數學是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發展；繁榮和中西方數學的融合。

中國古代數學的萌芽

原始公社末期，私有制和貨物交換產生以后，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結繩記事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、準、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。

商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。

公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子?！抖Y記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為“六藝”之一的數已經開始成為專門的課程。

一、幾個有代表性的矛盾結論

如何評價中國古代數學，如何評價在中國古代文明中數學的作用以及它取得的成就是每個數學史學者關心的問題。但是目前的一些研究卻有著一些矛盾的結論，這些矛盾的結論往往是圍繞著認識、理解、評價中國古代數學的關鍵性理論問題展開的。

1.關于古代數學運用的思維方式問題

中國古代數學是否象古希臘那樣明確地運用邏輯思維問題，目前已成為評價中國古代數學的一個重要因素，因為在人們的認識和理解中，數學如果沒有嚴格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數學理論，袁曉明先生的研究結論與人們的良好愿望相反，他認為中國古代數學不存在象古希臘數學那樣以邏輯為基礎的思維方式，“與古希臘數學嚴格地采用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數學則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發現方法、實現推理的?！盵1]

郭書春先生通過對《九章算術》的研究，得出相反的結論，他認為《九章算術》的注釋中已經具有并形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，“劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數學證明，從而把《九章算術》上百個一般公式、解法變成了建立在必然性基礎之上的真正的數學科學?！盵2]

巫壽康先生與郭書春先生的觀點相同，他認為：“劉徽《九章算術注》中的每一個題，都可以分解成一些首尾相接的判斷，如果仔細分析這些判斷之間的聯系，就會發現這些判斷組成若干個推理，然后由這些推理再組成一個證明，因此可以說，《九章算術注》中的論證已經具備了證明的結構，就大多數注文來說，這其中的推理都是演繹推理，大多數證明也都是演繹證明?！盵3]

1.關于古代數學運用的思維方式問題

中國古代數學是否象古希臘那樣明確地運用邏輯思維問題，目前已成為評價中國古代數學的一個重要因素，因為在人們的認識和理解中，數學如果沒有嚴格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數學理論，袁曉明先生的研究結論與人們的良好愿望相反，他認為中國古代數學不存在象古希臘數學那樣以邏輯為基礎的思維方式，“與古希臘數學嚴格地采用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數學則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發現方法、實現推理的?！盵1]

郭書春先生通過對《九章算術》的研究，得出相反的結論，他認為《九章算術》的注釋中已經具有并形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，“劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數學證明，從而把《九章算術》上百個一般公式、解法變成了建立在必然性基礎之上的真正的數學科學?！盵2]

巫壽康先生與郭書春先生的觀點相同，他認為：“劉徽《九章算術注》中的每一個題，都可以分解成一些首尾相接的判斷，如果仔細分析這些判斷之間的聯系，就會發現這些判斷組成若干個推理，然后由這些推理再組成一個證明，因此可以說，《九章算術注》中的論證已經具備了證明的結構，就大多數注文來說，這其中的推理都是演繹推理，大多數證明也都是演繹證明。”[3]

中國古代數學到底“是以非邏輯思維為主”，還是“主要是演繹證明”，這是中國古代數學研究中一個矛盾的結論，還沒有得到統一認識的問題。

2.關于中國古代數學理論構造的問題

一、幾個有代表性的矛盾結論

如何評價中國古代數學，如何評價在中國古代文明中數學的作用以及它取得的成就是每個數學史學者關心的問題。但是目前的一些研究卻有著一些矛盾的結論，這些矛盾的結論往往是圍繞著認識、理解、評價中國古代數學的關鍵性理論問題展開的。

1.關于古代數學運用的思維方式問題

中國古代數學是否象古希臘那樣明確地運用邏輯思維問題，目前已成為評價中國古代數學的一個重要因素，因為在人們的認識和理解中，數學如果沒有嚴格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數學理論，袁曉明先生的研究結論與人們的良好愿望相反，他認為中國古代數學不存在象古希臘數學那樣以邏輯為基礎的思維方式，“與古希臘數學嚴格地采用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數學則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發現方法、實現推理的?！盵1]

