導語：如何才能寫好一篇三年級下冊數學教案，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

課題

幾分之一

課時

1

主備人

教學

目標

1、結合具體情境初步認識分數，能正確讀、寫幾分之一這樣的簡單分數。理解一個整體平分成幾個部分，每一部分就是整體的幾分之一。

2、通過分蛋糕、折紙等借助實物、圖形進行等分的活動，進一步加深對平分概念的認識，直觀認識幾分之一，初步認識分數單位。

3、初步體會數的發展源于生活、生產實際的需要，進而體會數學與日常生活的密切聯系，滲透數學文化，感知數學是有用的，有趣的。

教學

重難點

重點：借助實物、圖形，直觀認識幾分之一。

難點：幾分之一含義的理解和表述。

教學

資源

多媒體課件、各種圖形的紙片

學情

分析

本課內容是在整數知識的基礎上進行的，是數的概念一次擴展，這是學生在數學領域中第一次接觸“分數”這個概念，而且知識較為抽象，無論在意義和寫法上與整數都有很大差異，學生在生活中可能接觸過二分之一，三分之一等分數，但并不理解它的含義，初次學習分數可能會感到困難。分數的產生是從等分某個不可分的單位開始的，而加強直觀教學可以更好地幫助學生掌握概念、理解概念，所以我在教學設計中讓學生從實際生活經驗出發，在豐富的操作活動中主動的去獲取分數的相關知識。

教學

過程

一、創設情境、引入新知

1、創設情境

星期天小胖和小丁丁來到了郊外游玩，午餐時間到了，他們倆準備分帶來的食品，你們說他們怎么分才公平呢？（每人分的食品同樣多，每份分得同樣多）

數學上我們把這樣的分法叫什么？

“平均分”（板書：平均分）

2、課件出示：8個巧克力、4個蘋果、2瓶果汁、1個蛋糕

你能幫他們把食品平均分一分嗎？學生集體說。

二、動手操作、探究新知

（一）、初步感知

1、我們把蘋果和飲料都平均分好了，可是蛋糕只有一塊呀，還能平均分給2個人嗎？每人分到多少呢？

如果用這個圓代替蛋糕，你打算怎么分？（出示圓形紙片）

怎么知道把這塊蛋糕平均分成了兩塊？（把兩個半塊完全重合）

2、課件：把一個蛋糕平均分成2份，每人可以分到多少呢？(

這塊蛋糕的一半)

小結：看來啊，把一個蛋糕平均分成2份，每份都是這個蛋糕的一半。

3、這半個蛋糕是幾份中的一份？我們就說這半個蛋糕是這個蛋糕的二分之一，（課件）用表示。另外半個蛋糕是多少呢？也是這個蛋糕的。所以，小胖分到了多少個蛋糕呢？（二分之一個蛋糕）

4、這個數的寫法。先寫—，表示平均分，再寫2，表示平均分的份數，最后寫1，表示其中的1份。（板書）

學生跟著老師在黑板上書空二分之一的寫法。

5、現在誰能說說我們是怎么得到這個蛋糕的的呢？（指名說、同桌說）

（二）、折紙操作，鞏固的意義

1、剛才找到了蛋糕的，現在老師這里有一個長方形，它的你會表示嗎？你們手里也有一張長方形，聽清要求：先折一折，然后把它的涂上顏色，折的時候想一想，還有沒有不同折法？

（1）生獨立操作

（2）師把各種情況展示在黑板上。（準備）

師：老師看了一下有這三種情況，現在請這三位小朋友來介紹一下你把一個什么圖形平均分成幾份，每份是它的幾分之一？

2、同樣一個長方形有三種折法，為什么涂色部分都可以用表示？

練習

判斷：下面圖形里的涂色部分能不能用表示？（用手勢表示）

(

)

(

)

(

)

(

)

