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表內乘除法口算教學是小學數學義務教材第三冊的重點，又是學習多位數乘除法的基礎。對此我們作了以下初步的研究。

一、變“分散教學”為“集中教學”，變“注入式”教學為

“啟發式”教學

1988年以前，我們采取的是“分散教學”的常規教法。即按目前義務教材的編排形式（原現行教材與此基本相同），將表內乘除法分為表內乘法（一）（2—6的乘法口訣），表內除法（一）（有2—6的乘法口訣求商）與表內乘法和表內除法（7—9的乘法口訣和用口訣求商）進行教學。據我們十多年的教學實踐表明，這種“分散教學”的常規教法，對大面積提高表內乘除法口算教學的質量起了積極的促進作用。

1988年以后，我們開始采取“集中教學”的非常規教法，并對兩種教法作比較研究，逐步形成了有自己特色的口算訓練方法與理論。在“集中教學”中，我們對教材作了調整與組合，將表內乘除法分為表內乘法與表內除法兩塊進行教學，并以表內乘法的教學為重點。即把乘法口訣集中起來教學，將乘法與除法劃分開來教學，突出重點，以“乘”促“除”。由于表內除法是從表內乘法運算的可逆聯想著手進行的，它利用一句乘法口訣逆算的正遷移來口算同一被除數的一組除法。例如，18÷2＝？，想：二（）十八，商是幾；18÷9＝？，想（）九十八，商是幾。在掌握同一被除數的一組除法后，同樣的方法又有利于遷移到另一組除法運算中去。因此，以乘法九九口訣作為表內乘除法運算的主體結構，以“乘”促“除”，其心理學的依據就在于此。我們近五年來的研究表明：按“分散教學”形式進行表內乘除法教學約需60課時，而按“集中教學”形式進行教學只需35課時，大大節約了教學時間，且又可進一步提高表內乘除法口算教學的質量。

在表內乘法的教學中，較為普遍的教法是：根據乘法算式，由教師把乘法口訣編寫出來，再讓學生反復讀，僅從現象上揭示了編口訣的規律，割裂了乘法意義與編口訣規律的內在聯系，加重了學生記憶的負擔，應該說這是“注入式”的教學。

我們堅持采用“啟發式”教學，從實質上揭示編口訣的規律。例如，根據6×3＝18編口訣，先讓學生思考：“這個算式表示什么意思？”然后告訴學生：“為了很快地記住這個算式的結果，我們來編句口訣，因為這個算式表示‘三個六相加得十八’，所以它可簡化為‘三個六，十八’，再簡化一點，就是‘三六十八’。”這樣揭示，把乘法算式的意義與編口訣的規律有機結合起來，有利于口訣的記憶和運用。在教學乘法口訣前，我們預先在每個教室里掛出一張乘法口訣表（未學部分用紙蓋住，給每個學生發一張空白的乘法口訣表。教師教一組口訣，揭開一組；學生學一組口訣，填寫一組；激發了學生求知欲，并使學生較快地對口訣表形成完整的認識。在教學2—4的乘法口訣時，我們重點使學生理解口訣的來源和推導方法，組織學生討論各組口訣的編排特點，如每組口訣句數的特點，每組口訣中被乘數、乘數、積變化的特點，然后引導學生總結口訣的編寫方法。在教學5—9的乘法口訣時，開始逐步放手讓學生自編乘法口訣。這樣，不僅節省了教學時間，又有助于理解和記憶乘法口訣，并調動了學生智力活動的積極性和主動性。

二、針對口算能力形成的心理特征組織練習

學生表內乘除法口算能力形成的心理過程，可以分為三個階段。第一階段是能正確地以口訣為中介抽象地進行口算，能按照口算方法一步一步清晰地進行思考。口算的準確度，聯想思考方法的清晰度，是這個階段口算能力的主要特征。第二階段是降低意識口訣的清晰度，即減少想口訣所用的時間，提高口算的速度。能否簡縮聯想，提高口算速度，是這個階段口算能力的主要特征。第三階段是不用意識到口訣口算，使口算自動化。學生感知算式后，不再想口訣，就立即說出或寫出得數。不用意識到口訣口算，是這個階段口算能力的主要特征。

