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摘要:傳統對於鋼筋材料損耗常以假設值表示材料損耗，其中鋼筋搭接可視為基本損耗，唯殘料的損耗卻常被忽視，雖然鋼筋裁切過程一定會有殘料產生（定尺料除外），但如何控制殘料的成本確是一項難題。由工程實例中，發現鋼筋過磅的噸數，往往比料單計算噸數超出許多，此主要受到需求尺寸及供給尺寸問題效應影響，而此復雜的交互關系，往往超過一般人力所能處理。為此，本研究將鋼筋裁切問題公式化為線性規劃數學模式，并以單形法（Simplexmethod）輔助選擇最這鋼筋切料組合。應用上，本文以臺灣省公路局懸臂式擋土墻設計標準圖主筋裁切為例，嘗試建立不同擋土墻高度之主筋裁切最這鋼筋需求配置，試想若能透過這當鋼筋裁切計畫使殘料數量降低，其間的效益不可忽視。

關鍵字：鋼筋裁切問題、管理科學、線性規劃、單形法、擋土墻

Thestudyfortheoptimaltrimlossproblemofsteelbar

-usingretainingwallasanexample

ABSTRACT

Thetraditionalviewfortreatingtrimlossproblemofsteelbaralwaysassigndefaultvalueasconstructionconsumptionloss,andoneoftheseissteelbarslappingthatisregardedasfundamentalloss.Althoughitwouldgeneratescrapduringtrimprocessofsteelbar,scraplossisfrequentlyneglectedandcontrolofscrapcosthasbeenadifficultproblem.Inpracticalconstructioncase,itisfoundthatactualhappenedtonsoftenexceedcalculatedquantitiesofbillofmaterialscausedbytheproblemofrequiredsizeandsuppliedsize.Becauseofcomplicatedinter-relationship,itisbeyondmanualcalculation.Thisstudywouldformulatetheproblemintolinearmathematicsmodelandcombinesimplexmethodtoassistchoosingtheoptimaltrimcombinationofsteelbar.Inapplication,itwouldusetrimproblemofcantileverwallforTaiwanHighwayBureauasanexampletoestablishtheoptimalrequirementlayoutofsteelbarbydifferentretainingwallheight.Itwoulddecreasescrapthroughappropriatetrimplanofsteelbarandtheefficiencyisobvious.

Keywords:trimlossproblem,sciencemanagement,linearplan,simplexmethod,retainingwall

一、前言

營建工程傳統上，常被視為主導國家發展的火車頭工業；近年來，營建景氣不佳，使營建廠商的生存受到考驗，根據行政院主計處85年工商普查資料，國內營造業五年的存活率約為八成左右，而營造業對於國家整體經濟成長的貢獻度，也由民國八十一年的+0.84%，降至民國八十九年-0.15%，這顯示營造業面臨的困境。根據內政部營建署「八十八年臺閩地區營造業經濟概況調查」統計資料得到，營造業之營建材料耗用價值約佔營業支出43.6%較勞動支出19.7%高出許多，因此若能有效控制材料成本支出，對於企業工程獲利會有一定程度的助益。以民國八十七年臺灣地區建筑工程鋼筋鋼骨使用量7,887,000噸計算（不含土木工程），每年營建工程鋼筋材料支出費用之鉅大，可想而知。由此瞭解，營建工程若要透過材料來降低工程成本，可由鋼筋工程材料控制著手。一般營建工程鋼筋材料，除鋼筋本身具有的需求重量外，尚需納入鋼筋搭接重量及鋼筋裁切后的殘料重量。其中，鋼筋搭接部分，受限鋼筋供給尺寸長度及施工上的限制，所以若要控制鋼筋搭接部分，則須配合其它施工技術改良，不過此過程可能涉及勞動型態改變，整體效益未必能有效提昇；若由鋼筋殘料控制的話，由於分析過程鋼筋料單的號數及長度皆為已知資料，加上外在因素影響受限較少，所以透過鋼筋殘料控制，為可嘗試採行的方法。

