導(dǎo)語：如何才能寫好一篇數(shù)學(xué)建模的微分方程方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

摘 要：在“微分方程數(shù)值解”的教學(xué)過程中，選取一類典型的微分方程（如：熱傳導(dǎo)方程）作為重點進(jìn)行精講：首先講授該方程的建模思想、數(shù)值求解方法，再理論分析數(shù)值解法的穩(wěn)定性和收斂性，隨后詳細(xì)指導(dǎo)學(xué)生編程并上機實現(xiàn)數(shù)值解法，避免學(xué)生“雜而不精”；最后在課堂上會對多數(shù)微分方程進(jìn)行泛講，指導(dǎo)學(xué)生充分利用課余時間探索方程的相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：微分方程數(shù)值解 教學(xué)模式 教學(xué)實踐

中圖分類號：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（a）-0155-03

On the Teaching Program of “Numerical Solution of Differential Equation” Course

Jiang Yingjun

（Department of Mathematics and Science Computing，ChangshaUniversity of Science and Technology，Changsha Hu’nan，410004，China）

Abstract：A typical differential equation such as the heat conduction equation is firstly detailed，in the teaching process，with presentations of its modeling idea， numerical schemes，stability and convergence analysis for the schemes，and numerical tests；other differential equations are briefly presented afterwards；students are finally instructed to fully utilize their spare time to investigate results of the related equations，which helps to cultivate their self-study and innovation abilities.

Key Words：Numerical solution of differential equations；Teaching mode；Teaching practice

《微分方程數(shù)值解》是該校信息與計算科學(xué)專業(yè)高年級學(xué)生學(xué)習(xí)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課。信息與計算科學(xué)專業(yè)是教育部在1998年新設(shè)的一個專業(yè)，專業(yè)培養(yǎng)目的是培養(yǎng)具有一定的科學(xué)計算能力、信息處理知識和技術(shù)的復(fù)合型人才。信息與計算科學(xué)專業(yè)開設(shè)了數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)等重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，還開設(shè)了C語言、數(shù)值分析、數(shù)學(xué)實驗等科學(xué)計算相關(guān)課程。這些課程都為將學(xué)生培養(yǎng)成復(fù)合型人才打好了基礎(chǔ)。《微分方程數(shù)值解》是以上述課程為基礎(chǔ)開設(shè)的具有理工融合的專業(yè)課程，該課程有較強的實際應(yīng)用背景，是訓(xùn)練應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)工具解決實際問題的重要課程，也是將學(xué)生培養(yǎng)成應(yīng)用型人才的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為提高教學(xué)效率，許多一線教育工作者撰文對《微分方程數(shù)值解》課程的教學(xué)進(jìn)行了探討[3-6]。

近年來在《微分方程數(shù)值解》課程的教學(xué)方法與教學(xué)手段改革方面有了很大進(jìn)步，形成一定的教學(xué)思想和指導(dǎo)方針，但還未達(dá)到理想的教學(xué)效果，主要原因有：（1）課時偏少（48課時）；（2）課程理論性強，公式推導(dǎo)煩瑣；（3）缺乏實際應(yīng)用背景介紹。為了在有限的課堂教學(xué)時間內(nèi)達(dá)到理想的學(xué)習(xí)效果，提出將整個教學(xué)分成兩個環(huán)節(jié)：（1）對某一方程精講，選取一種典型微分方程，詳細(xì)講解該方程的建模思想，數(shù)值解法，理論分析，并指導(dǎo)學(xué)生在計算機上實現(xiàn)算法；（2）對多種方程泛講。對大部分微分方程僅講解對應(yīng)的數(shù)值方法和理論分析，充分利用課余時間結(jié)合課堂時間，指導(dǎo)學(xué)生自主完成從建模到上機完整的學(xué)習(xí)過程。

1 某一方程的詳細(xì)講解

在《微分方程數(shù)值解》這門課程之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)到了的很多有用的數(shù)學(xué)工具，但都只停留在理論層面上，還不能有效地使用。筆者認(rèn)為，講好《微分方程數(shù)值解》這門課的一個關(guān)鍵任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生熟練使用數(shù)學(xué)工具的能力。此課程所涉及方程眾多，但基本的建模思想、數(shù)值解法和理論分析所使用數(shù)學(xué)工具是相同的。主張先對一種方程進(jìn)行全面講述，使學(xué)生學(xué)會使用數(shù)學(xué)工具完成：（1）建模獲得微分方程；（2）設(shè)計方程的數(shù)值解法；（3）理論分析數(shù)值解法的穩(wěn)定性和收斂性；（4）在計算機上實現(xiàn)算法。在學(xué)生真正掌握相關(guān)數(shù)學(xué)工具的使用方法后，再對其他的方程進(jìn)行泛講，以學(xué)生為主體進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問題。

拋物型微分方程的建模思想和數(shù)值求解均具有普遍的代表性，這里建議針對此類微分方程進(jìn)行精講。下面詳細(xì)闡述實際操作過程，相關(guān)建模過程請參考文獻(xiàn)[1]，數(shù)值解法和理論分析請參考文獻(xiàn)[2]。

1.1 建模獲得方程

課程教學(xué)中溶入數(shù)學(xué)建模思想，不但可以培養(yǎng)學(xué)生建模的能力，還能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。值得一提的是，信計專業(yè)的學(xué)生熟悉使用定積分元素法計算許多物理量，但并未使用過此方法通過物理建模獲得微分方程。只要適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生即能掌握通過建模獲得微分方程的方法，所需的前期預(yù)備知識為微積分和熱學(xué)物理。針對三維的熱傳導(dǎo)問題（也可選取氣體擴(kuò)散問題）進(jìn)行建模為例。將一空間體置于空間直角坐標(biāo)系中，通過物理建模得到溫度分布所滿足的微分方程。設(shè)置物理參數(shù)：

2 多種方程的泛講

《微分方程數(shù)值解》課程背景廣泛，理論豐富，實驗復(fù)雜，但各章內(nèi)容有很多相似之處。對一類方程進(jìn)行精細(xì)講解，強化培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)工具的能力和實踐能力，做到拋磚引玉。對其他的方程主要講解數(shù)值解法和理論分析，更多的任務(wù)如建模、實驗等任務(wù)，指導(dǎo)學(xué)生獨立完成。對于泛講的內(nèi)容建議：（1）充分使用多媒體工具，如將課程內(nèi)容制作成若干10 min左右的小視頻微型課程；（2）介紹一些參考書供學(xué)生課后閱讀；（3）安排學(xué)生分組完成任務(wù)，可以將學(xué)習(xí)成績好的和差的分在一起，相互促進(jìn)；（4）考核成績以獨立完成任務(wù)的情況作為重要的評分標(biāo)準(zhǔn)。

3 結(jié)語

實現(xiàn)《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)的重要目標(biāo)，要求授課教師既要熟悉工科建模思想，又要有扎實的數(shù)學(xué)知識，還要有熟悉的計算機編程能力，在今后工作中要的培訓(xùn)教師達(dá)到相關(guān)的知識儲備。

參考文獻(xiàn)

[1] 谷超豪，李大潛，陳恕行.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：高等教育出版社出版，2012.

[2] 李榮華.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京：高等教育出版社出版，2005.

[3] 張宏偉.注重培養(yǎng)研究能力的5微分方程數(shù)值解法課程教學(xué)研究與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（6）：4-6.

[4] 楊韌，楊光崇，謝海英.微分方程數(shù)值解的教學(xué)研究與實踐[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（1）：124-125.

篇2

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；常微分方程；實際應(yīng)用

近年來，隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，高校的教育目標(biāo)逐漸由偏重于理論教學(xué)向?qū)嵺`教學(xué)以及創(chuàng)新模式教學(xué)方向發(fā)展.教師更加注重學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)建模是將實際問題與數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系的重要橋梁，借助數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，很多重要的實際應(yīng)用問題被巧妙解決.例如：廠房分配問題、原材料運輸路線問題以及商場選址問題等.常微分方程建模便是數(shù)學(xué)建模思想運用的一個重要類型.本文重點探索數(shù)學(xué)建模思想在常微分方程建模中的應(yīng)用.

一、常微分方程建模的主要方法

（一）根據(jù)實際問題包含的條件構(gòu)建常微分方程模型

像氣象學(xué)、天文學(xué)這類實際問題中，常常存在一些隱含的等量關(guān)系，為構(gòu)建常微分方程模型提供了必備的條件.例如：等角軌線，同已知曲線或者曲線族相交成給定角度的一條曲線.由此可知，等角軌線的切線同對應(yīng)的曲線或者曲線族的切線形成了一個給定的角度.這一關(guān)系，便可以構(gòu)建一個常微分方程.同時，這一條件還說明，等角軌線同曲線相交點的函數(shù)值是相等的，進(jìn)而可以構(gòu)建出有關(guān)等角軌線的柯西問題模型.

（二）借助基本定律或者公式構(gòu)建常微分方程模型

類似于物理學(xué)中的牛頓第二運動定律、虎克定律以及傅里葉傳熱定律的一些基本定律、公式，高校學(xué)生并不陌生.而在掌握這些定律、定理的具體應(yīng)用之后，便可以在解決實際問題時作為常微分方程建模的重要模型構(gòu)建條件.其實，很多實際問題都可以借助這些定律構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，例如人口的增長問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)問題以及生物學(xué)問題等.

（三）借助導(dǎo)數(shù)定義構(gòu)建常微分方程模型

導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個重要概念，其定義表示為：

dy1dx=limΔx0f（x+Δx）-f（x）1Δx=limΔx0Δy1Δx.

如果函數(shù)f（x）可微，則dy1dx在實際應(yīng)用中可記為y相對于x點的瞬時變化率.這一含義可以在很多實際問題解決中加以運用.例如：常見的人口問題，人們在對人口進(jìn)行統(tǒng)計的過程中，常常會計算人口的增長速率；在各類放射元素衰變過程中，常常需要計算出其具體的衰變率；在經(jīng)濟(jì)問題中，也是常常會涉及一些“邊際問題”.類似的問題還有很多.可見，導(dǎo)數(shù)的定義在常微分方程建模中的應(yīng)用十分廣泛.

（四）借助微元法構(gòu)建常微分方程模型

在實際問題中，探尋微元之間的關(guān)系，并借助微元法構(gòu)建微元關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.通常，在一個實際問題中，涉及的變量滿足以下條件時，便可以構(gòu)建此類數(shù)學(xué)模型.

變量y是和自變量x在區(qū)間[a，b]內(nèi)有關(guān)的量，y在區(qū)間[a，b]內(nèi)有可加性，部分量Δyi≈f（ξi）.具體的構(gòu)建過程包括：根據(jù)實際問題的具體情況，確定一個自變量x，并將其變化區(qū)間確定為[a，b]，在選定的區(qū)間[a，b]中選取一個任意的小區(qū)間[x，x+dx]，計算出該區(qū)間部分量Δyi.，將Δyi表示成為一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f（x）與dx的乘積.即：Δyi≈f（x）dx，記f（x）dx=dy，其中，dy成為量y的微元.在等式兩邊同時積分，便可以得出變量y的值.這種方法被廣泛應(yīng)用到多個實際應(yīng)用領(lǐng)域.例如：空間解析幾何中曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面面積或體積等.在代數(shù)領(lǐng)域中，常常利用該方法解決流體混合問題.在物理方面，亦會借助該方法解決壓力、變力做功等問題.