當學生的口算能力處于第一階段時，口算練習不宜多，口算速度要放慢，以確保口算的準確度，以及口算思考過程的清晰度。可多采用一些口算口答的形式，多讓學生講講口算思考的過程，務必使每個學生意識到算什么，怎么算以及為什么這么算。只有讓學生有了對口算方法清晰的聯想，才能為形成口算能力打下基礎。

當學生的口算能力處于第二階段時，應適當增加口算練習量，逐步提出限量口算的要求，并針對錯誤頻率高的算式進行重點練習。可多采用一些口算筆答的形式，多采用如聽算、口算表、口算練習冊等形式，還可以讓每個學生自制表內乘除法口算卡片，盡可能使人人在課內都有較多的練習機會，逐步使學生建立起算式與得數之間的直接聯系。

當學生的口算能力處于第三階段的前期時，這是從意識到口訣口算進入到不用意識到口訣口算的關鍵時期。這個時期口算的練習形式、口算的練習量、口算的練習次數、練習的時間等設計至關重要。我們采取的“短期集中訓練”的方法（本文第三單元將作具體介紹）極為有效，它可使每一個學生都較快地達到口算自動化的程度。在這一階段的后期，只需堅持每天一兩分鐘的口算基本訓練，或針對遺忘先快后慢的規律，采用分布練習法，先是隔日練習，再是隔周練習等等，直至學習多位數乘除法。這樣遺忘可以減少，已形成的口算能力也得到了鞏固。

三、消除口算能力形成中“高原現象”的實驗

我們在長期的教學實踐中發現：表內乘除法單元結束時，學生的口算能力基本上都能進入第二階段，各班的口算口答平均水平在每分鐘20題左右，口算筆答的平均水平在17題左右。但此后相當長的一段時間內，幾乎大部分班級的口算水平提高不快，甚至在期末結束時，較多學生的口算能力也未能進入熟練階段，未能實現口算的自動化，出現了教學心理學中所謂的“高原現象”。怎樣消除表內乘除法口算能力形成中的“高原現象”？我們的研究表明：應該實施“短期集中訓練”的方法。“短期集中訓練”，是指在短期內集中一定的時間，設計一定量的口算練習，以完成對學生口算訓練的強化過程。下面是1994年的實驗概況：

實驗前，我們預先測定了四個實驗班（對教材作調整組合，采取“集中教學”形式）和五個對照班（忠實于義務教材，采取“分散教學”形式）學完表內乘除法單元以后的口算能力，證實各班學生相應的口算能力均已進入“比較熟練”的層次，且實驗班與對照班的口算能力無顯著的差異（P＞0．05）。

實驗中，對照班每節課前讓學生口算筆答20題，課外練習40題，均不提口算時間的要求，并按此練習方式運作十二次，做到與實驗班的練習題量相等。實驗班則實施“短期集中訓練”的方法，即采用限時練習與不限時練習交替，少量練習與多量練習相結合的方法。每節課前讓學生限時二分內完成印有120題口算題的練習卷。其中，表內乘法占45％，表內除法占45％，20以內加減法占10％（主要是為了克服學生消極思維定勢而安排的）。限時二分的練習教師批改，采集數據后，再將練習卷發回給學生，讓他們在課外用不限時的方式做完剩下的口算題。按此練習方式運作六次后，非常顯著地提高了學生表內乘除法口算筆答的能力，見表1。兩個月之后進行的后效測試表明：雖然實驗班學生的口算能力略有下降，但與對照班的差異仍然十分顯著，見表2。

表1短期集中練習前后的口算成績比較

人數XSZ限時二訓練前21236．210．7分的口一天21．59…算訓練六天后21559．411．5限時四訓練前21274．819．3分口算一天13．66…100題訓練六天后21595．711．2

