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討論任意領域中智力活動的性質是一件困難的任務，對處于人類智能中心領域的數學就更是如此。對人類智能的性質作一般的討論，從本質上來說是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊范圍的智能的討論要更為困難。理解飛機的結構和升力、推力的力學原理，比乘坐飛機、以至駕駛它要更為困難。在沒有以直觀的和經驗的方式獲得某些知識之前，在沒有預先了解、熟悉以及駕駛過飛機之前，人們就能理解原理及其過程，這是罕見的。

在數學領域中，這種討論如果以一種非數學的方式進行的話，限制將更為苛刻。討論必然會顯示出某些不良的特性，得到的結果所依據的材料決不可能充分;相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。盡管我甚至意識到，我將要提出的說法有不少短處，但是很抱歉我還是得說下去。此外，我準備表述的觀點，也完全可能不為許多其他數學家所贊同。你可能獲得一個人為的不太系統的印象和解釋。我提出的看法，對這些討論究竟有多少價值，也許是很小的。在我看來，刻畫數學特點的最有力的事實，是它和自然科學的特有聯系。或者更一般地說，它和任何一類比處于純粹描述水準更高級一些的、能對經驗作出解釋的科學的特有聯系。大多數數學家和非數學家將會同意，數學不是一門經驗科學，或者至少可以說它不是以某種來自經驗科學技術的方法實現的，但是它的發展和自然科學卻緊密相聯。它的一個主要分支幾何學，買際上起源于自然科學、經驗科學。某些現代科學中最大的靈感(我認為是最大的)清楚地來源于自然科學，數學方法滲透和支配著自然科學的許多“理論”分支。在現代經驗科學中，能否接受數學方法或與數學相近的物理學方法，已愈來愈成為該學科成功與否的主要標準。確實，整個自然科學一系列不可割斷的相繼現象的鏈，它們都被打上數學的標志，幾乎和科學進步的理念是一致的，這也變得越來越明顯了。生物學變得更受到化學和物理滲透，這些化學是實驗和理論的物理，而物理是形式甚為數學化的理論物理。

有一個甚為特殊的數學性質的兩重性，人們必須理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數學的本來面目，我不相信無需犧牲事物的實質，就可能簡化和單一化對事物的看法。

因而我并不試圖為你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數學所具有的多重現象。無可否認，在人們能想象的那部分純粹數學中，某些最為激動人心的靈感來自自然科學，我將提及兩個最值得紀念的事實。

第一個例子是幾何學。幾何學是古代數學中的一個主要部分，現在仍然是現代數學中幾個主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經驗的，它開始成為一門學科并不像當今的理論物理。離開這些跡象，就很難說“幾何學”是什么了，歐氏的公理化處理是幾何學脫離經驗向前跨出一大步的標志，但是它全然不能簡單地被看成是決定性的、絕對的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面并不能滿足現代絕對的公理化對嚴格性的要求，當然這不是主要的方面。最本質的是某些無疑是經驗的學科，如力學和熱力學，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出Euclid的程序。我們時代的經典理論物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的實質部分都是很像Euclid的。當然在所有這些例子中，提到的公設都是以支持這些定理的物理考察、實驗論證作為后盾的。但是人們可以論證：在幾何學獲得兩干多年的穩定和權威之前(這種權威是理論物理的現代結構所缺乏的)，特別從古代的觀點來看，提出一種類似于Euclid的解釋是可能的.

