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摘要:長期以來,概率論一直被認為是從賭博游戲中產生的。論文但事實上,賭博游戲由來已久,而概率論卻直到17世紀末才誕生。這說明賭博并不是概率論產生的決定性因素。概率論的形成是多種因素結合的結果。文章的目的即在于對這些產生條件進行分析,從而使人們能夠清楚地了解影響概率論產生的各種關鍵性因素。

關鍵詞:獨立隨機過程;計數系統;歸納法;保險業

概率論是一門應用非常廣泛的學科。在數學史上,它的產生是以帕斯卡和費馬在1654年的七封通信為標志的。由于這些信件中所解決的問題多是與賭博有關的點數問題,因此人們總是把概率論的產生歸功于賭博這項機遇游戲。但考古學發現告訴我們,賭博游戲早在文明初期就已經存在了,迄今已有幾千年的歷史,而概率論從誕生至今不過三百余年,這說明賭博并不是概率論產生的決定性條件。在從賭博出現到概率論產生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么?換句話說,需要具備哪些先決條件,概率論才能得以形成?

一獨立隨機過程的出現

對概率論而言,兩個最主要的概念就是獨立性和隨機性[1]。概率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對象是大量的獨立隨機過程。通過對這些過程中出現的問題的解決,概率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察概率論的產生條件,我們首先應當對獨立隨機過程的產生有充分的了解。

事實上,這種過程的雛形早在原始社會就已經存在了,那時的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個或多個趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對人事的不同意見。由于投擲趾骨這個過程所產生的結果具有不可預測性,而每次投擲的結果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規則性較差,各種結果出現的機率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產生的隨機過程還不是我們今天意義上的獨立隨機過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對隨機過程的認識。

隨著社會的進步和文明的發展,骰子變得越來越普遍,不僅數量增多,規則性也日益精良,此時它已不再是一件神圣的器具而逐漸成為普通大眾的日常用具。從原理上看,只要一枚骰子是質地均勻的,它就可以產生一系列標準的獨立隨機過程。這些過程具備良好的性質(獨立性、隨機性、等可能性),是進行概率研究的理想對象。如果經常接觸這些隨機過程,就很有可能從中發現某些規律性。實際上,通過對骰子的研究我們確實發現了一些有趣的現象。在考古出土的骰子當中,有一些被證明是用于賭博的工具,它們的形狀規則而質地卻不均勻,也就是說,骰子的重心并不在其幾何中心?？梢韵胂?如果骰子的某一面較重,則其對面朝上的機率就會增大,這種骰子明顯是為了賭博時用于作弊。而從另一個角度看,如果古代人知道質地不均勻的骰子產生各個結果的可能性不同,那么他們必定清楚一個均勻的骰子產生任何一個結果的機率是相等的。也就是說,經常從事賭博的人必然可以通過大量的游戲過程,意識到擲骰子所得到的結果具有某種規律性,并且這種規律性還可以通過改變骰子的質地而得到相應的改變。雖然古代人的這些意識還只停留在經驗總結的水平上,卻不得不承認這是一種最原始的概率思想。

賭博游戲存在的時間之長、范圍之廣、形式之多令人驚訝。但有如此眾多的人沉迷于這種游戲活動,也在客觀上積累了大量的可供學者進行研究的隨機過程。更為重要的是,

在進行賭博的過程中,或許是受到經濟利益的驅使,已經開始有人試圖解開骰子的奧秘。意大利數學家卡爾達諾就是其中的一位。他本人是個大賭徒,嗜賭如命,但他卻具有極高的數學天分。在賭博的過程中,卡爾達諾充分發揮了他的數學才能,研究可以常勝不輸的方法。據說他曾參加過這樣一種賭法:把兩顆骰子擲出去,以每個骰子朝上的點數之和作為賭的內容。那么,賭注下在多少點上最有利?

