導(dǎo)語：如何才能寫好一篇二次根式有理化的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

是商的二次根式的性質(zhì)及利用性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算,利用分母有理化化簡.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的主線，學(xué)生掌握性質(zhì)在二次根使得化簡和運算的運用是關(guān)鍵，從化簡與運算由引出初中重要的內(nèi)容之一分母有理化，分母有理化的理解決定了最簡二次根式化簡的掌握.

教學(xué)難點是二次根式的除法與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.二次根式的除法與乘法既有聯(lián)系又有區(qū)別，強調(diào)根式除法結(jié)果的一般形式，避免分母上含有根號.由于分母有理化難度和復(fù)雜性大，要讓學(xué)生首先理解分母有理化的意義及計算結(jié)果形式.

教法建議：

1.本節(jié)內(nèi)容是在有積的二次根式性質(zhì)的基礎(chǔ)后學(xué)習(xí)，因此可以采取學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)的模式，通過前一節(jié)的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生通過具體實例再結(jié)合積的性質(zhì)，對比、歸納得到商的二次根式的性質(zhì).教師在此過程中給與適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，提出問題讓學(xué)生有一定的探索方向.

2.本節(jié)內(nèi)容可以分為三課時，第一課時討論商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并運用這一性質(zhì)化簡較簡單的二次根式(被開方數(shù)的分母可以開得盡方的二次根式);第二課時討論二次根式的除法法則，并運用這一法則進行簡單的二次根式的除法運算以及二次根式的乘除混合運算，這一課時運算結(jié)果不包括根號出現(xiàn)內(nèi)出現(xiàn)分式或分?jǐn)?shù)的情況;第三課時討論分母有理化的概念及方法，并進行二次根式的乘除法運算，把運算結(jié)果分母有理化.這樣安排使內(nèi)容由淺入深，各部分相互聯(lián)系，因此及彼，層層展開.

3.引導(dǎo)學(xué)生思考“想一想”中的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，教師組織學(xué)生思考、討論過程中，鼓勵中國學(xué)習(xí)聯(lián)盟膽猜想，積極探索，運用類比、歸納和從特殊到一般的思考方法激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的思維.

教學(xué)設(shè)計示例

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算;

2.會進行簡單的二次根式的除法運算;

3.使學(xué)生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡及近似計算問題;

4.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的除法公式進行化簡與計算的能力;

5.通過二次根式公式的引入過程，滲透從特殊到一般的歸納方法，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力;

6.通過分母有理化的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)的簡潔性.

二、教學(xué)重點和難點

1.重點：會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡，會進行簡單的二次根式的除法運算，還要使學(xué)生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法進行.

2.難點：二次根式的除法與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.

三、教學(xué)方法

從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法，在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上本小節(jié)

內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，進行總結(jié)對比.

四、教學(xué)手段

利用投影儀.

五、教學(xué)過程

(一)引入新課

學(xué)生回憶及得算數(shù)平方根和性質(zhì)：(a≥0，b≥0)是用什么樣的方法引出的?(上述積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是由具體例子引出的.)

學(xué)生觀察下面的例子，并計算：

由學(xué)生總結(jié)上面兩個式的關(guān)系得：

類似地，每個同學(xué)再舉一個例子，然后由這些特殊的例子，得出：

(二)新課

商的算術(shù)平方根.

一般地，有(a≥0，b>0)

商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

讓學(xué)生討論這個式子成立的條件是什么?a≥0，b>0，對于為什么b>0，要使學(xué)生通過討論明確，因為b=0時分母為0，沒有意義.

引導(dǎo)學(xué)生從運算順序看，等號左邊是將非負(fù)數(shù)a除以正數(shù)b求商，再開方求商的算術(shù)平方根，等號右邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個算術(shù)平方根的商，根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進行簡單的二次根式的化簡與運算.

例1化簡：

(1);(2);(3);

解∶(1)

(2)

(3)

說明：如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，在運算時，一般先化成假分?jǐn)?shù);本節(jié)根號下的字母均為正數(shù).

例2化簡：

(1);(2);

解：(1)

(2)

讓學(xué)生觀察例題中分母的特點，然后提出，的問題怎樣解決?

再總結(jié)：這一小節(jié)開始講的二次根式的化簡，只限于所得結(jié)果的式子中分母可以完全開的盡方的情況，的問題，我們將在今后的學(xué)習(xí)中解決.

學(xué)生討論本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并進行小結(jié).

(三)小結(jié)

1.商的算術(shù)平方根的性質(zhì).(注意公式成立的條件)

2.會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行簡單的二次根式的化簡.

(四)練習(xí)

1.化簡：

(1);(2);(3).

2.化簡：

(1);(2);(3)

篇2

【關(guān)鍵詞】 教學(xué)；經(jīng)驗；體會

《實數(shù)》一章，是在數(shù)的開方的基礎(chǔ)上引進無理數(shù)的概念，并將數(shù)從有理數(shù)的范圍擴充到實數(shù)的范圍。由于實數(shù)涉及的理論較深，數(shù)的概念又比較抽象，這些概念看似簡單，學(xué)生要真正掌握還是有點困難。 因此，教學(xué)經(jīng)驗豐富的老教師常說初中數(shù)學(xué)的“3個2”，其中之一就是《實數(shù)》這一章“平方根”和“二次根式”。可見，《實數(shù)》這一章在初中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的位置。對于我們初中的數(shù)學(xué)教師來說，上好本章的重要性是不言而喻的。在《實數(shù)》這一章對概念的處理上，重點抓住主要概念，注重概念的形成過程，讓學(xué)生在具體的活動中獲得認(rèn)識，增強理解；對內(nèi)容的安排上，聯(lián)系實際情境，導(dǎo)入新知識，注意前后知識間的對比，同時讓學(xué)生在運用中促進對知識的理解和掌握。例如：在第一教時里先通過具體的活動求面積為2的正方形的邊長，提出問題：它可能是整數(shù)嗎？它可能是分?jǐn)?shù)嗎？讓學(xué)生親身經(jīng)歷這些活動，在討論中引起認(rèn)知沖突，感知生活中確實存在不同與有理數(shù)的數(shù)，產(chǎn)生探求的欲望：它不是有理數(shù)，那它是什么數(shù)？再讓學(xué)生進一步借助計算器充分探索，得出它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，從而給出無理數(shù)的概念。這與歷史上無理數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展過程是一致的，符合人的認(rèn)識規(guī)律，同時讓學(xué)生體會到抽象的數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實世界中有其實際背景。

無理數(shù)有很多，開方開不盡的數(shù)是其中的一種，也是我們計算中經(jīng)常接觸到的。在課堂教學(xué)時應(yīng)選取一些生動的素材，引入平方根和立方根的概念和開方運算。由于在實際情境中的開平方運算結(jié)果取的都是算術(shù)平方根，而且正數(shù)有兩個平方根與學(xué)生長期的經(jīng)驗不符，學(xué)生不易接受，因此教科書先引入算術(shù)平方根的概念，然后再引入一般的平方根的概念。

