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綜合利用水庫的優化調度受多因素影響，如徑流，水庫特性、用水特性以及電站的機電特性等，其中徑流的影響較大。本文采用馬爾可夫單鏈彈性相關理論處理徑流，以供水流量為決策變量，在考慮有效雨量的基礎上建立了動態規劃數學模型，編制了結構簡明，功能完善，便于操作使用的大型優化調度計算程序，自動繪制出三維優化調度圖，利用優化調度圖進行綜合利用水庫調節計算，在幾乎不增加投資的條件下，產生了巨大的經濟效益。經實踐證明，本方法準確可靠，適合于大、中、小型水庫，也適合于平原水庫、地下水庫；更適合于我國北方水資源緊缺地區使用。

1采用離散的馬爾可夫隨機過程描述徑流

1.1用馬爾可夫過程描述徑流

為了計算和應用的方便，將時間序列離散化(即分為若干時段：月)，相鄰時段存在著依賴關系，以水庫來水的3個相鄰時段t1、t2、t3間徑流關系進行分析。用X1、X2、X3表示3個時段的徑流，三者之間的相關情況可分為2種情況：(1)直接相關。即不管X2取值怎樣(或不計X2取值的影響)的條件下，X1與X3相關，稱為偏相關，其相關程度用相關系數表征，可用數量表示為γ13。(2)間接相關。即因存在著X1和X2、X2和X3之間的相鄰時段相關關系，故X1的大小影響著X2的大小，從而又影響著X3的大小。這種相關是由中間量X2傳遞的，不是直接的，因此叫間接相關。

1.2計算相應條件概率

當一年分成K個時段(月)，每個時段的徑流以平均值來表示，記作QK(K=1,2,3,……,K)。

應用相關理論分析，可以確定相鄰時段徑流QK,QK-1(如圖1所示)的條件概率分布函QK,QK-1的條件概率分布函數示意數F(QK/QK-1)。其條件概率分布是一個二維分布，用概率理論及水文統計原理來推求徑流的條件概率計算式。

圖1相鄰時段徑流

研究相鄰時段的徑流相關聯系時，應用相關系數R及回歸方程式求得

(1)

隔時段相關系數則為：

(2)

式中：Q1i,Q2i,Q3i為第i年相鄰時段的實測徑流值；為平均值；n為徑流實測系列年數。本時段徑流的相關關系，應用相關中的直線相關，以自回歸線性公式來表示：

(3)

式中：σK,σK-1分別為時段tk,tk-1的徑流均方差；R1為相鄰時段徑流之間的相關系數。

相鄰時段徑流之間應用自回歸線性相關時，其間隔時段的徑流對回歸線的偏離值即誤差的分布，經剛性和彈性相關比較后，采用了彈性相關處理方法即偏態分布，按皮爾遜Ⅲ型曲線分布。相應于條件概率的流量QPK可由下式求得：

(4)

式中：條件變差系數，其中Cvk為變差系數。一年劃分為K個時段，每個時段的徑流劃分為M級(即M個狀態)，則相鄰時段的轉移概率：Pkij(k=1,2,3,……,k;i,j=1,2,3,……,M)表示的含義是tk-1時段徑流為狀態i時，tk時段徑流為狀態j時的概率

而矩陣

(5)

則表示tk-1時段到tk時段狀態的轉移概率矩陣，顯然，這個矩陣的每行各非負元素之和為1，即：

(6)

為了計算Pkij轉移概率的方便，取等分的10個概率5%，15%，……95%，這樣轉移概率的值都為0.1，則相應的條件概率的流量Qpi由式(4)即可求得。

2動態規劃

動態規劃法是美國數學家貝爾曼提出的，是一種研究多階段決策過程的數學方法。近年來廣泛應用于水資源規劃管理領域中

2.1動態規劃數學模型

把徑流當作隨機過程的水庫優化調度圖的計算是一個多階段的隨機決策過程。它的計算模型如下。

(1)階段：將水庫調度圖按月(或者旬)劃分成12個相互關連的階段(時段)，以便求解

(2)狀態：因相鄰兩個階段的入庫平均流量Qt和Qt+1之間有相關關系，以面臨時段初的庫水位和本時段預報徑流量Qt為狀態變量St(Zt-1，Qt)

(3)決策：在時段狀態確定后，作一個相應的決定，即面臨時段的供水量qt，同時確定了時段末水位，進行狀態轉移。水庫水位分M級，故有M個狀態轉移，按0.618法在決策域內優選，對每一個狀態變量St要選擇一最優供水量qt，St～qt關系曲線為時段t的調度線，決策域為(QDmin,t;Qxmax,t)