兩個骰子朝上的面共有36種可能,點數之和分別為2～12共11種,從上圖可知,7位于此六階矩陣的對角線上,它出現的概率為6/36=1/6,大于其他點數出現的概率,因此卡爾達諾預言說押7最好。這種思想今天看來很簡單,但在當時卻是很杰出的。他還以自己豐富的實踐經驗為基礎,寫成了全面探討賭博的《機遇博奕》(LiberdeLudoAleae英譯為TheBookofGameofChance)一書,書中記載了他研究賭博的全部成果,并且明確指出骰子應為“誠實的”(honest),即六個面出現的機會相等,以便在此基礎上研究擲多粒骰子的等可能結果數[2]。

這些實例充分說明,賭博曾對概率論的產生起過積極的作用。這可能就是人們在談到概率論時總是把它與賭博聯系在一起的緣故吧。但是我們應該認識到,賭博的價值并不在于其作為一種游戲的娛樂作用,而在于這種機遇游戲的過程實際上就是良好的獨立隨機過程。只有出現了獨立隨機過程,概率論才有了最初的研究對象。而概率論也的確是在解決機遇游戲中出現的各種問題的基礎上建立起自己的理論體系的。因此在概率論的孕育期,可以作為一種模型進行研究的機遇游戲過程即獨立隨機過程的出現是概率論得以產生的一個重要前提條件。

二先進計數系統的出現

前面曾經提到,獨立隨機過程的出現并不是概率論誕生的決定性因素。職稱論文僅有概率思想而不能將概率結果表達出來,也不能形成完整的理論。概率論是一門以計算見長的數學分支,計算過程中需要運用大量的加法和乘法原理(組合數學原理)進行純數字運算。對于現代人來說,概率計算并不是一件難事。但是對于16世紀以前的人來說,計算卻是十分困難的,原因就在于古代缺乏簡便的計數系統。當時的計數符號既繁瑣又落后,書寫和使用都很不方便,只能用來做簡單的記錄,一旦數目增大,運算復雜,這些原始的符號就盡顯弊端了。而沒有簡便的計數符號,進行概率計算將是十分困難的事,因此計數符號是否先進也在一定程度上決定著概率論的形成。

對于這一點,現代人可能不容易體會得到,究竟古代的計數符號復雜到什么程度呢?我們可以以古羅馬的計數系統為例來說明。

古羅馬的計數系統是一種現在最為人們熟悉的簡單分群數系,大約形成于紀元前后。羅馬人創造了一種由7個基本符號組成的5進與10進的混合進制記數法,即

IVXLCDM

1510501005001000

在表示其他數字時采取符號重復的辦法,如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果數字較大表示起來就相當復雜了,比如:1999=MDCCCCLXXXXVIIII

后來為了簡化這種復雜的表示法,羅馬人又引進了減法原則,即在一個較大的單位前放一個較小單位表示兩者之差,如Ⅳ表示4,CM表示900,則1999=MCMXCIX

如果要計算235×4=940,現代的豎式是

而公元8世紀時英國學者阿爾琴演算同一道題的過程則要復雜得多:古羅馬數字對于這樣一個既不含分數和小數,數字又很簡單(只有三位數)的乘法運算處理起來尚且如此復雜,可以想象,即使數學家有足夠的時間和耐心,要解決概率計算里涉及的大量純數字運算也是一件太耗費精力的事。在這種情況下想要作出成果,數學家們的時間不是用來研究理論而只能是忙于應付這些繁重的計算工作了。顯然古羅馬的計數系統并不適合于進行計算,而事實上,歐洲的代數學相比幾何學而言遲遲沒能發展起來,很大程度上也是由于受到這種落后的計數系統的限制。不僅僅是古羅馬數字,在人類文明史上出現過的其他幾種計數系統(如古埃及、古巴比倫等的計數系統)也由于符號過于復雜,同樣不能承擔進行大量計算的任務。