郭書春先生通過對《九章算術》的研究，得出相反的結論，他認為《九章算術》的注釋中已經具有并形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，“劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數學證明，從而把《九章算術》上百個一般公式、解法變成了建立在必然性基礎之上的真正的數學科學?！盵2]

巫壽康先生與郭書春先生的觀點相同，他認為：“劉徽《九章算術注》中的每一個題，都可以分解成一些首尾相接的判斷，如果仔細分析這些判斷之間的聯系，就會發現這些判斷組成若干個推理，然后由這些推理再組成一個證明，因此可以說，《九章算術注》中的論證已經具備了證明的結構，就大多數注文來說，這其中的推理都是演繹推理，大多數證明也都是演繹證明?！盵3]

[論文關鍵詞]古代數學;農業生產;應用

[論文內容提要]我國古代數學對于世界文化有過偉大的貢獻,代數學無可爭辯地是中國所創,我國古代數學是講道理的,是來源于實踐,尤其是來源于農業生產中的。從豐富的生產實踐中發現問題,創造了有我國特色的幾何學。有足夠多的例證,說明我國古代數學立論嚴謹,為農業生產的實踐需要而服務。

我們的祖國是一個地大物博、人口眾多、歷史悠久的文明古國。我國古代文學藝術成就巨大,科學技術方面的指南針、造紙、印刷術、火藥這四大發明,舉世聞名。可是,對我國古代數學的成就,了解的人卻不多,甚至還有人誤以為我國歷來在數學上是落后的。

其實,我國古代數學對于世界文化有過偉大的貢獻。我國古代數學是講道理的,有足夠多的例證,說明它們立論嚴謹,走在世界的前列,我國古代數學在一些重要項目中獲得了“世界冠軍”。而古代數學是來源于實踐,尤其是來源于農業生產的。這是由于中國農業有著悠久的歷史,農業起源于沒有文字記載的遠古時代,它發生于原始采集和狩獵的經濟母體之中,又由于農業生產受社會經濟和自然環境等多種因素的影響,受“地”的影響,古人把“地”看成是“萬物之本原,諸生之根菀”。它是農業生產的基本生產資料,有了“地”,就要有測量,就要有計算,當然就有了數學。

數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學,我國古代數學恰恰是在數、形、數形結合這三方面有其特色和自成系統。

首先,我國最遲從春秋戰國開始就普遍用算籌記數,而且采用了十進位制,有了良好的記數工具,就可以比較輕便地進行自然數運算;除不盡的除法還出現分數記法及其運算,用兩種不同顏色的算籌區別正數和負數就可以通行無阻地進行有理數四則運算,能夠解決各種比例問題的“今有術”也是在這種算籌制上進行的;從兩漢歷經隋唐宋元,正確、快捷列出方程、方程組、不定方程和不定方程組也都是在這種算籌制上進行的。

一､勾股定理在農業生產中的應用舉例

中國古代數學家研究勾股定理的證明和應用,是自成體系的,其證明方法,大都采用青朱出入法,也就是今人說的割補法｡通過適當的劃分,將勾上的正方形面積與股上的正方形面積,劃分成若干個部分,而這些部分的總和又恰好能填滿弦上的正方形｡所謂青朱出入就是把劃分出來的圖形,添上青､朱､黃等各種顏色,以次出入(割補時容易識別),方法巧妙簡單,令人嘆服｡

據歷史資料記載,夏禹(公元前2140年——公元前2095年)治水時就已用到了勾股術(即勾股的計算方法),因此我們可以說,夏禹是世界上有歷史記載的第一個與勾股定理有關的人｡

《周髀算經》是我國最古老的算書,成書太約在公元前100年｡在該書中說到“禹之所以治天下者,此數之所由生也”｡這說明在大禹時,就能應用特殊情況下的勾股定理和測量了｡趙爽在《周髀算經》注中說:“禹治洪水,決統江河,望山川方形,定高下之勢,除滔天之災,釋昏墊(老百姓)之厄(危難),使與注于海于無浸逆(溺),乃勾股之所由生也｡”這說明當時大禹治洪水之所以成功,是由于使用勾股測量而取得的｡

