣性、教育規律等教學因子，創造性的增刪、重組、改編問題.讓問題貼合學生最近發展區，活動吻合學生的能力區，思維行走在學生的經驗潛能區，方法衍生在努力伸手可觸區，唯有這樣，方能讓學生得到原本應有的發展.另一側面是對教材的敬畏和理解，讓學生收獲真知的同時也發展了自己，創造了專業快速成長的契機.因此，重組教材貴在有“心”.參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011：2-7.

[2]楊裕前，董林偉.義務教育數學課程標準實驗教科書（蘇科版?七年級下冊）[M].南京：江蘇科學技術出版社，2008：98-99.

[3]楊裕前，董林偉.義務教育數學課程標準實驗教科書（蘇科版?七年級下冊）[M].南京：江蘇科學技術出版社，2012：103-105.

篇3

【關鍵詞】 初中數學；應用題；一元一次方程；二元一次方程組

列方程是解決數學應用題的一種有效方法，它可以幫助學生理清題目中的等量關系，促進學生積極地思考題目中的數量關系，從而設置未知數，根據他們之間的關系列出有效的方程，進而解決應用題. 但是根據題目是列一元一次方程還是二元一次方程組仍然是一個讓學生很困惑的問題，教師要引導學生幫助學生分析題目中的數量關系，促進學生順利地列出方程并解答.

一、列一元一次方程解數學應用題

對于數學應用題的解答采用列方程的方法會達到事半功倍的效果，它會幫助學生梳理數學問題中的各個數量關系，讓學生對于知識進行深入理解和探究. 常用的解一元一次方程的應用題通常有行程問題、工程問題、調配問題、分配問題、配套問題以及增長率問題等方面的問題. 教師在教學中可以把這些數學問題給學生歸類，使學生能夠清楚地了解他們之間的數量關系，從而輕松地設出一個未知數，找到等量關系，順利地解答問題. 例如：某廠一車間有64人，二車間有56人. 現因工作需要，要求第一車間人數是第二車間人數的一半. 問需從第一車間調多少人到第二車間？這就是一道典型的勞動力調配問題，為了解決這類問題，教師就可以引導學生通過列一元一次方程的方式來解決這類問題. 在解題時教師首先要帶領學生搞清楚人數的變化，使學生能夠理清題目中的數量關系，從而解決問題.

二、列二元一次方程解數學應用題

需要列二元一次方程來解決的應用題比一元一次方程的應用題要復雜，學生需要設置兩個未知數，并且理清這兩個未知數之間的關系. 學生在解題時要從整體上考慮，列出符合要求的代數式. 二元一次方程一般涉及兩個未知數x和y，根據題意以及題目中的數量關系，學生可以列出兩個數量關系，構成一個方程組. 例如：一個兩位數的十位數字與個位數字和是7，把這個兩位數加上后，結果恰好成為數字對調后組成的兩位數，則這個兩位數是幾？根據題目的要求，學生設出兩個未知數，根據他們的數量關系，學生可以列出x + y = 7；10x + y = 10y + x. 通過學生對于題目的分析，學生可以充分地理解題意，進而總結出題目中的數量關系，總結出這兩組關系式. 通過學生對于題目的閱讀，學生可以找到兩個相等的關系，從而列出代數式，幫助學生順利地解決問題.

三、二元一次方程與一元一次方程的區別

二元一次方程與一元一次方程最大的區別就是他們的未知數的數量是不同的，二元一次方程中包含了兩個未知數，而一元一次方程中只有一個未知數，解答起來要更容易、簡便. 學生通過對于題目的閱讀可以輕松地梳理出一個數量關系的方程式就可以列出一個一元一次方程，而一個未知數無法解決問題時，學生則應該考慮到采用列方程組的形式，列出兩個未知數.

