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摘要：方格圖作為直觀形態的數學學習工具，將學科的理趣和學習的情趣相結合，具有幫助學生提高數學學習能力的作用。本文以人教版小學數學教材為依據，將方格圖的表現形式、數學本質以及在培養學生數學學習能力等方面所起到的數學價值進行系統地剖析和總結；同時將方格圖在人教版教材中的編排情況進行梳理及歸納，從繪制圖形、統一度量、數的認識與運算、總結和推理四個方面詮釋方格圖在教學中的具體應用及研究啟示。

關鍵詞：方格圖；小學數學；教學應用

一、前言

數學家戴維•希爾伯特(DavidHilbert)在1900年第二屆國際數學家大會時的演講《數學問題》中說：“數學中每一步真正的進展都與更有利的工具和更簡單的方法的發現有密切聯系。”使用數學工具，可以將抽象的數學問題和具體的事物相聯系，幫助學生直觀地理解數學知識。在小學數學教學中，作為輔助學習的方格圖是幫助學生理解代數與幾何等內容的重要工具。（一）方格圖的基本概念及表現形式。方格圖是以若干個小正方形為基本構成要素，以信息加工過程的直觀性為形態的數學學習工具。①在教學中使用方格圖，可以將學科的理趣和學習的情趣相結合，有利于培養學生的空間觀念，提高學生解決幾何問題和空間感知、想象、理解的能力。方格圖有以下兩種表現形式：1.基本形式（1）方格圖：由很多單位面積的正方形組成。（如圖1）（2）點子圖：由行列距離相等且相互對齊的一行行、一列列的點組成。（如圖2）圖1圖22.拓展形式數對圖與坐標圖是方格圖的拓展形式，它們都是采用數字坐標的形式表示多項地理要素的數字信息圖像，是二維坐標系，有兩個自由度。同時，坐標圖還可以為學生直觀分析現象提供統計數據。（二）文獻研究述評。方格圖作為輔助數學學習的一種手段，已經在小學數學教學活動中廣泛使用。但是看似微不足道的方格圖常常會被研究者們忽略，導致方格圖的運用僅局限于一線教師。其實方格圖在幫助學生掌握數學方法、提高數學能力、培養數學思想等方面都起著至關重要的作用。基于CNKI的數據分析，并以“方格圖”為主題進行文獻搜索后，筆者發現，2011年教育部頒布的《義務教育數學課程標準》（2011年版）是方格圖研究的一個分水嶺。在這之前，方格圖是被忽視的對象，能檢閱到的文獻也僅有寥寥數篇。2011年《義務教育數學課程標準》（2011年版）的頒布，使得方格圖重新站上數學研究的舞臺。2011年至2019年間，關于方格圖的研究共有110篇，較之以往這是很大的提高，并且有遞增的趨勢。這表明，方格圖的研究正在成為研究者關注的新視角，有很大的研究空間。通過對文獻的梳理和總結可以發現，研究者們對方格圖的研究主要從以下兩個方面進行，一是將方格圖當做教學的鋪墊或驗證的材料進行研究。張卓卿④闡述了方格圖在平面圖形面積公式推導過程中的價值；李延江⑤將方格圖與平面圖形有效結合，探究了如何使方格圖在平面圖形測量教學、平面圖形面積推導教學以及平面圖形變化教學中能夠有效運用。曹培英⑥從基礎教育階段中圖形與變換的內容出發，通過方格紙在圖形與變化教學中的使用，進行教學思考與教育研究。二是探究方格圖在數學教學中的具體使用。李濤⑦在分析方格圖的價值后論述其在教學中的具體運用，并對方格圖在教學中的具體實踐提出相關對策。王晶晶⑧以蘇教版小學數學教材為對象，對方格圖進行再度開發使用。林海漲⑨在結合自己教學經驗和教師應用中出現的問題對方格圖進行分析，并據此提出有效應用方格圖的策略。綜上所述，現有對方格圖的研究大多都是割裂的，以碎片化狀態呈現，缺少系統的梳理、全面的總結及深入的剖釋。因此本文從方格圖的數學本質、數學價值、教學應用等方面出發，化零為整進而系統全面地對方格圖的特征表現進行闡述，深度挖掘方格圖的內在價值，并為教師提供小學數學教學中方格圖最大化應用的方向。