鋼筋工程對於鋼筋需求尺寸裁切，主要是依據鋼筋施工揀料圖（施工圖），整理得到的料單需求尺寸及數量進行鋼筋裁切，不過如何在鋼筋供給尺寸限制的情形下，將有限的鋼筋供給尺寸裁切成需要的尺寸，并使鋼筋裁切后的鋼筋殘料為最少，并不是一件間單的事；其中，鋼筋裁切組合率計算問題，將使人力無法有效克服。而傳統使用的鋼筋裁切原則，應用上，未必能獲得滿意的解答，對於鋼筋裁切的原則，可歸納目前鋼筋裁切的幾種做法：

1.訂購較長的鋼筋供給尺寸或增加鋼筋供給尺寸的種類：此類做法能有效取得較多鋼筋裁切組合，以提高取得較短殘料長度的機會，不過在鋼筋裁切組合增加時，會面臨總體裁切組合運算時間問題，有時問題總體裁切組合高達數億種，這非人力所能處理。

2.訂購定尺鋼筋：此舉對於採購大量單一尺寸的鋼筋，是一可行的方法，不過定尺鋼筋單一尺寸重量小於25T~50T，鋼筋材料製造商會要求每噸鋼筋加收200元~500元不等價錢，因此未必能實質獲得利益，更況且部分業主（如軍方、國宅處、公路局等）為節省材料費用，以大宗採購的方式處理，藉以降低鋼筋單價成本，如此鋼筋供給尺寸更無從選擇。

3.鋼筋需求尺寸由長至短進行裁切：此法處理原則在於較長的需求尺寸優先處理后，較短的鋼筋需求尺寸將更容易處理，此種做法只能視為鄰近搜索的程序。根據作者的實作分析資料發現，鋼筋裁切組合的復雜度與需求及供給鋼筋的尺寸及數量有密切的關系，因此上述做法對於鋼筋殘料的控制，實質助益并不大。

上述說明目前專業分包商對於鋼筋裁切問題處理的原則，不過根據作者實際訪談鋼筋專業分包商，得到目前營建工程鋼筋裁切后的鋼筋總重量，會較鋼筋料單的重量約增加5%~15%（以足量鋼筋為主），此部份大多由鋼筋殘料產生的重量構成。以民國八十七年建筑工程鋼筋材料為例，整年鋼筋殘料損耗可能高達拾數億元，這對於業主及鋼筋專業分包商是不利的；就業主而言，必須額外增加鋼筋材料成本支出，額外支付材料費用；就鋼筋專業分包商而言，除降低分包商的競爭優勢；另外，殘料重量百分率超過業主要求時，多出部分必須自行吸收，降低工程獲利，假若能有效控制鋼筋殘料，則可創造雙贏的結果。

為此本研究將鋼筋裁切問題公式化為線性規劃數學模型，加以處理。以線性規劃技術處理鋼筋裁切問題，首先必須瞭解問題型態；就鋼筋材料問題而言，由於問題抉策變數單位為根數，因此問題數學模型屬於整數規劃問題，不過以整數規劃分析問題時，若問題抉策變數較多時，分析過程會浪費過多電腦運算時間，使其分析效益降低；為有效降低問題計算時間，得建立線性數學模式處理，并將分析所得結果，屬於非整數的抉策變數進行整數調整，其結果會與整數規劃結果接近，唯此做法可使問題變得更易處理，問題分析時間復雜度也將大為縮減。