師：為什么不是？（指1、4）

（三）、再折分數，建構分數意義

1、師：剛才是2個小朋友分蛋糕，現在看看有幾個小朋友？（4個）一塊蛋糕4人平均分，看看小巧分得對不對？為什么？應該怎么分呢？（生折一折）

每個人分到了多少個蛋糕？每份是這個蛋糕的幾分之一？（強調：平均分）

我們是怎么得到這個蛋糕的呢？

怎么寫？學生書空。板書

2、折紙活動

師：我們繼續來找圖形中的，請你折出正方形紙片的并涂上顏色。

小組合作：拿出同樣大的正方形，折出不同的并涂上顏色，在相同的時間里看那組折出的方法最多。

問：（1）（學生介紹把正方形平均分成幾份，涂色部分是它的幾分之一？）

（2）在大家說的時候，老師收集了一些作品，（展示作品）為什么涂色部分形狀大小各不相同，卻都用表示？一樣大嗎？為什么？

（強調：整體一樣大，它的就一樣大）

小結：不論一個圖形的形狀、大小怎樣，只要把它平均分成四份，其中的一份就是它的。整個圖形大它的就大。

3、練一練

師：除了，，還有其它的幾分之一嗎？怎么寫？怎么讀？現在你能找到這張圓形紙片的

嗎，動手折一折。

（四）

觀察比較，總結概括幾分之一

1、填一填，想一想，什么是“幾分之一”？（完成任務單）

2、像，，……這樣的數都叫做什么數？請同學們打開數學書p44，在書上找一找。（板書）

3、揭示課題

今天我們就一起來認識“幾分之一”這樣的分數。（板書）

三、鞏固練習

1、說一說，寫一寫，在每一圖形中，涂色部分是整體的幾分之一？（書上練習）

2、判斷下列各圖中表示涂色部分的分數是否正確，說說為什么？（書上練習）

3、（1）把一根繩子分成3段，每段是它的三分之一。

（2）九分之一表示將一個整體平均分成九個部分，取其中的一部分。

3、下面的畫面讓你聯想到了幾分之一？（機動）

法國國旗

巧克力

法國國旗：哪一部分是法國國旗的。（小結：每一部分都是它的）

巧克力：

師：繼續觀察，（課件出示巧克力）聯想到幾分之一？

師：想想，要是每人吃這塊巧克力的，能分給幾個人（8人）

師：除了，你還能聯想到幾分之一？

師：也就意味著把這個巧克力平均分成幾份啊？

想想，每人吃這個巧克力的，這個巧克力又能分給幾人呢？

師：還能聯想到幾分之一？猜猜看他把這塊巧克力平均分成了幾份？（2份）每人吃這塊巧克力的，這塊巧克力能分給幾人呢？（2人）

小結：看來同樣一塊巧克力，觀察的角度不同，聯想到的分數也各不相同。

四、拓展延伸（機動）

介紹分數的歷史

五、總結

思維導圖設計

分數

篇2

教材分析：

“用兩位數乘”的主要內容是：整十數乘兩位數和兩位數乘兩、三位數。它是在學生能夠比較熟練地口算整十、整百數與一位數相乘，并且掌握了用一位數乘兩、三位數的基礎上進行教學的。教材在進行設計時，強調算法探究，重視對算理的剖析，使學生獲得多種算法的體驗。