（五） 模擬近似

當(dāng)遇到一些較為復(fù)雜，并且其中隱含的規(guī)律并不清晰的實際問題時，常常會借助模擬近似法構(gòu)建常微分方程模型.此類模型在建立的過程中，常常事先做一些合理的假設(shè)，凸顯所要研究的問題.由于建模過程中，涉及很多近似問題，所以要對所得解的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析，多與實際情況進(jìn)行比較，確保建立的數(shù)學(xué)模型符合實際情況.

二、 常微分方程建模實例分析

（一）一階線性常微分方程模型中的打假模型構(gòu)建

1.問題的提出

一直以來，打假問題是全社會共同關(guān)注的問題.隨著市場經(jīng)濟(jì)體系以及法律、法規(guī)的逐步完善，假冒偽劣產(chǎn)品已經(jīng)得到了有效的遏制，但是仍有很多的造假分子十分猖獗.為了有效地促進(jìn)打假工作的順利進(jìn)行，人們借助一階常微分方程模型的構(gòu)建，對打假過程進(jìn)行系統(tǒng)分析，并得出最優(yōu)的實施方案.

2.模型假設(shè)

（1）假設(shè)時刻x，f（x）為x時刻假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量，并假設(shè)f（x）為關(guān)于自變量x的連續(xù)函數(shù).（2）假設(shè)某區(qū)域偽劣產(chǎn)品的制造者數(shù)量相對穩(wěn)定.換句話就是在一定的時間內(nèi)，偽劣產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為常數(shù)a.（3）假設(shè)在一定的時間內(nèi)，打假掉的產(chǎn)品的數(shù)量為固定數(shù)b.（4）假設(shè)在一定時間內(nèi)，打假的產(chǎn)品數(shù)量同x時刻的假冒偽劣產(chǎn)品數(shù)量滿足正比例關(guān)系，即：kf（x），其中k為打假強度系數(shù)，該系數(shù)與打假資產(chǎn)成正比關(guān)系.（5）假設(shè)當(dāng)x=0時，市場中假冒偽劣產(chǎn)品的數(shù)量為f0.

3.模型構(gòu)建

根據(jù)微觀模型守恒定律，可以得出Δx時間間隔內(nèi)，具備：

f（x+Δx）-f（x）=[a-b-k·f（x）]Δx.

令c=a-b，則有：

f（x+Δx）-f（x）=[c-k·f（x）]Δx.

等式兩邊同時除以Δx，則：

f（x+Δx）-f（x）1Δx=c-k·f（x）.

令Δx0，便得出打假模型為：

df1dx=c-kf，

f0=f0.（1）

4.模型應(yīng)用

（1）當(dāng)c=0時，f（x）0，即在單位時間內(nèi)，偽劣假冒產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量和打假數(shù)量持平，社會中不存在假冒偽劣產(chǎn)品.

（2）當(dāng)a>0，k0時，ft+∞，說明當(dāng)對市場中的假冒偽劣產(chǎn)品放任不管時，存在于市場中的偽劣產(chǎn)品將嚴(yán)重破壞正常的市場秩序.

（3）這種變化過程同“生命周期”相類似.意思是說，在市場經(jīng)濟(jì)初期，造假并不多見.隨著市場經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，造假活動日益猖獗.當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)環(huán)境達(dá)到一定水平，這種問題將會得到有效遏制，最終歸向平衡.

（二）二階常微分方程建模中的追擊問題

1.問題提出

實際生活中，經(jīng)常會遇到追擊問題.例如：動物世界中的老虎和羊，戰(zhàn)場上的子彈與目標(biāo)以及生活中賽跑比賽等.

2.模型假設(shè)

（1）構(gòu)建一個坐標(biāo)系，假設(shè)馬從原點出發(fā)，并沿著y軸以速度a向前行進(jìn)，老虎在（b，0）點出發(fā)，并以速度c追擊馬.

（2）老虎和馬在同一時刻發(fā)現(xiàn)對方，并開始追擊過程.

（3）追擊者和被追擊者的方向一致.

（4）老虎的速度方向不斷變化，其追擊路線可認(rèn)為是一條光滑的曲線，設(shè)定為：f（x）.

（5）在t小時后，馬逃到了（0，at）處，老虎抵達(dá)（x，f（x））處.

3.模型構(gòu)建

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得出：

df1dx=f-at1x.（2）

即：

xf′-f=-at.

分別對x兩邊求導(dǎo)，由已知ds1dt=v，以及弧微分公式ds=1+（f′）2dx，得出：

xf″=a1v1+（f′）2.

即老虎追馬的運動軌跡模型.

某些類型的跟蹤導(dǎo)彈對目標(biāo)追擊的數(shù)學(xué)模型與上述老虎和馬追逃的數(shù)學(xué)模型相似，根據(jù)追擊者和被追擊者的距離以及被追擊者的逃亡范圍，通過調(diào)整速度即可追上.

三、結(jié)論

數(shù)學(xué)建模思想的龐大功效已經(jīng)逐漸為人們所認(rèn)可.常微分方程建模是一種常見的數(shù)學(xué)模型，其能夠有效解決多領(lǐng)域內(nèi)的多種實際問題.本文僅從幾個方面進(jìn)行分析，希望能夠?qū)ο嚓P(guān)的研究工作者提供一些參考資料.

【參考文獻(xiàn)】

＼[1＼] 李明.將數(shù)學(xué)建模的思想融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)＼[D＼]. 首都師范大學(xué)，2009.

＼[2＼]湯宇峰.數(shù)學(xué)建模在供應(yīng)鏈管理中的應(yīng)用研究＼[D＼].清華大學(xué)，2008.

＼[3＼]朱鐵軍.數(shù)學(xué)建模思想融入解析幾何教學(xué)的實踐研究＼[D＼].東北師范大學(xué)，2009.

＼[4＼]倪興.常微分方程數(shù)值解法及其應(yīng)用＼[D＼].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010.

＼[5＼]勾立業(yè).高等數(shù)學(xué)建模教育研究＼[D＼].吉林大學(xué)，2007.

＼[6＼]張宏偉.數(shù)學(xué)建模中的動態(tài)規(guī)劃問題＼[D＼].東北師范大學(xué)，2008.

＼[7＼]宋丹萍.在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想＼[J＼].科技資訊，2008（36）.

篇3

Abstract： Firstly， the significance of integrating ideas of mathematical modeling into the content of higher mathematics course is discussed. Then starting from the basic concept and basic theorem of higher mathematics， it through concrete example shows how to blend mathematical modeling case in higher mathematics teaching. Finally， typical cases according to the content of higher mathematics are given.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；微分方程；零點定理

Key words： mathematical modeling；higher mathematics；differential equation；zero point theorem

中圖分類號：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）03-0258-02

0 引言

高等數(shù)學(xué)課程[1]是數(shù)學(xué)類主干課程的核心，長期以來，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教材大部分內(nèi)容講解概念、定理、推論及公式，教學(xué)上一味強調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和邏輯性、抽象性，讓學(xué)生感到似乎數(shù)學(xué)離我們很遠(yuǎn)，甚至有學(xué)了也沒有什么用的錯誤想法，而數(shù)學(xué)建模正是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論知識與實際應(yīng)用問題的橋梁，反映數(shù)學(xué)知識在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，所以我們教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要不斷滲透數(shù)學(xué)建模思想。中國科學(xué)院院士李大潛曾提出“將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)類主干課程教學(xué)中”[2]。合理安排數(shù)學(xué)建模案例是數(shù)學(xué)建模的思想與方法融入到高等數(shù)學(xué)中的具體實踐[3，4]，譬如，減肥模型、銷售模型、人口模型、傳染病模型等，讓學(xué)生帶著較愉悅的心情實實在在體會到所學(xué)數(shù)學(xué)知識與日常生活與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的密不可分性，使學(xué)生在分析實際數(shù)學(xué)建模案例過程中體會數(shù)學(xué)的樂趣與應(yīng)用價值，以培養(yǎng)學(xué)生解決實際應(yīng)用問題能力。因此，將數(shù)學(xué)建模案例融入在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的意義。究竟如何將數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)相融合呢？

1 在高等數(shù)學(xué)的概念引入中滲透數(shù)學(xué)建模思想

高等數(shù)學(xué)的概念一般都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，本身這一過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，因此，我們在引入概念時，借助概念產(chǎn)生的來源背景和實際生活中的實際例子，對其抽象、概括、歸納求解自然而然引出概念，使學(xué)生實實在在感受到數(shù)學(xué)的作用，數(shù)學(xué)就在我們身邊。

案例1 微分方程的概念

問題引入： 刑事偵察中死亡時間的鑒定

問題提出：當(dāng)一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從最初的37℃按照牛頓冷卻定律（物體在空氣中的冷卻速度正比于物體溫度與空氣溫度差）開始下降，假定兩小時后尸體溫度降為35℃，并且假設(shè)室溫保持20℃不變。試求尸體溫度H隨時間t的變化規(guī)律。如果法醫(yī)下午4：00到達(dá)現(xiàn)場測得尸體溫度為30℃，試確定受害人的死亡時間。

問題分析：牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比，現(xiàn)將牛頓冷卻定律應(yīng)用于刑事偵察中死亡時間的鑒定。

模型建立： 設(shè)尸體的溫度為H（t）（t從謀殺死起），運用牛頓冷卻定律得尸體溫度變化速度■=-k（H-20），這就是物體冷切過程的數(shù)學(xué)模型。我們得到了含有溫度H關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)的方程，可以請學(xué)生觀察這個方程與之前我們學(xué)習(xí)過的方程有什么異同呢？通過這個方程我們能解出關(guān)于H（t）的函數(shù)關(guān)系嗎？如果能解出來，方程的解是什么呢？如何解呢？通過這個問題我們可以首先引入微分方程的概念：含有未知函數(shù)H及它的一階導(dǎo)數(shù)■這樣的方程，我們稱為一階微分方程。

模型求解：確定了H和時間t的關(guān)系，我們需要從方程中解出H，如何求解該微分方程■=-k（H-20）呢？將方程改寫成■dH=-kdt這樣變量H和t就分離出來了，兩邊積分，得到？蘩■dH=？蘩-kdt，即ln（H-20）=-kt+lnC，H-20=Ce-kt。

由初始條件：t=0，H=37；t=2，H=35；得37-20=Ce■35-20=Ce■解得C=17k=0.0626即H=20+17e■。當(dāng)H=30；t≈8.48=8小時29分，謀殺時間大約為早上7點31分。

通過方程的求解過程進(jìn)一步引入可分離變量的一階微分方程的定義及解法：如果一個一階微分方程能寫成g（y）dy=f（x）dx（或?qū)懗蓎′=φ（x）ψ（y））的形式，即能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy，另一端只含x的函數(shù)和dx，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。可分離變量的微分方程的解法：