二、有效鋼筋裁切組合

在鋼筋供給（或需求）尺寸與數量確定后，未進行問題分析前，應就鋼筋供給尺寸及鋼筋需求尺寸，建立滿足問題需求的鋼筋裁料組合，此過程通常必須經過鋼筋總體裁切組合計算及有效鋼筋裁切組合計算兩個步驟，才算是完成問題裁料組合計算；其中，鋼筋總體裁切組合計算，最需要控制的是避免鋼筋供給尺寸對應鋼筋需求尺寸時，產生過多鋼筋總體裁切組合，此現象在鋼筋供給及需求尺寸數目過多或鋼筋供給尺寸與需求尺寸長度差異過大時，較易產生，而鋼筋總體裁切組合僅能以窮盡搜索方式求得，因此需特別注意鋼筋供給尺寸及需求尺寸兩者間的關系，以避免大幅增加鋼筋總體裁切組合計算時間。由於鋼筋總體裁切組合包含有效及無效的鋼筋裁料組合，假若能將問題無效的鋼筋裁料組合剔除，將能大幅降低鋼筋裁切組合數，如此將能大大降低問題數學模式的復雜度，亦能有效降低演算工具的求解時間；由此得知，問題數學模型建立之前，必須先建立鋼筋有效裁切組合。鋼筋有效裁切組合定義：「系指鋼筋供給尺寸減去該鋼筋裁切組合剩餘鋼筋長度，即為鋼筋裁切殘料長度，當裁切殘料長度大於等於零，并小於鋼筋最小需求尺寸時，此鋼筋裁切組合稱為有效鋼筋裁切組合」。判斷有效鋼筋裁切組合的判別式為Lmin?TL?0（Lmin：鋼筋最小需求尺寸，TL：裁切殘料長度）。雖然鋼筋有效裁切組合與數學演算工具有關，不過要取得有效裁切組合，仍必須計算總體裁切組合部分，假若計算所得鋼筋總體裁切組合過多時，仍需將問題分段處理，以降低問題復雜度。

三、鋼筋裁切問題數學模式

以下分別說明線性規劃的發展與基本假設及鋼筋裁切問題數學模型建構。

3.1線性規劃的發展與基本假設

規劃問題的應用最早為經濟學家所提出，諸如VonNeumannLeontief等人貢獻良多，惟線性規劃型式之問題，最早於1941年由Hitchcock解出運輸問題。1942年蘇俄Kantorovitch亦列出運輸問題，但并未獲得解答。1945年經濟學家stigler解出最經濟的食譜，但并未應用線性規劃解法，直到以MarshallK.Wood為首的小組，為美國空軍解抉分配的問題（Allocationproblems），GeorgeB.Dantzig於1947年列出一般線性規劃問題，并以單形法求得解答后，線性規劃問題正式為各界所承認及應用。1951年后，線性規劃問題之理論與應用進步甚為神速，DavidGale,H.W.Kuhn,A.W.Tucker,A.Charnes,W.W.Cooper等人貢獻良多，使得線性規劃問題成為各界應用最為廣泛的工具[1,2]。

一般建構線性規劃數學模型時，必須具備三個條件：（1）目標函數及限制條件均為線性函數；（2）限制條件為等式或不等式；（3）所有抉策變數的值必須大於等於零。以線性規劃表達一個實際的問題時，必須符合線性規劃四點基本假設（1）比例性（Proportionally）：（2）可加性（Additivity）；（3）可分性（Divisibility）；（4）確定性（Certainty）。由於鋼筋裁切問題求解的困難度，在於問題抉策變數（有效裁切組合）及問題限制條件的多寡，通常鋼筋抉策變數較少時，以人腦判斷尚可獲得不錯的解答，惟實務應用上，鋼筋裁切問題供應與需求之間的關系甚為復雜，因此產生的抉策變數數量也相當多，此時人力將無法有效處理，必須藉助數學演算工具處理問題。以線性數學模型描述鋼筋裁切問題，有下列幾項優點：

1.鋼筋裁切問題這合以數學模型之數學符號表達，把復雜的鋼筋裁切問題具體化表達，并透過符號定義問題抉策變數及限制條件的關系。

2.透過數學模型建構，將復雜實際現象藉由這當模式間化，以利運算分析。

3.以數學模式分析，相較於經驗分析，可以套用於任何近似鋼筋裁切問題，如此可節省大量分析時間及成本。

3.2鋼筋裁切問題數學模型建構

鋼筋裁切問題之數學模型，如下所示：

MinZ=c1X+c2X+??+cnX（1）

s.t.