《九章算術》也是我國最古老的一部數學名著,是我國數學方面流傳至今最早也是最重要的一部經典著作,也是世界數學史上極為珍貴的古典文獻,成書大約在公元前后100年｡該書總結了秦漢以前我國在數學領域的輝煌成就,開創了獨具一格的理論體系,對中國古代數學的發展有著十分深遠的影響,有不少來源于農業生產的例子｡

例1:今有池方一丈,葭生其(池)中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深､葭長各幾何?(選自《九章算術》)

在中國古代數學史的研究中，宋元數學的成就（主要指秦九韶、李冶、朱世杰、楊輝等人的數學成就）被譽為中國古代數學的頂峰，對宋元以降的明代珠算的評價頗低，人們不認為明代珠算是宋元時期之后中國古代數學的必然發展主流，珠算被認為無法與宋元數學相比。明代珠算一般被評價為“民用”數學或者“商用”數學。錢玉琮先生認為“中國古代傳統數學到明代幾乎失傳”［（1）］。梁宗巨先生認為“朱世杰（1303年）之后，我國數學突然出現中斷現象。從朱世杰到明程大位（1592年）的三個世紀，沒有重要的創造……我國數學史家李儼描述這時期的情況時說：‘考試制度久已廢止，民間算學大師又繼起無人，是謂中算沉寂時期’，……1314年可以作為中斷的分界線?！保郏?）］梅榮照先生則進一步指出：“宋元數學在元中葉之后不僅是沒有進一步發展，而且是逐步倒退，甚至倒退到幾乎被人遺忘的程度。”［（3）］

筆者認為，在宋元時期出現發展并在明代得以全面應用的中國珠算，［（4）］作為中國傳統算器的歷史性創造以及它作為實踐應用的歷史地位并沒有得到數學史界的充分認識。目前的評價沒有把中國珠算與中國古代數學的發展規律聯系起來，沒有把中國珠算作為宋元數學成就之后的又一重大成就，明代珠算與宋元數學的比較評價實際上是中國古代數學史研究評價中一個很值得重視的理論問題。

在中國古代數學史的研究中，對宋元數學和明代珠算評價的反差，實際上已經帶來了中西古代數學比較研究和評價方面的某些困難?？陀^地歷史地評價明代珠算，涉及到我們如何認識和理解中國古代數學的算器型的算法體系、技藝型的價值取向和古代數學評價標準等問題。

1珠算與算器型算法體系

目前，許多中國數學史的學者都從中國文化與西方文化的差異中認識到，中西古代數學是兩種不同風格、不同形式、不同構造體系的數學模式。許多中國學者都從中國古代數學發生發展及其流變的規律中指出中國古代數學區別于古希臘數學的特征，并且強調要在中西古代數學的差異之處體現中國古代數學的意義及其對人類數學的貢獻。

在論證分析中國古代數學的特征時，許多學者指出了中國古代數學不象古希臘數學那樣依邏輯運演和邏輯證明為主要形式，中國古代數學主要是以籌算的運演為主，算籌的運演規律構成了中國古代數學的基本特征。換句話說，使用算籌這樣一種算器，并以其為基本運演形式是中國古代數學的基本特征。

[論文關鍵詞]古代數學;農業生產;應用

[論文內容提要]我國古代數學對于世界文化有過偉大的貢獻,代數學無可爭辯地是中國所創,我國古代數學是講道理的,是來源于實踐,尤其是來源于農業生產中的｡從豐富的生產實踐中發現問題,創造了有我國特色的幾何學｡有足夠多的例證,說明我國古代數學立論嚴謹,為農業生產的實踐需要而服務｡

我們的祖國是一個地大物博､人口眾多､歷史悠久的文明古國｡我國古代文學藝術成就巨大,科學技術方面的指南針､造紙､印刷術､火藥這四大發明,舉世聞名｡可是,對我國古代數學的成就,了解的人卻不多,甚至還有人誤以為我國歷來在數學上是落后的｡