盡管自Euclid以來，在使幾何學與經驗脫離方面已經逐步地取得了進展，但是哪怕在今天，它也決沒有變得十分完備。非歐幾何學的討論提供了這方面的一個好的說明。它也對數學思想的矛盾狀態提供了一種說明，盡管這種討論大部分發生在高度抽象的水平上，它所處理的是歐氏“第五公設”是否為其他公設的推論的純粹邏輯問題;形式上的論戰由Klein的純粹數學的典范作品所總結。他證明了一歐氏平面，可以通過形式地重新定義某些基本概念而成為非歐平面。這里從開始到結束，都還是由經驗促進的。所有歐氏公設的原始根據顯然都是對整個無窮平面的概念所作出的非經驗的刻畫，為什么只有第五公設會有問題呢?這種撇開所有數學的邏輯分析，堅持必須由經驗來確定歐氏幾何是否有意義的思想，確實是由最偉大的數學家高斯提出的，后來由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Klein把它變得更為抽象。然而我們今天所考察的關于最初爭論的形式上結果，不管是經驗的或者物理學的，都已有定論。廣義相對論的發現，迫使人們對關于幾何學相互關系的觀點進行修正。這種修正是在全新的背景下進行的。最后，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最后的進展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現代公理派邏輯數學家處理成為完全非經驗的和抽象的。這兩種表面上似乎是沖突的態度，完美地合并成一種數學思想;因此，Hilbert在公理幾何學和廣義相對論方面都作出了重要的貢獻。第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數學分析。微積分是近代數學的最早的成果，對它的重要性，作任何估價都很難認為是過高的。盡管我認為它的確定比現代數學發端中的任何其他事物具有更多的歧義性，但是數學分析的系統，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術上的進步。微積分的起源顯然是經驗的，Kepler嘗試著做的最早的積分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經驗的幾何學，而不是Euclid以后的那種幾何學，Kepler是完全知道這些的。Newton和Leibniz的那些主要成果和主要發現確實起源于物理學。Newton發明的“流數”運算，本質上是為了力學。事實上，這兩門學科，微積分和力學，是由它們或多或少地結合在一齊而得到發展的。微積分的最初的一些陳述，數學上甚至可以是不嚴格的。一個不精確的半物理的陳述，是Newton以后一百五十多年來僅有的一種可供使用的陳述!這一時期數學分析取得了某些最重要的進步,而這種不精確性不能適應于基礎!這時期的某些主導的數學精神顯然是不嚴格的，如Euler;但是另外一些數學家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。這種發展極為含混和模糊，它和經驗的關系，確實不是按照我們(或Euclid)提出的抽象的和嚴格的想法那樣。但是并沒有數學家想排斥它。那個時期確實也產生了第一流的數學。即使在本質上是由Cauchy重建的嚴格性盛行之后，一種特殊的半物理方法在Riemann那里仍然得到了復萌。Riemann的科學的個性本身就是一個數學的兩重性的光輝榜樣，這些可以在Riemann和Weierstrass的爭論中見到，如果我詳細地列出這些，恐怕會使技術細節敘述得過分多了。自Weierstrass以來，分析數學似乎變得完全抽象、嚴格和非經驗了，其實這也不是絕對真實的。在最近兩代人中發生的有關數學和邏輯的“基礎”的爭論，驅散了許多關于這方面的錯誤的幻想。