為了讓學(xué)生能很好地理解和掌握《實數(shù)》這一章的知識，強化部分知識點的教學(xué)。在教授《實數(shù)》這一章時，應(yīng)注重以下幾個方面的教學(xué)：

一、“最簡二次根式”和“分母有理化”是二次根式運算的一個基礎(chǔ)

新教材淡化了此教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)二次根式的化簡時要進行適當(dāng)?shù)难a充，不要讓學(xué)生死記硬背概念，只要學(xué)生能理解會用就行。這樣，學(xué)生在遇到二次根式計算時，做到什么地方結(jié)束，心中便有了底。

二、對于二次根式的計算，要進行必要的補充練習(xí)，適當(dāng)增加二次根式計算的教學(xué)課時

二次根式的運算是本章的重點，新教材上安排了2課時的教學(xué)時間，且練習(xí)題量小，這樣學(xué)生對二次根式的運算的熟練程度和正確率明顯降低。因此，在教學(xué)時要增加習(xí)題量，注重題型的變化、注重整式乘法法則與乘法公式結(jié)合的題目，注重對積、商的算術(shù)平方根性質(zhì)（包括逆用）的練習(xí)，并幫助學(xué)生不斷地進行歸納整理。如化簡：12×3-5，課本上是這樣做的：12×3-5＝12×3-5＝36-5＝6-5＝1，在上完二次根式化簡后，要及時補充上另一種方法：12×3-5＝23×3-5＝6-5＝1。這樣，有利于學(xué)生能更好地理解二次根式化簡。

三、對平方根、立方根知識體系的理解與掌握是核心

對算術(shù)平方根、平方根、立方根，以及平方根的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上識記。對概念的掌握做到 “四會”：會敘述、會判斷、會舉例、會應(yīng)用。以敘述（背頌）為基礎(chǔ)，會判斷、會舉例為檢測標(biāo)準(zhǔn)，會應(yīng)用為最終目的。注重每個概念的形成過程的教學(xué)。如算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別學(xué)生很難把握，很容易出錯。要求學(xué)生首先弄準(zhǔn)題意到底是在求平方根或算術(shù)平方根。如，已知2=9，求，這里是求平方根；9＝？這里是求算術(shù)平方根。

四、分兩個層次來突破無理數(shù)概念這個難點

無理數(shù)概念的教學(xué)歷來是一個難點，為了加深對無理數(shù)意義的理解，分兩個層次來突破這個難點：其一突出對無理數(shù)產(chǎn)生背景的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)產(chǎn)生的過程，感知無理數(shù)的存在，使學(xué)生產(chǎn)生探究的欲望。其二逐步加深對無理數(shù)的理解，多舉無理數(shù)的實例。如：在數(shù)軸上找無理數(shù)點，強調(diào)實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的關(guān)系。可告知數(shù)軸上的無理數(shù)的點多得很，幾乎處處都是無理數(shù)。明確告訴學(xué)生無限不循環(huán)小數(shù)、開方開不盡的數(shù)都是無理數(shù)。自編無理數(shù)，0.1010010001――等讓學(xué)生加強對無理數(shù)的理解。

五、注意易錯知識的教學(xué)

譬如，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤：X2=7，則X=7；36 =±6；（-2）2=2；364=8；364=±4等等。教學(xué)時細(xì)致為學(xué)生分析錯誤原因，加強練習(xí)，并反復(fù)為學(xué)生講解，直到學(xué)生弄懂為止。

六、注意估算方法的教學(xué)，使學(xué)生掌握估算的方法，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力

在實際生活和生產(chǎn)實際中，對于無理數(shù)我們常常通過估算來求它的近似值。要多安排一節(jié)內(nèi)容：例如公園有多寬，介紹估算的方法，包括通過估算比較大小，檢驗結(jié)果的合理性等等，其目的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

七、注重概念教學(xué)

概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過分析、綜合去掉非本質(zhì)特征，保持本質(zhì)屬性而形成的。概念的形成過程也是思維過程，加強概念形成過程的教學(xué)，對提高學(xué)生的思維水平是很必要的。例如：無理數(shù)的引入，先讓學(xué)生親身經(jīng)歷活動，感受引入的必要性，初步認(rèn)識無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)這一意義。在教學(xué)時，鼓勵學(xué)生動手、動腦、動口，與同伴進行合作，并充分地開展交流。再如，平方根的概念，對正數(shù)有兩個平方根學(xué)生不太容易接受，往往丟掉負(fù)的平方根，因為這與他們以前的運算結(jié)果唯一的經(jīng)驗不符。對此，在平方根的引入時，多提一些具體的問題，例如：16的算術(shù)平方根是4，也就是說，4的平方是16。還有其他的數(shù)，它的平方也是16嗎？等等，旨在引起學(xué)生的思考，特別是負(fù)數(shù)的情況，讓學(xué)生從具體的例子中抽象出初步的平方根的概念。接著讓學(xué)生去討論：一個正數(shù)有幾個平方根？0有幾個平方根？負(fù)數(shù)呢？引導(dǎo)學(xué)生更深刻地理解平方根的概念，然后再通過具體的求平方根的練習(xí)，鞏固新學(xué)的概念。

八、類比法是也是是本章的重要方法之一

篇3

和類比進行推理；會合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點；能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明

數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】思維培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何貫徹教學(xué)大綱的思想，更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力呢？筆者從以下

幾個方面來談?wù)勔恍┑目捶ā?/p>

一、 創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)積極思維

加強教師與學(xué)生的感情交流，是促進認(rèn)知發(fā)展的動力。為了營造良好的氛圍，教師應(yīng)緊密聯(lián)系教學(xué)實際

，深入鉆研教材，從教材中挖掘出有一定思考價值的知識內(nèi)容，將其設(shè)計轉(zhuǎn)化為問題，激發(fā)學(xué)生的主動

精神，保持迫切解決問題，表現(xiàn)自我的心理欲望。設(shè)計問題的方式有：1、引而不發(fā)式：由教師設(shè)計和引

發(fā)思維過程，學(xué)生實現(xiàn)和展開思維活動，由于學(xué)生親自參與和經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思維活動全過程，使學(xué)生逐漸

體會數(shù)學(xué)思維的特點，了解數(shù)學(xué)的策略方式和方法，掌握和實踐數(shù)學(xué)思維的操作技能，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)

造性。如：對開二次根式ɑ2 ＝ ｜ɑ｜學(xué)生總是難于掌握，開始推出： ɑ2 ＝a， (－ɑ)2 ＝－a,再讓學(xué)