相反,以位值制為基本原理的阿拉伯數字則比古羅馬數字以及古代其他的計數系統要先進得多,它不但書寫簡便,而且非常有利于加法、乘法的運算及小數和分數的表示。從上面的例子可以看出,它的使用可以大大節省運算時間,提高運算效率。正是由于使用了這種先進的計數符號,阿拉伯數字的發明者———古印度人的組合數學(組合數學原理是概率計算運用較多的一種數學工具)才得以領先歐洲人許多。據記載,印度人,特別是公元前三百年左右的耆那數學家就由于宗教原因開展了對排列與組合的研究。公元四百年,印度人就已經掌握了抽樣與骰子之間的關系(比歐洲人早一千二百年)。而直到公元8世紀時,商業活動和戰爭才將這種先進的數字符號帶到了西班牙,這些符號又經過了八百年的演化,終于在16世紀定型為今天的樣子。

數字符號的簡單與否對概率論究竟有什么樣的影響,我們不妨舉例說明:

問:有n個人,當n為多少時,至少有兩人生日相同的概率大于二分之一?

假設所有人生日均不相同的概率為P,則

P=(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]

而題中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]

通過計算得出結論,當n=23時,P(n)=0.51>0.5,因此答案為23。

這是概率論中著名的“生日問題”,也是一種很典型的概率計算問題。從它的計算過程中我們不難看出,數字運算在概率論中占有重要的地位。如果使用古羅馬的計數法,這樣一個概率問題從表達到計算都會相當繁瑣,以至于它的求解幾乎是不可能的。

對于阿拉伯數字的偉大功績,大數學家拉普拉斯(Laplace)有如下評價:“用不多的記號表示全部的數的思想,賦予它的除了形式上的意義外,還有位置上的意義。它是如此絕妙非常,正是由于這種簡易難以估量⋯⋯我們顯然看出其引進之多么不易。”[3]阿拉伯數字的出現為概率的表達和計算掃清了阻礙,如果沒有這些簡便的符號,概率論可能還只停留在概率思想的階段。正是由于使用了可以簡潔地表示分數和小數的阿拉伯數字,才使概率思想得以通過形式化的符號清晰地表現出來并逐漸形成理論體系。在概率論的孕育階段,這種形式化的過程是十分必要的,它使得對概率的理解和計算成為可能,因此先進的計數系統對概率論的形成和發展都起著重要的作用。

三概率論產生的方法論基礎———歸納法

除了需要具備上述因素以外,概率論的形成還需要具備歸納思維。概率論是一門具有明顯二重性的理論體系:“一方面它反映了從大量機遇現象中抽象出來的穩定的規律性;另一方面它關系著人們對證明命題的證據或方法的相信程度”。[4]這兩方面特性都以歸納法作為最基本的研究方法,因此可以說,歸納法是概率論的方法論基礎,概率論的產生必須在歸納法被廣泛運用的前提下才成為可能。歸納法雖然是與演繹法同時存在的邏輯方法,但在文藝復興以前,占主導地位的推理方式是演繹思維(不具有擴展性),歸納思維是不受重視的。直到文藝復興運動以后,這種狀況才被打破。歸納法因其具有擴展性而逐漸成為進行科學發現的主導方法。

從演繹到歸納,這個過程實際上是一種思維方式的轉變過程,雖然轉變是在潛移默化中完成的,但轉變本身對概率論的出現卻起著決定性的作用。我們可以通過考察“概率論”(probability)一詞的詞根“可能的”(probable)來說明這種轉變。在古希臘“,probable”并不是今天的這個含義,它曾意味著“可靠的”或“可取的”,比如說一位醫生是“probable”就是指這位醫生是可以信賴的。但到了中世紀,這個詞的含義發生了變化,它已經和權威聯系在一起了。當時的人們在判斷事情的時候不是依靠思考或證據而是盲目地相信權威,相信更早的先人所說的話。在這種情況下,如果說某個命題或某個事件是“probable”,就是說它可以被權威的學者或《圣經》之類的權威著作所證明。而經過了文藝復興之后,人們終于意識到對自然界進行探索(而不是崇拜權威)才是最有價值的事,正如伽利略所說的那樣:“當我們得到自然界的意志時,權威是沒有意義的?！盵5]因此,“probable”才逐漸與權威脫離了關系。15、16世紀時它已經具有了今天的含義“可能的”,不過這種可能性不再是權威而是基于人們對自然界的認識基礎之上的。