a11X+a21X+?????+an1X?b

a12X+a22X+?????+an2X?b

a1mX+a2mX+??????+anmX?b（2）

?X?0（i=1~m）

符號意義：

Z：問題目標函數。以鋼筋殘料重量最小化為目標。

X：問題抉策變數。表示鋼筋裁切組合i的配置根數。

cn：殘料長度。表示第n種鋼筋裁切組合之鋼筋殘料長度。

anm：常數。表示第n種鋼筋裁切組合對應至第m種鋼筋需求尺寸之裁切段數。

bm：右手系數，表示第m種鋼筋需求尺寸數量。

i：表示鋼筋裁料組合編號（i=1~n）。

j：表示鋼筋供給長度編號。

問題公式化為數學模型后，須選擇這當的演算工具求解問題。一般線性規劃問題的可行域是有界的，并且為凸集合，因此端點的個數為有限個，再加上端點通常為基本可行解，所以問題最佳解必然發生於可行域的端點上，雖然端點的個數為有限個（基本可行解的計算，=(n+m)!/(n!m!)，（n=抉策變數，m=限制條件），理論上應可採”窮盡搜索”找出所有端點基本可行解，再將這些基本可行解代入目標函數后加以比較，即可求出最這解答，然在n及m的數目很大時，問題基本可行解將會變得很大，例如n=100、m=50，此時=?1029種可行解計算組合，因此窮盡搜索的方式似乎不太可行，故處理線性規劃數學模型時，需借助有效的演算工具處理，一般處理線性規劃的方法，有圖解法（GraphicMethod）、人工基底法（ArtificialBasisMethod）、對偶問題（DualProblem）及單形法（SimplexMethod）；其中，以單形法最廣為應用。

四、個案應用

國內懸壁式鋼筋混凝土擋土墻設計，若土壤基本慘數條件，符合臺灣省政府交通處公路局道路工程標準圖之鋼筋混凝土懸壁式擋土墻標準圖資料[3]，則可採用該標準圖資料進行擋土墻設計及施工，應用上，相當便利。此標準圖不僅提供不同高度的擋土墻設計斷面尺寸，并提供鋼筋配置所需號數、尺寸及間距，這對鋼筋工程而言，可省去鋼筋料單製作的程序，不過該標準圖并無標示鋼筋裁切計畫；因此工程在同洋的鋼筋供給尺寸下，不同鋼筋裁切規劃人員，可能會分析出不同的鋼筋組合，相對主筋殘料的形成，亦會有所不同，這對於承包商的工程成本會產生影響。以臺灣省交通處公路局八十六年版的公路工程施工說明書之施工說明書總則對於局供鋼筋材料明定，鋼筋損耗依尺寸而分，13mm（#4）徑以下者為5%，16mm（#5）徑至22mm（#7）徑者為8%，25mm（#8）徑以上者為10%，且上列損耗率均已包含鋼筋之搭接、裁切零頭及為彎扎設計圖尺寸而所號之一切損失；表面上，主辦單位似乎已將不同的鋼筋損耗列入考量，不過不同鋼筋需求尺寸及鋼筋供給尺寸，其產生的鋼筋殘料比率是不穩定的，因此需要這當的輔助工具協助工程人員處理此一復雜問題。