這為我帶來了第三個例子，它和上述爭論的判斷是有關的，但是這個例子更多地是論述數學與哲學或認識的關系，而不是數學與自然科學的關系，它用一種引人注目的方式說明“絕對的”數學嚴格性的概念并不是不可改變的。嚴格性概念的可變性表明：在數學抽象之外的某些事物，作為補償不足必須進入數學。在分析關于“基礎”的爭論時，我一直不能使自己確信：這種說法一定有利于外部成分的經驗性質，盡管在討論的某些言詞上，對這樣一種說明的支持是十分強有力的，但是我并沒有把它看作是絕對地不可爭議的。然而有兩件事是清楚的。第一，已經引入某些非數學事物，這是本質的，不管它與經驗科學或者哲學或者與兩者如何聯系，它的非經驗的特點，僅當人們假設哲學(更為專門的認識論)能夠獨立于經驗而存在時才能使人注意(這個假設僅是必要的而不是充分的)。第二，不顧關于“基礎”的爭論可能作出的最好解釋，數學的經驗來源是受到如我們較早提到的例子(幾何學和微積分)的強有力地支持的。在分析數學嚴格性概念的可變性時，我希望主要強調的是上面已談及的“基礎”的論爭。但是，我喜歡首先簡要地考察問題的第二方面。盡管這方面也能加強我的論證，但是我把它看作第二位的，因為它的結論的終極性比“基礎”論證的分析要少，我正在把這個歸諸于數學“風格”的改變。大家知道，寫出的數學證明的風格已經經歷了相當大的起落，說起落比趨向要好一點，因為在某些方面，當代作者和18世紀或19世紀的某些作者之間的差別比當代的作者和Euclid之間的差別要更為大一些。此外，另一方面，它們有著值得注意的經久不變的東西。在有些呈現了某些差別的領域，無需引進任何新的思想，它們的主要差別，就可能消除。但是在許多場合，這些差別是如此的廣泛，以致使人開始懷疑：在這種分歧的道路上，差別是否能僅僅由作者的風格、試驗和教育上的差別來說明呢?他們實際上在構成數學的嚴謹性方面是否具有同樣的思想呢?最后，在極端的情況下(例如：上面所說的18世紀后期分析方面的許多工作)，差別既是本質的，如果完全只是為了有助于新的和意義深遠的已經發展了一百多年的理論的話，它又是可以補救的，有些按此種不嚴格方式工作著的數學家(或者他們的某些對此持批評態度的同輩人)是意識到它們缺乏嚴格性的。或者更為客觀地說：他們關于什么是數學程序的想法是愿意遵循我們提出的觀點的，但他們的行動卻并非如此。但是另一些人，例如：這時期的最偉大的學者Euler似乎堅定地持有自己的標準，并且一直在按他自己標準行事。但是我不想進一步強調這件事。我將回到剛才停下的關于“數學基礎"的論爭方面去。在19世紀末和20世紀初，抽象數學的一個新分支，G．Cantor的集合論，引出了困難。即某些推理引向了矛盾;當這些推理并不處于集合論的中心的和“普適”的地位時，總比較容易根據某些形式的標準消除它，但是為什么集合論的后繼部分比集合論自身更可信這是不清楚的。除了事后看到它們事實上引向災難之外，對什么是先驗的動因，什么是與之一致的哲學特征，人們如何從想要解決的集合論中去分離出它們也是不清楚的。緊接著對這種情況進行研究的主要是Russell和Weyl，后來由Brouwer作出結論，這些研究表明：不僅集合論，而且大部分現代數學所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲學上是要引起異議的。一個較少地具有這種不可預料的特點的“數學系統”是“直覺主義”，它是由Brouwer發展的。但是按這種方式，現代數學中，特別是在分析數學中，百分之五十以上的最有生機的部分或者要被“清除”掉，或者將變得無效了，或者必須補加某些更為復雜的考察來進行論證。后一過程，常常使有效性的一般性和推導的漂亮方面會有所減色。但是Brouwer和Weyl認為：根據這些思想去修正數學嚴格性的概念是必要的。

不可能過高地估計這些事情的意義。在20世紀30年代，有兩位持第一種態度的數學家實際上提出了：數學的嚴格性概念和怎樣構成一個精確證明的觀念應該是可以改變的!下列的展開是值得注意的：

1．僅有很少的數學家，在他們自己日常工作中，愿意接受新的，苛刻的標準。盡管很多數學家稱頌Weyl和Brouwer的基本想法是正確的，但是他們自身繼續不受干涉地工作著，即按“老”的容易的方式搞他們自己的數學。

2．Hilbert追隨著下面這個天才的思想去論證“經典”的(即直覺主義以前的)數學：即使在直覺主義系統中，也可以對經典數學是如何運算的給出嚴格的說明。也就是說人們可以描述經典系統是如何工作的，盡管人們不能論證這種工作。因此有可能直覺主義地證明：經典的程序決不可能引向矛盾。顯然這樣的證明是很困難的，但是對于怎樣才能達到它，有著某些啟示。按這個方案進行工作，有可能提供一個在與直覺主義系統相反的基礎下證明經典數學的最為值得重視的證明。至少，這個解釋在大多數數學家愿意接受的數學哲學系統中將是合法的!

3.在試圖建立這個規劃的大約十年之后，G6del作出了最為值得銘記的結果。這個結果，如果沒有某些附加的不引起誤解的說明，那是不能作絕對精確的陳述的。它的基本內容是這樣的：如果一個數學系統并不引向矛盾，那么這件事實，使用該系統的程序是不可證明的。GOdel的證明滿足數學嚴謹性的最嚴格的標準——直覺主義的標準。它對Hilbert綱領的影響作用引起了某些爭論，不過說理太技術化了。我現在的觀點也和許多人一樣，認為G6del已經證明了Hilbert的綱領本質上是無用的。

4．在Hilbert或Brouwer意義之下論證經典數學的主要想法已經過去了。大部分數學家決定使用任意的系統。總之經典數學過去曾產生的結果既是雅致的又是有用的。即使人們不能絕對地確定它的現實性，但是把它作為基礎還是穩妥的，如像電子的存在那樣。因此，如果人們愿意接受科學，人們就同樣能接受經典的數學系統，甚至對直覺主義的某些最初的擁護者來說，這樣的觀點也成為可接受了。當前關于“基礎”的論爭，確實不太緊湊了，但是，經典系統將被大多數人而不是少數人拋棄的想法，似乎最不受歡迎。