例如教師設置問題：某加工廠用稻谷加工大米出米率為70%，現在加工大米100公斤，設要這種稻谷多少公斤？通過學生對于問題的閱讀，學生會發現這是一元一次方程中經常會出現的增長率方面的問題. 學生可以設需要這種稻谷x公斤，通過題目中給出的關系，學生可以列出方程：70%x = 100. 簡單的一元一次方程就可以解決問題. 但是面對題目中出現了復雜的數量關系的應用題時，學生則要考慮二元一次方程. 通過對于題目中的數量關系的分析和判斷來尋找有效的數量關系. 例如：某班學生參加義務勞動，男生全部挑土，女生全部抬土，這樣安排恰需筐68個，扁擔40根，問這個班男生、女生各有多少人？通過對于題目的分析，學生可以設班級男生為x人，女生為y人，用方程組可以列出方程組2x + ■ = 68；x + ■ = 40. 題目中有兩個數量關系，學生根據題目的要求可以列出兩組方程，構成一個方程組.

在選擇是用一元一次方程還是二元一次方程時，學生首先需要認真閱讀題目，了解題意，通過題目中的數量關系學生在確定解題幾個未知數，進而確定所使用的方程.

四、二元一次方程與一元一次方程的聯系

二元一次方程與一元一次方程并不是完全獨立的，學生要想順利地解答二元一次方程就必須要掌握一元一次方程的解法. 學生通過對于一元一次方程的學習，可以掌握方程的解法，進而把這樣的解決問題的方法引用到解二元一次方程中，讓學生能夠順利地解決問題，提高學生的解題能力. 一元一次方程的解法是學元一次方程的前提. 學生要想學好二元一次方程就必須要把一元一次方程的解法學好，為二元一次方程的學習打下一個堅實的基礎，促進學生綜合素質的提高和進步.

總之，在教學中教師要關注教學方法的指導，讓學生通過思考和探究能夠掌握解題策略，學會分析問題，促進學生的可持續發展. 通過教師有效的指導，學生會更加明確一元一次方程和二元一次方程的區別和聯系，在解決應用題過程中快速地分析題目中的數量關系，設置出有效的方程組，促進學生學習能力的提高和數學解題能力的提高.

【參考文獻】

篇4

《分式方程》是人教版八年級下冊第16章第3節的內容，是在學習完一元一次方程和二元一次方程組之后，初中階段所講授的又一種方程的解法。分式方程的解法是初中階段的一個重點內容，要求學生必須掌握。

二、學情分析

在學習本章之前，我們已經學習了整式方程（一元一次方程、二元一次方程組），學生對于整式方程特別是一元一次方程的解法已經比較熟悉，而分式方程的未知數在分母中，它的解法比一元一次方程和二元一次方程組復雜，需要通過轉化思想，把分式方程轉化成一元一次方程來解。

三、教學目標

知識與技能：理解分式方程的定義；掌握解分式方程的基本思路和方法；理解分式方程可能無解的原因，并掌握分式方程驗根的方法。

過程與方法：經歷“實際問題——分式方程——整式方程——求解——檢驗解的合理性”的探索過程，發展學生分析問題、解決問題的能力；滲透數學的轉化思想，培養學生的應用意識。

情感、態度與價值觀：培養學生樂于探究、合作學習的習慣；培養學生的進取心，體會數學的應用價值。

四、教學重點及難點

分式方程的解法及理解分式方程無解的原因。

五、教學流程

1.憶一憶

（1）什么叫方程？什么叫方程的解？

（2）解-這個一元一次方程的步驟。

（設計意圖：以舊引新，便于學生接受）

2.猜一猜

板書課題“分式方程”，讓學生猜一猜其概念，結合分式和方程的特點，學生易得出：分母中含有未知數的方程叫分式方程。

（設計意圖：學生在回憶的基礎上很容易猜出分式方程的概念，使學生感受到數學并不難，從而樹立學好數學的信心。）

3.辨一辨

判斷下列方程是不是分式方程，并說出為什么？

（1）=-5 （2）9x+4= （3） =2（4）=-1

（設計意圖：學生可以很容易的判斷出分式方程，進一步鞏固分式方程的概念；對于這個方程在判斷方程是否為分式方程時，不能化簡，以形式為準）

4.想一想

想一想=的解是什么？怎樣去解這個方程呢？

（設計意圖：引導學生用已學過的知識解決現在的問題。通過去分母，方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母，讓學生了解轉化的思想）