我們認為，限時（以二分左右為宜）少量口算的作用是：讓學生盡量壓縮、簡化思維的中間環節，充分發揮口算的速度。時間過長，則不易達到上述目的。不限時大量口算（即保證絕大部分學生有足夠的時間進行100題左右的口算）的作用是：提高學生的口算的熟練程度，培養學生良好的口算習慣。而習題量過少，則不能使學生大腦皮層的相應區域得到足夠的刺激。

表2實驗班與對照班的口算成績比較

人數XSZ限時二實驗班21552．412．0分的口5．14…算對照班24346．114．2限時四實驗班21592．413．5分口算2．73…100題對照班24388．616．3

四、實施分層成功教學

口算教學過程，在本質上是一種技能形成的過程，也一種認識的過程。這種過程只有以明確的具體的目標作為導向，才能順利、有效地進行。否則，師生雙方就象在黑暗中走路，只能摸索前進。因此，我們針對以往口算教學目標的抽象性與操作性的矛盾，以及它的高度統一性與學生發展的差異性的矛盾突出的情況，實施了分層成功教學。

首先，我們從學生原有的學習基礎出發，對不同層次的學生提出不同的教學目標，根據“上不封頂，下要保底”的原則，使高層學生在達到高層目標（即優秀標準）之后，還可向更高的目標沖擊；中層學生在達到中層目標（即良好標準）之后，還可向高層目標挺進；低層學生在達到基本目標（即及格標準）之后，還允許他們通過多次練習逐步達到中層或高層目標。我們實施的分層教學目標（見表3）的這種層次性與激勵性，既可使高層學生騰飛，也能使低層學生起跳，使每個學生都體驗到成功的愉悅。一般經一周左右的口算訓練，達到高層目標的人數將迅速增加，達到基本目標的人數將迅速減少，并最終消失。例如，1994年我校的215名二年級學生在經過十多次分層成功教學的“達標訓練”后，表內乘法口算口答水平的優秀率就由原來的13．2％提高到94．3％，其余5．7％的學生也達到了良好標準。

表3表內乘除法口算能力的量化標準項目口算口答（限時一分）口算筆答（限時一分）

及格標準良好標準優秀標準及格標準良好標準優秀標準表內乘12—1920—2930及10—1718—2425及除法以上以上

其次，我們及時發揮分層教學目標的反饋功能，使每一個學生明確下一步努力的方向與行動目標，逐步引導他們學會正確評價自己的學習成績。例如，在“短期集中訓練”時，每張練習卷的開始都印有這樣的一段話：“該生（）分內算對（）題，比上一次（），已達到（）標準，希望進一步努力，爭取更好成績。”括號內由教師根據學生的練習情況，并對照口算能力的量化標準填寫。每次練習后，引導學生從自己是否達到預期標準，離預期標準相差多少，這次練習是進步還是退步等幾方面，對自己的學習作出正確的評價。這樣評價，提供的反饋信息多，產生的動機強度大，口算教學的效果十分顯著。我們曾在1992年的表內乘除法“短期集中訓練”實驗中，讓甲、乙兩班學生所做的每張練習卷上都打印如上述的“一段話”，并注重及時反饋，而讓丙、丁兩班學生所做的每張練習卷上不打印這“一段話”，僅作一般性的批改。經過這樣的六次“集訓”之后，甲、乙兩班學生的口算筆答成績十分顯著地優于丙、丁兩班（P＜0．01）。這表明在分層成功教學中，多種反饋方式時的及時和綜合運用，是大幅度提高學生口算成績的十分重要的原因。

五、利用回歸分析法進行預測和控制

為了探求表內乘除法“短期集中訓練”的合理次數，我們曾從六個實驗班中排出高、中、低三層學生各一個，對他們進行了長達20次的“集訓”。下表就是這18個學生20次“集訓”的平均成績。

表418個學生集中訓練次數與相應的口算平均成績訓練次數限時一分鐘做對題數訓練次數限時一分鐘做對題數（X）（Y）（X）（Y）

118．11133．1

220．01232．8

321．51335．3

423．31434．1

525．51535．7

627．91635．4

730．11735．8

832．91836．9

931．21937．2

1032．82036．8

在表4中可以看出學生在1—8次集中訓練時進步較快，在9—20次時進步緩慢，有時還有下降。我們認為經過6次左右的集訓后，絕大部分學生口算筆答的能力都達到25題或以上的水平。個別學生仍有困難，可加強個別訓練，不宜搞一刀切。