生展開討論，最終由實數(shù)算術(shù)根的意義得以理解，概括出 ɑ2 ＝ ｜ɑ｜的公式。2、定勢打破式：對不同

問題提供同一思路來解決方法，提供特殊的變異，需要新的思路才能解決，迫使學(xué)生進入積極思維狀態(tài)

。例如：學(xué)了根式的分母有理化后，設(shè)計了這樣的一個問題，比較 7 －6 ， 8 －7 的大小，學(xué)生采用

常規(guī)的求差法對這個問題難以解決，由根式聯(lián)想到分母有理化知識，采用分母有理化的技巧，問題立即

得到解決。3、似是而非式：提出一些模棱兩可，似是而非的問題時，讓學(xué)生捉摸不透，無所適從進入思

維狀態(tài)。例如：學(xué)了無理數(shù)的概念后，設(shè)計了這樣的一組判斷題：（1）無理數(shù)是開不盡方的數(shù)。（2）

有的無限小數(shù)是有理數(shù)。（3）無限小數(shù)是無理數(shù)。（4）帶根號的數(shù)是無理數(shù)。學(xué)生通過對這些問題的

思考，不僅鞏固了有關(guān)概念，還激發(fā)了學(xué)生的積極思維。

二 、注重集中思維，加強發(fā)散思維能力的培養(yǎng)

集中思維是指從同一來源材料探求一個正確答案的思維過程，思維方向集中于同一方向，即從同一方

面進行思考。在當(dāng)前，不管從教材，還是教師，都非常注重集中思維能力的培養(yǎng)，相對忽視了學(xué)生發(fā)散

思維能力的培養(yǎng)。因此要加強學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。 發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，可從以下幾個方面：

1.對問題的條件進行發(fā)散。

對問題的條件進行發(fā)散是指問題的結(jié)論確定以后，盡可能變化已知條件，進而從不同的角度，用不同的

知識來解決問題。這樣，一方面可以充分揭示數(shù)學(xué)問題的層次，另一方面又可以充分暴露學(xué)生自身的思

維層次，使學(xué)生從中吸取數(shù)學(xué)知識的營養(yǎng)。例如，ABC為直角三角形，∠ACB=90 0,CD AB于D,如圖，

試給出適當(dāng)?shù)臈l件，可以確定AC的長。 已知條件的給法有多種，現(xiàn)僅考慮每次給出兩邊的情況，一般有

如下十種：（1）AD、CD; (2)AB、BC; (3)AD、AB;

(4)AD、BD; (5)AB、BD; (6)CD、DB; (7)BD、BC;

(8)BC、CD; (9)AD、BC; (10)AB、CD。這樣做，

學(xué)生認(rèn)為是自己出題自己解答，有一種輕松感。

即使基礎(chǔ)較差的學(xué)生，也覺得可以試一試。

2.對問題的結(jié)論進行發(fā)散。

與已知條件的發(fā)散相反，結(jié)論的發(fā)散是確定了已知條件后，沒有固定的結(jié)論，讓學(xué)生自己盡可能多地確

定未知元素，并去求解這些未知元素，這個過程是充分揭示思維的廣度和深度的過過程。如：已知☉O內(nèi)

切于四邊形ABCD,AB=AD,連結(jié)AC、BD。不再標(biāo)注其它字母和添加任何線段，由這些條件可推出哪些結(jié)論？

這里我們給出幾個結(jié)論：

（1）A、O、C三點共線；（2） ∠ABC=∠ ADC (3)AC平分 ∠A；（4）BC=CD；

（5）AC垂直BD；

（6）SABCD = (1/2)AC.BD

3.對圖形進行發(fā)散。

圖形的發(fā)散是指圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產(chǎn)生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程

，不僅可以舉一反三，觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，找出特殊與一般這

間的關(guān)系。例如：（1）如圖，PA切☉O于A點，PA=PB,BCD為☉O割線，DP交☉O于E點，BE的延長交☉O于F

點，連結(jié)CF,求證：CF//BP。（2）若點B在圓內(nèi)，CBD為弦，其他條件不變，原結(jié)論是否成立？證明你的

結(jié)論。

4．對解法進行發(fā)散。

解法的發(fā)散即一題多解。例如：已知：a，b，c為 ABC的三邊，D在線段AB上且BC=DC，設(shè)AD=d，求證：

c+d=2bcosA，cd=b2－a2 。

證法一：根據(jù)題目中含有"cosA"可以聯(lián)想到利用余弦定理來證。

證法二：根據(jù)題中含有："c+d"和"cd"，可以聯(lián)想到

利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來證。

證法三：根據(jù)題中含有"bcosA",可以聯(lián)想到利用以b為斜邊、 A為銳角的直角三角形來求證。 除了以上

三種方法外，還可以用其它方法來證明。

因此，教師在課堂上有意識、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的集中思維和發(fā)散思維能力，對提高學(xué)生分析問題和

解決問題的能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是十分有益的。

三．注重思維品質(zhì)的培養(yǎng)。

思維品質(zhì)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和獨造性，它們反映了思維的不同方面的特征，

因此在教學(xué)過程中應(yīng)該有不同的培養(yǎng)手段。數(shù)學(xué)思維的深刻性就是分清實質(zhì)的能力，數(shù)學(xué)思維的敏捷性

，主要反映了正確前提下的速度問題，數(shù)學(xué)思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，數(shù)學(xué)思維的批判性

是指思維活動中善于嚴(yán)格地估計思維材料和精細(xì)地檢查思維過程的智力品質(zhì)，思維的獨創(chuàng)性是指思維活動的創(chuàng)造性精神，是在新穎地解決問

題中表現(xiàn)出來的智力品質(zhì)。平時在課堂教學(xué)中要注重思維品質(zhì)的培養(yǎng)，選擇恰當(dāng)?shù)念}目，分階段有計劃

的逐步進行。例如：證明恒等式 ɑ2(x－b)(x－c)(ɑ－b)(ɑ－c) ＋ b2(x－c)(x)－ɑ)(b－c)(b－ɑ)＋

c2(x－ɑ)(x－b)(c－ɑ)(c－b) ＝ x2。若有學(xué)生能用方程的觀點和方法，這就說明他具有良好的數(shù)學(xué)思

維品質(zhì)；設(shè)想這是關(guān)于x的方程，說明思維具有深刻性和廣闊性；解法新穎獨到，說明思維具有靈活性和

獨創(chuàng)性；能迅速判斷x=a、x=b、x=c為方程的解，說明思維具有敏捷性；論據(jù)和結(jié)果均正確，說明思維具

有批判性。

總之，學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是一個長期而復(fù)雜的過程，不可能一蹴而就，它要求我們在課堂教學(xué)中要持

之以恒地認(rèn)真鉆研教材，合理創(chuàng)設(shè)問題情境、加強思維訓(xùn)練并積極探索規(guī)律，總結(jié)經(jīng)驗，改進教學(xué)方法