對決策變量供水量qt進行所有狀態優選計算時，還要進行庫水位限制的檢查判別，若時段末蓄水量V2大于允許的最高蓄水位或限制水位，則在水庫蓄滿前供水量仍按qt放水計算，當水庫蓄滿后則按入庫水量供水。當入庫水量大于電廠最大過水能力時，超過部分作為棄水

(4)狀態轉移：水庫狀態和調度圖形式有關，因考慮當時入庫徑流和短期徑流因素，水庫調度中將一年劃分為K個時段，每個時段由時段初庫水位Z初和時段流量Qt組成水庫的運行狀態，而每一種狀態有一個相應的決策變量供水流量qt，用函數關系表示為：

qt=q(Z初,Qt,tk)

(7)

tk為時段數，每一個決策就有一個相應的時段末庫水位，水庫進行了狀態轉移，若將水庫的水位劃分為Z級，徑流劃分為M級。一個時段的水庫面臨狀態有Z×M種，全年水庫運行狀態有K×Z×M種，水庫優化調度圖就是對全年各種運行狀態作出相應決策變量的關系圖。

由式(7)可知，當時段tk的初始庫水位和徑流量已定時，時段的最優決策供水量是一個定值，因而下一時段tK+1的初始庫水位(即時段tk末的水位)也就是一個確定值。由于下一時段tK+1的徑流不是一個確定值，而是依時段tK的徑流Qt變化的隨機值，其值由條件概率分布函數(彈性相關)決策。因此，水庫在時段tK處于狀態i，而時段tK+1處于狀態j的狀態轉移概率為Pkij，則有，而矩陣Pk=(Pkij)則表示從時段tK到時段tK+1的水庫狀態轉移概率矩陣，Pk完全由時段tK的調度方式和徑流狀態轉移矩陣決定。經過多年運行后，水庫的運行狀態達到一個穩定的概率分布

(5)效益函數：水庫進行狀態轉移，伴隨著產生了效益函數(包括了工業用水、生活用水、灌溉用水、發電用水及三個保證率)

其中灌溉用水：因灌溉需水量每年、每月、每天都不相同，因此是隨機變量，極難編制計算機程序計算，故首次引入《農田水利學》的“有效雨量”概念，使整個優化計算大大簡化，完全解決了水量平衡問題，整個優化計算，水量平衡達到100%

有效雨量的計算：從水庫灌區試驗站獲取資料Mij即從1952～1999年歷年(i=1952～1999，j為第i年各月(或旬))的灌溉定額(是由歷年灌溉試驗站實測作物需水量采用通用電算程序計算出的)，而Mmax是48年中最枯水年的灌溉定額。Mmax-Mij=P0ij,i=1952,…,1999,j=1,…,12,逐一列表進行計算。把每年每月的有效雨量加到每年每月的來水量Qt中，因Mmax是常數，所以僅有隨機變量Mij。其數學表達式如下：Cixj=Aixj-Bixj，即：

(8)

式中Cij為i年系列j時段(月)的有效雨量，aij為i年系列j時段農作物需水量(j可按日計算后歸納成各農作物生長期所需水量，再換算成月)。bij為i年系列j時段各類農作物綜合灌溉水量。

(6)目標函數：根據水庫水資源不足的具體情況，擬定在滿足生活用水和工業用水保證率的條件下，盡量滿足農業用水。目標函數可表示為：滿足用水量保證率條件下供水量最大。目標函數計算可用下列分段線性函數求得：

f(st,qt)=qt

Qxmax≥qt≥Qxmin

(9)

f(st,qt)=qt+CA(qt-Qxmin)

Qxmin≥qt≥QDmin

f(st,qt)=Qxmax+CE(qt-Qxmax)

QDmax≥qt≥Qxmax

式中：qt為水庫供水量，QDmin為系統供水下限，即保證城市生活用水和工業用水的下限；Qxmin為農業保證供水量與QDmin之和；QDmax為電廠的最大過水能力；Qxmax為農業供水量上限與QDmin之和；CE為發電專用水量小于Qxmin時的折算系數，CA為供水量小于Qxmin時的折算系數，在計算中，可先任意假設CA、CE,CA、CE與Qxmin的保證率成正比。給定一個CA、CE就可遞推得出一張優化調度圖，用水庫多年入庫流量資料按調度圖進行歷時操作計算，若計算結果所得保證率低于要求的保證率，則修改CA、CE重新遞推計算(一般遞推2～3次即可)，求得另一優化調度圖，再進行歷時操作，直至所得保證率符合要求為止。即經過試算選擇滿足保證率要求的CA、CE值。