“probable”一詞的演化體現了人們認識事物方式的轉變過程。當然這并不是說,文藝復興以前沒有歸納思維。留學生論文當一個人看到天黑的時候他會自然想到太陽落山了,因為每天太陽落山后天都會黑。這種歸納的能力是與生俱來的,即使中世紀的人們思想受到了禁錮,這種能力卻還不至消失。而拋棄了權威的人們比先輩們的進步之處在于,他們是用歸納法(而不是演繹法)來研究自然界和社會現象的。他們將各種現象當作是自然或社會的“特征”,進而把特征看作是某種更深層的內存原因的外在表現。通過使用歸納推理進行研究,他們就可以發現這些內在原因,從而達到揭開自然界奧秘和了解社會運行規律的目的。于是在好奇心的驅使之下,歸納思維被充分地激發出來。而這一點恰恰是概率論得已實現的必要條件。從概率論的第一重特性中可以看出,概率論所研究的對象是大量的隨機現象,如賭博游戲中擲骰子的點數,城市人口的出生和死亡人數等等。這些多數來自于人們社會活動的記錄都為概率論進行統計研究提供了必須的數據資料。雖然這些記錄的收集與整理其目的并不在于發現什么規律,但善于運用歸納思維的人卻能從中挖掘出有價值的研究素材。例如,早在16世紀,意大利數學家卡爾達諾就在頻繁的賭博過程中發現了骰子的某些規律性并在《機遇博奕》一書中加以闡述;17世紀,英國商人J·格龍特通過對定期公布的倫敦居民死亡公告的分析研究,發現了死亡率呈現出的某種規律性[6];萊布尼茲在對法律案件進行研究時也注意到某個地區的犯罪率在一定時期內趨向于一致性。如果沒有很好的歸納分析的能力,想要從大量繁雜的數據中抽象出規律是不可能的。而事實上,在17世紀60年代左右,歸納法作為一種研究方法已經深入人心,多數科學家和社會學家都在不自覺地使用歸納的推理方法分析統計數據。除了上述兩人(格龍特和萊布尼茲)外,統計工作還吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批優秀學者。正是由于許多人都具備了運用歸納法進行推理的能力,才能夠把各自領域中看似毫無秩序的資料有目的地進行整理和提煉,并得到極為相似的結論:隨機現象并不是完全無規律的,大量的隨機現象的集合往往表現出某種穩定的規律性。概率論的統計規律正是在這種情況下被發現的。

概率論的第二重特性同樣離不開歸納法的使用。既然概率論反映的是人們對證明命題的證據的相信程度(即置信度),那么首先應該知道證據是什么,證據從何而來。事實上,證據的獲得就是依靠歸納法來實現的。在對自然界特征的認識達到一定程度的情況下,人們會根據現有的資料作出一些推理,這個推理的過程本身就是歸納的過程。當假設被提出之后,所有可以對其合理性提供支持的材料就成了證據,即證據首先是相對于假設而言的。如果沒有歸納法的使用,證據也就不存在了。由于歸納推理在前提為真的情況下不能確保結論必然為真,因此證據對假設的支持度總是有限的。在這種情況下,使用歸納推理得到的命題的合理性便不能得到充分的保障。而概率論的第二重特性就是針對這個問題的,證據究竟在多大程度上能夠為假設提供支持?這些證據本身的可信度有多少?為解決歸納問題而形成的概率理論對后來的自然科學和邏輯學的發展都起到了重要的作用。

