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摘要:以玻爾茲曼統計力學理論為主要研究對象，對統計力學形成時期的數學物理學關系進行探討，研究此時期數學物理學關系以及其在整個歷史時期中所起的重要作用。研究結果表明，物理學促進了數學方程和數學結構的形成，同時數學觀念、方法、原理等的介入促進了物理學的發展，數學思想的引進帶來了統計世界觀的轉變。此時期的數學物理學關系在數學物理學關系由經典力學到量子力學的轉變中起到了承上啟下的作用。

關鍵詞:統計力學;數學;物理學

數學與物理學的關系在古希臘時期就開始被討論，數學和物理學最初的研究對象都為自然界，二者在某種意義上存在著相互關聯。統計力學是在經典力學的框架之下，運用統計學的方法和概念，通過研究大量微觀粒子的運動來描述和解釋宏觀的現象和規律，物理學研究開始深入微觀領域。狄拉克認為，物理學家研究自然現象有2種有效方法，一種是實驗和觀察，另一種則是數學理性［1］。當研究深入微觀領域時，由于人類應用實驗方法的局限性，數學開始占據主導方法的地位。統計力學在物理學上被稱為經典力學到量子力學的過渡時期，那么，其在數學與物理學的關系上是否也成為一個重要的轉折點，在此時期統計力學會對數學與物理學的關系產生什么樣的認識論和世界觀的轉變?本文以玻爾茲曼統計力學為主要理論，對統計力學形成時期數學與物理的關系進行深入研究，探求二者關系發生的變化。

1統計力學形成時期的理論

統計力學形成時期主要是指以克勞修斯在1850年引入統計平均為起到1877年玻爾茲曼確定了熵與概念的關系(玻爾茲曼原理)為止。統計力學形成初期，克勞修斯定性地說明了氣體運動論的基本思想，即以氣體中大量分子無規則運動為起點，根據力學定律來描述微觀分子的運動與宏觀現象之間的聯系。他認為氣體分子運動是一個隨機的過程，將分子集合速度的數值看作是平均數值。同時，引進了平均自由程這個統計概念來解決氣體分子理論上的速度與氣體擴散速度相差較大這一事實之間的矛盾。麥克斯韋基于氣體性質的考察來彌補克勞修斯理論的缺陷。他用剛球模型來模擬氣體分子，在動力學體系下，對分子碰撞進行數學分析，認為分子碰撞時能量的分配具有規律性，通過討論分子的速度分布，推導出平衡態的速度分布函數。克勞修斯僅使用了平均值這個概念，麥克斯韋使用概率來定義速度分布函數的概念，描述了微觀粒子的宏觀狀態，具有統計性質。在克勞修斯和麥克斯韋工作的基礎上，玻爾茲曼在1872年，借助于麥克斯韋的剛球分子模型和統計分析，通過考慮在均勻空間中無外力作用的情況下，能量為x的分子在6N維相空間中碰撞后在某一位置上某一瞬間數量的變化，得出有關概率密度函數隨時間的演化方程。然后考慮在外力作用之下的非均勻分布的情況，玻爾茲曼將物質的不連續性應用到能量上，推導出關于位形和速度的分布函數ft(r，v)隨時間的演化方程，成為歷史上第一個關于概率在時間上的演化方程［2］，被命名為玻爾茲曼方程［3］:ft+ξfx+ηfy+ζfz+Xfξ+Yfη+Zfζ+∫dξ1dη1dζ1∫bdb∫dψV(ff1－f'f'1)=0(1)玻爾茲曼用此方程推導出單原子分子系統的H定理，dHdt≤0，H定理從微觀角度證明了宏觀現象的時間不可逆性以及熱平衡狀態的存在，證明了麥克斯韋分布的唯一性。H定理雖然成功地解釋了大量的物理現象，但同時也遭到物理學家和數學家的批評。1876年，洛喜密脫提出可逆性佯謬，說明在力學體系下用微觀上的可逆性去解釋宏觀的不可逆性是矛盾的。1877年，玻爾茲曼在解決不可逆佯謬時開始意識到了熱力學第二定律統計解釋的意義。他考慮裝在完全彈性的容器內的封閉氣體，避免分子速度和位置的連續性，利用完全彈性剛球分子模型，依據先驗的等概率性，同時對于分子的速度運用離散模型，將能量對分子進行配容，得到下式:m0+m1+m2+……+mp=Nm1+2m2+……+pmp=λ(2)這樣，由置換論點的方法，可得一個確定狀態分布的配容數p，配容數即為該狀態的幾率。取極限過渡到連續能量情形，利用斯特林公式和拉格朗日乘子方法求logP最大值，即可求得最可幾的狀態分布。接下來，玻爾茲曼將熱力學第二定律與概率理論聯系起來，在平衡態下進行考慮，得出熵與幾率的對數成正比關系，后被普朗克以精確的公式表示出來，即S=κlogW(3)式中:S為熵，κ為玻爾茲曼常數;W為配容數或者狀態的幾率。以最可幾狀態來定義熱平衡狀態以及確定熱力學第二定律與概率之間的關系，標志著統計力學基本形成。