2.2動態規劃遞推方程以qt為t階段的決策變量，St(Zt-1,Qt)為t階段的狀態變量，則其逆時序動態規劃最優遞推方程為：

Ft(St,qt)=max｛ft(St,qt)+Ft+1(St+1)｝qt∈Qtt=1,2,…,N

(10)

式中：Ft(St,qt)代表水庫從時刻t處于狀態St出發至水庫運行終了時刻N(計算周期末)的目標函數值；ft(St,qt)代表時刻t水庫處于狀態St取供水量qt時面臨時段效益期望值；Ft+1(St+1)代表水庫從時刻t+1處于St+1(j狀態)出發至時刻期間各時段均采用最優決策時所得的效益期望值；Qt表示計算中t時段所用的入庫徑流序列；pi,j為t時刻采取qt決策，系統由第t階段的第i種狀態St轉移為第t+1階段的第j種狀態St+1時的條件概率，Ft+1相應St+1狀態最優決策的效益。

遞推方程的約束條件如下：①庫水位約束Vmin,t≤Vt≤Vmax,t，即各時段的庫水位不低于死水位Vmin,t，也不能超過該時段允許的最高蓄水位Vmax,t。②水量平衡約束Vt+1=Vt+(Qt-qt)·Δt-yt-Et,式中Vt+1、Vt代表時段t末、初的蓄水量；Qt、qt代表t時段平均入庫徑流量和供水量；yt為棄水量，Et為水庫蒸發滲漏損失。③供水約束和輸水能力約束QDmax,t≥qt≥QDmin,t。t時段內供水量不能超過水輪機的最大過水能力QDmax,t，也不能小于下限QDmin,t

2.3動態規劃遞推計算采取逆時序逐時段動態規劃遞推計算，即每時段對所有狀態逐一地優選對應的最優決策。對時段的多個入庫流量代表值所產生的效益期望值。優選方法采用0.618法，規定搜索點為20個

2.4優化調度圖Howard用Z變換方法證明式(10)隨年數t增加計算是收斂的，進行遞推計算采取逆時序遞推，即從N時段開始遞推到1時段，只要知道FN(SN)即可按式(10)遞推計算。開始可取庫水位(庫容)～蓄水量關系曲線作為初始遞推線FN(SN)。當對第一個時段的所有狀態優選出最優決策后，即可往前遞推一個時段。當第一年逐個時段全部遞推計算完畢后，還要進行第二年周期的遞推計算，是因為初始遞推FN(SN)是任意假設的，故第一年周期遞推所得的策略并非穩定的最優策略，必需繼續遞推至各時段的遞推線均收斂為止，這時所得的策略才是穩定的最優策略。遞推線收斂的準則是：前后兩年周期中同一時段的遞推線相差小于規定的相對誤差ε即：

|Ft(Si)n-Ft(Si)(n+1)|/Ft(Si)(n+1)≤ε

(11)

式中：Ft(Si)n代表第n年時段t遞推線上相應于狀態Si的未來效益值；Ft(Si)(n+1)則是第n+1年時段t遞推線上同一狀態Si相應的未來效益值，ε取0.001。一般最多遞推兩年就可以收斂，即可得出12時段或36個時段(旬)的最優調度線。這時各時段的最優決策構成一個最優策略，即為優化調度圖。顯然，因考慮月(或旬)、相隔月(旬)的相關，即多用了一項概率預報，則相應增加了經濟效益。由于采用了馬爾可夫單鏈彈性相關理論對徑流進行處理，使水庫調度圖從二維坐標變成三維坐標，形成空間水庫優化調度圖，再由調度圖換成一組以Qt為參數的方程，遞推線也由一條變成一組，即優化調度線由一條線變成一組，形成一族調度曲線圖，為便于實際調度時使用。

2.5動態規劃計算程序動態規劃的計算是一個非常復雜的過程，不同的規劃問題，要用不同的計算程序。我們根據最優化(opt)問題的數學模型［2］，用VISULC編制了計算程序，用遞推方程找出最優解。該程序在PⅡ微機上調試成功，經實踐證明其具有功能強大，使用方便，運行速度快等特點，并能自動繪出三維空間水庫優化調度圖及帶有一組參數的調度曲線圖。