歸納法的使用為概率論的形成提供了方法論基礎。它一方面使得概率的統計規律得以被發現,另一方面,也使概率論本身具有了方法論意義。從時間上看,概率論正是在歸納法被普遍運用的年代開始萌芽的。因此,作為一種具有擴展性的研究方法,歸納法為概率論的誕生提供了堅實的思維保障和方法論保障,在概率論的形成過程中,這種保障具有不容忽視的地位。四社會需求對概率論形成的促進作用

與前面述及的幾點因素相比,社會因素顯然不能作為概率論產生的內在因素,而只能被當作是一種外在因素。但從概率論發展的過程來看,作為一種與實際生活緊密相關的學科,其理論體系在相當大的程度上是基于對社會和經濟問題的研究而形成的,因此對實際問題的解決始終是概率理論形成的一種外在動力。在這一點上,社會因素與概率理論形成了一種互動的關系，它們需要彼此相結合才能得到各自的良好發展。從17、18世紀概率論的初期階段來看,社會經濟的需求對概率論的促進作用是相當巨大的[7]。

在社會需求中,最主要的是來自保險業的需求。保險業早在奴隸社會便已有雛型,古埃及、古巴比倫、古代中國都曾出現過集體交納稅金以應付突發事件的情形。到了14世紀,隨著海上貿易的迅速發展,在各主要海上貿易國先后形成了海上保險這種最早的保險形式。其后,火災保險、人壽保險也相繼誕生。各種保險雖形式各異,但原理相同,都是靠收取保金來分擔風險的。以海上保險為例,經營海上貿易的船主向保險機構(保險公司)交納一筆投保金,若貨船安全抵達目的地,則投保金歸保險機構所有;若途中貨船遭遇意外而使船主蒙受損失,則由保險機構根據損失情況予以船主相應的賠償。這樣做的目的是為了將海上貿易的巨大風險轉由兩方(即船主與保險公司)共同承擔[8]。從這個過程中可以看出,對保險公司而言,只要船只不出事,那么盈利將是肯定的;對船主而言,即使船只出事,也可以不必由自己承擔全部損失。

從性質上看,從事這種事業實際上就是一種賭博行為,兩方都面臨巨大風險。而這種涉及不確定因素的隨機事件恰恰屬于概率論的研究范圍。工作總結由于保險業是一項于雙方都有利的事業,因此在16、17世紀得到了快速的發展,歐洲各主要的海上貿易國如英國、法國、意大利等都紛紛成立保險公司,以支持海上貿易的發展。此外還出現了專門為他人解決商業中利率問題的“精算師”。不過在保險業剛起步的時候,并沒有合理的概率理論為保金的制定提供指導,最初確定投保金和賠償金的數額全憑經驗,因此曾經出現過很長時間的混亂局面。而這樣做的直接后果就是不可避免地導致經濟損失。例如在17世紀,養老金的計算就是一個焦點問題。荷蘭是當時歐洲最著名的養老勝地和避難場所,但其養老金的計算卻極為糟糕,以致政府連年虧損。這種狀況一直持續到18世紀,概率理論有了相當的發展,而統計工作也日漸完善之后,情況才有所改觀[9]。在結合大量統計數據的前提下,運用概率理論進行分析和計算,由此得到的結果才更有可能保證投資者的經濟利益。

我們可以舉一個人壽保險的例子來說明概率理論是如何應用到保險事業中來的:2500個同年齡段的人參加人壽保險,每人每年1月交投保費12元。如果投保人當年死亡,則其家屬可獲賠2000元。假設參加投保的人死亡率為0.002,那么保險公司賠本的概率是多少?