5.試一試

（1）= （2） =

解：方程兩邊同乘以（x+5）（x-5）得：x+5=10 解得x=5，解：方程兩邊同是乘以x（x-3）得2x=3（x-3） 解得x=9

（設計意圖：提醒學生檢驗，對比兩個方程發現（1）的解代回到原方程，分母為零，引入增根定義）

6.議一議

分式方程為什么會產生增根？（兩邊都乘以了一個零因式，但這個根是整式方程的解）所以分式方程的檢驗代入最簡公分母即可，提出“分式方程能不檢驗嗎”？通過討論使學生得出分式方程必須檢驗，因為分式方程的檢驗是為了看是不是增根，而不是檢驗對錯，所以必須檢驗。

7.說一說

總結出解分式方程的一般步驟：

（1）方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程。

（2）解這個整式方程。

（3）把整式方程的根代入最簡公分母，看它的值是否為零，使最簡公分母為零的值是原方程的增根，必須舍去。

可簡單記作：一化二解三檢驗。

（設計意圖：讓學生對所學知識上升到一個理論高度）

8.做一做

（1）= （2）=

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(一)知識教學點

會列二元一次方程組解簡單的應用題，并能檢查結果是否正確、合理.

(二)能力訓練點

培養學生分析問題、解決問題的能力.

(三)德育滲透點

1.體會代數方法的優越性.

2.向學生進一步滲透把未知轉化為已知的思想.

3.向學生進行理論聯系實際的教育.

(四)美育滲透點

學習列方程組解應用題時，若能在錯綜復雜的關系中抓住問題的關鍵，就能迅速通過相等求解，從而滲透解題的簡捷性的數學美，以及解題的奇異美.

二、學法引導

1.教學方法：嘗試指導法、觀察法、講練結合法.

2.學生學法：本節主要學習列二元一次方程組和三元一次方程組解應用題的方法，尤其重點要掌握列出二元一次方程組解應用題，其分析方法和解題步驟都與前面學過的列一元一次方程解應用題類似，可在學習中進行類比從而加強理解.

三、重點·難點·疑點及解決辦法

(一)重點與難點

根據簡單應用題的題意列出二元一次方程組.

(二)疑點

正確找出表示應用題全部含義的兩個相等關系，并把它們表示成兩個方程.

(三)解決辦法

通過反復讀題、審題，分析出題目中存在的兩個相等關系是列方程組的關鍵.

四、課時安排

一課時.

五、教學具學具準備

投影儀、自制膠片.

六、師生互動活動設計

1.通過提問，復習列一元一次方程解應用題的步驟，尤其相等關系的尋找問題.

2.師生共同探索新知識—列二元一次方程組解應用題的一般步驟.

3.通過反饋練習，檢查學生掌握知識的情況，以便有針對性地進行差漏補缺.

七、教學步驟

(一)明確目標

本節課主要學習列二元一次方程組解應用題.

(二)整體感知

列二元一次方程組解應用題的關鍵在于通過準確的審題迅速尋找出兩個正確的相等關系來列二元一次方程組.

(三)教學過程

1.創設情境、導入新課

(1)根據下列條件設適當的未知數，列出二元一次方程.

①甲、乙兩數的和是10.

②甲地的人數比乙地的人數的2倍還多70.

③買4支鉛筆、3支圓珠筆共花了1.6元.

(2)甲、乙兩工人師傅制作某種工件，每天共制作12件.已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作幾件?

①列出一元一次方程和二元一次方程組解題.

②比較一下，兩種方法得到的結果是否相同?是列一元一次方程容易，還是列二元一次方程組容易?

學生活動：第(1)題口答，第(2)題在練習本上完成.

【教法說明】第(1)題為根據相等關系列二元一次方程打下了基礎;第(2)題通過兩種解法的比較，讓學生體會列方程組的優越性，這樣引入課題，可以引起學生學習新知識的興趣.

2.探索新知，講授新課

例1小華買了80分與2元的郵票共16枚，共花了18元8角，80分與2元的郵票各買了多少枚?

分析：(1)題中有幾個未知數?分別是什么?

(2)題中有幾個相等關系?分別是什么?

學生活動：觀察、分析后回答.

未知數：80分郵票枚數與2元的郵票枚數.