學情分析：

學生已經學了整十數乘兩位數和兩位數乘兩、三位數，并且掌握了一些簡單的計算。因此本課主要是對這些內容進行復習，讓學生明白算理，形成知識網絡，并鞏固計算。

教學目標：

1、通過復習，鞏固所學的乘法口算和筆算的計算方法，并能正確熟練地計算。

2、使學生參與復習的全過程，通過合作交流等活動，使學生形成知識網絡。

3、在復習的過程中培養學生的遷移能力和探究能力。

教學重點：通過合作交流等活動，使學生形成知識網絡。

教學難點：通過合作交流等活動，使學生形成知識網絡。

課前準備：多媒體課件

教學過程：

一、舊知引入

1、出示20、14、124

、25、38、300六個數字，請任選兩個數字組成一個乘法算式。

預設：第一組

第二組

第三組

14×20=

38×14=

14×124=

38×20=

25×38=

38×124=

14×400=

14×25=

25×124=

……

學生邊說，教師邊板書。

2、觀察三組算式，有什么特點。

學生思考并反饋。

3、出示課題：用兩位數乘（復習）

二、知識梳理

（一）整十數與兩位數相乘

1、第一組中任選一題，并說說計算方法。

學生獨立完成并反饋。

預設1：推算

因為14×2=28，所以14×20=280。

預設2：豎式計算

1

4

×

2

2

8

2、14×400=可以怎么算呢？

學生反饋。

3、兩位數乘一位數是我們以前學過的知識，而兩位數乘整十數是我們這學期的知識，那么用學過的知識解決新的知識，體現了數學知識的連續性。

（二）兩位數與兩位數相乘

1、在第二組中任選一題，并用自己喜歡的方法做。

預設：38×14=

方法1：38×14

=38×10+38×4

=380+152

=532

方法2：

3

8

×1

4

1

5

2

表示什么？

3

8

表示什么？

5

3

2

表示什么？

討論：先算什么？再算什么？

提問：箭頭所指的數是怎么來的？

2、觀察并比較兩種算法，說說有什么關系。

3、小結：豎式計算是對橫式計算的優化。

（三）兩位數與三位數相乘

1、在第三組中任選一個算式。

預設：14×124=

方法1：14×124

=10×124+4×124

=1240+496

=1736

方法2：14×312=

1

2

4

×

1

4

4

9

6

1

2

4

1

7

3

6

2、小結：兩位數與三位數相乘是從兩位數與兩位數相乘遷移過來的。

三、練習鞏固

1、在下面的里填上合適的數（口答）

7

3

4

8

×2

9

×

9

9

6

5

7

……73×

3

6

7

2

……×

1

4

6

……73×

3

6

7

2

……×

2

1

1

7

……+

4

3

9

2

……+

2、下面各題錯在哪里？請改正。

4

5

3

5

×1

1

×

4

4

5

1

4

4

5

9

3、用你喜歡的方法做

17×36

21×107

4、解決問題

泰日學校最近在開展讀書節活動，活動之一是讓小朋友寫一句讀書名言，學校總共有28個班級，平均每班有43人，請問學校可以收到多少句讀書名言？

活動之二是每個班級可以向圖書館借23本書，三、四年級分別有6個班，請問三、四年級一共可以借多少本書？

四、課堂總結

本節課你掌握了哪些知識？

五、拓展延伸

活動之三是每人看一本書，小強在看一本200頁的書，每天看12頁，17天能看完嗎？

六、板書設計：

用兩位數乘（復習）

推算

兩位數與整十數相乘

遷移

豎式計算

橫式計算

兩位數與兩位數相乘

適時板書

遷移

豎式計算

橫式計算

兩位數與三位數相乘

豎式計算

教案設計說明：

本課是對兩位數乘法的復習，因此讓學生通過合作交流形成知識網絡是本課的重點和難點。在新課開始，我出示6個數，讓學生任選兩個數組成一個乘法算式，學生邊反饋我邊整理，形成三種類型的題目。學生發現這些都是兩位數的乘法，從而引出課題。

在知識梳理的過程中，我根據教材設計，先從兩位數與整十數相乘開始，學生一般會得出兩種計算方法：推算和豎式計算，在讓學生介紹算法的過程中，發現這兩個方法的算理是相通的，都是先用整十數十位上的數與兩位數相乘，再在乘得的積的末尾添上1個0。這里我把14×400兩位數與三位數相乘的算式也放在兩位數與整十數相乘這一組，因為學生同樣可以運用推算和豎式計算來得出結果。

篇3

第三課時

教學目標：

1.

經歷認識小數數位表和用直線

上的點表示小數等進一步認識小數的過

程。

2.

認識小數數位表、數位，理解小數部

分每個數位上的數表示的意義；掌

握小數的讀寫法；會用直線上的點表示小數，會比較小數的大小。

3.

主動參與數學活動，能在已有知識和

經驗的背景下自主學習，并獲得良

好的學習體驗。

重難點分析：

教學重點：

認識小數數位表和用直線上的點表示小數，掌握小數的讀寫法，會比較小數

的大小。

教學難點：

理解小數部分每個數位上的數表示的意義。

課前準備：

教具：PPT

，教案。

教學過程

設計說明

一、情境創設，新課講授

PPT

顯示課本

65

頁數位表。

把下面的數填在小數數位表中，并讀出來。

172.31

30.402

0.098

師：大家觀察

PPT

上的小數數位表，你能從表中發現

什么。（使學生初步了解小數數位表中小數部分的數位及

排序。趁學生觀察之際，教師在黑板上畫出小數數位表。）

教師出示教材中的三個數，提出在數位表中寫數的要

求，讓學生自主學習。（兩學生板演。）

交流學生寫數的結果。

師：數位表中每個數位上的數都有它們的意義，如十

分位上的

3

表示

3

個

0.1，記住

0.1

是十分位的計數單位。

（請學生回答剩下兩個數每個數位上數字的意義。）

師：前面我們學的小數大多數整數部位都是

0，下面

我們來看一下整數部分不為

的小數的讀法。

PPT

顯示文本：

172.31

讀作：一百七十二點三一。

30.402

讀作：三十點四零二

0．098

讀作：零點零九八

師小結：小數的讀法：整數部分按照整數的讀法來讀

（整數部分是

的讀作“零”），小數點讀作“點”，小數

部分順次讀出每個數位上的數字。

u

用直線上的表示小數

在黑板上畫出課本

65

頁數軸。

師：觀察數軸，說一說你發現了什么？

（使學生了解數軸上寫出了1到5的自然數，每兩個數中間有

10

小格或平均分成了

10

份。）

師：大家把書翻到

65

頁，把書上的四個數用直線上

的點來表示。（請一學生板演。）

師：大家把寫出來的數從大到小排下序。

二、試一試

在里填上>、

=。

10.99

2.11.85

0.080.1

1.621.602

具體說說比較的過程。先比較什么再比較什么。

三、練一練

課本

66

頁“練一練”1-4

題，學生獨立完成

，再交

流。

四、課后小結

篇4

第3課時

主備人:

武安小學校

周光碧

教學內容：

教材88頁例4及課堂活動，練十五的3、5、6、8、9題

教學目的：

1、能在具體的問題情境中找出等量關系，會根據等量關系列出形如ax?bx=c的方程。

2、進一步掌握列方程解決問題的基本方法。

3、在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，經歷將現實問題抽象成方程的過程，初步體驗方程的思想方法及價值。

教學重、難點：

進一步掌握列方程解決問題的基本方法，能在具體的情境中找出等量關系列方程。

教學準備：

多媒體課件

實物投影儀

教學過程：

一、課堂引入：

1、填空：

果園里有梨樹

x

棵，桃樹的棵樹是梨樹的

3

倍。桃樹有（

）棵，桃樹比梨樹多（

）棵。

2.

列式計算：

比一個數的2倍少10的數是70。求這個數是多少？

二、探索新知

1、學習例4

（1）出示例4：小剛和小明買一種奧運會紀念郵票。小剛買了8張，小明買了5張，小明比小剛少用了6元。每張郵票多少元？

你從題目中知道了那些數學信息？已知什么？要解決什么問題？

（2）小剛買郵票用的錢和小明買郵票用的錢有什么關系？你是怎么知道的？（小敏比小剛少用6元）

你能從這段話中找出數量之間的等量關系嗎？根據找出的等量關系可以列出怎樣的方程解答？

（3）學生自己嘗試解答。

（4）小組合作交流。

（5）匯報評議。請學生上臺板演自己的解法并說明思路。

等量關系：

小剛用的錢-小明用的錢=6元

解：設每張郵票x元

8x-5x=6

3x=6

X=2

答：每張郵票2元。

學生講完后，找讓其他學生說說思路。

2、完成課堂活動。

花卉園里中了牡丹和郁金香，牡丹的株數是郁金香的3倍

（1）牡丹和郁金香一共有240株，牡丹和郁金香各有多少株？

（2）牡丹比郁金香多240株，牡丹和郁金香各有多少株？

議一議：這里有兩個未知數，怎樣設？

試一試：列出方程，并解決。

三、達標訓練

練十五的3、5、6、8、9題

四、課堂總結

說說自己的收獲。

般列方程解應用題的一步驟是：

（1）

審：審請題意，弄清題目中的數量關系

（2）

設：用字母表示題目中的一個未知數

（3）

）找：找出題目中的等量關系

（4）

列：根據所設未知數和找出的等量關系列方程

（5）

解：解方程，求未知數

（6）

答：檢驗所求解，寫出答案

五、課后作業：

1、動物園里猴子的只數是熊貓的6倍，猴子比熊貓多30只，猴子與熊貓各有多少只？

2、學校買一臺電腦和一臺彩電共用去8860元，已知一臺電腦的價格是彩電的2倍，一臺電腦和一臺彩電各是多少元？

3、小芳和小蘭共儲蓄505元，小蘭儲蓄的錢數是小芳的3倍少15元，小蘭儲蓄多少元？

4、一個小組的同學湊錢買一件紀念品，如果每人出8元，就多3元錢；如果每人出7元錢，就少3元，這個小組有多少人？

板書設計：

列方程解決實際（3）

例4

解：設每張郵票x元。

8x-5x=6

3x=6

X=2

驗算：8x2-5x2=6

篇5

教學內容：教材第21頁的內容及練習六第1題有關題目和第3題。

教學目標：

1.理解并掌握連減試題的簡便算法，并能正確進行計算。

2.培養學生靈活計算的能力，發散學生的思維。

3.滲透“從特殊到一般，從一般到特殊”的數學思想。

教學重點：正確理解減法的運算性質。

教學難點：應用減法的性質，靈活、熟練地進行計算。

教學準備：多媒體課件。

教學過程

學生活動

（二次備課）

一、復習導入

1.(+)+=+(+)用了什么運算定律？

2.+=+用了什么運算定律？

師：看來同學們對加法運算定律掌握得很好，我們今天來了解一下減法有沒有什么特殊的運算性質。

二、預習反饋

點名讓學生匯報預習情況。（重點讓學生說說通過預習本節課要學習的內容，學到了哪些知識，還有哪些不明白的地方，有什么問題）

三、探索新知

出示教材第21頁例4。

1.學生自己列出算式，然后和同桌交流一下，說說自己是怎么想的。

2.獨立解答，指名匯報。可能有以下3種方法：

234-66-34

234-(66+34)