從直觀上看,如果當年的死亡人數不超過15人,則保險公司肯定獲利,反之,則賠本。不過單憑經驗是絕對不行的,必需有一套合理的理論來幫助處理此類問題。根據所給條件,每年的投保費總收入為2500×12=30000(元),當死亡人數n≥15時不能盈利。令所求之概率為P,由二項分布的計算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是說,如果按以上條件進行投保并且不出現特別重大的意外,則保險公司有幾乎百分之百的可能性會盈利。

這個問題就是通過將概率理論運用到關于人口死亡的統計結果之上從而得到解決的。這個簡單的例子告訴我們,概率理論對保險業的發展有著相當重要的指導作用。根據統計結果來確定在什么樣的條件下保險公司才能盈利是概率理論對保險業最主要的貢獻,它可以計算出一項保險業務在具備哪些條件的情況下會使保險公司獲得收益,并進而保證保險公司的經營活動進入良性循環的軌道。從另一方面看,最初保險業的快速發展與其不具有基本的理論依據是極不協調的,這很容易導致保險公司由于決策失誤而蒙受經濟損失。因此保險事業迫切需要有合理的數學理論作為指導。在當時的社會環境下,由科學家參與解決實際問題是非常有效的,而由保險所產生的實際問題確實曾吸引了當時眾多優秀數學家的目光。在1700-1800年間,包括歐拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在內的許多著名學者都曾對保險問題進行過研究,這些研究的成果極大地充實了概率理論本身。

可以說,經濟因素和概率理論在彼此結合的過程中形成了良好的互動關系,一方面數學家們可以運用已有的理論解決現實問題。另一方面,新問題的出現也大大刺激了新理論的誕生。概率論的應用為保險業的合理化、規范化提供了保證,正是由于有了概率論作理論指導,保險業的發展才能夠步入正軌。反過來,保險業所出現的新的實際問題,也在客觀上促進了概率理論的進一步完善。這樣,對于概率論的發展來說,保險業的需求便順理成章地成為了一個巨大的動力。

五總結

概率論的產生就像它的理論那樣是一種大量偶然因素結合作用下的必然結果。首先,賭博這種機遇游戲提供了一種良好的獨立隨機過程,在進行賭博的過程中,最原始的概率思想被激發出來;其次,先進的計數系統為概率思想的表達掃清了阻礙,也使得這些思想得以形式化并形成系統的理論。當然在獲得概率思想的過程中,思維方式的轉變和研究方法的進步才是最根本的關鍵性條件。如果沒有歸納法的使用,即使存在著良好的獨立隨機過程也不可能使人們認識到大量統計數據中所隱藏著的規律性。此外,社會經濟的發展,需要借助數學工具解決許多類似保險金的計算這樣的實際問題,而這些吸引了眾多優秀數學家們興趣的問題對于概率論的形成是功不可沒的,它大大刺激了概率理論的發展,使概率論的理論體系得到了極大的完善。上述四個因素都是概率論產生的重要條件,但是它們彼此之間并沒有明顯的時間上的先后順序,最初它們的發展是各自獨立的,但是隨后這些條件逐漸結合在一起,使得原本零散的概率思想開始系統化、條理化。從概率論的歷史來看,這幾種因素的結合點就是17世紀末至18世紀初,因此概率論在這個時間誕生是很自然的事。

了解概率論的產生條件對于我們理解概率論在當今社會的重大意義有很好的幫助。今天,隨著概率理論的廣泛應用,它已不僅僅是一種用于解決實際問題的工具,而上升為具有重大認識論意義的學科。概率論不僅改變了人們研究問題的方法,更改變了人們看待世界的角度。這個世界不是絕對必然的,它充斥著大量的偶然性,所謂規律也只是在相當的程度上被我們所接受和信任的命題而已。運用概率,我們就可以避免由歸納法和決定論帶來的許多問題和爭論。科學發現的確需要偶然性,現代科學向我們證明,概率理念和概率方法已經成為進行科學研究的一項重要手段。

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