相等關系(1)80分郵票枚數+2元郵票枚數=總枚數.

(2)80分郵票總價+2元郵票總價=全部郵票總價.

學生活動：設未知數、根據相等關系列方程.

解：設共買枚80分郵票，枚2元郵票，根據題意得

解這個方程組，得

答：80分郵票買了11枚，2元郵票買了5枚.

強調：(1)選定幾個未知數，根據問題中的條件找幾個相等關系，這幾個相等關系正好表示了應用題的全部含義.

(2)列方程組解應用題時，解方程組過程在練習本上完成.

(3)得到結果后，要檢驗是不是原方程組的解，是不是符合應用題的實際意義，然后再寫答句.

反饋練習：P351，2.(只列不解)

例2小蘭在玩具工廠勞動，做4個小狗、7個小汽車用去3小時42分;做5個小狗、6個小汽車用去3小時37分.平均每1個小狗與1個汽車各用多少時間?

仿照剛才分析例1的方法，分析問題.

學生活動：擬題、自由提問，其他學生搶答.

教師根據學生的擬題板書.

兩個未知數：平均做1個小狗的時間與1個小汽車的時間

(1)做4個小狗的時間+做7個小汽車的時間=3時42分

(2)做5個小狗的時間+做6個小汽車的時間=3時37分

解題過程由學生完成，一個學生板演.

解：設平均做1個小狗用分，做1個小汽車有分，根據題意，得

解這個方程組，得

答：平均做一個小狗用17分，做1個小汽車用22分.

【教法說明】例2用擬題訓練的方法讓學生自己去嘗試分析問題，不但能活躍課堂氣氛，而且能促進學生積極思維，培養學生分析問題、解決問題的能力.

反饋練習：P353，4.

學生活動：口答、設未知數、列方程組.

3.變式訓練，培養能力

用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個或制盒底43個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現有150張白鐵皮，用多少張制盒身、多少張制盒底，可以正好制成整套罐頭盒?

分析：此題的相等關系不明顯，應啟發學生認真思考，找到第二個相等關系.

相等關系：(1)制盒身鐵皮張數+制盒底鐵皮張數=150張.

(2)盒底總數=2×盒身總數.

解：設用張鐵皮制盒身，張鐵皮制盒底，可以制成整套缺頭盒.根據題意，得

(四)總結、擴展

我們這節課學習了二元一次方程組的應用，你能簡單歸納出列二元一次方程組解應用題的步驟嗎?

學生發言后，老師適當補充、糾正.

八、布置作業

(一)必做題：P391，2，3.

(二)選做題：P41B組2.

(三)補充題：給定兩數5和3，編一道列出二元一次方程組求解的應用題，使得這個方程組的解就是給定的兩數.

參考答案

(一)1.到甲地130人，到乙地70人.

2.有28個隊參加籃球賽，20個隊參加排球賽.

3.長38㎝，寬16㎝.

(二)解：設一輛大車、一輛小車一次分別可運貨噸、噸，根據題意，得

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二、用加減法解下列方程 組

三、選擇適當的方法解方程組

四、列二元一次方程組解下列應用題1、加工某種產品需經兩道工 序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.現有7位工人參加這兩道工序，應怎樣安排人力，才能使每天第一第 二道工序所完成 的件數相等。

2 .我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”

3.有48支隊520名運動員參加籃排球比賽，其中每支籃球隊10人，每支排球隊12人，沒命運動員只參加一項比 賽。籃排球隊各有多少支參賽？

4.張翔從學校出發騎自行車去縣城，中途因道路施工步行一段路，1.5小時后到達縣城。他騎車的平均速度是15千米/時，步行的平均速度是5千米/時，路程全場20千米。他騎車 與步行各用多少小時

5.一條船順流航行，每小時行20km ;逆流航行；每小時行16km，求輪船在靜水中的速度與水的速度。

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從七年級學習數學以來，我們已掌握了許多刻畫現實世界的數學模型，如一元一次方程模型、不等式模型、函數模型等，通過本章的學習我們認識到一元二次方程是又一個重要的數學模型. 數學來源于生活，服務于生活，當一個問題情景中蘊含未知量和數量關系時，方程就自然而然出現了，所以當我們用數學的眼光去看實際問題時，最關鍵的是確定用數學的方法解決和解釋實際問題，至于何時會出現一元二次方程，不能刻意而為，而是順應背景、水到渠成的，并且它和一元一次方程模型一樣，都屬于方程模型.