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    一、為什么要討論銜接問題

    首先,課改以來的教材變化和課程標(biāo)準(zhǔn)的變化使初高中數(shù)學(xué)知識在具體內(nèi)容上出現(xiàn)了較大的跨度。初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有較大程度的壓縮,而高中數(shù)學(xué)在教材內(nèi)容上有所增加,而且有些內(nèi)容沒有銜接,使得學(xué)生從初中到高中要跨越很高的臺階,增加了學(xué)習(xí)的難度。

    其次,初高中數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和要求也有很大的不同。初中涉及的思想方法較少而且要求不高,甚至沒有明確地提出思想方法的概念,而高中涉及較多的思想方法,而且要求學(xué)生熟練地運用這些思想方法來解決問題。這也對學(xué)生提出了更高的要求,使許多學(xué)生不能很快適應(yīng)。

    二、哪些具體內(nèi)容需要銜接

    1.初中刪去的,高中經(jīng)常要運用的內(nèi)容

    (1)立方和與立方差公式在初中課程中已刪去,而在高中課程的運算中經(jīng)常用到。

    (2)因式分解在初中課程中一般僅限于二次項系數(shù)為"1"的分解,對系數(shù)不為"1"的涉及不多;初中課程對高次多項式因式分解幾乎不做要求,但高中課程中的許多化簡求值都要用到這些因式分解。

    (3)二次根式部分對分母有理化在初中課程中不做要求,而分子、分母有理化是高中課程中函數(shù)、不等式部分常用的運算技巧。

    (4)幾何部分很多概念(如重心、外心、內(nèi)心等)和定理(如,平行線分線段比例定理、角平分線性質(zhì)定理等)初中課程中大都已經(jīng)刪去,而高中課程中要經(jīng)常涉及這些內(nèi)容。

    2.初中要求低,而高中需要熟練運用的內(nèi)容

    (1)初中課程對二次函數(shù)的要求較低,但二次函數(shù)卻是高中課程中貫穿始終的重要的基礎(chǔ)內(nèi)容,而且對二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)要進行深入的研究。

    (2)二次函數(shù)、一元二次不等式與一元二次方程的聯(lián)系,根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)在初中不做要求,而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容,高中教材卻未安排專門的講授。

    (3)含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式,初中不做要求,只作定量研究,而高中課程中這些內(nèi)容是必須掌握的重點內(nèi)容。

    3.數(shù)學(xué)思想方法的銜接

    (1)初中對分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想只是有一些滲透,而高中就要求學(xué)生理解并在解題中應(yīng)用。

    (2)配方法、待定系數(shù)法、分離常數(shù)法、十字相乘法等運算方法和變形技巧,初中做要求,而高中數(shù)學(xué)中卻要求學(xué)生熟練掌握。

    三、怎樣做好銜接工作

    1.教學(xué)內(nèi)容的銜接

    在高中階段剛開始的數(shù)學(xué)教學(xué)中,適當(dāng)放慢教學(xué)進度、降低課程難度。新授課的導(dǎo)入,盡量由初中的角度切入,注意新舊對比、前后聯(lián)系,把高中教材研究的問題與初中教材研究的問題在文字表述、研究方法、思維特點等方面進行對比,使學(xué)生明確新舊知識之間的聯(lián)系與差異,從而順利地過渡到新知識的學(xué)習(xí)中。

    2.數(shù)學(xué)思想方法的銜接

篇5

一、提高學(xué)生的運算技能——多練運算

對于學(xué)生計算能力差的班級數(shù)學(xué)老師通常會感到苦惱，怎樣來提高學(xué)生的計算能力呢？筆者認(rèn)為有以下幾個原因：一是沒有從計算中吸取和儲備計算技巧；二是不善于結(jié)合自己的計算方法開動腦筋；三是計算練習(xí)次數(shù)太少。針對以上三個原因，筆者在具體的教學(xué)中做了這樣的處理。

例如，在教授《二次根式》一章時，在課堂上講析各類運算的法則（包括取值范圍、運算依據(jù)、化簡要求），然后出示對應(yīng)的典型習(xí)題，鼓勵學(xué)生進行運算訓(xùn)練，從而掌握同類二次根式、運算律的運用、公式的運用、分母有理化等需要實踐應(yīng)用才呈現(xiàn)并需要掌握的知識方法技能，讓其獲得過程體驗，掌握基本技能。

二、構(gòu)建學(xué)生的解題模型——多練例題

課堂教學(xué)中要能提高學(xué)生分析問題的能力，就必須進行有效的應(yīng)用拓展訓(xùn)練。這不僅可以鞏固已經(jīng)學(xué)到的新知識，提高對新知識的認(rèn)識，也可以將新知識與舊知識有機地結(jié)合在一起，從而給學(xué)生得到新知識運用的特有情境，顯示了新知識在解決問題中的價值，同時也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的興趣。數(shù)學(xué)課本上的例題是綜合了一個學(xué)段的重點知識和方法的典型題目，在課堂上既要考慮讓學(xué)生對例題的解題方法進行挖掘，又要注意授學(xué)生以“漁”，使其獲得學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力。

例如，在講解《一元二次方程與實際問題》時，教材提供了三種類型的實際問題并通過例題方式呈現(xiàn)，這三道例題雖然都很有實用性且課本分析科學(xué)合理、解答過程詳細(xì)完整，但是不利于學(xué)生滲透和強化“方程建模”的思想方法。于是，筆者將三個例題安排給學(xué)生自主閱讀學(xué)習(xí)，利用這三個例題讓學(xué)生明白實際問題中如何取舍方程的根，而在課外資料上找了四類利于建模并易于學(xué)生模仿的題目作為例題。

三、培養(yǎng)學(xué)生的破題能力——多練方法

數(shù)學(xué)教育的核心是數(shù)學(xué)思維教育，而數(shù)學(xué)問題的解答則是形成學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)的主要途徑。為此，我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)從學(xué)生的實際出發(fā)，能夠通過恒等或同解等方法將問題轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。

例如，在講解《解一元二次方程》時，方法是很重要的，課堂上筆者通過滲透“降次轉(zhuǎn)化”的思想方法，精講配方法和因式分解法解一元二次方程的步驟和依據(jù)，然后由易到難的設(shè)計梯度練習(xí)，讓學(xué)生在應(yīng)用基本方法的過程中逐步理解數(shù)學(xué)思想方法，把握解題關(guān)鍵，總結(jié)方法技巧，從而推廣延伸，得到公式法和十字相乘法分解因式的解方程方法。