2統計力學形成時期數學與物理學的關系

2.1物理學對數學的影響

玻爾茲曼堅持原子論，認為物質是由不連續的分子組成的，而連續的事物都是由不連續的事物極限過渡產生的。玻爾茲曼將物質的不連續性用于能量上，得出的玻爾茲曼方程不僅是玻爾茲曼統計力學理論的核心內容，首次給了我們以處理微觀與宏觀現象之間關系的工具，從而預測了宏觀現象的不可逆性，而且已成為數學嚴密理論的研究對象。1994年，路易斯•萊昂因證明了玻爾茲曼方程的存在性獲得了菲爾茲獎。玻爾茲曼方程對物理學也是一個有用的工具，尤其是在航空航天上的應用。熵與概率的關系式也是一種數學結構，維納將此關系式應用到信息傳遞的過程中，從而發現了信息量其實就是負熵，熵增即代表信息損失。物理學的發展促進了新的數學方程和數學結構的形成，同時因探索描述物理過程而形成的數學方程，將物理學的思想上升到抽象的高度，反過來又促進和豐富物理學的發展。

2.2數學對物理學的影響

(1)數學中的想法可以發現新的物理定律。Vafa認為數學與物理學家之間存在“鴻溝”主要是基于一個事實:即使數學對象進入到物理中，但數學思考的模式對大部分物理學家仍然是陌生的［4］。這就在一定程度上限制了物理學的發展。而玻爾茲曼將數學中不連續的處理方法運用到能量中，形成離散能量模型，再通過取極限將其過渡到連續的情形，在此基礎上推導出熵與概率的關系式，從而發展了經典統計力學。普朗克承認玻爾茲曼所使用的離散能量模型導致了他發現了能量子，而量子的概念則為量子力學理論的形成奠定了概念前提。數學不再單單是工具，數學的思維方式介入到物理學中，促進物理學的發展。(2)數學概念和原理的應用形成了新的世界觀。在經典力學框架下，以統計學原理和熵概念為基礎形成的統計力學改變了人們看待世界的方式，形成了統計世界觀，即統計決定論:自然在統計的意義上具有決定性。我們所能觀測的量是宏觀可測量的量，這本身就存在著統計的性質。H定理中借用分子運動統計分布律推導出熵必然增加。在可逆性佯謬提出之后，玻爾茲曼將宏觀量熵與概率聯系起來，將系統的熵解釋為“一種狀態的概率量度”，對熵的概念作了統計解釋，熵趨于最大時，趨于宏觀平衡態所對應的微觀態要比不趨于統計平衡態的微觀態大得多。熵減少也存在可能性，只是可能性微乎其微。熱力學平衡態是動態的，存在漲落，以此說明了熱力學第二定律的統計本質，指出宏觀世界運行方向的不可逆性，而微觀世界分子運行的可逆性在宏觀上的表征體現了自然界遵循的是統計規律。宏觀現象可逆性是可以實現的，但由于單位體積內分子數目巨大，發生的概率極其小且經歷的時間極其長，可以說自然過程在統計意義上是具有決定性的。(3)數學促進了物理學思想的形成，又反過來影響88了數學在物理學中的作用。在1872年之前，玻爾茲曼的理論都是建立在力學運動方程基礎之上的，采用速度分布律對熱力學第二定律作了系統的統計論證，而所提到的概率代表相對時間或者相對粒子數，是一種純力學的解釋，作為一種數學方法或者計算工具存在，所以在此之前形成的理論是一種唯象理論。之后，玻爾茲曼意識到統計解釋的重要性，首次使用概率論證，將熵與概率聯系起來。而概率開始作為一種“非力學要素”［5］，被定義為相空間中的相對體積，概率概念的轉變標志著統計力學的誕生。玻爾茲曼以等概率假設為依據，對分子進行配容得出式(2)，確定了最可幾分布;利用數學推理，得出熵與概率的關系式(3)，解釋了熱力學第二定律以及其與概率之間的關系;通過“自旋回波”效應的實驗以及對具有大量自由度的系統進行數字實驗，表明大量粒子的系統具有時間反演的可能性。由此，統計力學理論首先經歷了從唯象理論到非唯象理論的轉變［6］，即數學開始由描述物理現象轉變為解釋物理現象。