234-34-66

讓學生依次說清楚解題思路。

師：前兩種算法有什么相同之處與不同之處？

(前兩種算法中三個數分別相同，計算結果也相同；不同之處是運算符號不同，運算順序也不相同)

師：由于前兩個算式的結果相同，我們就可以用等號把它們連接起來，即

234-66-34=234-(66+34)

師：234-66-34變為234-(66+34)后，計算結果保持不變。這是一個偶然的巧合呢，還是在所有的三個數連減的運算中都存在？下面，我們就任意找三個整數來試一試。

師：通過剛才的驗證，說明一個數連續減去兩個數與這個數減去兩個減數的和，它們的結果總是相等的，這條規律是普遍存在的。你能用語言來概括這一規律嗎？小組進行討論。

小結：一個數連續減去兩個數，當兩個減數相加可以湊成整十、整百、整千時，我們可以先把兩個減數加起來，再從被減數里減去這兩個數的和，使計算簡便。有時，也要根據算式的特點，逆向運用減法的性質來簡便計算。

3.字母表示。

師：我們也可以用字母表示減法的這個運算性質。a-b-c=a-(b+c)

四、鞏固練習

1.教材第21頁做一做第1題。(獨立填寫，同桌互相檢查、訂正)

2.教材第21頁做一做第2題。(獨立計算，訂正時指名說說是怎么想的)

五、拓展提升

李阿姨在記錄一周的家庭開支時，發現一張購物

小票被弄臟了，你能幫李阿姨算一算被弄臟的價

錢嗎？

300-74-126-35=65（元）

六、課堂總結

通過本節課的學習，我們了解到一個數連續減去兩個數，可以先把這兩個減數加起來，再從被減數里減去它們的和。

七、作業布置

練習六第1題有關題目和第3題。

學生獨立完成并匯報。

教師根據學生預習的情況，有側重點地調整教學方案。

學生獨立完成例題，點名闡述解題思路。

學生舉例，師生一起驗證。

板書設計

連減的簡便計算

234-66-34

234-(66+34)

234-34-66

=168-34

=234-100

=200-66

=134

=134

=134

234-66-34=234-(66+34)

234-66-34=234-34-66

一個數連續減去兩個數，可以寫成減去這兩個減數的和。

字母表示：a-b-c=a-(b+c)。

教學反思

成功之處：在學習簡便計算方法的過程中,讓學生將自己的計算方法跟其他同學的方法進行比較,說說自己解法的優點、缺點,通過不同解法的比較來認識和選擇最簡便的方法。在教學要求上,因人而異,抓住知識的核心問題,引導學生主動探索，積極投入到知識的理解、對比和運用的過程中。

篇6

九年級數學

第二十八章

銳角三角函數

章末鞏固訓練

一、選擇題

1.

如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A間的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上一點C，測得PC＝100米，∠PCA＝35°，則小河寬PA等于(

)

A．100sin35°米

B．100sin55°米

C．100tan35°米

D．100tan55°米

2.

一個公共房門前的臺階高出地面1.2米，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數據如圖所示，則下列關系或說法正確的是(

)

A.

斜坡AB的坡度是10°

B.

斜坡AB的坡度是tan10°

C.

AC＝1.2tan10°

米

D.

AB＝

米

3.

(2019湖南湘西州)如圖，在ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分線EF交AC于點D，連接BD，若cos∠BDC=，則BC的長是

A．10

B．8

C．4

D．2

4.

（2020·揚州）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A、B、C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C、D.則sin∠ADC的值為

（

）

A.

B.

C.

D.

5.

在課題學習后，同學們想為教室窗戶設計一個遮陽篷，小明同學繪制的設計圖如圖所示，其中AB表示窗戶，且AB＝2.82米，BCD表示直角遮陽篷，已知當地一年中午時的太陽光與水平線CD的最小夾角α為18°，最大夾角β為66°，根據以上數據，計算出遮陽篷中CD的長約是(結果保留小數點后一位．參考數據：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)(

)

A．1.2米

B．1.5米

C．1.9米

D．2.5米

6.