第一步：分離變量，將方程寫成g（y）dy=f（x）dx的形式；

第二步：兩端積分？蘩g（y）dy=？蘩f（x）dx，設(shè)積分后得G（y）=F（x）+C；

第三步：求出由G（y）=F（x）+C所確定的隱函數(shù)y=？準(zhǔn)（x）或x=ψ（y）。

通過上述案例，我們發(fā)現(xiàn)在概念講授中選取恰當(dāng)?shù)谋尘安牧希湍芤龑?dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動，概念模型也將隨之自然而然地建立起來，這比直接用抽象的數(shù)學(xué)符號展現(xiàn)給學(xué)生要生動有趣得多。

2 在講授高等數(shù)學(xué)定理時引入建模案例

在講授高等數(shù)學(xué)中定理時，對學(xué)生來說，學(xué)過定理不知如何用及何時用，比如，零點定理、微分中值定理等。下面以零點定理為例進(jìn)行說明。

案例2 零點定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）·f（b）

問題引入：切分蛋糕問題

問題提出：媽媽在姐姐過生日這天做了一個邊界形狀任意的蛋糕。可是弟弟看了也想吃，于是姐姐指著蛋糕上的任一點，要求媽媽從這一點切一刀，還要使切下的兩塊蛋糕面積相等，這下可愁壞了媽媽。大家?guī)蛬寢屜胍幌耄欢ù嬖谶^這一點的某一刀可以把蛋糕面積二等分嗎？

問題重述：一塊邊界形狀任意的蛋糕，過上面任意一點是否可以把蛋糕分成兩塊面積相等的部分。

問題分析：這個問題可以歸結(jié)為平面幾何問題，即把一個封閉圖形二等分。

模型假設(shè)：是平放在桌面上的，蛋糕表面與水平面是平行的。

模型建立：已知平面上有一條封閉曲線，形狀任意，但沒有交叉點，P是曲線所圍成的圖形上任意一點。求證：過P點一定存在著一條能夠?qū)D形面積二等分的直線L。

符號說明：P是曲線所圍成的圖形上一點；L為過P點的任意一直線；S1，S2表示直線L將曲線所圍圖形分為兩部分的面積；α0為直線L與X軸的初始交角。

模型求解：如果S1=S2，則L即是所要找的直線，現(xiàn)在，考慮S1≠S2的情況，假設(shè)S1S2同理）。點P為旋轉(zhuǎn)中心，直線L按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則面積S1，S2依賴于角α連續(xù)地變化，即S1=S1（α），S2=S2（α）都是關(guān)于角α的連續(xù)函數(shù)。

令f（α）=S1（α）-S2（α），則f（α）是[α0，α0+π]上的連續(xù)函數(shù)，并且

f（α0）=S1（α0）-S2（α0）

f（α0+π）=S1（α0+π）-S2（α0+π）

=S2（α0）-S1（α0）>0

根據(jù)零點定理，存在一點ξ∈（α0，α0+π），使得f（ξ）=S1（ξ）-S2（ξ）=0，即S1（ξ）=S2（ξ）。

模型結(jié)論：由幾何問題的證明可知，過蛋糕表面上任意一點，一定存在著一條直線L能將這蛋糕切成面積相等的兩塊。

模型評價：上述模型的建立和求解并沒有解決如何實際操作把一塊蛋糕二等分，但是它從理論上證明了這塊蛋糕被二等分的可能性，此模型可以分析其他類似問題，具有一定的推廣價值。

3 結(jié)束語

為了更好地使數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，有必要在教材中附上應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的優(yōu)秀案例，在課堂教學(xué)中，以具體案例作為教學(xué)內(nèi)容，通過具體問題的建模范例，介紹數(shù)學(xué)建模的思想方法，如表1。

總之，只要我們在平時的教學(xué)中，把數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)建模有機地結(jié)合起來，在教學(xué)的每一環(huán)節(jié)適時適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)建模思想，可以提高學(xué)生的各方面能力，有助于他們更好的學(xué)好專業(yè)課，更有利于今后適應(yīng)時代對人才的需要。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2007：23-24.

[2]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)教學(xué)，2006（1）：9-11.

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【關(guān)鍵詞】常微分方程 應(yīng)用能力 改革方法

【中圖分類號】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10 -0182-02

1 常微分方程課程教學(xué)現(xiàn)狀

常微分方程是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，有著廣泛的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的一個重要組成部分。它是眾多精確社會科學(xué)、自然科學(xué)中表述基本定律和各種問題的基本工具之一；從誕生之日起，它日益成為人類認(rèn)識自然、改造自然的有力工具；自動控制、電子技術(shù)、力學(xué)、生物學(xué)、海洋學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個學(xué)科的科研人員都把它作為必需的研究工具。常微分方程為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用，它是學(xué)習(xí)偏微分方程、微分幾何等相關(guān)課程的基礎(chǔ)；它所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)分析思想、邏輯推理方法以及處理問題的技巧，在整個大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都起著奠基作用；常微分方程模型是數(shù)學(xué)建模的重要內(nèi)容之一，也是部分碩士研究生入學(xué)復(fù)試的筆試內(nèi)容。因此，伴隨著數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會中的作用和地位的不斷提高，常微分方程課程也越來越受到重視。

現(xiàn)實中，常微分方程課程教學(xué)略顯枯燥，部分學(xué)生不愿意學(xué)，即便掌握了充足的理論，也缺少解決問題的能力。隨著教學(xué)改革的不斷深入，專業(yè)課程的課時相對減少，內(nèi)容卻相對增加，這對常微分方程教學(xué)有不小的負(fù)面影響。由于高校擴(kuò)招，使得學(xué)生整體素質(zhì)下降，部分學(xué)生接受新知識的能力下降，再加上受一些不正確思想的誤導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性不足、積極性不高、知識融會貫通的能力較差。教師對教學(xué)內(nèi)容的處理不夠得當(dāng)，忽視了相關(guān)課程知識間的聯(lián)系，教學(xué)方式和教學(xué)手段的使用不夠恰當(dāng)，不能調(diào)動學(xué)生主動探究知識、獲取知識、分析問題、解決問題的積極性，同時也忽略了學(xué)生能力、素質(zhì)的培養(yǎng)。教學(xué)中缺乏數(shù)學(xué)思想方法的滲透，不利于學(xué)生創(chuàng)新意識及應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高。

應(yīng)用人才培養(yǎng)已成為國家人才培養(yǎng)戰(zhàn)略的重點之一。數(shù)學(xué)系在課程教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力是一個緊迫而必須回答好的問題。數(shù)學(xué)系，具有自己的課程特點和培養(yǎng)目標(biāo)，學(xué)生應(yīng)該具有獨特的應(yīng)用能力。

1. 通過數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力。數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，除了使這一工具更加有力之外，重要的是使用這一工具去解決實際問題。數(shù)學(xué)在物理、生物、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等方面已經(jīng)有了很多的應(yīng)用分支。學(xué)生應(yīng)該具有數(shù)學(xué)建模的能力，對相關(guān)其他專業(yè)知識了解之后，可以迅速建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行分析或數(shù)值模擬，給出解決方案。

2. 運用數(shù)學(xué)軟件解決實際問題的能力。隨著計算機的發(fā)展，很多問題都可以借助計算機加以解決，對較復(fù)雜的問題需要使用專業(yè)軟件，并需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)某绦蛟O(shè)計。數(shù)學(xué)系的學(xué)生要掌握較專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，熟悉程序設(shè)計，對一些實際問題可以編寫適當(dāng)?shù)某绦蚶脭?shù)學(xué)軟件迅速解決。

3. 傳授數(shù)學(xué)知識的能力。除了口語、板書、課件設(shè)計與制作、課堂組織等教師的基本能力之外，還要熟悉專業(yè)知識的脈絡(luò)，了解學(xué)習(xí)中的思維過程，據(jù)此設(shè)計出合理的教學(xué)方案并實施。

常微分方程作為數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課程，具有很強的應(yīng)用性，所以責(zé)無旁貸的要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。高校課程改革正風(fēng)起云涌，人們正改變傳統(tǒng)的授課方式，積極探索科學(xué)、高效、目的明確的授課方式。四川大學(xué)的張偉年把教學(xué)內(nèi)容和重點同當(dāng)今微分方程發(fā)展主流及非線性科學(xué)飛速發(fā)展實際相結(jié)合，同時實行雙語教學(xué)，多媒體教學(xué)等，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力[1]。張紅雷從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和加強學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)等方面，探索常微分方程課程的教學(xué)改革[2]。儲亞偉等從教學(xué)觀念、內(nèi)容、方法、手段等方面探討了常微分方程課程的改革[3]。鐘秀蓉在分析常微分方程課程對自動化專業(yè)學(xué)生的重要性的基礎(chǔ)上，結(jié)合目前常微分方程的教學(xué)改革現(xiàn)狀，提出“兩重”和“四原則”的思想[4]。藍(lán)師義提出了教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法改革的一些設(shè)想和建議，以促進(jìn)大學(xué)生獨立思考能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量[5]。方輝平以建模的思想作為切入點，在常微分方程的教學(xué)內(nèi)容、方法和手段上進(jìn)行了探索和改革[6]。程國華把常微分方程分成若干模塊，將數(shù)學(xué)實驗、建模思想和方法融入常微分方程教學(xué)[7]。

如何學(xué)習(xí)常微分方程這門課程，如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如何提高學(xué)生的應(yīng)用能力，如何促進(jìn)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和提高是每位任課教師都應(yīng)思考的問題。

2 常微分課程中應(yīng)用能力的培養(yǎng)

2.1 結(jié)合實際應(yīng)用

在講授常微分方程的過程中，教師應(yīng)引入一些實際問題，多介紹一些微分方程的來源與應(yīng)用背景，讓學(xué)生認(rèn)識到微分方程的重要性及其廣泛的應(yīng)用性，感受到常微分方程的魅力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣和信心。這樣，既鞏固了課堂的理論知識，降低了理論講解的枯燥性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又增強了學(xué)生的應(yīng)用能力。

在常微分方程課程中可以引入傳染病模型，分析其變化規(guī)律。設(shè)時刻t的健康人數(shù)為y（t），染病人數(shù)為x（t）。假設(shè)傳染病傳播期間總?cè)藬?shù)不變，設(shè)為n，則有x（t）+y（t）=n。在單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時的健康人數(shù)成正比，設(shè)比例常數(shù)為k，稱為傳染系數(shù)。于是

=ky（t）xt

或

=kx（n-x）

這個模型稱為SI模型，是伯努利方程，可以解出這個方程并通過它的解分析疾病的流行規(guī)律。這樣不僅開闊了學(xué)生的視野，還讓學(xué)生經(jīng)歷了用所學(xué)知識解決實際問題的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

類似的，針對我國2011年進(jìn)行的人口普查，可以引入Malthus模型、Logistic模型等人口模型預(yù)測人口的發(fā)展趨勢；針對2008年SARS的傳播可以引入適當(dāng)?shù)哪Ｐ停⒔Y(jié)合實際數(shù)據(jù)，分析疾病的流行動態(tài)。

2.2 利用計算機輔助學(xué)習(xí)