篇6

初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問題存在的原因主要有以下四個方面：

1.初高中教材的差別顯著。現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課本（必修本）與初中數(shù)學(xué)相比，初步分析有其以下顯著特點：從直觀到抽象，從單一到復(fù)雜，從淺顯至嚴(yán)謹(jǐn)，從定量到定性。初中數(shù)學(xué)教材的文字?jǐn)⑹鐾ㄋ滓锥Z法結(jié)構(gòu)簡單，運用的數(shù)學(xué)知識基本上是四則運算，且其公式參量也較少。高中數(shù)學(xué)語言敘述較為嚴(yán)謹(jǐn)、簡練，敘述方式較為抽象、概括，理論性較強，對學(xué)生的思維能力和方式的要求大大地提高和加寬了。再加之教材從數(shù)學(xué)的知識體系出發(fā)，將最難的部分“函數(shù)”放在高一階段，也就必然會給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來困難、造成障礙。

2.初高中數(shù)學(xué)知識存在“脫節(jié)”。（1）立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。（2）因式分解初中一般只限于二次項且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。（3）二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。（4）初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最值、研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。（5）二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。（6）圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上下、左右平移，兩個函數(shù)關(guān)于原點、軸、直線的對稱問題必須掌握。（7）含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視為重難點，方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。（8）幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理、射影定理、相交弦定理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

3.升學(xué)考試要求不同下教法的變化。初中教師的教學(xué)主要依據(jù)初中學(xué)生特點及教材的內(nèi)容，教學(xué)進度較慢，對重點內(nèi)容及疑難問題都有較多時間反復(fù)強調(diào)、答疑解惑;而高中教師在處理高中教材時卻沒有充裕的時間去反復(fù)強調(diào)教材內(nèi)容，對于習(xí)慣于初中教師教法的學(xué)生，進入高中后難以適應(yīng)高中教師的教法。

4.學(xué)習(xí)方法的變化。在初中，考試時學(xué)生只要記準(zhǔn)概念、公式及教師所講例題類型，一般均可對號入座取得好成績，不注重獨立思考和對規(guī)律的歸納總結(jié)。到了高中，由于內(nèi)容多時間少，教師不可能把知識應(yīng)用形式和題型講全講細(xì)，只能選講一些具有典型性的題目。因此，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生勤于思考，善于歸納總結(jié)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)思想方法，做到舉一反三、觸類旁通。然而，剛?cè)雽W(xué)的高一新生往往繼續(xù)沿用初中學(xué)法，致使學(xué)習(xí)困難增多，完成當(dāng)天作業(yè)都很困難，更別提預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)及總結(jié)等自我消化、自我調(diào)整的時間。這顯然不利于良好學(xué)法的形成和學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高。

根據(jù)以上四方面的問題，為搞好初高中銜接，我認(rèn)為應(yīng)采取以下主要措施：

一、摸清底細(xì)，規(guī)劃教學(xué)

為了搞好初高中銜接，教師首先要摸清學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，然后以此來規(guī)劃自己的教學(xué)和落實教學(xué)要求，以提高教學(xué)的針對性。在教學(xué)實際中，我們一方面通過進行摸底考試和對入學(xué)成績的分析，了解學(xué)生的基礎(chǔ);另一方面，認(rèn)真學(xué)習(xí)和比較初高中教學(xué)大綱和教材，以全面了解初高中數(shù)學(xué)知識體系，找出初高中知識的銜接點、區(qū)別點和需要鋪路搭橋的知識點，以使備課和講課更符合學(xué)生實際、更具有針對性。

二、優(yōu)化課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，搞好初高中銜接

要立足于大綱和教材，尊重學(xué)生實際，實行層次教學(xué);重視新舊知識的聯(lián)系與區(qū)別，建立知識網(wǎng)絡(luò);展示知識的形成過程和方法探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力;培養(yǎng)學(xué)生自我反思、自我總結(jié)的良好習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)的自覺性;重視專題教學(xué)，利用專題教學(xué)，集中精力攻克難點，強化重點和彌補弱點，系統(tǒng)歸納總結(jié)某一類問題的前后知識、應(yīng)用形式、解決方法和解題規(guī)律，并借此機會對學(xué)生進行學(xué)法的指點，有意滲透數(shù)學(xué)思想方法。

三、加強學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

篇7

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；初中數(shù)學(xué)；斷層現(xiàn)象；原因分析

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）10-240-01

自從高中使用北師大版的新課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書以后，自己在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中總感覺有一種斷層現(xiàn)象，今年專門研究了一下初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程，發(fā)現(xiàn)確實存在著很多斷層現(xiàn)象。許多初中學(xué)校、高中學(xué)校是完全獨立的，因此高中老師不了解初中的程課設(shè)置和教學(xué)特點，對初中新課程改革中，新課標(biāo)對教學(xué)及學(xué)生要求的一系列的變化更是不了解，初中老師也不了解高中的課程設(shè)置和教學(xué)特點。然而在實際教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生進入高中階段后遇到了很多不適應(yīng)的情況，初高中的教學(xué)確實存在著斷層現(xiàn)象，下面從知識、能力兩方面淺談一下斷層現(xiàn)象及原因。

一、初高中知識、能力方面的斷層現(xiàn)象

1、知識方面的斷層

（1）在平面幾何結(jié)論（三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心概念，內(nèi)角平分線定理、重心定理、圓冪定理等）上不銜接；（2）用十字相乘求一元二次方程的根不銜接；立方和（差）公式不銜接；（3）二元二次方程組（含一個二元一次方程）不銜接；（4）一元二次不等式求解不銜接；（5）三元一次方程組求解不銜接。

2、能力方面的斷層

（1）學(xué)生對變量的理解與認(rèn)識不夠；（2）學(xué)生的空間想象力不夠；（3）學(xué)生在書寫規(guī)范性和準(zhǔn)確簡明表達(dá)解題過程方面不足；（4）學(xué)生的多項式計算化簡能力不強；（5）學(xué)生對分式的計算與化簡能力不強。

二、初高中知識、能力方面的斷層現(xiàn)象的分析

1、知識分析：代數(shù)，幾何，概率統(tǒng)計三方面完全刪除或降低要求的部分；新增或提高要求的部分

刪減或降低部分代數(shù)方面1、立方和(差)公式刪除；2、因式分解：總體要求大大降低；3、二次根式刪除同類二次根式的概念，降低分母有理化要求；4、刪除三元一次方程組、二元二次方程組；刪除韋達(dá)定理，一元二次不等式、分式方程，沒有要求可化為一元二次方程的分式方程；5、函數(shù)；6、三角函數(shù)。這些知識都是進入高中之后的基礎(chǔ)和重點，立方差公式、因式分解、方程組都是在高中解題化簡中常用的方法，韋達(dá)定理就更不用說了，高考中的有關(guān)圓錐曲線知識的解題中，80%要用到韋達(dá)定理，而這個知識點只能在高中解題的時候重新講解；不等式，分式方程的解法在高中也是一個重點，這些知識在初中階段的要求降低，學(xué)生進入高中之后的運算能力就顯得非常弱。