（2020·咸寧）如圖，在矩形中，，，E是的中點，將沿直線翻折，點B落在點F處，連結，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.

7.

如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公大樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，則大樓AB的高度約為(精確到0.1米，參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(

)

A.

30.6

B.

32.1

C.

37.9

D.

39.4

8.

(2019·浙江杭州)如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(OCOB，點A，B，C，D，O在同一平面內)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，則點A到OC的距離等于

A．asinx+bsinx

B．acosx+bcosx

C．asinx+bcosx

D．acosx+bsinx

二、填空題

9.

如圖，在ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，則AC的長為________．

10.

齊河路路通電動車廠新開發的一種電動車如圖，它的大燈A射出的邊緣光線AB，AC與地面MN所夾的銳角分別為8°和10°，大燈A與地面的距離為1

m，則該車大燈照亮的寬度BC是________m．(不考慮其他因素，參考數據：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)

11.

某電動車廠新開發的一種電動車如圖7所示，它的大燈A射出的光線AB，AC與地面MN所夾的銳角分別為8°和10°，大燈A與地面的距離為1

m，則該車大燈照亮地面的寬度BC約是________m．(不考慮其他因素，結果保留小數點后一位．參考數據：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)

12.

如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時漁船與燈塔P的距離約為________海里．(結果取整數．參考數據：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

13.

如圖，在一次數學課外實踐活動中，小聰在距離旗桿10

m的A處測得旗桿頂端B的仰角為60°，測角儀高AD為1

m，則旗桿高BC為__________m．(結果保留根號)

14.

(2019江蘇宿遷)如圖，∠MAN=60°，若ABC的頂點B在射線AM上，且AB=2，點C在射線AN上運動，當ABC是銳角三角形時，BC的取值范圍是__________．

15.

（2020·杭州）如圖，已知AB是的直徑，BC與相切于點B，連接AC，OC．若，則________．

16.

【題目】（2020·哈爾濱）在ABC中，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，AD＝，CD＝1,則BC的長為

.

三、解答題

17.

某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關部門決定降低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶.

(1)求新坡面的坡角α；

(2)天橋底部的正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除？請說明理由．

18.

閱讀理解我們知道，直角三角形的邊角關系可用三角函數來描述，那么在任意三角形中，邊角之間是否也存在某種關系呢？如圖K－19－12，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所對的邊分別為a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，過點C作CDAB于點D，在RtADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝c－bcosA.

在RtBDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，

即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，

整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.

同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

(注：上述三個公式對直角三角形和鈍角三角形也成立，推理過程同上)

利用上述結論解答下列問題：

(1)在ABC中，∠A＝45°，b＝2

，c＝2，求a的長和∠C的度數；

(2)在ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的長．

19.

如圖，在ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交邊AB，BC于點D，E，連接AE.

(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度數；

(2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．

20.

如圖，AD是ABC的中線，tanB＝，cosC＝，AC＝.

求：(1)BC的長；

(2)sin∠ADC的值.

21.

如圖，某無人機于空中A處探測到目標B，D，從無人機A上看目標B，D的俯角分別為30°，60°，此時無人機的飛行高度AC為

60

m，隨后無人機從A處繼續水平飛行30

m到達A′處．

(1)求A，B之間的距離；

(2)求從無人機A′上看目標D的俯角的正切值．

22.

數學建模某工廠生產某種多功能兒童車，根據需要可變形為如圖12①所示的滑板車(示意圖)或圖②的自行車(示意圖)，已知前后車輪半徑相同，AD＝BD＝DE＝30

cm，CE＝40

cm，∠ABC＝53°，圖①中B，E，C三點共線，圖②中的座板DE與地面保持平行，則圖①變形到圖②后兩軸心BC的長度有沒有發生變化？若不變，請寫出BC的長度；若變化，請求出變化量．(參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

23.

(2019銅仁)如圖，A、B兩個小島相距10km，一架直升飛機由B島飛往A島，其飛行高度一直保持在海平面以上的hkm，當直升機飛到P處時，由P處測得B島和A島的俯角分別是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一點M都在同一個平面上，且M位于P的正下方，求h(結果取整數，≈1.732)

24.

閱讀材料：關于三角函數還有如下的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ

tan(α±β)＝

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，

例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋

根據以上閱讀材料，請選擇適當的公式計算下列問題：

(1)計算sin15°；

(2)某校在開展愛國主義教育活動中，來到烈士紀念碑前緬懷和紀念為國捐軀的戰士．李三同學想用所學知識來測量如圖紀念碑的高度，已知李三站在離紀念碑底7米的C處，在D點測得紀念碑碑頂的仰角為75°，DC為

米，請你幫助李三求出紀念碑的高度．

人教版

九年級數學

第二十八章

銳角三角函數

章末鞏固訓練-答案

一、選擇題

1.