二、 抽象思想

1. 把現實生活中的具體問題抽象到數學中來

如：長5 m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3 m. 問：梯子底端向右滑動的距離會是梯子頂端向下滑動的距離的2倍嗎？

在這樣的生活情境中，我們可以抽象出一個三邊長分別是3 m、4 m、5 m的直角三角形，梯子底端向右滑行的距離和頂端向下滑動的距離是兩個未知量（實際上只有一個未知量，設為x），本題的目標是要找到一個梯子頂端向下滑動的距離x的值，使得（4-x）、（3+2x）和5構成一個斜邊長為5的直角三角形，因此就得到了等量關系（4-x）2+（3+2x）2=52，整理得到一個含有未知數x的方程：5x2+4x=0. 這個實際問題中，關鍵是抽象出幾何圖形，題中的等量關系則是建立方程模型的條件.

2. 從數量到數量的抽象

解一元二次方程的源頭是直接開平方法，如果一個一元二次方程能夠變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數），當k≥0時就可以用直接開平方法求解. 同學們都知道這種解一元二次方程的方法叫配方法，但關鍵是如何“配方”得到（x+h）2的形式.

我們不妨從熟悉的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2進行抽象：將a看作x，將b看作h，則上面的等式就可以表示為x2+2hx+h2=（x+h）2，其中2h相當于x的一次項系數，則h相當于x的一次項系數的一半. 由此我們不難抽象出配方法的一般步驟：對于任何一個一元二次方程，我們首先將二次項系數化為1，在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，就可以得到（x+h）2的形式.

抽象的思想無處不在，我們從乘法公式中抽象出了數學中重要的配方法. 你能不能在今后的數學學習中用抽象的思想得到某個結論或方法呢？去嘗試一下吧！

三、 化歸思想

“化歸”就是把待解決的問題，通過某種轉化，歸結為能用已掌握的舊知識去解決的問題. 一元二次方程有直接開平方法、配方法、因式分解法和公式法這幾種解法，都是用“化歸”的數學思想方法求解.下面就四種方法分別加以說明.

直接開平方法：適用于等號左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負實數的形式，形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程.我們可以利用平方根的定義“化歸”為兩個一元一次方程去解，即有一元一次方程為mx+n=±■，分別解這兩個一元一次方程就得到原方程的兩個根.

配方法：適用于二次項系數為1，一次項系數為偶數形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（當然一般的形如ax2+bx+c=0，a≠0也可用，但不一定是最合適的方法）.這類方程我們可以通過已掌握的配方的手段，把原方程“化歸”為上述形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程，然后再用直接開平方法求解.

因式分解法：這種方法平時用得較多，適用于等式左邊能分解成幾個一次因式的積，而右邊必須為零形式的一元二次方程.這類方程我們可以通過已掌握的因式分解的手段，把原方程轉化為形如（a1x+c1）（a2x+c2）=0的方程，從而“化歸”為a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分別求出這兩個一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的兩個解.

公式法：公式法的實質就是配方法，只不過在解題時省去了配方的過程，所以解法簡單.但計算量較大，只有在不便運用上述三種方法，且各項系數的絕對值為較小數值的情況下才考慮使用該方法.

化歸思想就是把新問題轉換成熟悉的舊方法去解決，在初中數學中還有許多運用：如解二元一次方程化歸為一元一次方程，分式方程化歸為整式方程，二元二次方程組化歸為二元一次方程組或代入消元化歸為一元二次方程，平行四邊形、矩形、梯形通過添加輔助線化歸為三角形問題等. 由此可見熟練掌握化歸數學思想，對增強解題能力、改善知識結構、提高數學素養大有裨益.

四、 數學方法

回顧解一元二次方程的各種解法，從中我們能感受到不少常見的數學方法.

1. 學習知識的路徑：從簡單到復雜

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），先學習ax2=0（a≠0）的解法，再學習ax2+bx=0（a≠0）的解法，最后學習ax2+bx+c=0（a≠0）的解法.