二、方格圖的數學本質

從宏觀上說，數學本質是研究數學觀的問題，即“什么是數學”；從微觀上講，數學本質是指具體數學內容的本真意義。⑩數學本質作為數學的核心價值，是數學課程標準中強調需要加深認識和理解關鍵內容。因此，我們不僅要抓住對方格圖基本概念的理解，還要追本溯源，深入挖掘其隱藏在數學知識背后的本質屬性。（一）長度關系。平面圖形的三大構成要素是點、線、面。學生在學習比較平面圖形時，先學習比較線的長短，再學習比較面的大小，這是學生掌握平面圖形的步驟，也是培養空間觀念開始。學生最初在感受距離時是通過自己的生活經驗對距離進行感性判斷，如學生在比較線的長短時（圖5），大多數學生可能會通過直覺認為折了很多次的線段乙比較長，但是當有方格圖當背景后，學生會通過數甲、乙的邊長所占格子來比較長短。這是學生通過方格圖使思考方式從主觀判斷到理性分析的一次跨越。學生在學習平面圖形時，周長和面積是最基礎也是最重要的兩個概念，平面圖形的周長和面積可以通過數格子等多種方式計算，但是更重要的任務是讓學生掌握并學會運用面積公式。各種平面圖形間存在著緊密的聯系，知道一個平面圖形的面積公式后可以舉一反三推導出其它基礎圖形的面積公式。但是這種轉化需要學生透徹掌握圖形的特征及圖形間關系，而處在形象思維階段的小學生并不能直接做到，這時就凸顯出方格圖的作用。如在推導平行四邊形的面積公式時（圖6），運用割補法將平行四邊形轉化為長方形，引導學生觀察平行四邊形底和高與長方形長和寬的關系，從而推導出平行四邊形的面積計算公式。（二）位置關系。在小學階段，對幾何圖形進行平移、旋轉、變換以及對軸對稱圖形操作時都是在方格圖上完成，大小相同且排列整齊的方格是幫助學生建立“距離感”的有效工具。小學生在初學圖形的運動時，平移的方向一般較好掌握，但是在距離上經常會出現錯誤；學習軸對稱圖形時，通過對折裁剪后的圖形必定是軸對稱圖形，但是在平面上畫已知圖形的另一半會是很多學生的難點。此時，標準整齊的方格圖可以在學生操作時提供完美的背景映襯，通過方格圖可以幫助學生掌握標準距離、可以直接對圖形進行觀察，并按照規律作圖、可以幫助學生明確第幾排，第幾個的概念，學會用數對確定位置、可以向學生滲透橫軸和縱軸兩個維度的概念，（即確定任意一個原點O，向右數軸的正方向為X軸，向上數軸的正方向為Y軸）傳遞平面直角坐標系的思想，培養初步的空間觀念。方格圖是幫助學生從實際物體中抽象出簡單幾何圖形、由二維平面思考到三維立體想象轉化、發展空間觀念和培養幾何直覺的最佳工具。（三）角度關系。方格圖是由多個邊長為1cm的正方形組成，其中相互平行且垂直的線段正好可以形成若干個直角，自然生成平面圖形的“高”。根據已確定的直角，可以通過計算找出部分角度（45°倍數的角度），如45°、135°、225°等特殊角度（圖7），據此可以畫出一些基礎的平面圖形（圖8）。圖7圖8除這些特殊角度外，還有一般角的度數也可以在觀察方格圖上的圖形后，學會用函數進行表示，在高中階段學習的正弦定理、余弦定理也是采用方格圖進行分析。同時可以根據方格圖上畫出的直角三角形，進行勾股定理知識的滲透。