隨著計算機的發(fā)展，產(chǎn)生了很多數(shù)學(xué)軟件，如Mathematica、MATLAB、Maple等，可以利用這些軟件輔助常微分方程的學(xué)習(xí)。一方面通過數(shù)值計算和繪圖迅速了解或探討某些常微分方程的性態(tài)；另一方面應(yīng)用軟件中符號計算功能可直接求解某些常微分方程。

Mathematica語言中，符號運算、數(shù)值計算及圖形繪制均有特色，特別是輸入顯示界面可以直接輸入及顯示人們習(xí)慣的數(shù)學(xué)符號，非常直觀。

如可按下面的過程求方程組 基解矩陣：

A={{2，1} {0，2}} 建立矩陣A；

Eigensystem[A] 求矩陣的特征值、特征向量；

Exp[A*t] 得到基解矩陣。

再如，常微分方程 可如下求解：

DSolve 。

此外，Mathematica語言在向量場、等高線、微分方程數(shù)值解及作圖、拉普拉斯變換等問題上都可以很方便應(yīng)用。

2.3 整合課本內(nèi)容，讓學(xué)生對知識有整體掌握

不要拘泥于教材的內(nèi)容，可以從課外找出相應(yīng)問題作為例題，這樣會擴(kuò)大學(xué)生的知識范圍，吸引學(xué)生的注意力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力。

對教材中的一些內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，例如，由于高階微分方程與線性微分方程組在可解的意義下是等價的，可以把高階線性微分方程解的存在唯一性定理及其基本理論與一階線性微分方程組的相應(yīng)內(nèi)容放到一起，它們解的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)也基本相同。經(jīng)過對比講解可以指出它們的異同，站在更高處審視所學(xué)的知識，這樣這部分內(nèi)容能較容易地被學(xué)生掌握，同時還能解決學(xué)時少，課堂效率低的問題。

可以以解決實際問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生建立學(xué)習(xí)團(tuán)隊，通過自身或團(tuán)隊開展發(fā)掘、調(diào)查、訪問、資料收集、操作等多樣的學(xué)習(xí)活動，分析、解決問題，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新能力。

2.4 利用現(xiàn)代教學(xué)手段，提高教學(xué)效果

隨著科技的發(fā)展，各種現(xiàn)代教育技術(shù)異彩紛呈。作為現(xiàn)代教育技術(shù)典型代表的多媒體輔助教學(xué)，有利于提高課堂的教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。但多媒體教學(xué)也有操作速度快、學(xué)生反映跟不上等弊端。對于常微分方程教學(xué)，在傳授知識的同時，不可缺少的是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程，推理的每一步都是對學(xué)生思維的訓(xùn)練過程，如果把內(nèi)容一股腦地全顯示出來，這很難給人留下深刻印象，簡化了學(xué)生對知識的思維過程，抑制了學(xué)生的思維能力，效果較差。因此，為了提高教學(xué)效果，教師可將板書和多媒體結(jié)合使用，在需要推導(dǎo)的時候使用板書，對只需要展示的內(nèi)容可事先做好課件。

通過建設(shè)課程網(wǎng)站，建立個人主頁、建立課程郵箱、設(shè)立網(wǎng)上討論區(qū)等方式，打破傳統(tǒng)的師生之間教與學(xué)的關(guān)系，增加學(xué)生主動學(xué)習(xí)的機會，建立平等討論、互相促進(jìn)的關(guān)系，開拓出新的教學(xué)空間。

2.5 授課過程中注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考

教師應(yīng)該授之以漁而非授之以魚。在常微分方程的教學(xué)過程中，教學(xué)工作是教會“如何把未知問題歸結(jié)為已知問題求解”的思想和方法，引導(dǎo)學(xué)生如何由已知探求未知知識，培養(yǎng)他們認(rèn)識問題、理解問題、解決問題的能力，同時他們也會領(lǐng)會知識的整體體系，達(dá)到融會貫通的目的。

2.6 改革考核方法，加強對學(xué)生學(xué)習(xí)效果檢測

考試是教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié)，是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)情況，評價教學(xué)質(zhì)量的手段。現(xiàn)行的閉卷考察方式更多考察的是記憶能力、知識本身、理論基礎(chǔ)而忽略了理解能力、智力因素、實踐能力，存在著弊端。選擇什么樣的考核方式對教學(xué)具有重要影響。常微分方程課程的考核可采取N+1的考核方式，可將常微分方程的考核分為平時到課率、期中考試成績、上機考試（如實驗設(shè)計能力的考核、計算機數(shù)學(xué)軟件使用等的考核），再加上期末理論考試成績。分別設(shè)置不同的權(quán)重，取綜合成績。這種考核方式，除了讓學(xué)生掌握課本的理論知識外，還注重學(xué)生平時各方面的表現(xiàn)以及各種能力的訓(xùn)練，有利于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張偉年.本科數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革與實踐.高等理科教育.2003（1）

[2] 張紅雷.信息與計算科學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革初探.徐州教育學(xué)院學(xué)報.2008（1）

[3] 儲亞偉，朱茱.高師本科常微分方程教學(xué)改革的探究.阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2008（3）

[4] 鐘秀蓉.本科自動化專業(yè)常微分方程教學(xué)之改革與實踐.內(nèi)江科技.2009（4）

[5] 藍(lán)師義.常微分方程教學(xué)改革的探索.廣西民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2009（3）

[6] 方輝平.常微分方程教學(xué)改革與實踐.滁州學(xué)院學(xué)報.2010（2）

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關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)實驗；教學(xué)改革

一、引言

“數(shù)值分析”是為我校機械工程、電氣工程、材料工程和化學(xué)與環(huán)境工程等專業(yè)的碩士研究生開設(shè)的一門學(xué)位課程，通常需要學(xué)生在本科階段學(xué)習(xí)過“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”及“常微分方程”三門課程。“數(shù)值分析”課程又為后續(xù)的“數(shù)學(xué)模型”“軟件工程”和“算法設(shè)計與分析”等課程奠定知識和方法論基礎(chǔ)。該課程涉及內(nèi)容較多，并具有很強的理論性和實踐性。隨著現(xiàn)代計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展以及社會對碩士人才培養(yǎng)提出的更高要求，如何采用有效的教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量已成為“數(shù)值分析”課程教學(xué)任務(wù)中不可回避的重要問題。為了培養(yǎng)和提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析以及解決問題的能力，為今后能夠順利擔(dān)負(fù)科研任務(wù)打下堅實的基礎(chǔ)，根據(jù)該課程的特點，融入數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)法，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其對教學(xué)內(nèi)容掌握得更加扎實，講解和實踐的案例還可以成為學(xué)生在將來從事科研活動時的重要參考資料。

二、“數(shù)值分析”課程的特點

國內(nèi)外為碩士生開設(shè)的數(shù)值分析理論及類似課程所采取的講授方法基本類似。教學(xué)模式或者較為注重計算公式的推導(dǎo)，或者偏重于具體算法的應(yīng)用。從教學(xué)方式上看，傳統(tǒng)的“注入式”教學(xué)模式仍占主導(dǎo)地位，這嚴(yán)重影響了研究生的個性培養(yǎng)、創(chuàng)新思維的訓(xùn)練。總體來說，該門課程的特點可以概括為以下兩點：（1）具有理論數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性；（2）應(yīng)用的廣泛性與實踐的高度技術(shù)性。

三、融合數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗教學(xué)法的內(nèi)涵與實例

（一）教學(xué)法的內(nèi)涵與作用

結(jié)合“數(shù)值分析”課程教學(xué)的特點，可以作出如下定義：融合數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗教學(xué)法是指在教師的策劃和指導(dǎo)下，基于教學(xué)創(chuàng)新理念，以提高學(xué)生分析解決問題的能力為目的，并以數(shù)值分析課程的知識結(jié)構(gòu)為主線，組織學(xué)生通過對具有代表性的數(shù)值分析模型的提出、原理的解釋、應(yīng)用領(lǐng)域的分析、思考、討論和交流等活動，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，加深對知識理解等的一種特定的教學(xué)方法。

該教學(xué)法是一種理論聯(lián)系實際，啟發(fā)式的教學(xué)過程。通過教師采用數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)來說明理論知識，通過實驗仿真，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析解決問題的能力。采用該教學(xué)法可以克服傳統(tǒng)教學(xué)中“教師主體”的模式缺點，使學(xué)生成為教學(xué)的中心，不僅不必強記定理公式，而且能夠使學(xué)生了解到實際問題的多選擇性和不確定性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

目前，我校進(jìn)行了研究生培養(yǎng)模式的改革，提高了要求，在這種情況下，傳統(tǒng)的培養(yǎng)方式及教學(xué)方式必須進(jìn)行改革，該教學(xué)法具備上述優(yōu)點，是一種非常適應(yīng)現(xiàn)代教學(xué)現(xiàn)實的方法。

（二）教學(xué)法的實例

目前的數(shù)值分析理論課程教學(xué)，只是在分析已有的模型，而對于模型的提出過程講授得較少，因此造成了學(xué)生的分析能力強于綜合能力。而學(xué)生在未來的科研工作中，對于綜合能力的要求要高于分析能力。所以講授數(shù)值分析模型的提出過程對培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力是十分有益的。在此筆者列舉教學(xué)實踐中的典型例子說明該教學(xué)法的優(yōu)點。

應(yīng)用實例：

在講授教材中“常微分方程初值問題數(shù)值解法”這部分的內(nèi)容時，教材上只是給出了微分方程的幾種數(shù)值方法及其對應(yīng)的誤差估計、收斂性和穩(wěn)定性，內(nèi)容較為晦澀難懂，學(xué)生往往不能理解常微分方程來自于哪些實際問題，特別不理解數(shù)值解的內(nèi)涵，于是筆者在講授該部分內(nèi)容時融入了數(shù)學(xué)建模的思想。為使學(xué)生理解數(shù)值解的內(nèi)涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等軟件做程序的編寫，完成數(shù)值解的求解及幾種方法解的圖形顯示，加深對該部分內(nèi)容的認(rèn)識和比較。

提出數(shù)學(xué)建模問題：食餌捕食者問題。

意大利生物學(xué)家D’Ancona發(fā)現(xiàn)：第一次世界大戰(zhàn)期間意大利阜姆港捕獲的鯊魚的比例有明顯的增加，如表1所示。

事實上，捕獲的各種魚的比例代表了漁場中各種魚的比例。戰(zhàn)爭中捕獲量會下降，而食用魚會增加，以此為生的鯊魚也同時增加。但是捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加，即對捕食者更加有利呢？

他無法解釋這個現(xiàn)象，于是求助于他的朋友，著名的意大利數(shù)學(xué)家Volterra。Volterra建立了一個簡單的數(shù)學(xué)模型，回答了D’Ancona的問題。

模型假設(shè)：

1.食餌增長規(guī)律遵循指數(shù)增長模型，相對增長率為r；

2.食餌的減小量與捕食者數(shù)量成正比，比例系數(shù)為a；

3.捕食者獨自存在時死亡率為d；

4.食餌的存在使捕食者死亡率的降低量與食餌數(shù)量成正比，系數(shù)為b。

通過上述教學(xué)案例的使用，使學(xué)生在學(xué)習(xí)常微分方程問題數(shù)值解的理論后，對一些實際問題，能夠建立微分方程組模型，并動手實驗給出方程組的數(shù)值解，加深對數(shù)值解的認(rèn)識，對數(shù)值解收斂性、誤差情況和穩(wěn)定性有具體的認(rèn)知，并進(jìn)一步通過圖形等方法對結(jié)果進(jìn)行驗證、解釋和分析。

通過3個教學(xué)循環(huán)的教學(xué)經(jīng)驗和多年的科研實踐經(jīng)驗，如果采用新教學(xué)法，可以顯著提高教學(xué)效果，并且可以引入現(xiàn)代科研領(lǐng)域的一些前沿內(nèi)容，推動教學(xué)改革的進(jìn)行。

在數(shù)值分析理論課程的教學(xué)活動中引入了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)法，對教學(xué)內(nèi)容及實踐活動進(jìn)行了總結(jié)，教學(xué)實踐活動表明該教學(xué)法能夠提高學(xué)生的獨立思考能力，解決問題的能力，使學(xué)生在理論知識和實踐能力方面達(dá)到了學(xué)以致用的效果，教學(xué)質(zhì)量得到了明顯提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙景中，吳勃英.關(guān)于數(shù)值分析教學(xué)的幾點探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21，（3）：28-30.