3應用示例

本方法已應用于山東沐浴、跋山和黃前等幾個大中型水庫，都取得理想效果。僅以沐浴水庫多目標優化調度的應用情況來說明。

沐浴水庫位于山東省煙臺地區萊陽市，控制流域面積455km2，總庫容1.87億m3。興利庫容1.07億m3，年平均來水量6900萬m3。水庫每年向萊陽市供水180.0多萬m3，灌溉面積0.93萬hm2，水電站分東西電廠，裝機容量共為1800kW，是一座具有灌溉、防洪、城市工業、生活供水、發電、養殖等綜合利用的大型水利工程。如圖2所示。

在沐浴水庫優化調度過程中，我們用馬爾可夫單鏈彈性相關理論對徑流進行處理，將供水流量作為決策條件，在引入有效雨量的基礎上，采用優選迭代試算來滿足3個保證率(生活用水保證率、工業用水保證率和灌溉用水保證率)的動態規劃算法，協調了生活、工業、灌溉和發電之間的關系。

圖2沐浴水庫運用系統示意

應用滿足用水保證率條件下供水量最大為目標函數合理地解決3個保證率的計算問題；建立了動態規劃數學模型［5］，利用其優化調度程序計算，計算結果理想，輸出了大量的表格，(如表1所示，限于篇幅，僅列一小部分)，并自動繪出了水庫優化調度空間圖及多族調度曲線圖(如圖3、4所示)。利用優化調度圖進行綜合調節計算，在幾乎不增加投資的情況下，增加了巨大的經濟效益。

表1沐浴水庫優化調度年序：1月份：8(單位：億m3)

水位／m

來水量(Q)

0.6396

0.4368

0.3252

0.2591

0.2108

0.1671

0.1269

0.0938

0.0616

0.0295

最優決策水量(qt)

63.00

64.00

65.00

...

81.00

82.00

...

0.02950

0.04650

0.06650

...

0.12262

0.13155

...

0.02929

0.04617

0.06603

...

0.13063

0.05824

...

0.02909

0.04585

0.06557

...

0.12971

0.05784

...

0.02888

0.04553

0.06511

...

0.12880

0.05743

...

0.02868

0.04521

0.06466

...

0.12790

0.05703

...

0.02848

0.04490

0.06420

...

0.12701

0.05663

...

0.02828

0.04458

0.06376

...

0.12612

0.05663

...

0.02808

0.04427

0.06331

...

0.12523

0.05584

...

0.02789

0.04396

0.06287

...

0.12436

0.05546

...

0.02769

0.04365

0.06243

...

0.12349

0.05506

...

年序：48月份：12(單位：億m3)

水位／m

來水量(Q)

0.0223

0.0170

0.0134

0.0116

0.0107

0.0089

0.0063

0.0054

0.0045

0.0027

最優決策水量(qt)

63.00

64.00

...

81.00

82.00

0.00270

0.01545

...

0.01441

0.01545

0.00268

0.01535

...

0.01535

0.01535

0.00266

0.01524

...

0.01524

0.01524

0.00264

0.0153

...

0.01553

0.01553

0.00263

0.01503

...

0.01503

0.01503

0.00261

0.01492

...

0.01492

0.01492

0.00259

0.01482

...

0.01482

0.01482

0.00257

0.01471

...

0.01471

0.01471

0.00255

0.01461

...

0.01461

0.01461

0.00253

0.01451

...

0.01451

0.01451

依據制定的水庫優化調度圖即馬爾可夫調度圖，對1952～1999年共48年水文年度的徑流資料進行長系列操作計算，計算結果表明，綜合利用水庫優化調度后，工業用水保證率為95%，生活用水保證率為97%，灌溉保證率為80.5%；多年平均年發電量為384.7萬kW·h。灌溉保證率較常規調節計算的保證率75%增加到80.5%。如維持常規計算的灌溉保證率75%，則灌溉面積可從0.97萬hm2擴灌到1萬hm2。原沐浴水電站設計書的多年平均年發電量為311.3萬kW·h，優化調度后年發電量凈增73萬kW·h，增加發電量24%。常規水量平衡48年總棄水量為40102.27萬m3，優化調度后棄水量大大減少，僅棄水2335.14萬m3。

圖3水庫優化調度空間

圖4水庫優化調度曲線

4結語

對水庫進行最優化調度過程中，須對徑流過程進行正確描述，采用馬爾可夫單鏈彈性相關理論對徑流進行處理，將供水量作為決策的條件，用優選迭代試算來滿足3個保證率的動態規劃算法，大大加強了利用優化調度圖進行綜合調節計算的靈活性和針對性。本方法及計算程序也應用于山東雪野水庫、黃前水庫等幾個大中型水庫，都取得了理想效果，實踐證明，本方法具有適用性和可靠性。

參考文獻：

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