由於擋土墻屬於線性結構工程，因此分析上，可以單位長度進行分析；在此，以1公里為其單位長度。公路局懸壁式鋼筋混凝土擋土墻設計標準圖，依擋土墻高度區分，計有11種標準設計范例，分別為高度4.35、4.85、5.40、5.95、6.50、7.05、7.60、8.20、8.80、9.40及10.00等11種。懸壁式鋼筋混凝土擋土墻主筋配置示意圖，如圖1所示；擋土墻各部尺寸及材料數量，如表1所示；擋土墻主筋間距及尺寸表，如表2所示。由於擋土墻屬於線性結構，因此鋼筋裁切計畫進行分析時，橫向副筋部分（溫度鋼筋）并不需進行鋼筋裁切計畫，其鋼筋訂料策略為方便施工原則下，採購較長鋼筋尺寸或配合伸縮縫設置長度，以降低鋼筋搭接長度造成的材料浪費。因此擋土墻鋼筋裁切計畫，僅針對縱向主筋部分即可，如此可使問題復雜度降低，因此問題分析重點可著力於擋土墻主筋裁切，使得分析結果在滿足鋼筋供給限制條件下，不同高度擋土墻的鋼筋裁切殘料損耗為最少。

圖1擋土墻主筋配置示意圖

問題分析上，本文分別以11、12、13、14、15、16及11M~16M等七種鋼筋供給尺寸組合，進行鋼筋裁切分析，表3為單位長度不同高度擋土墻單位長度鋼筋需求根數。本文採用的線性規劃演算工具為單形法，由圖2得到鋼筋供給尺寸為11M~16M綜合供給尺寸可獲得最少鋼筋殘料，在11種不同高度的擋土墻，獲得最這鋼筋殘料重量百分率介於0.453%~2.612%（以定尺料為基準）之間；由此結果，驗證了上述制式鋼筋殘料損耗比率是不理想，且不經濟的，假若工程主辦單位能供應分析所得亂尺尺寸及數量，則工程承包商在主筋重量上，相對可節省一定比率鋼筋材料費用；相對工程主辦單位若無法提供分析所需亂尺料鋼筋，則承包商可能會面臨局供鋼筋材料不足的現象，因而降低工程獲利；為使工程雙方達到雙贏的境界，最這當的方法，即是工程發包單位應先進行鋼筋裁切分析，由承包商依分析結果進行鋼筋裁切加工，如此雙方均能有所獲利，以避免資源浪費的現象，一再重演。表4為不同高度擋土墻最這鋼筋裁切組合，由該表得到最這鋼筋裁切組合，均由不同的鋼筋供給尺寸構成，這意味供給尺寸種類越多，相對鋼筋裁切組合也會增加，而鋼筋殘料降低的機率，亦會相對增加，不過問題分析復雜度也會明顯增加；另外，由最這裁切組合發現，并無任一種鋼筋供給尺寸具裁切的優勢，不過較長供給尺寸的鋼筋，似乎有較高的競爭優勢。表5及6分別為亂尺鋼筋及定尺鋼筋成本差異分析的成本關系式，由於兩者成本差異不含鋼筋彎曲加工及邦扎施工，因此鋼筋彎扎費用，可不計入計算。

五、結論與建議

1.本文將鋼筋裁切問題公式化為線性數學模式，并透過有效的規劃求解程序，藉以輔助工程管理人員分析之用。

2.由個案分析結果，得到鋼筋供給尺寸總類多寡，對解答有一定程度的影響，當鋼筋供給尺寸總類越多時，鋼筋殘料降低的機率相對會提高。

3.由於鋼筋裁切問題之數學模式建立與實際狀況接近，因此受限不確定性因素的影響較小，所以分析結果較符合實際需求。

4.上述說明如何處理鋼筋材料的問題，不過應用上，鋼筋裁切問題并非想像中間單，所以正確方式是積極培養營建管理科學分析師，如此方能使得量化管理技術更上一層樓。

六、慘考文獻

[1]葉若春，線性規劃（增訂本）-理論與應用，中興管理顧問公司(1986)。

[2]黃錦川，朱美珍。管理數學。五南圖書出版公司：459-461(1999)。

[3]臺灣省政府交通處公路局，道路工程之鋼筋混凝土懸壁式擋土墻標準圖(1990)。