【答案】C　[解析]

PAPB，PC＝100米，∠PCA＝35°，PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．

故選C.

2.

【答案】

B　【解析】斜坡AB的坡角是10°，選項A是錯誤的；坡度＝坡比＝坡角的正切，選項B是正確的；AC＝

米，選項C是錯誤的；AB＝

米，選項D是錯誤的．

3.

【答案】D

【解析】∠C=90°，cos∠BDC=，設CD=5x，BD=7x，BC=2x，

AB的垂直平分線EF交AC于點D，AD=BD=7x，AC=12x，

AC=12，x=1，BC=2；故選D．

4.

【答案】

B

【解析】本題考查了銳角三角函數的定義和圓周角的知識，解答本題的關鍵是利用圓周角定理把求∠ADC的正弦值轉化成求∠ABC的正弦值.連接AC、BC，∠ADC和∠ABC所對的弧長都是，根據圓周角定理知，∠ADC＝∠ABC，在RtACB中，根據銳角三角函數的定義知，sin∠ABC，AC＝2，CB＝3，AB，sin∠ABC，∠ADC的正弦值等于，因此本題選B．

5.

【答案】B　[解析]

設CD的長為x米．在RtBCD中，∠BDC＝α＝18°.

tan∠BDC＝，

BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.

在RtACD中，∠ADC＝β＝66°.

tan∠ADC＝，

AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.

AB＝AC－BC，

2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.

6.

【答案】C

【解析】本題考查了余弦的定義、等腰三角形的性質上、矩形的性質和折疊的性質，由折疊可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，點E是BC中點，，BE=CE=EF=，∠EFC=∠ECF，AE=，∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠AEB，==，因此本題選C．

7.

【答案】D　【解析】如解圖，設AB與DC的延長線交于點G，過點E作EFAB于點F，過點B作BHED于點H，則可得四邊形GDEF為矩形．在RtBCG中，BC＝12，iBC＝＝，∠BCG＝30°，BG＝6，CG＝6，BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∠AEF＝α＝45°，AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．

8.

【答案】D

【解析】如圖，過點A作AEOC于點E，作AFOB于點F，四邊形ABCD是矩形，∠ABC=90°，

∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∠EAB=x，∠FBA=x，AB=a，AD=b，FO=FB+BO=acosx+bsinx，

故選D．

二、填空題

9.

【答案】2　[解析]

過點A作ADBC，垂足為D，如圖所示．

設AC＝x，則AB＝x.

在RtACD中，AD＝AC·sinC＝x，

CD＝AC·cosC＝x.

在RtABD中，AB＝x，AD＝x，

BD＝＝x.

BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，

x＝2.

10.

【答案】1.4　【解析】如解圖，作ADMN于點D，由題意得，AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，BD＝＝＝7

m，CD＝＝＝＝5.6

m，BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4

m.

11.

【答案】1.6　[解析]

如圖，過點A作ADMN于點D.

由題意可得AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝90°，

BD＝≈，

CD＝≈，

BC＝BD－CD≈1.6(m)．

12.

【答案】11　【解析】∠A＝30°，PM＝PA＝9海里．∠B＝55°，

sinB＝，0.8＝，PB≈11海里．

13.

【答案】10＋1　【解析】如解圖，過點A作AEBC，垂足為點E，則AE＝CD＝10

m，在RtAEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10

m，BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.

14.

【答案】

【解析】如圖，過點B作BC1AN，垂足為C1，BC2AM，交AN于點C2，

在RtABC1中，AB=2，∠A=60°，∠ABC1=30°，AC1=AB=1，由勾股定理得：BC1=，在RtABC2中，AB=2，∠A=60°，∠AC2B=30°，AC2=4，由勾股定理得：BC2=2，當ABC是銳角三角形時，點C在C1C2上移動，此時

15.

【答案】

【解析】本題考查了銳角三角函數的意義，切線的性質，因為BC與O相切于點B，所以ABBC，所以∠ABC＝90°．在RtABC中，因為sin∠BAC＝，所以＝．設BC＝x，則AC＝3x．在RtABC中，由勾股定理得直徑AB＝＝＝，所以半徑OB＝．在RtOBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本題答案為．

16.