3結論

統計力學形成之前，在笛卡爾的機械自然觀的引導之下，牛頓將力從物體與運動中獨立出來，力具有了本體的位置，從而以力為基本概念發展形成經典力學。在此時期，數學與物理學相互作用，一方面，數學在整體過程中以觀念和工具的方式融合進物理，對物理現象進行描述，促進了物理本體的形成，進而對自然進行解釋和重構［7］，同時也促進了物理新思想的形成;另一方面，物理為數學提供概念和研究對象，物理學的發展也促進了數學體系的形成。在統計力學形成時期，數學物理關系延續了牛頓力學時期的發展，即數學作為物理的語言和物理計量與推理的工具，如理性力學中微積分的概念代表瞬時變化率，統計力學中用分子速度分布律來表示概率。同時物理學的發展也促進了數學的形成，如微積分、概率微積分方程。但隨著數學物理學各自的發展，數學物理關系也發生了變化。從19世紀開始，數學的抽象影響了數學與物理學的關系，數學開始越來越獨立于力學和物理，雖仍然相互作用，但開始平行發展，不再相互滲透［8］。在統計力學形成時期，數學觀念的改變，數學方法和原理的介入都在物理學中起著重要的作用，甚至對物理學未來發展都有著一定的影響。因統計力學仍然是在經典力學的大背景之下形成的，所以數學物理學的關系沒有發生根本性的改變，數學在物理學中的作用最根本還是工具性的運用。雖然玻爾茲曼在置換論點方法中使用了置換群的概念，但并沒有產生數學結構的思想，以及意識到數學結構在物理學中的重要作用，使用的僅僅還是描述物理現象的數學模型或方法。但玻爾茲曼作為堅定的原子論者，他相信整數的實在性，因而認為自然界是不連續的。數為最簡單基本的概念，對數以及數學的運用構成了自然科學的基礎概念，進而認識空間、力、能量等其他概念。19世紀末的數學開始趨向于統一，數和形的區別在于數是離散的，而形是連續的。以統一的觀點來看，數是零維的，而圖形是一維到更高維的［9］。因此，按玻爾茲曼的觀點來講，數能推導出空間的概念，幾何學也就可以用數來研究，體現了畢達哥拉斯萬物皆數的思想。所以數學與物理學在一定程度上達到了統一。19世紀末，結構數學萌芽。根據對稱性等原理構造數學方程以及利用數學結構來描述物理學成為20世紀物理學發展的慣用方式之一，這一時期數學與物理學的關系更加密切，數學不再僅僅是物理學的工具，很多人把本體論上的數學結構和世界結構關聯起來，討論由認識論更多地上升到了本體論的層次。我們現在回頭審視統計力學發展的這一段歷史，它在數學物理學發展中承上啟下的地位得到了充分地展現。

作者:程瑞 許媛 單位:山西大學科學技術哲學研究中心

參考文獻

［1］DiracPAM．Therelationbetweenmathematicsandphysics［J］．Resonance，2003，8(8):102－110．

［2］卡羅•切爾奇納尼．玻爾茲曼:篤信原子的人［M］．胡新和，譯．上海:上海科學技術出版社，2002．

［3］廣重徹．物理學史［M］．李醒民，譯．北京:求實出版社，1977．

［4］CumrunVafa．Onthefutureofmathematics/phys-icsinteraction［J］．MathematicsFrontiers＆Perspectives，2000，321－328．

［5］陳秉乾，胡望雨．玻耳茲曼傳略［J］．物理教學，1993(8):20－24．

［6］鐘海琴．玻耳茲曼的科學哲學思想研究［M］．北京:中國科學技術出版社，2011:81．