我對這個論爭的沿革，已經作了如此詳細介紹，因為我想這是最謹慎的對數學的嚴格性是不可改變的說法的異議。這發生在我們自身的時代，我慚愧地知道自己關于絕對的數學真理性看法，在這一時期是怎樣容易地改變的，并且是怎樣相繼地改變了三次的。我希望上述占了我文章一半篇幅的三個例子已足以說明許多最好的靈感來自于經驗。很難相信，存在著與人類所有經驗相聯的、絕對的、不可變動的數學嚴格性的概念。關于這個問題，我企圖采取一種低姿態，不管你對哲學或認識論持何種偏愛，任何一個了解數學的人，都會實際感受到一種經驗，它很少會支持這樣的假設：存在一個先驗的數學嚴格性的概念。然而，我的文章還有另外一事，現在我試圖轉向這部分。

對任何數學家來說，很難相信數學是一門純粹經驗科學，或者說，所有數學概念都起源于經驗主體。首先讓我們來考察陳述的第二部分。現代數學中有各種各樣重要部分，它的經驗來源是不可追溯的。或者說，如果可以追溯的話，也是如此間接，顯然地自它割斷它的經驗根源之后，就面貌全非了。代數符號是為了數學本身的使用而發明的。當然也可以合理地斷言：它加強了與經驗的聯系，但是，現代的抽象代數，已經愈來愈朝著與經驗很少相聯的方向發展。關于拓撲也可以這樣講。在所有這些領域，數學家主觀上的成功標準和作用價值，是自身相容、符合美學和脫離(或幾乎脫離)經驗(關于這些，我將進一步敘述)。在集合論中，這更為明顯，一個無窮的“冪”和“序”，可以是有限數概念的推廣，但是在他們的無限形式中(特別是“冪”)，它們和這個世界很難有任何聯系。如果我不想避免某些技巧，我能夠用數集理論作為例子來詳細地敘述這一點。“選擇公理”問題，無限“冪”的“可比較性”，“連續統”問題等等，也是如此。同樣的評述可以應用到實函數論和實點集論：盡管它們可以被設想成是抽象的，不可應用的學科，并且按這種精神來看，幾乎總是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一個世紀之后，卻變得對物理學十分有用。它們主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非應用的精神。

所有這種情況，以及它們的各種組合的事例可以不斷重復，但是，我想轉到我前面指出過的第一方面去：數學是一門經驗科學嗎?或者更精確地說，數學真的是按經驗科學那樣實踐的嗎?或者，更一般地說：數學家和他的課題的標準關系是什么?他向往的成功標準是什么?什么影響、什么考慮在控制和指引著他的努力呢?

然后，讓我們來看，數學家常規的工作方法和自然科學家工作方法的差別在哪里。這種差別的持續，顯然影響了從理論學科到實驗學科，繼而從實驗學科到描述學科之間的差別。因而讓我們把數學與最相近于數學范疇的學科——理論學科作一比較。讓我們在這里選取一個與數學最相近的學科——理論物理。數學和理論物理實際上有著許多共同之處。正如我前面已說過的，Euclid幾何系統是經典力學公理描述的原型。類似的現象是熱力學的陳述，充滿著如同Maxwell的描述電動力學系統，以及狹義相對論的句子。此外認為理論物理不管是分類的還是綜合的，都不是解釋現象的態度，今天已為大多數理論物理學家所接受。這意味著，這理論成功的標準，只需看一看它是否能建立一個簡單的和雅致的，分類的或綜合的能概括許多現象的框架;這些現象如果沒有這個框架將會顯得復雜和參差不齊的，進而看它是否能概括沒有考察到的或者提出框架時尚不知曉的現象(這后面兩種說法代表一個理論的統一性和預見力)。現在展示在這里的標準——顯然極大地擴充了美學的性質，由于這個理由，它和你將要看到的對數學來說幾乎完全是美學的成功的標準是很密切相聯的。因此，我們現在可以把數學和與它最相近的自然科學作比較，與我想我已說明了的和數學有許多共同之處的理論物理相比較。然而在實際的慣用的方法中差別是巨大的和基本的，理論物理的目標主要來自“外界”，大部分是由于實驗物理學的需要。他們幾乎總是起因于想解決某一難題，預見和協調的成功通常會跟著到來。這看來是相似的，進展(預見和協調)來自研究過程，這種研究對解決某些原先存在的難題是必然要經歷的。理論物理中的一部分工作是為了探索某種障礙，這種障礙的“突破”提供了發展，如我已提及的，這些難題通常源于實驗;但是有時它們卻是可接受的理論本身中各部分之間的不協調之處，當然，例子也是不少的。Michelson實驗導致狹義相對論，某些電離電位和光譜結構的難題導致量子力學，這些就是第一種情況的例子;狹義相對論和Newton引力理論之間的沖突導致廣義相對論，這是第二種情況的例子，這里從任何方面看，理論物理的問題都是客觀地給定的，而作為衡量成功的標準，如我在上面所指出的，主要是美學的。但是也有一部分，我們上面提及過的具有基本的“突破”的問題，很難說它起源于客觀實在。據此可見，理論物理的課題幾乎各個時期都是非常集中的，一切物理學家的最重要的努力都集中在一、二個十分尖銳的領域，1920年代和1930年代初，集中在量子理論，1930年代后半期集中在基本粒子和核結構方面就是一些例子。