篇6

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 高等數(shù)學(xué) 課程教學(xué) 綜合素質(zhì)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號：1672-1578（2013）04-0050-02

大學(xué)數(shù)學(xué)教育的任務(wù)是通過數(shù)學(xué)的教學(xué)活動讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想和方法，并能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)忽略數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，重理論，輕應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)中很難將理論與實際問題結(jié)合起來，因而影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，缺乏學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和自覺性。數(shù)學(xué)建模不僅能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能有效提高學(xué)生的觀察力、想象力、邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。但是由于競賽規(guī)模限制，加上對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的要求比較高，專門的數(shù)學(xué)建模類課程并不適合大眾化的高等職業(yè)教育。要提高高職學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用能力，解決知識和實踐脫節(jié)的問題，在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想則成為一個理想的途徑和教學(xué)改革的方向。

1 數(shù)學(xué)建模對學(xué)生能力培養(yǎng)的重要意義

1.1培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用和分析能力

數(shù)學(xué)建模面對的是實際問題，一般沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，也沒有固定的求解方法，而且大多數(shù)不是單靠數(shù)學(xué)知識就可以解決的，它需要跨學(xué)科，跨專業(yè)的知識綜合在一起才能解決。這就需要學(xué)生綜合各方面知識，深入分析，從實際問題中抽象出合理的、簡化的數(shù)學(xué)模型，并創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)工具，尋求問題解決方法。在這個過程中，綜合知識運用能力和分析解決問題能力會得到顯著提高。

1.2激發(fā)學(xué)生的參與探索的興趣

數(shù)學(xué)建模是實際問題經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕⒊橄蠖纬蓴?shù)學(xué)公式、方程、函數(shù)式或幾何問題等，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，所以學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)建模，充分體會到數(shù)學(xué)本身就是刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型，感受到數(shù)學(xué)的無處不在，數(shù)學(xué)思想和方法的無所不能；同時也體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。建模過程充分調(diào)動學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的積極性和主動性，激發(fā)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識和方法應(yīng)用到實際問題中去的渴望，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

1.3提高大學(xué)生的綜合素質(zhì)

數(shù)學(xué)教育要教給學(xué)生的不僅僅是數(shù)學(xué)知識，還要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、興趣和能力，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周圍的事物，用數(shù)學(xué)的思維方法分析、解決實際問題。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想可以培養(yǎng)學(xué)生如下能力：（1）培養(yǎng)“翻譯”的能力。（2）培養(yǎng)對已知的數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行綜合應(yīng)用的能力，形成各種知識的靈活運用與創(chuàng)造性的“鏈接”。（3）提高面對復(fù)雜事物的想像力和洞察力、邏輯思維能力以及分析、解決問題的能力。（4）提高查閱文獻(xiàn)、收集資料以及撰寫科技論文的文字寫作能力。（5）培養(yǎng)團(tuán)結(jié)合作精神和進(jìn)行協(xié)調(diào)的組織能力。

2 在教學(xué)內(nèi)容上滲透數(shù)學(xué)建模的思想和方法

高職數(shù)學(xué)內(nèi)容歷來要求“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”，其知識范圍廣、線條粗、深度淺。但又往往容易成為本科數(shù)學(xué)的壓縮餅干，常常是經(jīng)典過多，現(xiàn)代不足；理論過多，實際不足；運算過多，思想不足。教師應(yīng)積極開展課程論研究，在教學(xué)中要善于挖掘教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)專業(yè)及實際生活中實例的聯(lián)系，根據(jù)學(xué)生專業(yè)的實際需求編排高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)重點。以下舉例說明在高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想方法，配合數(shù)學(xué)模型內(nèi)容，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力。

2.1數(shù)學(xué)概念的引入

高等數(shù)學(xué)課本中的函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系中抽象出來的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中，應(yīng)該從學(xué)生熟悉的日常生活的例子中自然而然的引出來，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)概念與日常生活是有密切聯(lián)系的，并了解相應(yīng)知識在實際中的應(yīng)用場合，增加學(xué)習(xí)的積極性。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時可以介紹指數(shù)模型（人口增長、物質(zhì)衰變等），三角函數(shù)模型（交流電、經(jīng)濟(jì)規(guī)律、人的生理、情緒等都有周期性）、函數(shù)族模型等。作為在學(xué)習(xí)極限概念時可以介紹：蛛網(wǎng)模型、科赫雪花模型（面積有限，邊長無限）等。

2.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

利用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求實際問題的最值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)曲線在某點的曲率。由導(dǎo)數(shù)概念引入的函數(shù)相關(guān)變化率在解決實際問題中很有意義。作為導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用可以介紹最大收益原理、魚群的適度捕撈、征稅問題、最優(yōu)批量、電影院優(yōu)化設(shè)計、驚險雜技的設(shè)計、拱型橋梁的原理與優(yōu)化、未來醫(yī)院拐角設(shè)計等問題的數(shù)學(xué)模型。

2.3定積分的應(yīng)用

定積分以及微元分析法在數(shù)學(xué)建模和其他專業(yè)課程中有著廣泛的應(yīng)用。因此，在定積分的應(yīng)用這一章中，微元分析法和定積分在幾何、物理中的應(yīng)用都要重點講授，尤其是借助微元分析法建立積分關(guān)系式的技巧。例如堆積煤矸石的電費、非均勻資金流的現(xiàn)值與未來值，廣告費用，油田儲油罐的設(shè)計等都是定積分在實際中應(yīng)用的很好例子。

2.4二元函數(shù)的極值與最值問題

求二元函數(shù)的極值與條件極值，拉格朗日乘數(shù)法，以及最小二乘法在很多實際問題中都有具體應(yīng)用，在教學(xué)過程中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生用上述工具解決實際問題的能力。多元函數(shù)微分與極值可介紹：河水的污染與凈化的數(shù)學(xué)模型、生產(chǎn)調(diào)度最優(yōu)化模型、存貯費用優(yōu)化問題（允許缺貨）、野生動物樂園的面積、曲線擬合的參數(shù)估計等問題；梯度應(yīng)用可介紹：攀巖路線問題、熱鍋上的螞蟻何處逃生、鯊魚進(jìn)攻路線。

篇7

關(guān)鍵詞：非線性動力學(xué)；防屈曲支撐；理論建模

Abstract: The engineering applications of nonlinear dynamics is the research frontier and hot point of nonlinear science. It is of great theoretical and practical value to employ the theory of nonlinear dynamics to reveal the nature and mechanism ​​of the objects dynamic phenomenon. The anti-buckling support is a widely used metal damper,whose mechanical properties study has a significant role in the guidance of its design and performance evaluation. However, anti-buckling support also is a strongly nonlinear system, whose mechanical performance analysis has been the difficulty. The paper conducts some preliminary exploration of application of the theory of nonlinear dynamics in the study of anti-buckling support, focusing on theoretical modeling method of nonlinear dynamics of anti-buckling support core.

Key words: nonlinear dynamics; anti-buckling support; theoretical modeling

中圖分類號：TH122 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A文章編號：2095-2104（2012）

引言

經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)是一些“實驗事實”。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，實驗設(shè)備變得更為先進(jìn)，實驗方法在不斷改進(jìn)，所得的實驗結(jié)果也更為貼近實際力學(xué)過程。然而，更新更精確的實驗結(jié)果也說明了：一、處理力學(xué)模型的線性化方法在許多模型應(yīng)用中具有很大的局限性，線性化可能導(dǎo)致很大的誤差，甚至導(dǎo)致結(jié)論與實際情況十分的不相符；二、原來被忽略的一些因素事實上對力學(xué)模型影響很大，而這些被忽略的因素表現(xiàn)往往很難用線性化方法處理，并且還表現(xiàn)為強非線性。

真實的動力系統(tǒng)幾乎都含有各種各樣的非線性因素，諸如機械系統(tǒng)中的間隙、干摩擦，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的材料彈塑性、構(gòu)件大變形，控制系統(tǒng)中的元器件飽和特性、變結(jié)構(gòu)控制策略等。實踐中，人們經(jīng)常試圖用線性模型來替代實際的非線性系統(tǒng)，以求方便地獲得其動力學(xué)行為的某種逼近.然而，被忽略的非線性因素常常會在分析和計算中引起無法接受的誤差，使得線性逼近徒勞無功.特別對于系統(tǒng)的長時間歷程動力學(xué)問題，有時即使略去很微弱的非線性因素，也會在分析和計算中出現(xiàn)本質(zhì)性的錯誤.

人們很早就開始關(guān)注非線性系統(tǒng)的動力學(xué)問題.早期研究可追溯到1673年Huygens對單擺大幅擺動非等時性的觀察，從19世紀(jì)末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等數(shù)學(xué)家和力學(xué)家相繼對非線性動力系統(tǒng)的理論進(jìn)行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理學(xué)家和工程師則在實驗和數(shù)值模擬中獲得了許多啟示性發(fā)現(xiàn).他們的杰出貢獻(xiàn)相輔相成，形成了分岔、混沌、分形的理論框架，使非線性動力學(xué)在20世紀(jì)70年代成為一門重要的前沿學(xué)科，并促進(jìn)了非線性科學(xué)的形成和發(fā)展.

近20年來，非線性動力學(xué)在理論和應(yīng)用兩個方面均取得了很大進(jìn)展.這促使越來越多的學(xué)者基于非線性動力學(xué)觀點來思考問題，采用非線性動力學(xué)理論和方法，對工程科學(xué)、生命科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域中的非線性系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測其長期的動力學(xué)行為，揭示內(nèi)在的規(guī)律性，提出改善系統(tǒng)品質(zhì)的控制策略，一系列成功的實踐使人們認(rèn)識到：許多過去無法解決的難題源于系統(tǒng)的非線性，而解決難題的關(guān)鍵在于對問題所呈現(xiàn)的分岔、混沌、分形、孤立子等復(fù)雜非線性動力學(xué)現(xiàn)象具有正確的認(rèn)識和理解.

