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論文關鍵詞:金融數學；概率論；鞅理論；最優停時理論

論文摘要:對現代金融數學的發展進行了較詳細的綜述，并就其研究動態及發展趨勢進行了分析。

一、引言

現代金融理論伴隨著金融市場的發展大量應用概率統計，這是經濟數學化的最大成就，從而出現了一個全新的學科—-金融數學。金融數學是以概率統計和泛函分析為基礎,以隨機分析和鞅理論為核心，主要研究風險資產（包括衍生金融產品和金融工具）的定價、避險和最優投資消費策略的選擇。近二十幾年來，金融數學不僅對金融工具的創新和對金融市場的有效運作產生直接的影響，而且對公司的投資決策和對研究開發項目的評估（如實物期權）以及在金融機構的風險管理中得到廣泛應用。現在對它的研究方興未艾,21世紀肯定是它進一步蓬勃發展的時代。

二、金融數學的歷史進展

金融數學的歷史可以追溯到1900年法國數學家巴謝利耶(L·Bachelier)的博士論文—“投機的理論”(TheoryofSpeculation)，這宣告了金融數學的誕生。在文中他首次用布朗運動來描述股票價格的變化，他認為在資本市場中有買有賣,買者看漲、賣者看跌,其價格的波動是布朗運動(BrownianMotion)其統計分布是正態分布,這要比愛因斯坦1905年研究布朗運動早5年。

然而，巴謝利耶的工作沒有引起金融學界的重視達50多年。20世紀50年代初，薩繆爾森（PaulA.Samuelson）通過統計學家薩維奇（L·J.Savage）重新發現了巴謝利耶的工作，這標志了現代金融學的開始。現代金融學隨后經歷了兩次主要的革命，第一次是在1952年。那年，馬爾柯維茨（H.Markowitz,1952）發表了他的博士論文，提出了“資產組合選擇的均值方差理論”（mean-variancetheoryofportfolioselection）.它的意義是將原來人們期望尋找“最好”股票的想法引導到對風險和收益的量化和平衡的理解上來。給定風險水平極大化期望收益，或者給定收益水平極小化風險，這就是上述“均值方差理論”的主要思想，我們可以將它看成是一個帶約束的最優化問題。稍后，夏普（W.F.Sharpe,1964）和林特納（J.Lintner,1965）進一步拓展了馬爾柯維茨的工作，提出了“資本資產定價模型”（capitalassetpricingmodel,簡稱CAPM）。它的要點是確定每一個股票和整個市場的相關性，于是，對于上述最優化問題，每個股票的持有量可以由該股票的平均回報率和該股票與市場的相關系數來確定。

值得一提的是20世紀60年代的另一個有影響的工作是薩繆爾森（Samuelson,1965）和法馬（E.Fama，1965）的“市場有效性假設”（efficientmarkethypothesis）,這本質上是對于市場完備性的某種描述。他們證明，在一個運作正常的市場中，資本價格過程是一個（下）鞅，換句話說，將來的收益狀況實際上是不可測的，這項工作實際上為第二次革命做了鋪墊。費希爾（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年中期的歷史數據檢測了“市場有效性假設”。他們的結果表明，在這段時間里，隨機的選擇股票并且持有，其平均回報率為每年9.4％，它要比一般的專業經紀人為他們的顧客運作所獲得的贏利來得高。

金融數學的第二次革命發生在1973年。那年，費希爾·布萊克和邁倫·斯科爾斯（F.BlackandM.Scholes,1973）發表了著名的Black-scholes公式，給出了歐式期權定價的顯示表達式。默頓和斯科爾斯在紀念布萊克的一篇文章（Mertonandscholes,1995）中敘述了當年布萊克和斯科爾斯的文章被接受的困難程度，其原因是他們的工作超前了那個時代。

不久，默頓獲得了另一種推導方法，并且給以了推廣。1979年，考克斯、羅斯和魯賓斯坦（Cox,Ross,andRubinstein,1979）發表了二叉樹模型；同時哈里森和克雷普斯（HarrisonandKreps）提出了多時段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（HarrisonandPliska,1981）提出了等價鞅測度（這與“市場有效性假設”有密切的關系）。這些工作本質上是為了風險管理這個主題服務的。

三、現代金融數學的發展趨勢

（一）金融數學的一些新問題

金融數學的兩大突破都用到了非常深刻的數學工具。前者需要近20年發展起來的隨機分析;后者更是為數學家提出了許多新問題。如美式期權問題、亞洲期權問題、利率的期限結構問題、市場的波動與突發事件問題,等等。在理論研究上,模型的進一步修正是一個需要深入研究的問題。在應用研究上,如何針對具體的金融問題設計新的期權?也不是所有期權都會有精確的定價公式。如何做各種近似計算?各類保險合同實際上也是一種特殊的期權。如何應用于保險事件?最重要的是結合中國的金融實際還有許多宏觀與微觀的經濟問題需要解決。

（二）概率論在金融數學中最新的理論發展

1、鞅理論

現代金融理論最新的研究成果是鞅理論的引入。在市場是有效的假定下,證券的價格可以等價于一個鞅隨機過程。由Karatzas和Shreve等人倡導的鞅方法直接把鞅理論引入到現代金融理論中，利用等價鞅測度的概念研究衍生證券的定價問題,得到的結果不僅能深刻揭示金融市場的運行規律,而且可以提供一套有效的算法,求解復雜的衍生金融產品的定價與風險管理問題。利用鞅理論研究金融理論的另一個好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題，從而使現代金融理論取得了突破性的進展。目前基于鞅方法的衍生證券定價理論在現代金融理論中占主導地位,但在國內還是一個空白。公務員之家

2、最憂停時理論

最優停時理論是概率論中一個具有很強應用背景的領域,他的蓬勃發展是60年代以后的事。近幾年,在國內也有一些學者開始熱心這一領域的研究,而且取得了可喜的成果運用最優停時理論研究了具有固定交易費用的證券投資決策問題,給出了具有二個風險證券的投資決策問題一種簡化算法。在國內有關這方面的研究尚不多見，相信運用最優停時理論來研究投資決策問題和風險最小化問題會有更大的進展。

四、結束語

金融與數學的結合越來越引起國際金融界和數學界的關注。金融數學也已經開始在我國得到了越來越廣泛的重視。所以更應鼓勵數學系學生去考經濟金融研究生;增加經濟和金融專業數學內容(而不是減少)，鼓勵專家學者“下海”,以形成高素質的新型企業家、銀行家集團，為我國的金融體制改革,以及我國金融市場與國際金融市場接軌、參與國際金融市場競爭,做出應有的貢獻。

參考文獻：

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[3]（美）JosephStampfli,VictorGoodman著，蔡明超譯.金融數學.機械工業出版社.2004.