其實,我國古代數學對于世界文化有過偉大的貢獻｡我國古代數學是講道理的,有足夠多的例證,說明它們立論嚴謹,走在世界的前列,我國古代數學在一些重要項目中獲得了“世界冠軍”｡而古代數學是來源于實踐,尤其是來源于農業生產的｡這是由于中國農業有著悠久的歷史,農業起源于沒有文字記載的遠古時代,它發生于原始采集和狩獵的經濟母體之中,又由于農業生產受社會經濟和自然環境等多種因素的影響,受“地”的影響,古人把“地”看成是“萬物之本原,諸生之根菀”｡它是農業生產的基本生產資料,有了“地”,就要有測量,就要有計算,當然就有了數學｡

數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學,我國古代數學恰恰是在數､形､數形結合這三方面有其特色和自成系統｡

首先,我國最遲從春秋戰國開始就普遍用算籌記數,而且采用了十進位制,有了良好的記數工具,就可以比較輕便地進行自然數運算;除不盡的除法還出現分數記法及其運算,用兩種不同顏色的算籌區別正數和負數就可以通行無阻地進行有理數四則運算,能夠解決各種比例問題的“今有術”也是在這種算籌制上進行的;從兩漢歷經隋唐宋元,正確､快捷列出方程､方程組､不定方程和不定方程組也都是在這種算籌制上進行的｡

中國古代數學的研究，目前存在著一些彼此對立的研究結論；正確地分析存在著的矛盾結論，無疑會有助于人們深入地了解中國古代數學，同時也會使人們對數學史研究的方法和評價標準有新的認識。

一、幾個有代表性的矛盾結論

如何評價中國古代數學，如何評價在中國古代文明中數學的作用以及它取得的成就是每個數學史學者關心的問題。但是目前的一些研究卻有著一些矛盾的結論，這些矛盾的結論往往是圍繞著認識、理解、評價中國古代數學的關鍵性理論問題展開的。

1.關于古代數學運用的思維方式問題

中國古代數學是否象古希臘那樣明確地運用邏輯思維問題，目前已成為評價中國古代數學的一個重要因素，因為在人們的認識和理解中，數學如果沒有嚴格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數學理論，袁曉明先生的研究結論與人們的良好愿望相反，他認為中國古代數學不存在象古希臘數學那樣以邏輯為基礎的思維方式，“與古希臘數學嚴格地采用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數學則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發現方法、實現推理的?！盵1]

郭書春先生通過對《九章算術》的研究，得出相反的結論，他認為《九章算術》的注釋中已經具有并形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，“劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數學證明，從而把《九章算術》上百個一般公式、解法變成了建立在必然性基礎之上的真正的數學科學?！盵2]

中國古代數學的研究，目前存在著一些彼此對立的研究結論；正確地分析存在著的矛盾結論，無疑會有助于人們深入地了解中國古代數學，同時也會使人們對數學史研究的方法和評價標準有新的認識。

一、幾個有代表性的矛盾結論

如何評價中國古代數學，如何評價在中國古代文明中數學的作用以及它取得的成就是每個數學史學者關心的問題。但是目前的一些研究卻有著一些矛盾的結論，這些矛盾的結論往往是圍繞著認識、理解、評價中國古代數學的關鍵性理論問題展開的。

1.關于古代數學運用的思維方式問題

中國古代數學是否象古希臘那樣明確地運用邏輯思維問題，目前已成為評價中國古代數學的一個重要因素，因為在人們的認識和理解中，數學如果沒有嚴格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數學理論，袁曉明先生的研究結論與人們的良好愿望相反，他認為中國古代數學不存在象古希臘數學那樣以邏輯為基礎的思維方式，“與古希臘數學嚴格地采用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數學則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發現方法、實現推理的?！盵1]

郭書春先生通過對《九章算術》的研究，得出相反的結論，他認為《九章算術》的注釋中已經具有并形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，“劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數學證明，從而把《九章算術》上百個一般公式、解法變成了建立在必然性基礎之上的真正的數學科學?！盵2]