2. 解決問題的辦法：“降次”轉化

無論是直接開平方法、配方法或因式分解法，都實現了從一元二次方程向一元一次方程的轉化，這也告訴了我們，當遇到新問題時，應該嘗試用已有的知識或方法去解決未知的問題，將不熟悉的轉化為熟悉的，將未知的轉化為已知的，將高次的轉化為低次的，將多元的轉化為少元的.

3. 從特殊到一般

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通過配方，得到x+■2=■，當b2-4ac≥0時，可以得到方程的求根公式x=■. 因此，只要一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式非負，就可以直接由公式計算得到方程的根，具有一般性.

4. 對立和統一

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第二章：整式的加減

1、單項式：；單獨的一個數或一個字母也是單項式

2、系數：；

3、單項式的次數：；

4、多項式：；

叫做多項式的項；的項叫做常數項。

5、多項式的次數：；

6、整式：；

7、同類項：；

8、把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項；

合并同類項后，所得項的系數是合并同前各同類項的系數的和，且字母部分不變。

9、去括號：（1）如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同

（2）如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反

10、一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項

第三章：一次方程（組）

一、方程的有關概念

1、方程的概念：

（1）含有未知數的等式叫方程。

（2）在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1，系數不為0，這樣的方程叫一元一次方程。

2、等式的基本性質：

（1）等式兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，所得結果仍是等式。若a=b，則a+c=b+c或a–c=b–c。

（2）等式兩邊同時乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式。若a=b，則ac=bc或

二、解方程

1、移項的有關概念：

把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，叫做移項。這個法則是根據等式的性質1推出來的，是解方程的依據。把某一項從方程的左邊移到右邊或從右邊移到左邊，移動的項一定要變號。

2、解一元一次方程的步驟：

解一元一次方程的步驟

主要依據

1、去分母

等式的性質2

2、去括號

去括號法則、乘法分配律

3、移項

等式的性質1

4、合并同類項

合并同類項法則

5、系數化為1

等式的性質2

6、檢驗

3、二元一次方程組

（1）將二元一次方程用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數；

（2）解二元一次方程組的指導思想是轉化的思想；

（3）解二元一次方程組的方法有：加減消元法；代入消元法；

二、列方程解應用題

1、列方程解應用題的一般步驟：

（1）將實際問題抽象成數學問題；

（2）分析問題中的已知量和未知量，找出等量關系；

（3）設未知數，列出方程；

（4）解方程；

（5）檢驗并作答。

2、一些實際問題中的規律和等量關系：

（1）幾種常用的面積公式：

長方形面積公式：S=ab，a為長，b為寬，S為面積；正方形面積公式：S=a2，a為邊長，S為面積；

梯形面積公式：S=，a，b為上下底邊長，h為梯形的高，S為梯形面積；

圓形的面積公式：，r為圓的半徑，S為圓的面積；

三角形面積公式：，a為三角形的一邊長，h為這一邊上的高，S為三角形的面積。

（2）幾種常用的周長公式：

長方形的周長：L=2（a+b），a，b為長方形的長和寬，L為周長。

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關鍵詞：閱讀；途徑；方法；原則

葉圣陶老先生曾說：“教，是為了不教。”老師的主導作用不是給學生“魚”，而是教會他們怎樣“漁”。閱讀是現代社會人們汲取知識的重要手段之一，中學生在學習數學的過程中，閱讀教材是掌握好數學知識的重要途徑，是培養學生自學能力的有效方法，也是新課程改革下需要對學生培養的能力之一。學生通過閱讀數學教材和有關資料可以獲得比較全面系統的數學知識，掌握準確的數學語言和表達方法，對于理解和把握數學規律，打開創新思維的大門，促使學生按認知規律進行有效數學學有好處。因此，在中學數學教學過程中，教師應該重視指導學生閱讀教材和相關材料，注重培養學生閱讀能力，教給學生一些方法，培養學生自主學習數學知識。