幾何方面1、三角形“四心”中的重心、垂心只做過介紹；大邊、大角關(guān)系沒有要求；2、完全刪除平行線分線段成比例定理及逆定理；三角形角平分線定理；比例性質(zhì)，射影定理沒有明確要求；相似三角形的推理證明要求下降；3、圓的相關(guān)要求大大降低。

新增或提高部分。

代數(shù)方面1、用函數(shù)觀點統(tǒng)一方程(組)、不等式(組)：非常明確的提出，并作了詳細(xì)的介紹；突出了函數(shù)思想的重要性；2、利用圖像法求解方程(組)、不等式(組)：作了介紹，并在一些綜合題中有所體現(xiàn)；加強了數(shù)形結(jié)合的思想；3、用方程(組)、不等式(組)以及函數(shù)解決實際問題：要求大大提高，在每部分都進行了較為系統(tǒng)的訓(xùn)練，但不同學(xué)生的差異較大、更注重數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

這些我個人認(rèn)為處理的非常好，函數(shù)思想，是貫穿初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)的一個主線，用函數(shù)的觀點研究方程（組）、不等式（組），以及高中知識里面的數(shù)列等，典型突出了函數(shù)思想的重要性。

幾何方面（幾何方面新增內(nèi)容為后續(xù)高中學(xué)習(xí)立體幾何，三視圖等知識打下了很好的基礎(chǔ)）

（1）簡單多邊形的重心；2、視圖與投影；3、幾何變換，這些內(nèi)容的新增，為將來學(xué)生在高中階段對立體幾何、三視圖的學(xué)習(xí)打下了很好的基礎(chǔ)，所以高中學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖的內(nèi)容就相對簡單。

概率統(tǒng)計(為高中學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計打下基礎(chǔ))

（2）統(tǒng)計觀念的培養(yǎng)；2、掌握常用統(tǒng)計圖表的繪制，理解其意義；3、理解常用統(tǒng)計量的意義，會計算；4、概率：從初中教材中，學(xué)生了解了概率的意義，學(xué)生對“頻率穩(wěn)定于概率”有了初步的理解；5、會用列舉法求解簡單的古典概型問題。這些內(nèi)容在高中知識里面也是非常重要的，可見初中新增內(nèi)容與高中教材新增內(nèi)容在體系上保持了一致性，起到了很好的鋪墊作用。

2、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理上、習(xí)慣上的斷層分析

篇8

1、運用類比思想挖掘初中數(shù)學(xué)教材，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自主性

類比是根據(jù)兩個或兩類事物的一些相同或相似的屬性猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比是提出問題，做出新發(fā)現(xiàn)的主要源泉，是科學(xué)研究最普遍的方法。

例如：在學(xué)生學(xué)完乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2后，可讓學(xué)生自行類比探索如何展開(a＋b)3與(a＋b＋c)2。這并不困難，其用意是教會學(xué)生觸類旁通、舉一反三。

我們更可從類比的種類與形式上著手，挖掘初中數(shù)學(xué)教材中可以進行類比思維訓(xùn)練的內(nèi)容。類比可以由性質(zhì)、公式、法則的相似進行類比或推廣，可以由“數(shù)”或“形”的結(jié)構(gòu)形式的相似類比，可以由解決問題的相似進行類比，還可以進行由有限到無限的類比，由低維到高維的類比，等等。

從具體內(nèi)容上看，可以進行類比思維訓(xùn)練的內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)教材占有較大的比例。如類比于同底冪乘法法則推導(dǎo)的方法研究冪的乘方法則、同底冪的除法法則；類比于整數(shù)的因數(shù)分解研究多項式的因式分解；類比于二元一次方程組的解法研究三元一次方程組的解法；類比于分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運算研究分式的概念、性質(zhì)、運算；類比于合并同類項法則研究二次根式的加減法；類比于三角形的面積公式研究扇形面積公式；類比于直線與圓的位置關(guān)系研究圓與圓的位置關(guān)系，等等。

2、挖掘初中數(shù)學(xué)教材，加強學(xué)生歸納思維能力的訓(xùn)練

歸納是對某一事物若干個體進行研究，發(fā)現(xiàn)它們之間的共性，然后由此猜想這類事物的總體也具有這種性質(zhì)的思維方法。

例如，七年級上冊習(xí)題：由一些點組成三角形的圖形，每條邊(包括兩個頂點)有n(n＞1)個點，每個圖形總的點數(shù)S是多少?當(dāng)n＝5，n＝7，n＝11時，S是多少?

又如在求多邊形的內(nèi)角和的推導(dǎo)過程中，從三角形的內(nèi)角和開始，推廣到四邊形、五邊形……，直至n邊形的內(nèi)角和的推出。

通過這些有趣、能引起學(xué)生思考的題目，向?qū)W生逐漸滲透由特殊向一般轉(zhuǎn)化的歸納思維方法。

初中數(shù)學(xué)教材中可進行歸納思維能力訓(xùn)練的內(nèi)容還有不少。初中代數(shù)有關(guān)運算法則的引出幾乎全部使用的都是一般歸納法。從主觀上而言，初中學(xué)生還沒有進入使用邏輯思維的階段，這些法則不可能給出嚴(yán)格的邏輯證明。從客觀上看，這正是訓(xùn)練學(xué)生歸納思維能力的最佳時機。如有理數(shù)的加減乘除運算法則，有理數(shù)運算的交換律、結(jié)合律、分配律、添(去)括號的法則，同底數(shù)冪的運算法則，整式乘除法的有關(guān)法則，不等式的基本性質(zhì)。對一元二次方程根與系數(shù)的研究，可用歸納法進行探索發(fā)現(xiàn)；對函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究，是從個別具體函數(shù)的圖像與性質(zhì)出發(fā)的，使用的也是一般的歸納法。如初中的正、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。在平面幾何中，由三角形的內(nèi)角和、四邊形的內(nèi)角和研究n邊形的內(nèi)角和可以使用歸納法。在圓這一章，對圓周角定理、弦切角定理的證明使用的是完全歸納法。除此之外，在教學(xué)過程中我們還經(jīng)常對解題思路、解題方法或解題步驟及知識結(jié)構(gòu)進行總結(jié)與歸納。這些都是總結(jié)、歸納思維能力訓(xùn)練的體現(xiàn)，應(yīng)盡可能讓學(xué)生自己來完成。