三、方格圖的數學價值

在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱課標）中明確指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想、應用意識和創新意識。”在數學學習中，方格圖作為一種特殊的學習工具，其有效使用可以充分體現獨特的數學價值。（一）培養空間想象能力。課標中把“圖形與幾何”內容作為培養學生空間想象能力和邏輯推理能力的重要組成部分，通過方格圖可以使學生初步感知空間。方格圖可以簡化大腦對直觀圖像的理解，學生可以直觀地通過圖形在方格圖上的位移和變換，感受方向和距離。在“確定位置”這一教學內容中，通過整齊排列且大小相等的方格圖可以幫助學生清晰且明確地描述上、下、左、右四個方位，掌握事物的具體位置。學生在具體描述中充分感受并建立了方位感，這對學生空間觀念的提升起到積極的作用。同時，通過第幾排第幾個的描述方式，也是對縱軸、橫軸兩個維度概念的滲透，這為之后平面直角坐標系的學習做了充分的前期準備。因此，方格圖在激發學生空間想象能力，培養學生方位感和距離感等方面有重要作用。（二）掌握數學概念。在小學數學學習中，存在一些對于處在具體運算階段的小學生難以理解的抽象概念。如在圖形的性質這一部分的內容，有些概念學生可以通過直觀觀察直接感知獲得。但是對于某些抽象概念，如周長、面積等，學生在理解時可能會存在一些困難。假如使用數學工具———方格圖，采用數方格的方法計算圖形的面積，不僅更為直觀、便于理解，還更能凸顯“面是積出來的”本質。以“長方形和正方形”這一教學內容為例，可以先展示不同形狀但面積相同的圖形讓學生猜測圖形面積的大小，再通過數方格對圖形面積的大小進行衡量。隨后，可以要求學生畫出面積相同但圖形不同的圖形，引導學生理解圖形的長、寬和面積之間的關系。學生在操作方格圖的過程中區分、辨別和練習圖形的有關概念，對圖形的周長與面積擁有更直觀的了解。學生在獲取直觀認識來加深對數學概念理解的同時，也鍛煉了自主探究能力。（三）建構數量關系。在小學數學教學中，圖形與幾何這一部分內容是教學重點亦是教學難點。學生在掌握圖形面積，尤其是對各個圖形的面積公式推導的過程中常常容易陷入誤區。數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”面對這一難點，方格圖的存在可以直觀的向學生呈現圖形的轉換過程。通過數方格的方式將圖形和數量有效結合，讓學生通過直接動手操作代替抽象數學思考。以此，抽象的數量關系得以直觀地呈現，從而幫助學生推導面積計算公式。借此培養學生數形結合思維，并幫助學生建構數量關系。例如在教學“平行四邊形的面積”這一內容時，可以由數方格開始，再對方格采用剪、移、拼的方法將未知的平行四邊形轉換成已知的長方形，再運用轉化的思想構建數量關系，進而推導出平行四邊形的面積公式。（四）發揮主體作用。作為學習工具的方格圖可以為學生的學習提供操作材料。學生無論是在理解圖形面積的概念時，還是在繪制圖形運動的過程中，都需要在方格圖上對圖形進行操作，然后通過觀察變換后的圖形引發思考，最終達到自主探究并解決問題的目的。借助方格圖可以充分發揮學生的主體作用，使學生在學習的過程中由“被動吸收”變“主動思考”，真正做到教師引導、學生參與。（五）體現數學思想。數學思想是數學的精粹所在，學習數學不但要學習數學知識，還要學習數學的思想、方法。在方格圖與數學知識的結合中蘊含了許多數學思想，如在“圖形的運動”課程內容中，在方格圖上進行平移、旋轉、軸對稱等內容時體現的對應思想；通過方格紙推導圖形面積公式中呈現出轉化思想；在方格圖中進行推理答題時透露的推理思想，還有數形結合思想、統計思想等等數學思想。