近年來，非線性動力學(xué)理論和方法正從低維向高維乃至無窮維發(fā)展.伴隨著計算機代數(shù)、數(shù)值模擬和圖形技術(shù)的進(jìn)步，非線性動力學(xué)所處理的問題規(guī)模和難度不斷提高，已逐步接近一些實際系統(tǒng).在工程科學(xué)界，以往研究人員對于非線性問題繞道而行的現(xiàn)象正在發(fā)生變化.人們不僅力求深入分析非線性對系統(tǒng)動力學(xué)的影響，使系統(tǒng)和產(chǎn)品的動態(tài)設(shè)計、加工、運行與控制滿足日益提高的運行速度和精度需求，而且開始探索利用分岔、混沌等非線性現(xiàn)象造福人類。

防屈曲支撐是土木工程抗震中目前應(yīng)用較為廣泛的一類耗能構(gòu)件，它利用金屬的屈服來消耗地震中產(chǎn)生的能量，從而保護(hù)主體結(jié)構(gòu)的安全。常用的防屈曲支撐有全鋼型的防屈曲支撐和鋼管混凝土約束型的防屈曲支撐， 都由內(nèi)芯和外包約束構(gòu)件構(gòu)成。從原理上來看，內(nèi)芯一般用中等屈服強度鋼，承受軸力；外包約束構(gòu)件約束內(nèi)芯的局部屈曲與整體屈曲，不承受軸力；內(nèi)核鋼支撐與外包約束構(gòu)件之間有適當(dāng)?shù)拈g隙，以保證內(nèi)芯在屈服以后能有橫向的變形空間，從而減小內(nèi)芯在受壓時的與約束構(gòu)件之間的摩擦力，盡量避免外包約束構(gòu)件承受軸力。工作時，僅內(nèi)核鋼支撐與鋼框架連接即僅鋼支撐受力，而外包鋼管混凝土約束內(nèi)核鋼支撐的橫向變形，防止內(nèi)核鋼支撐在壓力作用下發(fā)生整體屈曲和局部屈曲。如圖1中所示為典型的防屈曲支撐與其在軸向拉壓力作用下得到的滯回曲線。

圖1 典型的防屈曲支撐形式與其滯回曲線

雖然防屈曲支撐已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用，但是對于防屈曲支撐性能的研究并未取得較大進(jìn)展，特別是防屈曲支撐的受力分析。防屈曲支撐內(nèi)芯與約束構(gòu)件間存在間隙，在支撐受力過程中內(nèi)芯與約束構(gòu)件之間存在摩擦力，而且在實際應(yīng)用中支撐內(nèi)芯經(jīng)常達(dá)到較大的變形。這些都屬于強非線性問題。因此合理地利用非線性動力學(xué)理論就可以解決防屈曲支撐的分析問題。

防屈曲支撐的理論建模

對所關(guān)心的非線性動力系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型是后繼分析的基礎(chǔ)。通常，建模前要對系統(tǒng)的構(gòu)成進(jìn)行分析，盡可能把握系統(tǒng)的主要非線性因素。然后，需要根據(jù)已掌握的信息決定建模的方法。完全借助力學(xué)理論進(jìn)行建模的過程一般稱作理論建模，而以實驗作為主要手段的建模過程可稱作實驗建模。實踐中，通常交替采用這兩種建模技術(shù)進(jìn)行相互檢驗，或混合采用兩種技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)的聯(lián)合建模。

具有無限自由度的連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的建模非常復(fù)雜。系統(tǒng)的非線性來自兩方面，一是系統(tǒng)的運動（如大變形），二是構(gòu)成系統(tǒng)的材料。對于計入上述非線性的桿、軸、梁、板和簡單的殼體，高等材料力學(xué)和彈性力學(xué)提供了一些建模的手段。至于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，則需要采用非線性有限元、多柔體動力學(xué)等方法，在計算機上完成建模。

在支撐達(dá)到屈服力之前，內(nèi)芯是處于彈性狀態(tài)。依次列出系統(tǒng)的動力平衡方程、變形幾何方程和本構(gòu)方程，然后盡可能消去聯(lián)立方程中的未知函數(shù)。

圖2 內(nèi)芯的變形示意圖

可以將內(nèi)芯的一端簡化為兩端鉸支、均勻材料等截面梁，其左端縱向固定，右端縱向可移動且作用有縱向載荷P(t)。下面運用彈性力學(xué)位移法建立系統(tǒng)的運動偏微分方程。

圖3 軸向力作用下的內(nèi)芯中等撓度振動及其微段受力分析

首先，取梁上距左端處（對應(yīng)于弧長坐標(biāo)xs）的微段。根據(jù)圖中的受力分析，得到該微段質(zhì)心的縱向運動u(x,t)和橫向運動w(x,t)所滿足的動力平衡方程

（1）

其中N (x,t)是梁在截面上沿梁變形后中性層切線方向的軸力，Q(x,t)是剪力。若略去梁微段的旋轉(zhuǎn)慣量，則剪力Q(x,t)與彎矩M(x,t)間具有準(zhǔn)靜力關(guān)系.

（2）

將公式（2）代入公式（1）中，得到

（3）

對于梁的中等撓度變形，通常將方程(3)中的三角函數(shù)近似為:

(4)

并在后繼分析中保持這樣的二階Taylor截斷。

在建立變形幾何方程階段，通常根據(jù)實驗觀察結(jié)果引入一些變形假設(shè)，以便使問題得以簡化。此處引入的基本假設(shè)是：變形前垂直于梁軸線的橫截面在變形后垂直于變形的軸線。根據(jù)這一基本假設(shè)，距中性層z處點的縱向位移ux由三部分組成：一是軸力引起的橫截面縱向平動，即微段質(zhì)心的縱向位移；二是由橫截面轉(zhuǎn)動引起的;三是橫向彎曲引起的。因此，該點的縱向位移是

(5)

由此得到該點的正應(yīng)變

(6)

在線彈性范圍內(nèi)，梁在橫截面上的正應(yīng)力為

(7)

其中E是材料的彈性模量。

現(xiàn)以梁的縱向位移u(x,t)和橫向位移w(x,t)為未知量來建立其運動偏微分方程。將式(6)代入式(7)，在梁的橫截面上積分得到軸力和彎矩:

(8)

(9)

其中是梁的截面慣性矩。根據(jù)幾何關(guān)系，可導(dǎo)出

(10)

因此

（11）

將式(8)和(11)聯(lián)同式(4)代回方程(3)，得到僅含未知位移的動力學(xué)方程

（12）

（13）

這就是計入幾何非線性效應(yīng)的梁縱橫向運動耦合動力學(xué)方程，其最低階截斷誤差為。

研究梁的橫向非線性振動時通常對縱向運動微分方程引入簡化假設(shè)。如果略去梁橫向運動對縱向運動的影響，方程(12)將簡化為線性波動方程

（14）

相應(yīng)的邊界條件是

（15）

在給定的初始條件下解出縱向位移u(x,t)后代入方程(13)，可得到以橫向位移w(x,t)為未知函數(shù)、縱向位移u(x,t)為時變系數(shù)的非線性偏微分方程。

對于定常縱向 載荷P(t)=P0，一般略去梁的縱向慣性效應(yīng)，視軸力為

（16）

所以

（17）

這時，方程(13)簡化為

（18）

或簡記為

（19）

其中D(w)是關(guān)于x的非線性偏微分算子。

方程(19)是一非線性偏微分方程，其解空間具有無限維。通常，人們采用Galerkin方法將其簡化為有限個常微分方程來進(jìn)行研究。Galerkin方法的基本思路是取一組滿足梁邊界條件的形狀函數(shù)，構(gòu)造

(20)

將其代入方程(19)，方程殘差反映了殘余力。為了盡量減小殘余力，可以選擇未知函數(shù)，使殘余力關(guān)于各形狀函數(shù)對應(yīng)的位移平均作功為零，即,

(21)

這顯然是n個關(guān)于未知函數(shù)的二階常微分方程。

對于梁振動問題，最常用的形狀函數(shù)就是梁的微振動固有振型。以簡支梁的低頻振動為例，通常僅取梁的第一階固有振型。將其代入方程(19)后再代入方程(21)，經(jīng)計算得到一個單自由度非線性振動系統(tǒng)

（22）

一般在最初階段就取，但取彎矩表達(dá)式(11)中的。這樣的不一致截斷使最終結(jié)果成為

（23）

以上過程就是防屈曲支撐內(nèi)芯的非線性動力學(xué)理論建模方法。

應(yīng)用非線性動力學(xué)理論對防屈曲支撐進(jìn)行研究還沒有先例，本文僅僅對于防屈曲支撐內(nèi)芯的建模做了初步的探索。非線性動力學(xué)理論作為一種處理非線性問題的方法必將在防屈曲支撐的研究中發(fā)揮巨大的作用。

參考文獻(xiàn)

1. 非線性動力學(xué)理論與應(yīng)用的新進(jìn)展. 張偉，胡海巖. 科學(xué)出版社，2009.11

2. 應(yīng)用非線性動力學(xué). 胡海巖. 航空工業(yè)出版社. 2000

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關(guān)鍵詞：通信工程；數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；建模思想

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0157-02

一、引言

進(jìn)入21世紀(jì)以來，自然科學(xué)的各個學(xué)科都發(fā)展至前所未有的高度，數(shù)學(xué)在各個學(xué)科范疇的使用更加廣泛，也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，被各個國家倍加重視[1]。一方面，先前的大數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)的純粹的抽象概念和數(shù)學(xué)模型在某些學(xué)科領(lǐng)域付諸于實踐，在實際中得到應(yīng)用；另一方面，許多學(xué)科領(lǐng)域越來越依賴于數(shù)學(xué)的建模，通過合適的軟件將各種實際問題在計算機中數(shù)字化，既能離線地發(fā)現(xiàn)最佳方案，又能在線實時監(jiān)控和調(diào)控。伴隨著各個自然科學(xué)學(xué)科的數(shù)字化和我國大學(xué)教育的大眾化，大學(xué)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教育應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生分析與解決實際問題的能力、數(shù)學(xué)建模的思想和思維意識[2]。這也是普通高等學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)改革的重要任務(wù)之一。為此，非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會在對工科專業(yè)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求別指出：“數(shù)學(xué)不僅是一種工具，而且是一種思維模式”，并明確提出，“要突出數(shù)學(xué)的思想方法，加強數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)”[3]。始于1992年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，發(fā)展至今已受到廣泛的關(guān)注。比賽的題目是來源于現(xiàn)實問題，需要學(xué)生綜合所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識，自行建立模型，既有很強的趣味性，也調(diào)動了學(xué)生主動思考的能動性，極大地提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力。因此，在通信工程專業(yè)的高等數(shù)學(xué)課堂中，適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)建模思想，結(jié)合數(shù)學(xué)知識對有關(guān)通信工程的典型題目做必要的講解，這樣就使學(xué)生通過建模案例了解了建模思想，增強了數(shù)學(xué)實驗?zāi)芰Γ瑢ι罨叩葦?shù)學(xué)課程的教學(xué)改革有著重大的促進(jìn)意義。