總的說來，數學的情況就不同了。由于在特點、風格、目標和影響方面相互之間廣泛的差別，數學被分成許多分支。它顯得和理論物理極為集中的情況十分相反。今天大多數物理學家仍然需要具備有關他的課題的有用知識一半以上，我懷疑，任何一個現在在世數學家會具備四分之一以上與他的課題有關的有用知識。在一個數學分支中“客觀地”給出的“重要”問題可以相去甚遠。數學家選這個課題，或者選其他課題，基本上是自由的，然而理論物理的一個“重要”問題常常是一種必須加以解決的一個沖突、矛盾。數學家有廣泛的領域供他轉換選題，他在選題方面可以有適當的自由，而對于決定選題，選題的標準和成功的標準，主要是美學的說法是正確的。我感到這個斷言是會引起爭論的，這是不可能“證明”的。有充分的理由可以說，這里的美學特點甚至比我們前面討論理論物理時所提到的例子還要更為突出。人們期待一條數學定理或者理論，不僅要能用簡單的和雅致的方式去描述而且還要能去劃分大量的原先根本不同的各別情況。人們也期待它的構造在“美學上”的“雅致性”和在敘述問題時的自如性，如果你能自如地敘述問題，把握它和企圖解決它，那么某些使人驚奇的探索過程中遇到的曲折會變得容易了等等。如果推導是冗長的或者復雜的，應該存在某些簡單的一般原則，可以用來“說明”復雜性和曲折性，這些標準顯然就是對任何創造性藝術所提的標準。所有這些和經驗科學相比，在藝術氣氛方面將更會純粹和簡單。

你將會注意到，我不曾提到數學與實驗科學和技術科學之間的比較。這里，方法上的和一般氣氛上的差別是太明顯了。

數學概念來源于經驗，盡管有時系譜是長遠的曲折的，這種說法是一個適當的對真理的逼近。真理是太復雜了，以至能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設想出來后，這個主題開始按它自己特有的活力生長，并且在幾乎完全按美學動機給出的創造物方面;它將比任何事物，特別是經驗科學來得好。但是，我相信還有問題需要進一步強調，因為一門數學學科遠離它的經驗來源，或者說，如果僅是簡接地來自“現實性”，是由現實激勵生成的第二和第三代學科的話，這是一個最大的危險。它將變得愈來愈美學化，愈來愈藝術化。如果這個領域是由相關聯的仍然與經驗緊密相聯的學科圍繞著的話，或者說，如果這些學科處于受到特殊的、訓練有素的人的影響之下的話，這不是壞事。但是也有一種重大的危險，學科只沿著遠離根源的流一直持續展開下去，并且分割成多種沒有意義的分支，學科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠離經驗來源，一直處于“抽象的”近親交配之中，一門數學學科將有退化的危險。開始時，風格是古典的，當它顯示出怪異時，危險就來了。要給出這樣的例子是容易的，它們沿著一些特殊進展進入怪異的，以至高度奇異的狀態，但是細說這些就太技術化了。

在任何事件中，不管它已達到什么樣的階段，對我來說僅有的補救是回復到源泉去：把它或多或少地重新對應到經驗概念中去。我相信，這些要求過去是保持學科的生氣勃勃和有效性的必要條件，今后，它同樣將仍然是正確的。