四、方格圖在教學中的具體應用及研究啟示

（一）方格圖在教材中的應用情況。在人教版小學數學教材中，方格圖在“圖形與幾何”這一課程內容中的使用率最高，“統計與概率”次之，在“數與代數”中數的認識與運算部分略有涉及。對方格圖的主要使用在于借助方格圖進行畫圖，平移、變換圖形，測量、估算圖形面積等。研究者通過梳理，歸納總結在人教版小學數學（教育部審定2013）教材中方格圖的使用情況如下：表1在教材中，二年級教材通過對方格圖的使用進行列算式、認識角度（主要認識45°、90°、180°等）等內容，通過方格圖強調長度關系與角度關系；三年級教材中方格圖不僅是學生繪畫圖形的制圖工具，還是設計“面積”這一單元的重要載體，教材中通過數方格等形式比較圖形大小、計算圖形面積，方格圖成為計算和比較圖形面積的重要測量工具；四年級教材中主要利用方格圖中位置關系的特點，讓學生在方格圖上對圖形進行操作，感受圖形的“平行”“平移”“相等”等概念；五年級教材中憑借方格圖對圖形面積進行估算，并通過方格圖旋轉圖形角度；六年級教材借助方格圖放大或縮小圖形，并使用數對圖感受數對和位置的對應關系。同時，在二、三、五年級中數與代數部分均使用方格圖的變式幫助學生理解分數、小數等內容并進行數的運算，在教材“總復習”這一部分中，也在不同程度上使用到方格圖。（二）數學教學中應用方格圖的研究啟示。在運用方格圖進行教學時，需要充分結合學生的認知發展水平，并和已有知識經驗緊密聯系，由表及里、由此及彼地進行教學。功能靈活的方格圖與課堂教學的有機結合具體可以從以下幾個方面入手：1.繪制圖形。數學是一門嚴謹的學科，無論是過程還是結果都要求真實、準確。規范的方格圖在教學中可以進行廣泛使用，在繪制圖形方面尤甚。直線的平行和垂直關系是幾何圖形中的基本關系，而蘊涵著直線與直線的平行和垂直關系的方格圖成為學生學習幾何圖形的重要平臺。在繪制圖形的過程中使用方格圖不僅可以為學生的繪圖確定標準化距離，還可以提供位置和方向上的參照，降低繪圖難度系數的同時提升了繪圖的準確性，同時可以由此幫助學生掌握初步的測量、識圖和畫圖的技能。因此，教師可以從以下幾個方面入手，充分發揮方格圖的價值（表2）。2.統一度。量測量是小學數學教學中發展學生的空間觀念不可多得的操作活動，而由很多邊長為1cm的小正方形組成的方格圖可以在操作中為學生提供統一的度量單位，通過對方格圖的使用可以幫助學生累積測量意識和方法。學生在發現圖形的周長與面積的關系，推導多邊形面積的計算公式等內容中，方格圖不僅可以為學生提供簡單的數據提示，幫助學生發現規律、歸納總結計算方法，還有利于學生理解感受面積、面積單位、和面積單位之間的聯系（圖9）。3.數的認識與運算。在數的認識與運算中，便于比較的方格圖可以為學生學習小數、分數、百分數提供直觀圖示供其操作。學生可以根據要求在方格圖（10×10）上進行操作、觀察與對比，從而理解百分數的含義（圖10）。兩個或多個并列的等分形式但有不同取值的方格圖，不僅可以反映數值的大小，還可以表明整體與部分間的關系（圖11）。方格圖便于比較的作用在學習小數、分數的意義和性質中也有明顯體現。通過不同表現形式的方格圖，可以讓學生輕松理解在小數的性質中“小數的末尾添上‘0’或去掉‘0’，小數的大小不變”這一含義（圖12）。在數的運算部分，可以通過觀察方格圖比較數的大小、進行數的加、減、乘運算等內容。4.總結與推理。表格在一定程度上可以理解成方格圖的一種變式應用，在方格圖的行與列中，數與數之間的關系與對比顯得一清二楚。如在100以內數的認識中（圖15），學生對表格進行觀察后按數序填數，再通過“橫看，豎看，斜看”等方式尋找數的排列規律，進而輕松理解十進制、數列的規律等內容。方格圖在教材中的“數學廣角———推理”這一單元中也可使用，以達到開拓學生思維的目的。

五、結語

方格圖不僅是解釋信息、連結具體形象和抽象思維的工具，也是構建知識、連結學生特質和學科本質的橋梁，為數學學習提供有效的操作平臺，使數學探究過程變得生動有趣。教師要學會從全新的視角探索方格圖的內涵，以發展的眼光看待方格圖的價值，并通過系統的梳理，深入研究、深刻理解方格圖的設計意圖，充分發揮它的作用，以幫助學生高效解決數學問題，培養數學思維能力，提高學生學習數學的主動性。

作者:趙紅霞 張雪 單位:石河子大學