二、數(shù)學(xué)建模思想概述

數(shù)學(xué)建模是通過不同的形式、從各個角度來對某個或多個實際問題進(jìn)行抽象，并配合一定的理論開展全方位的論證。例如，在一個類矩形區(qū)域的地方鋪設(shè)通信基站，要求在覆蓋區(qū)域內(nèi)所有社區(qū)在不超過預(yù)算的情況下，使得基站鋪設(shè)方案盡可能地覆蓋區(qū)域內(nèi)的所有人口。對這個問題，通過創(chuàng)建數(shù)學(xué)上的模型，對比分析和方案論證，就會有比較完整全面的解釋。通過對每個基站覆蓋面積、地理位置、地形特點、人口稠密程度、交通等因素開展全方位多角度的分析論證，學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有一個基本的了解，在分析論證過程中從多個方面盡可能地選取重要的因素進(jìn)行討論。數(shù)學(xué)建模不是簡單地重現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)中常常提及的數(shù)學(xué)思想，而是通過這些思想來對實際生活中的問題進(jìn)行深層地概括抽象、分析及凝練，通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理和方案演繹，將得到的模型拓展到類似的問題上去，從而舉一反三，利用典型事例提高學(xué)生的積極性和能動性，在教學(xué)過程中要求學(xué)生對數(shù)學(xué)模型展開啟發(fā)式思考，把零碎的知識融入到整體的框架中，亦能將整體的框架投放到具體的問題中。

三、建模思想的滲透對學(xué)生的影響

1.促進(jìn)學(xué)生專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。高等數(shù)學(xué)作為通信工程專業(yè)的基礎(chǔ)課程，為該專業(yè)學(xué)生系統(tǒng)掌握現(xiàn)代通信技術(shù)，具備通信技術(shù)和信息系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識，并能夠從事各種各類通信設(shè)備和信息系統(tǒng)的研究、設(shè)計、制造、開發(fā)和維護(hù)，提供了理論基礎(chǔ)。要實現(xiàn)上述培養(yǎng)目標(biāo)，首先必須奠定優(yōu)良的基礎(chǔ)，即高等數(shù)學(xué)的知識一定要扎實。例如，對于天津師范大學(xué)通信工程專業(yè)的學(xué)生而言，高年級所學(xué)習(xí)的專業(yè)必修課程都是整篇幅的數(shù)學(xué)公式，且都是以實際中的應(yīng)用背景作為基礎(chǔ)。只有在大學(xué)一年級的時候，學(xué)生從高等數(shù)學(xué)中經(jīng)受各種建模方法的熏陶，能夠從一般的層面上概覽各種通信場景的數(shù)學(xué)模型，才能夠靈活掌握專業(yè)必修課程的內(nèi)容。

2.提升學(xué)生的創(chuàng)新能力。在2014年9月的夏季達(dá)沃斯論壇上，總理發(fā)出了“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”的號召。大學(xué)教育逐漸普及，而大學(xué)生正是處在學(xué)習(xí)的上升階段，創(chuàng)新更應(yīng)該作為大學(xué)課程中的重要的環(huán)節(jié)進(jìn)行培養(yǎng)；另一方面，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練能夠使人的思維更加縝密和靈活，數(shù)學(xué)建模思想和思維的訓(xùn)練使人學(xué)會從問題的表面洞察內(nèi)在本質(zhì)。通信是所有學(xué)生生活中能夠?qū)嶋H接觸的事物，所以教學(xué)應(yīng)該從這一點出發(fā)，在教學(xué)生從實際中提煉問題的過程中，突出該學(xué)科的實用性。例如，通過一定區(qū)域內(nèi)通信基站的鋪設(shè)位置引申到數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)而討論極值問題的求解方法。此外，輔以小組討論的方式，能夠激發(fā)學(xué)生的團(tuán)隊精神，使得學(xué)生從更高的層面對所學(xué)知識進(jìn)行構(gòu)建，既能扎實地掌握知識，又能提升自身的創(chuàng)新能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力。一般來說，理論知識的學(xué)習(xí)對許多學(xué)生來說是枯燥的、乏味的，但是在教學(xué)過程中注入一些合適的實際背景，讓學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R與相應(yīng)的實際背景結(jié)合在一起理解、學(xué)習(xí)，輔以多種多樣的教學(xué)方法讓學(xué)生形成把理論知識靈活運用到實際問題中的能力，引導(dǎo)學(xué)生對不同的事物進(jìn)行分析和比較，對比它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生能夠獨立地對事物進(jìn)行判斷和決策，最終行之有效地解決工作中、生活中遇到的問題。

四、實際通信問題在教學(xué)中的滲透

幾年前，同濟(jì)大學(xué)、華東師范大學(xué)、北京師范大學(xué)等高校就聯(lián)合修改了工科高等數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱，并就教學(xué)改革問題提出了重基礎(chǔ)、重思想的觀點。高等數(shù)學(xué)中的微積分的幾何應(yīng)用、極值、微分方程等內(nèi)容與通信工程的專業(yè)必修課程有密切的關(guān)聯(lián)，這就要求教師不僅要熟悉高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，而且對該專業(yè)必修課程的內(nèi)容有具體充分的了解，才能夠?qū)⑾嚓P(guān)的內(nèi)容聯(lián)系起來教學(xué)，這對教師提出了更高的要求。然而，有些高等院校的數(shù)學(xué)課程聘請的是數(shù)學(xué)系的教師授工科高等數(shù)學(xué)課，而數(shù)學(xué)系的教師沒有接觸過工科的專業(yè)課程，這就形成了不可彌補的隔閡，導(dǎo)致教師不能夠在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，將數(shù)學(xué)建模思想與專業(yè)背景聯(lián)系起來，使學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的時候沒有形成良好的建模思維，進(jìn)而在高年級學(xué)習(xí)專業(yè)課的時候非常艱難。在天津師范大學(xué)，通信工程專業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程均是由通信專業(yè)的教師講授，避免了上述問題。例如，在微分方程教學(xué)中，可以穿插電路方面的背景知識，電流強度的計算在高中的時候已經(jīng)學(xué)習(xí)過，大學(xué)對該知識的學(xué)習(xí)只要從微分方程的角度出發(fā)，通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何分析這類問題，構(gòu)建一般的表達(dá)形式，從而對類似的問題有更加深刻、更深入本質(zhì)的理解。建模完成之后，教師再講授相應(yīng)的求解微分方程的方法，對微分方程模型的求解一方面可以動手計算，另一方面可以借助于數(shù)學(xué)軟件來計算。在這個過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)模型的能量，提高解決實際問題的能力。

五、總結(jié)

南開大學(xué)的顧沛教授曾說：“越是抽象的東西，越是能夠放之四海而皆準(zhǔn)”。在通信工程專業(yè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師適當(dāng)引入該專業(yè)必修課程相關(guān)的實例，或具體的通信相關(guān)的應(yīng)用問題，結(jié)合高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識章節(jié)，以數(shù)學(xué)軟件作輔助，這樣既加深了學(xué)生對實際問題的理解，鍛煉了數(shù)學(xué)軟件使用的能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和思維，并對通信專業(yè)有了更深的認(rèn)識，為學(xué)生的自身發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。

⒖嘉南祝

[1]崔建斌.在高校理工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想方法探索[J].德州學(xué)院學(xué)報，2014，（6）：102-105.

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（大慶師范學(xué)院教師教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江 大慶 163712）

【摘要】隨著信息時代和微時代的到來，社會對高師學(xué)生的人才培養(yǎng)提出了新的目標(biāo)，促使高師本科院校教學(xué)改革的步伐不斷加快。同時，為了實現(xiàn)應(yīng)用型本科院校的人才培養(yǎng)目標(biāo)，提高大學(xué)生創(chuàng)新能力、職業(yè)技能和自主學(xué)習(xí)能力，主要從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式方面入手，探索了高師數(shù)學(xué)專業(yè)《常微分方程》的教學(xué)改革。

關(guān)鍵詞 常微分方程；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)模式；微課

Research to Reform Ordinary Differential Equation Teaching of Mathematics in Teachers College

ZHAO WeiGAO Yang

(Department of Mathematics of Daqing Normal College, Daqing Heilongjiang 163712， China)

【Abstract】With the arrival of information age and micro age, the society put forward new target for students in teachers college, and promote the pace of teaching reform of high college to accelerate. At the same time, in order to realize the talent target of application oriented under graduate colleges, improve the students’ creative ability, occupation technical ability and autonomous learning ability. In this paper, we mainly start from the teaching content and mode, explored the teaching reform of ordinary differential equation for mathematics teaching colleges.

【Key words】Ordinary differentia equation; Teaching content; Teaching mode; Micro calss

常微分方程作為數(shù)學(xué)專業(yè)核心基礎(chǔ)課程之一，也是高師數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和提高應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題能力有重要指導(dǎo)意義。它也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)偏微分方程、數(shù)學(xué)建模、微分幾何等課程的前期基礎(chǔ)，同時對動力系統(tǒng)及非線性科學(xué)起到奠定基礎(chǔ)的作用。

在信息時代飛速發(fā)展的今天，常微分方程課程的內(nèi)容也應(yīng)該跟上時代的步伐，其教學(xué)模式也要考慮信息化網(wǎng)絡(luò)化，以此來提高學(xué)生的自學(xué)能力、實踐能力和創(chuàng)新能力，以滿足將來學(xué)習(xí)工作的需要。那么如何對常微分方程進(jìn)行教學(xué)改革，使其更加符合時展的需要，滿足學(xué)生的需求，應(yīng)該是教學(xué)工作者思考的問題之一。鑒于在常微分課程中的多年教學(xué)經(jīng)驗，筆者從以下幾個方面對常微分方程的教學(xué)進(jìn)行改革探究。

1教學(xué)內(nèi)容的改革

1.1適當(dāng)優(yōu)化整合教學(xué)內(nèi)容

由于課時的壓縮,為了照顧不同層次的學(xué)生,同時要確保教學(xué)質(zhì)量,提高教學(xué)效果,因此考慮對現(xiàn)用教材（高等教育出版社，王高雄主編[1]）的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)恼希⒏鶕?jù)課程的前沿增加新的內(nèi)容。

首先,對于章節(jié)內(nèi)容中理論、方法相同或相近的內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化，避免相似內(nèi)容反復(fù)講授，以節(jié)省課時。例如在講授高階微分方程的理論基礎(chǔ)時，可以先簡略介紹理論基礎(chǔ)，對于它的證明理論及相關(guān)知識可以放到微分方程組中去處理，把高階微分方程看作是微分方程組的特例，這樣使得兩章的內(nèi)容在整體上有了明顯的縮減，且由于理論相似可以使學(xué)生更加方便理解和記憶。

其次，根據(jù)一般高師數(shù)學(xué)專業(yè)的特點，對于常微分方程課程的要求可以適當(dāng)降低，對于教材中的較難環(huán)節(jié)，可以作為選修內(nèi)容處理，以滿足不同層次學(xué)生的需要。例如對于微分方程解的存在性定理的證明，解對初值的依賴，冪級數(shù)解法，微分方程的穩(wěn)定性理論等，就可以通過選修或者其它形式進(jìn)行授課，這樣既滿足了學(xué)生的需要，也節(jié)省了課時數(shù)。