根據表4中的數據，我們嘗試用回歸分析法建立集中訓練次數與相應的口算能力關系的數學表達式，以預測和控制實驗中的重要變量。

作散點圖后，從圖中看出可以直接用線性回歸一試：

（附圖{圖}）

這就得到了回歸直線方程y＝20．85＋0．95x，經相關性檢驗，證實直線回歸是十分顯著的（P＜0．01）。

建立回歸方程的目的是預測和控制。例如，某班學生進行了6次表內乘除法的集中訓練，即x［，0］＝6，則根據上面的方程可以算出：y［，0］＝a＋b，x［，0］≈26．55，即每分鐘大約可以算27題。如果還要知道預測的精度和范圍，可以查（n－2）個自由度的t分布臨界值表，計算出區間半徑d。

（附圖{圖}）

也就是說，如果某班學生進行了6次集中訓練，那么他們限時一分的口算筆答平均成績將在23題至31題之間，置信度是90％。例如，1994年我校的四個實驗班的限時一分的口算平均成績基本上都落在這個預測范圍之內。

至于控制問題，實際上是預報問題的反問題，即給出了對y［，0］的要求，反過去找滿足這種要求的的相應的x［，0］的范圍。例如，我們希望學生能達到每分口算25題的水平，那利用上面的回歸方程，通過相應的計算，就可以知道大約需要進行4次左右的集中訓練。這就可以避免盲目地增加訓練次數，加重學生的負擔了。

六、口算能力與其它數學能力的相關性分析

我們在以往的數學教學中發現，有些口算能力特別強的學生，他們的其它數學能力（如概括能力、推理能力、解答應用題的能力等，以下簡稱其他數學能力）并不特別強，甚至比較弱。例如，我校曾在1983年作過的表內乘除口算能力與其它數學能力的相關性研究中得出“口算能力特別的學生，他們的口算測試成績與其它數學能力測試成績呈較低相關現象”的結論。

自1988年以后，我校在表內乘除法口算教學中努力把意義、口算、應用題有機結合起來教學，使這三部分相互滲透，互促遷移，發揮整體功能，優化學生的認知結構，突出能力與智力的培養。我們從本校與某校的二年級學生中各選出36名表內乘除法口算能力最強的學生進行了數學能力測試，結果我校的36名學生的口算測試成績與其它數學能力測試成績的相關系數r［，1］＝0．68（P＜0．01），某校的36名學生兩者的相關系數r［，2］＝0．32（P＜0．01）。兩校學生的兩者相關系數r［，1］與r［，2］之間存在著顯著差異（P＜0．05）。測試結果表明：我校學生的口算能力與其它數學能力的相關程度較某校為高，并且我校學生在概括能力、推理能力、解答應用題能力等方面均明顯優于某校。

從表內乘除法口算能力與其它數學能力的相關性分析中，給我們的啟示是：

第一，學生的口算能力的潛力是很大的，訓練與不訓練大不一樣，訓練得合理與不合理更大不一樣，但不能片面追求口算能力。否則，會使教學精力過多地集中在口算上，勢必削弱其它數學能力的培養。

第二，對于口算能力同樣強的學生來說，不僅他們為此所用的時間不同，而且他們的其它數學能力也不同。關鍵是需要改進口算教學的方法，在塑造學生的認知結構與發展他們的數學思維上下功夫。

第三，在口算教學中必須研究學生如何學的心理活動，在學生發展可能性的基礎上，改革教材與教法，努力體現教學要主動促進學生發展的現代教學觀，從而加速學生智能的均衡發展。

參考資料：

潘菽主編：《教育心理學》，人民教育出版社，1980年版。

B．A．克魯切茨基：《中小學數學能力心理學》，教育科學出版社，1984年版。

趙裕春主編：《小學生數學能力的調查與評價（低年級）》，教育科學出版社，1987年版。