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編者按：本文主要從引言；信道容量的數學分析；信道容量計算公式的簡化；模型的約束性優化和擴展；結果分析進行論述。其中，主要包括：數字水印可視為通信理論的一種應用、數字水印系統分為水印嵌入編碼，攻擊信道，和水印譯碼三個模塊、數字水印的實施過程、水印的信道容量是所有可達速率的上限、對于公開水印和私有水印，其信道容量均不超過、引入加性噪聲信道的概念、目前關于信息論的許多研究都從加性噪聲信道分析入手、可將水印理解成一種帶有邊信息的通信博弈、當失真測量為簡單的差度量度時，該失真度由加在上的干擾限制決定、滿足零均值，方差為的高斯分布等，具體請詳見。

論文摘要：從信息論的角度，針對基于高斯噪聲信道的數字水印容量作了初步探索。在詳細闡述圖像數字水印基本原理和水印信道的構造及生成方式的基礎上，針對高斯信源分布具有最大的不確定性、能夠在所有的二階隨機分布中提供最大信息熵的特點，重點分析了在高斯分布情況下的整個水印信道通信過程；并引入平均互信息理論，給出了基于高斯的水印信道容量的最大通信速率；同時分析了加性噪聲信道下的容量問題，將高斯分布擴展到了非高斯分布，給出并優化了容量計算表達式，同時利用MATLAB軟件工具給出了非高斯信源水印容量與受限失真度的二維和三維關系仿真曲線；最后結合實際給出了結果分析。

論文關鍵詞：數字水印；信道容量；高斯噪聲信道;攻擊信道；信息論；

0引言

數字水印可視為通信理論的一種應用[2]。隨著對數字水印算法可靠性要求的提高，目前的數字水印不論在數學理論上和技術上均不成熟，對數字水印系統的公式描述仍然沒有統一的定論，在數字水印系統最終性能方面存在較多的不確定性[1,7,8]。這些均可以從信息論的角度上尋求解決出路。

數字水印系統分為水印嵌入編碼，攻擊信道，和水印譯碼三個模塊。這里，我們對一般數字水印模型提出了改進，在水印嵌入之前加入待嵌入信號預處理，給出了對于水印通信模型的更加恰當的描述，如圖1。

根據改進系統框圖，數字水印的實施過程可分為如下步（只考慮圖像水印）：

（1）密鑰生成：在進行水印處理之前，隨機密鑰經偽隨機信號發生器生成，并在編碼和譯碼端可知；該密鑰與待嵌入消息M和原始載體信宿相互獨立。

（2）形成水印信號：通過一預處理器對消息M作壓縮或編碼預處理，同時還可利用原始載體信宿提供的邊信息進行預編碼，保證水印的唯一性，改善誤碼率，提高通信容量。

（3）水印嵌入：待嵌入消息水印信號M通過某種算法，與密鑰進行相關處理，被嵌入長為N的載體序列中，生成的圖像水印可表示為，且。

（4）攻擊信道：該生成水印在傳輸過程中將會受到惡意攻擊導致其中的W信號被去除而生成被修改的信號。

（5）提取或檢測水印：借助原始載體圖像（私有水印或非盲水印），或不依賴原是圖像（公開水印或盲水印），利用相關接收機、匹配濾波器、最大后驗概率譯碼規則（MAP）來提取或檢測水印。1、信道容量的數學分析

水印的信道容量是所有可達速率的上限。根據理論分析表明[1,7,8]，它由如下三個參量決定：嵌入失真,攻擊失真，以及載體信宿的概率分布函數{PS}。

可以證明：當原始載體信源的功率（方差）為，那么對于公開水印和私有水印，其信道容量均不超過。其中：首先定義區間：

，(10)

通過計算，當時，可以得到區間為空域。當區域非空時，定義水印容量

＝(11)

特別的，當載體信源S滿足零均值，方差為且獨立同分布的高斯分布時，公開水印與私有水印具有相同的水印信道容量，且該容量正好等于上限。

2、信道容量計算公式的簡化

上述容量計算公式過于復雜，可進行如下化簡，根據水印的信道容量公式(11)，我們有

＝

＝＝

=（12）

而前面(10)已經定義區間：

，

根據上面的推導，可把暫看作常量，那么容量C決定于中間變量的取值，即根據適當的選取值得到最大化的C；但實際上由(10)式我們可以看到的取值范圍又由決定。經過適當的約束和簡化，最終我們可以得到

(13)

但考慮到，當時，實際上這種攻擊對水印是完全無效的[5];因而攻擊者不會采用。所以進一步給出攻擊失真的取值范。在小范圍失真下，即，有，所以可得到小范圍失真條件下的容量近似公式：

(14)

根據上式，我們可以看到在小范圍失真情況下，容量與載體信源的統計概率分布無關。當時，根據上式，可以得到容量C=0.5bit/Symbol。

3、模型的約束性優化和擴展

為了更好的理解水印系統，簡化分析，可引入加性噪聲信道的概念。對比乘性信道，加性噪聲信道具有統計分布參數（如方差）簡單加的特點，這對模型的分析十分有利。實際上，目前關于信息論的許多研究都從加性噪聲信道分析入手[1，5]。

可以將經攻擊偽造后的消息Y寫成如下形式：

其中，，。(15)

圖2數字水印博弈模型

根據上式，可將水印理解成一種帶有邊信息的通信博弈[2]。將理解為被傳輸的信號，同時受到加性噪聲S的破壞（這里將載體信源看作相對于的加性噪聲）；S在傳輸端可知。而可以理解成一種可加性干擾信號，該信號由決定。那么，當失真測量為簡單的差度量度時，該失真度由加在上的干擾限制決定。特別的，在本例中，因，系統失真由加在被傳輸的上的總干擾功率決定，即功率受限。同樣的，如果，那么可加性干擾信號也是功率受限信號。

考慮信道的輸出為，其中輸入的功率受限為；S為任意的功率受限且各態歷經的過程，并假設S僅在編碼的時候是可知的，而在解碼是是未知的。為一穩態高斯過程，對編碼和譯碼均不可知。假設S和相互獨立，其聯合概率分布與獨立。

考慮S和均為滿足獨立等同概率分布的隨機變量；特別的，S任意分布（可以為非高斯分布），而滿足零均值，方差為的高斯分布。也為滿零均值，方差為的高斯分布，并且與S和的聯合概率獨立。同時設輔助隨機變量。那么，有

,(16)

可以證明，在條件下，隨機變量和不相關，且相互獨立。因和均為高斯分布，那么也滿足高斯分布。又因S和相互獨立，所以隨機變量與也相互獨立。這樣，可以推出如下結論：

(17)

同時，與獨立表明：

(18)

所以，綜合上述兩式，可以得出：

(19)

上式最后一等號的成立是因為滿足零均值，方差為的高斯分布；滿足零均值，方差為的高斯分布；同時考慮的是加性噪聲，因此兩個，聯合分布的方差即為兩者方差的簡單和。根據高斯分布的熵公式[6]很容易得出上述結論。

4、結果分析

根據我們的簡化結論：，圖3借助Matlab工具軟件仿真給出了基于典型圖像信源{}數字水印所獲得的容量分析。在本試驗仿真中，先取＝0.5,對應可臆定的剛可區分失真度；然后設取在0.5和5之間，最后采用上一節中推導出的數學公式來計算容量。