另外，可以根據(jù)教師對微分方程課題的研究，以及科研工作的研究，適當(dāng)增添一些前沿的知識以滿足學(xué)生對知識發(fā)展的需求。

1.2注重數(shù)學(xué)思想文化培養(yǎng)

[2]為了符合信息時展的需求，對于微分方程而言，要重視與實際應(yīng)用的結(jié)合，才能更好地培養(yǎng)應(yīng)用型人才。因此除了對原有教材內(nèi)容的整合，更要與時俱進(jìn)，聯(lián)系實際，將一些動力系統(tǒng)或者數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用實例多多地引入到微分方程中來，這樣才能使得學(xué)生能夠?qū)W以致用，將數(shù)學(xué)思想更好地應(yīng)用到現(xiàn)實生活中。

此外，在常微分方程的各種類型方程內(nèi)容上，要探索方程的起源，介紹與之相關(guān)的數(shù)學(xué)家，將數(shù)學(xué)思想和實際問題密切聯(lián)系到一起，使學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)切實來源于實踐，最后真正應(yīng)用于實踐，而不是空中樓閣，使得學(xué)生對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣大大提升。

2教學(xué)模式的改革

2.1融入微課形式

近年來，隨著微課實踐相關(guān)研究的不斷深化，微課從最初定義的“一種針對某個教學(xué)環(huán)節(jié)和知識點的新型教學(xué)資源”，到2013年微課大賽中教育部全國高校教師網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)中心定義的“以視頻為主要載體記錄教師圍繞某個知識點或教學(xué)環(huán)節(jié)開展的簡短、完整的教學(xué)活動”，到最近更新的微課定義“一種針對某個教學(xué)環(huán)節(jié)或知識點的情景化、支持多種學(xué)習(xí)方式的新型在線網(wǎng)絡(luò)視頻課程”，我們可以清楚地看出微課內(nèi)涵正沿著“微型資源構(gòu)成—微型教學(xué)活動—微型網(wǎng)絡(luò)課程”的軌跡發(fā)展變化。高校微課的建設(shè)同樣也正遵循這一軌跡，按照微課的專題化、課程化發(fā)展趨勢，秉承資源開放共享的理念，積極探索，大膽創(chuàng)新。

如果將微課的授課模式融入到常微分方程的教學(xué)中，將起到事半功倍的作用。因此我們根據(jù)常微分方程課程本身的特點及課時有限，選取一部分內(nèi)容以微課的形式來授課，能更好地有利于學(xué)生們的學(xué)習(xí)和發(fā)展。

例如，在講授微分方程解的存在性理論，穩(wěn)定性理論時，由于內(nèi)容較難，對于高師數(shù)學(xué)專業(yè)的一般學(xué)生來說，需求并不大，對后繼課程的影響也不多，因此采取略講介紹的方式。但是考慮到有些學(xué)生將來要考研究生，可能對這部分知識的需求較其他學(xué)生高，那么把這部分知識分成多個知識點，錄制成微課，對學(xué)生來說更加便于自學(xué)，同時也可以反復(fù)學(xué)習(xí)，更加有效地利用了課余時間。這樣既節(jié)省了課時，也滿足了學(xué)生們的需要。

再如，一些常微分方程的課后習(xí)題很多，不可能在課上全部講解，那么有些難題及證明問題，也可以錄制成微課，給學(xué)生觀看借鑒。這樣學(xué)生隨時隨地遇到不會的問題就可以直接到微課視頻中查看講解，給了學(xué)生更多的學(xué)習(xí)機會。

2.2加強職業(yè)技能

根據(jù)高師數(shù)學(xué)專業(yè)的特點，將來學(xué)生們要走上課堂，那么除了在職業(yè)技能課上來鍛煉職業(yè)技能外，還可以在專業(yè)課中抽出部分章節(jié)給學(xué)生機會來鍛煉。常微分方程課程本身的難度不是很大，而且多以計算為主，正是由于這個特點，我們可以適當(dāng)選取一部分知識點，給學(xué)生機會進(jìn)行課堂訓(xùn)練，以提高學(xué)生的職業(yè)技能素質(zhì)，為將來走上教師的工作崗位奠定基礎(chǔ)。

例如，常微分方程中的變量分離方程，內(nèi)容相對簡單，所需要的前期準(zhǔn)備工作并不多，那么就可以在課前提前布置任務(wù)給學(xué)生，課上選擇同學(xué)來講授，將過后，再由老師點評補充，這樣能夠極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也能使所學(xué)知識更加牢固，更能提高師范生的職業(yè)技能。

2.3充分利用網(wǎng)絡(luò)

隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，學(xué)生與老師之間的問答也可以不在課堂或者教室中實現(xiàn)。我們可以充分利用網(wǎng)絡(luò)平臺，實現(xiàn)師生隨時互動，有問題及時溝通解決。為此，建立常微分方程網(wǎng)絡(luò)互動平臺，與學(xué)生定好輔導(dǎo)時間，有問題可以通過發(fā)送圖片，錄制語音等，隨時解決。這樣對于那些平時不愿意問老師問題的學(xué)生，在有問題時可以不用面對老師，利用網(wǎng)絡(luò)來解決，起到提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績的目的。同時實現(xiàn)了學(xué)習(xí)效果的及時反饋，讓老師對學(xué)生的學(xué)習(xí)更加了解，對教師的教學(xué)工作起到了積極的作用。

3結(jié)語

隨著信息時代與微時代的到來，高校教師應(yīng)該與時俱進(jìn)，用科學(xué)發(fā)展的眼光對教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)模式進(jìn)行革新。這樣，才能不斷提高學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣、自主性和效率，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，增強高師學(xué)生的職業(yè)技能素質(zhì)，從而實現(xiàn)“應(yīng)用型”人才的培養(yǎng)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

［1］王高雄,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

［2］胡鐵生,周曉清.高校微課建設(shè)的現(xiàn)狀分析與發(fā)展對策研究[J].現(xiàn)代教育技術(shù),2014,24(2):5-13.

［3］儲亞偉,朱茱.高師本科常微分方程教學(xué)改革的探究阜[J].陽師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,25(3):70-73.

［4］楊晨.常微分方程教學(xué)改革探討[J].長春師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,33(3):167-169.

［5］趙才地,王瑋明,應(yīng)裕林,等.《常微分方程》課程教學(xué)改革研究與實踐[J].鄂州大學(xué)學(xué)報,2014,21(9):97-99.

篇10

關(guān)鍵詞：水電站水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)新型FNNS模糊控制MATLAB軟件

1水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)動態(tài)過程簡介

水電站水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是一個復(fù)雜的自動控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程可分為小波動和大波動兩類。小波動是指水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)受到微小的干擾（負(fù)荷或指令信號擾動），系統(tǒng)中各參數(shù)的變化都較小，可認(rèn)為是在所討論工況點附近作微小變化，則可將調(diào)節(jié)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)加以線性化，既用線性微分方程式來描述各環(huán)節(jié)及整個系統(tǒng)的動態(tài)特性；而大波動是指水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)受到幅度較大的干擾（負(fù)荷變化），系統(tǒng)參數(shù)的變化劇烈，整個系統(tǒng)已超出了線性范圍，因此不能作線性處理，即系統(tǒng)不能按線性系統(tǒng)對待。小波動主要影響的是水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)工作的穩(wěn)定性，即所生產(chǎn)的電能的質(zhì)量；而大波動不僅影響所生產(chǎn)的電能的質(zhì)量，而且在負(fù)荷突然變化（特別是甩負(fù)荷）時影響到水壓、轉(zhuǎn)速等各種參數(shù)的變化情況。因為水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)工作性能的優(yōu)劣直接關(guān)系到水電站和機組運行的安全以及所生產(chǎn)電能的質(zhì)量，因此，對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的大、小波動動態(tài)過程分析具有重要意義。

2水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)分析發(fā)展概況

現(xiàn)今水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)分析所用方法很多，現(xiàn)在簡要介紹如下。

2．1傳統(tǒng)方法

小波動穩(wěn)定性分析一般采用傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，過水系統(tǒng)按彈性水機考慮，過水系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的傳遞函數(shù)中含有雙曲函數(shù)，為此特根據(jù)雙曲函數(shù)性質(zhì)將過水系統(tǒng)的傳遞函數(shù)近似表達(dá)為若干個一階微分方程式。因而調(diào)速器、水輪發(fā)電機組等數(shù)學(xué)模型也用一階微分方程式表達(dá)。則整個系統(tǒng)小波動的數(shù)學(xué)模型都采用一階微分方程組的形式來表達(dá)。然后用狀態(tài)方程來表示，即：

X＆＝Ax＋BU

式中X＆——狀態(tài)向量；

U——輸入向量；

A、B——系數(shù)矩陣。

可用求解一階微分方程組的常用方法：即四階龍格—庫塔法進(jìn)行仿真計算［1］。

大波動過渡過程一般利用差分方程進(jìn)行仿真［1］，采用特征線解法原理，將水機的基本方程式：運動方程和連續(xù)方程，轉(zhuǎn)變?yōu)樘卣鞣匠探M，然后再求解。

2．2新型FNNS控制策略

新型FNNS控制策略是模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)與變參數(shù)控制相結(jié)合的智能控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)能適應(yīng)水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)變化較大情況下的控制要求。

廖忠［2］針對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)非線性、結(jié)構(gòu)參數(shù)變化范圍較大等特點，進(jìn)行了仿真研究，他指出水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是一個典型的高階、時變、非最小相位系統(tǒng)，而且又是一個參數(shù)隨工況點改變而變化的非線性系統(tǒng)，在系統(tǒng)動態(tài)及暫態(tài)過程中，采用以PID控制為基礎(chǔ)的線性控制方法較難滿足這一特性復(fù)雜的對象的控制要求，在控制效果及控制器調(diào)整方面尚不盡人意。隨著智能控制理論的發(fā)展，人們將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊控制相結(jié)合研究，提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊控制器，并且根據(jù)水電機組的特點，將其應(yīng)用于水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)，取得較好效果。新型FNNS控制策略是變參數(shù)控制的思想與FNNS二者結(jié)合的體現(xiàn)，采用多個FNNS作為控制器，通過辯識當(dāng)前運行工況，然后基于某種法則選擇最適合的FNNS作為當(dāng)前控制器。變參數(shù)控制的思想，所采用的方法主要是基于運行區(qū)域的劃分及插值運算。變參數(shù)控制的思想與傳統(tǒng)的PID等控制規(guī)律的結(jié)合，的確使之具有了適應(yīng)被控對象參數(shù)變化的能力，提高了控制效果，只要能確保所有的FNNS覆蓋整個狀態(tài)空間，那么可以不用在線學(xué)習(xí)，而只是在不同F(xiàn)NNS中切換就能得到整個工況范圍內(nèi)滿意的調(diào)節(jié)性能，從而保證了控制的實時性。

2．3基于SIMULINK的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)仿真