【答案】5或7

【解析】本題考查了特殊三角函數，三角形的高，因為鈍銳三角形的高的不同，此題有兩種情況，①點D在BC延長線上，在ABD中

tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD－

CD＝6－1＝5；②點D在BC上，在ABD中

tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD＋

CD＝6＋1＝7，因此本題答案為5或7．

三、解答題

17.

【答案】

解：(1)新坡面AC的坡度為1∶，

tanα＝＝，

α＝30°.(2分)

答：新坡面的坡角α的度數為30°.(3分)

(2)原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．

理由如下：

如解圖所示，過點C作CDAB，垂足為點D，

坡面BC的坡度為1∶1，

BD＝CD＝6米，(4分)

新坡面AC的坡度為1∶，

CD∶AD＝1∶，

AD＝6米，(6分)

AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墻PM不需拆除．

答：原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．(7分)

18.

【答案】

[解析]

(1)根據給出的公式，把已知條件代入計算，求出a的長，根據勾股定理的逆定理證明ABC是直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得到答案；

(2)把數據代入相應的公式，得到關于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．

解：(1)在ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2

)2＋22－2×2

×2×＝4，則a＝2(負值已舍)．

22＋22＝(2

)2，即a2＋c2＝b2，

ABC為直角三角形．

又a＝c＝2，∠C＝45°.

(2)b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，

c2－c＋1＝0，

解得c＝.

c＞a＞b，c＝.

19.

【答案】

解：(1)DE垂直平分AB，

EA＝EB，

∠EAB＝∠B＝25°.

又∠C＝90°，

∠CAE＝90°－25°－25°＝40°.

(2)∠C＝90°，

sin∠CAE＝＝.

CE＝2，AE＝3，AC＝.

EA＝EB＝3，BC＝5，

tanB＝＝.

20.

【答案】

[解析]

(1)過點A作AEBC于點E，根據cosC＝，求出∠C＝45°，根據AC＝，求出AE＝CE＝1，根據tanB＝，求出BE的長；

(2)根據AD是ABC的中線，求出CD的長，得到DE的長，進而求得sin∠ADC的值．

解：(1)如圖，過點A作AEBC于點E.

cosC＝，

∠C＝45°.

在RtACE中，CE＝AC·cosC＝×＝1，AE＝CE＝1.

在RtABE中，tanB＝，即＝，

BE＝3AE＝3，

BC＝BE＋CE＝4.

(2)AD是ABC的中線，CD＝BD＝2，

DE＝CD－CE＝1.

AEBC，DE＝AE，∠ADC＝45°，

sin∠ADC＝.

21.

【答案】

解：(1)如解圖，過點D作DEAA′于點E，由題意得，

AA′∥BC，

∠B＝∠FAB＝30°，(2分)

又AC＝60

m，

在RtABC中，sinB＝，即＝，

AB＝120

m.

答：A，B之間的距離為120

m．(4分)

(2)如解圖，連接A′D，作A′EBC交BC延長線于E，

AA′∥BC，∠ACB＝90°，

∠A′AC＝90°，(5分)

四邊形AA′EC為矩形，

A′E＝AC＝60

m，

又∠ADC＝∠FAD＝60°，

在RtADC中，

tan∠ADC＝，即＝，

CD＝20

m，(8分)

DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50

m，(10分)

tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，

答：從無人機A′上看目標D的俯角的正切值為.(12分)

22.

【答案】

解：圖①變形到圖②后兩軸心BC的長度發生了變化．

如圖①，過點D作DFBE于點F，則BE＝2BF.

由題意知BD＝DE＝30

cm，

BF＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，

BE＝2BF≈36(cm)，

則BC＝BE＋CE≈76(cm)．

如圖②，過點D作DMBC于點M，過點E作ENBC于點N，則四邊形DENM是矩形，

MN＝DE＝30

cm，EN＝DM.

在RtDBM中，BM＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，DM＝BD·sin∠ABC≈30×＝24(cm)，EN≈24

cm.

在RtCEN中，CE＝40

cm，

CN≈32

cm，

則BC≈18＋30＋32＝80(cm)．

80-76＝4(cm)．

故圖①變形到圖②后兩軸心BC的長度發生了改變，增加了約4

cm.

23.

【答案】

由題意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km，

在RtAPM和RtBPM中，tanA==，tanB==1，

AM==h，BM=h，

AM+BM=AB=10，h+h=10，

解得h=15–5≈6．

答：h約為6km．

24.

【答案】

解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)

＝×－×

＝.(4分)

(2)在RtBDE中，

∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，

tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，(5分)

BE＝14＋7，(6分)

又AE＝DC＝，