一、閱讀能力培養的途徑

隨著市場經濟的發展，教學改革已經在進行中，變“要學生學”為“學生要學”是主旋律。改革中要求教師用教材教，而如何教會學生閱讀課本，利用課本提供的信息，學生動腦動手，在迫切需要的情景下獲取知識是教學的關鍵所在。目前，教師還沒有充分利用課本，學生不會看書，死做題，做死題的現象比較嚴重，如果再不改變現狀，數學教學就不能適應形勢發展的需要。就我們目前學生的水平看，不少學生詞匯理解能力差，如果不進行閱讀教學就很難理解數學中定義、定理、法則，理解規律和其本質就尤為困難，提高教學質量，就變成“巧婦難為無米之炊”的事。

新的教學知識如果涉及數學規律，教師主要引導學生通過觀察和實驗給學生一個客觀形象的感性認識，不必苛求學生對數學規律字面的掌握，不過教師要列出重要的實驗事實，詳細說明前提條件和操作步驟，提出關鍵問題，引導學生在讀教材中盡可能解決和發現新問題，得出一般性的結論（可以與書本上的表達方式有差別）。例如，在講授“多邊形內角和”一節內容時，教師可演示：把正方形和長方形中任意畫一條對角線，把正方形和和長方形都分成兩個三角形，據三角形內角和定理提出正方形和長方形內角和，與我們知道的一致，再指出多邊形的內角和有多少度的問題，這樣，學生有了初步的認識以后，學生閱讀教材時，理解多邊形內角和定理是順理成章的事。

教師可以引導學生在鞏固已有知識的基礎上所要求學習的新知識做好鋪墊，通過新舊知識的聯系，使之自然過渡到新知識中。例如，在研究二元一次方程組的解法時，教師首先應該復習一元一次方程的解法，因為二元一次方程組在解決過程中，不管用代入消元法還是加減消元法，其目的在于將二元一次方程化為一元一次方程，若不熟悉一元一次方程的解法，然后再進行二元一次方程組的解決研究，學生學習時自然從一元一次方程的解法過渡到二元一次方程組的解法中。

二、閱讀方法的指導

在數學教學過程中，教師忽視課內閱讀的現象較普遍，長期以來不少人認為多做習題，數學即可取得好成績，然而在我看來，學好數學的關鍵還是應當熟悉教材，透徹的理解概念、定理、公式，在此基礎上再精講多練。在數學閱讀教學中，教師要指導學生：閱讀概念，透徹地理解概念，才能為以后學習定理，運用概念打下堅實的基礎；閱讀定理，對于每一條定理必須分清條件、結論。必須讓學生弄清其中的關鍵詞語，然后再思考，某些條件下更換后會得出什么結論，這樣可以加深學生對定理的理解和記憶；閱讀定理證明，典型例題和關鍵性結論，教材中的定理證明及例題向學生揭示一些典型的主題及解題方法，閱讀時不僅要學生弄懂定理的證明或解題的過程，可以讓學生模仿證明或解題，這樣不僅可以培養學生的邏輯思維能力，而且可以規范解題過程。

三、數學閱讀教學過程中應遵循的原則

數學閱讀教學的目的是提高學生學習數學的能力，加強數學語言表達的能力，但數學學科有其自身的特點，在閱讀教學中應遵循以下原則：

1.遵從“要我讀”到“我要讀”，從“我要讀”到“我愛讀”，從“我愛讀”到“我會讀”的規律，讓學生形成良好的讀書習慣。

2.在閱讀中遵從學生實際水平，學生的閱讀和教師的輔導閱讀應該相結合。

3.閱讀形式力求多樣，要適合學生興趣。

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所謂“系統思維”就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系、相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。

初中數學中，數、式及其運算，方程與不等式，一次函數、二次函數，三角形、四邊形等等，都是一個系統。但考慮到學生發展的水平層次需要，教材也是將各部分錯落安排在了三年的不同階段中。也只有當教師進行中考總復習時，才會將各個板塊整合在一個系統下來看待，以強調其中的關聯性。那我們能否可以在平常的教學活動中就讓學生不斷地體會感悟數學知識之間的聯系系呢，比如概念課。結合區里開展的“預學先行，小組合作”教學模式，我作了以下嘗試。