3、運用猜想推理，讓學(xué)生在質(zhì)疑、釋疑的過程中獲取知識

以某些已知的事實和一定的經(jīng)驗為依據(jù)，對數(shù)學(xué)問題做出推測性的判斷，就是猜想。

教師在處理教材時，注意引導(dǎo)學(xué)生“在沒有定理之前”的猜想。并引導(dǎo)學(xué)生思考定理、公式或例題所省略了的探索過程，要求學(xué)生對問題的處理應(yīng)當(dāng)是先“猜”后“證”。提倡猜想與推測，鼓勵創(chuàng)造性思維。在猜想過程中，教師注意應(yīng)用多種教學(xué)工具：如“幾何畫板”、“TI計算器”等，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考及猜想，從而得出正確結(jié)論。

例如：在進行“直角三角形的性質(zhì)”一節(jié)的教學(xué)時，對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”定理，即可利用幾何畫板軟件設(shè)計引入，引導(dǎo)學(xué)生猜想，并最后證明自己的猜想。

4、運用化歸轉(zhuǎn)化方法，幫助學(xué)生加強知識之間的聯(lián)系

化歸是指由未知到己知，由難到易，由復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化。

例如：在“梯形中位線定理”的教學(xué)時，小結(jié)后指出：在處理梯形問題時，我們常把梯形的問題化為熟悉的三角形問題來研究，并提供各種轉(zhuǎn)化的類型供學(xué)生練習(xí)。

在初中數(shù)學(xué)教材中可進行化歸轉(zhuǎn)化訓(xùn)練的內(nèi)容幾乎無處不在。例如在運算中，減法向加法的轉(zhuǎn)化，除法向乘法的轉(zhuǎn)化；解方程中，高次化低次、多元化一元，無理化有理；在對幾何圖形性質(zhì)、面積、體積的研究過程中，復(fù)雜圖形向簡單圖形、基本圖形的轉(zhuǎn)化。

5、加強知識與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)熱情

篇9

代數(shù)比算術(shù)高明，高明在一個“代”字上. 用字母來代替數(shù)，會使我們大開眼界.

用字母表示未知數(shù)，我們就有了解應(yīng)用題的有力武器——方程.

用字母表示任意數(shù)，我們就有了各種各樣的公式、恒等式、不等式.

在解題的時候，如果你對“代”字深有體會，適當(dāng)“代”一下，往往可以收到意想不到的效果.

有這樣一道題：

例1 已知方程ax2+bx+c=0（a，c≠0）的兩根為x1，x2，試寫出以，為兩根的一元二次方程.

這道題有多種解法. 有的同學(xué)老老實實用公式求出x1，x2，再算出，，并利用x-x-展開找到所要的方程. 有的同學(xué)不用解方程的方法，而用韋達(dá)定理求出：

+==-÷=-；

·==.

然后用根與系數(shù)的關(guān)系寫出要求的方程為：

x2+x+=0.

有的同學(xué)更妙，用“代”的方法. 設(shè)所要求的方程中的未知數(shù)為y，則y與原方程中的x互為倒數(shù)，即x=. 把它代入原方程，得到

a2+b+c=0.

去分母得到cy2+by+a=0.

這就是y應(yīng)當(dāng)滿足的二次方程！（注意，因為a，c≠0，故x，y都不會是0）

用“代”的方法，我們還能解決不少類似的題目. 比如要求一個一元二次方程，使它的根是方程x2+3x-2=0的根的3倍，怎么辦？好辦，設(shè)y=3x，則x=. 代進去一整理，便得到+y-2=0，也就是y2+9y-18=0. 這就是所要求的方程.

要求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2+px+q=0兩根的平方，怎么辦呢？只要設(shè)y=x2，則x=±，同樣可以代進去. 但是，這樣要用到根式，麻煩！可以變通一下，把原方程移項變成x2+q=-px，兩邊平方得

（x2）2+2qx2+q2=p2x2，

再用x2=y代進去，得到方程y2+（2q-p2）y+q2=0.

要是所求方程的兩根分別是方程x2+px+q=0兩根的立方，又該怎么辦呢？

第一步：由原方程得x2=-px-q，？搖①

兩端乘x，得到x3=-px2-qx.②

第二步：把①式代入②式右邊的第一項里面，得到

x3=-p（-px-q）-qx=（p2-q）x+pq，

也就是y=（p2-q）x+pq，故x=. 將其代到原方程里面，就得到y(tǒng)應(yīng)當(dāng)滿足的方程. 要留心的是，用p2-q做分母是不是合理，p2-q什么時候為0.

代，對解方程也有幫助. 一位學(xué)物理的大學(xué)生，碰到一個方程可以化成四次方程，但是很麻煩，可把他給難住了. 我們來看看這個方程.

例2 證明方程+=的根在任何條件下全是實的.

要是直接進行有理化，就成了一個四次方程. 如果仔細(xì)觀察一下，把分母的樣子變得對稱一些，會給解題帶來方便.

設(shè)x=y+，代入原方程就是+=，這樣的方程去分母后變成了2y2+=·y2-2.

這是一個特殊形式的四次方程，用代換y2=z可以化成二次方程. 下一步怎么做，你一定會了. 最后的解答是Δ≥0，也就是說，在任何條件下方程的根都是實的.

像這樣用代換使式子出現(xiàn)對稱形的方法，用處可不小. 例如，要證明當(dāng)0≤x≤1時，有不等式x（1-x）≤，就可以設(shè)x=+y，因為0≤x≤1，所以-≤y≤. 把x=+y代入x（1-x），得到x（1-x）=+y-y=-y2≤，這樣便一下子就出來了.

用“代”的方法還可以從一個平平常常的事實出發(fā)，推出一些有用的、不那么明顯的式子. 例如，若A是實數(shù)，總有A2≥0，用A=x-y代入，得到（x-y）2≥0，展開之后便是x2-2xy+y2≥0，也就是x2+y2≥2xy. 當(dāng)xy>0時，把xy除過去便是+≥2. 這就不很明顯了. 如果在不等式x2+y2≥2xy（xy>0）中，用x2=a，y2=b代入，便得≥，這就是用處很多的“平均不等式”！

剛才說的都是用字母代替字母，有時在一個公式里面用數(shù)字代替字母也有用處. 一位同學(xué)在分解因式時，把公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）錯記成x3+y3=（x+y）（x2+xy-y2）. 他覺得不對，但是又不能肯定，便設(shè)x=0，y=1，代進去試后發(fā)現(xiàn)左邊是1，右邊是-1，于是立馬肯定是錯了.

但是要注意，這樣驗證公式，如果兩端相等，并不能斷定公式?jīng)]記錯. 比如，如果他設(shè)x=1，y=0代進去，那么兩邊都是1，也就發(fā)現(xiàn)不了錯誤了. 比較可靠的方法是，用字母代替記不準(zhǔn)的地方，比方寫成：

x3+y3=（x+y）（x2+axy+by2），將x=0，y=1代入，可求得b=1. 又將x=1，y=1代入，得2=2×（1+a+1），所以a=-1. 這樣就把公式找回來了.

這個辦法對記公式、恒等式很有用.