二、教材內容分析

浙教版數學八下2.1《一元二次方程》是一節概念課，又是這一章的起始課，教材的處理方式是用兩個來源于生活和生產實際中的問題作為情境，由學生列出兩個一元二次方程，感受一元二次方程的產生過程，并從而得出一元二次方程的定義。

如果只從教材教的角度分析本節課的教學內容，就容易忽視各種類型方程之間的關系。對于學生來說，一元二次方程已經不是一個獨立的新的知識，只是一元一次方程向多元高次方程的一個延續。所以，應該順著方程學習的經驗，在系統的思維下審視這堂概念課，對課程資源進行有效整合，改變教學內容的呈現方式和順序，讓學生感受到數學的整體性。這種基于系統思維下的數學概念課教學，我把它理解為：舊經驗，類比遷，其義見，新知建，整體聯，橫縱延。

三、課前自學預案設計說明

1.你能任意寫一個一元一次方程嗎？你還記得一元一次方程是如何定義的嗎？

設計說明：這樣設計，由簡入手，并讓學生回憶所學，為類比一元二次方程的定義做鋪墊。

2.請你在下列五個代數式中選取兩個，用等號連接，構建盡可能多的方程。

2x+1，4，x2，y，x3

（1）請指出你所寫的方程中哪些是我們學過的，哪些是我們沒學過的？

（2）你所寫的方程中哪些是一元一次方程？

（3）你能類比一元一次方程的概念給一元二次方程下個定義嗎？

（4）你所寫的方程中哪些是一元二次方程？

（5）為了方便學習一元二次方程，預習書本后你能寫出它的一般形式嗎？

（6）你能給其他方程命名嗎？

設計說明：第2題的一連串問題是基于以下的考慮，在學生構建方程（這里針對的是整式方程）的過程中，勢必跌宕起伏，有些方程熟悉，有些方程陌生，便會心生疑惑，而我們正是要解學生這一惑，在學生已有的方程知識基礎上（一元一次方程）類比遷移出一元二次方程的概念，而同時對“元”――未知數的個數和“次”――未知數的最高次數這兩個概念更進一步深入了解，以達到可以對高次多元方程進行命名而不陌生的目的，在系統內對方程這個大家族有一個更深刻的認識。

3.學習一元一次方程時我們從哪幾方面入手？你覺得我們可以學習一元二次方程的哪些方面？

設計說明：這一問題的設置，也是建立在學生已有的方程學習經驗上，方程的概念，方程解的概念，方程的解法，方程的應用等等，也是可以遷移到一元二次方程身上來的。讓學生明白方程的學習可以建立在系統的思維下，也更能深刻地理解知識都是有聯系和傳承的，學習是有經驗的。結合之前所提到的高次多元方程，雖然我們暫時不接觸類似方程，但如果學到也可以類比基礎方程的學習經驗。

四、課中研學學案設計說明

1.概念認知。同桌合作，寫出兩個方程，使方程①不是一元二次方程，并寫出不是的原因；使方程②是一元二次方程，并指出其一般形式，二次項系數，一次項系數和常數項。

設計說明：活動的目的是為了更好得辨識一元二次方程一般形式。同桌對學，學生自主編題，教師挑選優秀自編方程板演到黑板，由其他小組同學回答相關問題。這一過程可發揮學生的自主能動性和創造力，讓學生站在命題者的高度去思考問題。恰恰也就是這些出自于學生之手的方程，是很多老師上課舉例講解的例題或是習題，而且形式各樣，并且具有代表性，學生的想象力，創造力和模仿能力超過預期。

2.解法探究。獨學完成：①已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值。

②已知一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根為x1=3和x2=-1，求這個方程。

設計說明：學生之前提及了一元一次方程和二元一次方程組的解的概念，再次熟悉方程學習的思維架構。設置一元二次方程的解（或根）的應用，習題難度設置具有梯度性。學生投影展示講解，增強語言組織能力，表達分析能力。

3.顆粒歸倉。設計說明：學生自主小結，回味系統思維下的方程觀，以及所學的一元二次方程。讓學生明白一元二次方程從哪里來，到哪里去，是怎樣去的，并感悟數學知識是有機并相互聯系的。

五、系統思維教學感悟