總之，“代”的方法用處很廣. 它可以把已知與未知聯(lián)系起來，把普遍與特殊聯(lián)系起來，把復(fù)雜的式子變得簡單而易于觀察，把平凡的事實弄得花樣翻新便于應(yīng)用. 在學(xué)代數(shù)、解代數(shù)題時，同學(xué)們不要忘了在“代”字上多做文章.

實戰(zhàn)演練

1. （1）已知x2+bx+c=0的兩根分別為-1和3，那么b，c的值分別為多少？b，c與根的關(guān)系是什么（假設(shè)x1=-1，x2=3，用含x1，x2的式子表示）？

（2）已知x2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2，那么以（x1-x2）2和（x1+x2）2為兩根的一元二次方程是什么？

2 . 已知ax2+bx+c=0（a，c≠0）的兩根分別為x1，x2，那么以和為兩根的一元二次方程是什么？以5x1和5x2為兩根的一元二次方程呢？

篇10

總復(fù)習(xí)不是知識的再現(xiàn)，而是通過總復(fù)習(xí)搞清楚知識的疑難點、混淆點的區(qū)別以及知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而引出知識的延伸、深化，達(dá)到徹底理解和掌握所學(xué)的知識，進一步提高解答數(shù)學(xué)問題的能力，從而有助于學(xué)生在中考中發(fā)揮出最好的水平，考出最好的成績。那么怎樣才能抓好初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)呢？筆者認(rèn)為制定好切實可行的總復(fù)習(xí)計劃是抓好初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)和前提，這一點必須引起教師的高度重視。

在制定總復(fù)習(xí)計劃時，教師要認(rèn)真研讀中考說明，弄清哪些知識是必考知識點、哪些是考試重點、哪些是考試的難點、哪些知識是以選擇題的方式出現(xiàn)、哪些知識是以填空題的方式出現(xiàn)、哪些知識是以證明題的方式出現(xiàn)、哪些知識是以計算題的方式出現(xiàn)以及哪些知識在中考中不涉及等方面的情況，以有利于在制定總復(fù)習(xí)計劃時更有針對性，也便于在復(fù)習(xí)過程中的側(cè)重和方向。接著，教師要認(rèn)真閱讀教材目錄，并對照中考說明，把不考的章節(jié)、重點考的章節(jié)、難點章節(jié)一一做好標(biāo)記，便于制定總復(fù)習(xí)計劃時一一落實考綱要求。只有這樣才能制定出高水平、高質(zhì)量、有針對性和實用性的總復(fù)習(xí)計劃。

教師應(yīng)注意復(fù)習(xí)方法，訂好復(fù)習(xí)計劃，一般分為三個階段：

第一階段，立足課本，抓好“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗）和“四個能力”（運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力及運用數(shù)學(xué)知識和方法、分析問題和解決問題的能力）。

第二階段，專題復(fù)習(xí)。讓學(xué)生在每一個專題知識中，弄通一類題型的解答，提高解題能力。在這個階段，教師要把同類、同質(zhì)的知識點聚集在一起，選擇具有代表性的例題進行講解，講透每個知識點的基本含義、基本原理、出題的類型、深淺難度等方面的情況，便于學(xué)生準(zhǔn)確有效地掌握該知識點。

第三階段，綜合訓(xùn)練。適當(dāng)?shù)剡M行套題練習(xí)，增強學(xué)生的應(yīng)試能力。綜合訓(xùn)練選擇的試題深淺難度、題量大小、題型類別、分值分布等方面要和中考試題相匹配，以便提高學(xué)生練習(xí)的針對性和適用性。在學(xué)生每做完一套綜合題后，要及時批改，以便及時掌控學(xué)生的復(fù)習(xí)效果。同時對學(xué)生的習(xí)題做到有針對性的講解，凡是學(xué)生都懂的題不講，少數(shù)人不懂的課后單獨指導(dǎo)，普遍不懂的教師要重點講。在講完之后，可以建議學(xué)生把難理解或重要的習(xí)題摘抄到專用筆記本上，便于隨時復(fù)習(xí)和鞏固。

二 抓實抓好“四基”，鞏固基礎(chǔ)知識

復(fù)習(xí)中注意抓好基本概念的透徹理解，讓學(xué)生弄通它的內(nèi)涵外延。充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，通過回顧、聽講、練習(xí)或討論三步的復(fù)習(xí)課型的教學(xué)，真正落實復(fù)習(xí)是學(xué)生實現(xiàn)知識、能力“自我化”的重要環(huán)節(jié)。

如相反數(shù)這一基本概念，讓學(xué)生明白：零的相反數(shù)是零，a的相反數(shù)就是-a，這樣由有理數(shù)延伸到實數(shù)，如 的相反數(shù)是-（ ）或 。

在復(fù)習(xí)中，將新寓于舊之中，將技能寓于概念之中。例如理解 的相反數(shù)的倒數(shù)的絕對值，從而使根式有理化的技能也寓于這一概念之中，這樣將會收到舉一反三、觸類旁通的復(fù)習(xí)效果。

在抓“四基”復(fù)習(xí)中，將四基訓(xùn)練納入判斷題、選擇題、填空題等題型中。做到在做練習(xí)、講練習(xí)題時鞏固和提高復(fù)習(xí)效果。對于個別由于“欠賬”特別多，“四基”把握得不牢靠的學(xué)生，不能讓他們繼續(xù)“缺腿少腳”了，教師要采取單獨輔導(dǎo)的形式幫助他們牢固掌握好相關(guān)知識，為下一步深入復(fù)習(xí)打下基礎(chǔ)。

例如2007年中考數(shù)學(xué)題（8）：

如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定ABC∽ADE的是（ ）。

A.

B.

C.∠B=∠D

D.∠C=∠AED

本題的解答是在知道一個角的情況下，再添加一個什么條件可以使兩個三角形相似的問題。只要回顧“兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等”或“兩角對應(yīng)相等”的兩個三角形相似，便知A、C、D都能使兩三角形相似，故選B。

三 全面復(fù)習(xí)和專題復(fù)習(xí)相續(xù)推進，從兩個層面把握相關(guān)知識

全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，是復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求。一般說來，首先根據(jù)教材復(fù)習(xí)一遍，選擇典型例題、習(xí)題講解練習(xí)，將學(xué)生遺忘了的知識信息又一次儲存在大腦里，使其切實掌握各章節(jié)的基礎(chǔ)知識，為知識的系統(tǒng)化打下基礎(chǔ)。然后，根據(jù)知識的系統(tǒng)性，分類分專題進行技能訓(xùn)練。專題中的練習(xí)題的選擇，要注意針對性、啟發(fā)性、概括性、系統(tǒng)性、典型性、綜合性，以培養(yǎng)技能的靈活性為主，方能提高學(xué)生的解題能力。

四 注重知識縱橫聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識體系