導語：如何才能寫好一篇四則運算，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

圖丫：當然知道啦，讓我來給薯條們總結一下，看看對不對！

一、“看”

“看”，就是先看一看題目里有幾個什么數，會有幾種運算符號；再看一看運算符號和數據有什么特點，有什么內在聯系。如405×（3076-2980）+2136÷89?？吹慕Y果應是：①有5個數；②有4種運算；③含有小括號；④是一道帶有小括號的整數四則混合運算題。又如368×[100÷（210-209）]+60?？吹慕Y果應是① 含有5個數；②有4種運算；③含有中括號；④是一道帶有中括號的整數四則混合運算題。

二、“定”

“定”，就是對題目整體觀察后，確定運算順序。即先算什么，再算什么，后算什么?？刹捎卯嬀€標順序的方法。

三、“想”

“想”，就是分析題中的數值特征和運算間的聯系，聯想到有關運算定律、運算性質， 然后進行運算。 如：405 ×（3076 -2980 ）+2136÷89。這道題雖不存在簡算問題，但括號部分與除法可同時計算，即同時 算出3076-2980的差與2136÷89的商。

有時候，根據數據特點，通過“想”將原式結構進行分解、組合等。

小薯條們在計算題的審題過程中，特別要注重培養自己具體問題具體分析的習慣和靈活運用知識的能力，這樣，才能對計算題算得正確、迅速。

關于空間與圖形的知識，四年級上學期主要學習東、南、西、北和東南、東北、西南、西北八個基本方向，下學期在此基礎上學習物體的位置與方向，出現了具體度數和距離。在這個環節上小薯條們最容易出現以下幾個錯誤：

一是大方向判斷錯誤。東、南、西、北四個基本方向小薯條們一般沒有什么問題，但是對東南、東北、西南、西北四個方向的判斷還存在一定的問題，經常把東南與東北西南、西南與西北東南、東北與東南西北、西北與西南東北這幾個相鄰的方向搞錯。

二是方向的順序和度數判斷錯誤。課本要求，對于非正南正北正東正西的方向要標上具體度數，例如：西偏南30度、東偏北40度等，而且以觀測點為基準，看物體的位置與觀測點的連線和方向標上的正南正北正東正西那個方向的夾角較小，來確定是西偏南還是南偏西、是東偏南還是東偏北等。小薯條們初學時很容易把方向的先后順序搞錯。

針對這兩個問題，圖丫給大家幾條對策：

篇2

關鍵詞：四則運算 解方程 填空題 解決問題

加法是減法的逆運算，乘法是除法的逆運算，在舊的人教版四年級的教材中，安排了加、減、乘、除之間的關系，即“一個加數=和-另一個加數”，“被減數=差+減數”，“一個因數=積÷另一個因數”，“被除數=商×除數”。同時教材安排了用加法驗算減法，用乘法驗算除法。筆者認為，四則運算之間的關系并不僅僅是應用于“加、減”之間的驗算或“乘、除”之間的驗算。在教學這個內容時，根據①一個加數=和-另一個加數” 、②“被減數=差+減數，還應該引導學生得出③“減數=被減數-差”的關系。根據④“被除數=商×除數、⑤一個因數=積÷另一個因數”引導學生得出⑥“除數=被除數÷商”。這樣四則運算之間就有六個關系。這六個關系，如果能在新教材中讓學生在理解的基礎上把它背熟，就可以為以后在其他方面的解題中發揮作用。那么怎樣才能使學生比較熟練地掌握這些變形依據是解簡易方程不可缺少的組成部分，本人認為可通過下面的途徑來完成這些教學任務，如要想學生熟練依據①，可以這樣多次練習：=和-另一個加數；和-一個加數=；一個加數=-另一個加數；和一個加數=另一個加數。進行這些練習時，最好穿數字的例子，相信經過多次練習后到正式解簡易方程時，我們再適當進行這樣的復習，加深學生的理解，學生一旦掌握了這些依據，解方程的任務就完成了一半。其它的變形依據也是依此類推。

一、利用四則運算關系解簡易方程

解簡易方程，教材是根據天平兩邊平衡原理，利用方程兩邊同時加（或減）同一個數，或方程兩邊同時乘（或除以）同一個不為0的數，等式兩邊仍然相等，最后求出未知數X的值。教材這樣編排，目的是要和初中教材銜接。但用這個方法解題時很有局限性的，有些題目，學生是無法解的。

在解答完一個具體的方程后，得出的解是否正確？這就要求教師要培養學生養成檢驗的良好習慣。這樣的教學就能顧全大局，有利于學生邏輯思維能力的培養，同時又養成了學生“言必有據”的好習慣，從中進行了思想品德教育，并且能幫助我們確保解方程的正確性。

二、利用四則運算的關系找解決問題中的等量關系

篇3

1、一個加數等于和減另一個加數；

2、被減數等于差加減數；

3、減數等于被減數減差 ；

4、一個因數等于積除以另一個因數 ；

5、被除數等于商乘以除數 ；

篇4

1.復數的概念問題

1.若復數(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數，則實數a的值為（ ）

A.1 B.2 C.1或2 D.-1

解答：由 得 ,

且 選B

點評：對于純虛數一定要使虛部不為0才可,往往很多考生就忽視了這點.

2. 在復平面內，復數 對應的點位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解答：因

所以 對應的點在第四象限，選 .

2.復數的加減運算問題

3.在復平面內，已知復數 ，

則 對應的點位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限.

解答：因 ，所以 對應的點位于第四象限，故選D.

4.設 （i是虛數單位），則 ( )

A． B． C． D．

解答: 對于

故選D

3.復數的乘除運算問題

5.復數 （ ）

A．2 B．－2 C． D．

解答： 故選A

6.已知復數z=1-i,則 =

(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-2

解答：將 代入得

，選B

4.復數的混合運算問題

7.設z的共軛復數是 ，或z+ =4,z? ＝8，則 等于( )

（A）1

（B）-i (C)±1 (D) ±i

解答：可設 ，由 得 故選D

8.復數

（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2 .

解答：

,

選D

5.復數的共軛問題

9.現定義復函數如下：在某個變化過程中有兩個變量 與 ，如果對于 的某個范圍D內的每一個確定的復數，按照某個對應法則 都有唯一確定的復數與它對應，那么，我們就稱 是 的復函數，記作 ．設復函數 ，則 的值是_____．

解答：

．

10.（2009全國卷Ⅰ理）已知 =2+i,則復數z=（ ）

（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

解答： 故選B。

6.復數的模問題

11.已知 ，復數 的實部為 ，虛部為1，則 的取值范圍是（ ）

A． B．

C． D．

解答： 由于0＜a＜2，故

故 選C

評：本題考查復數的基本概念及復數模的求法，同時考查利用函數思想求范圍。

12.已知復數 ，則 ( )

（A） （B）

（C） （D）

解答： 故選D

篇5

周清松 普洱學院理工學院 云南普洱 665000

基金：云南省教育廳科學研究基金項目（2013Y107）

【文章摘要】

用模擬人工手算的方法，很好的解決了大整數運算的問題，從而實現大整數運算時不受長度的限制。通過分析比較，發現用整型數組作為存儲結構雖簡單易行，但這種存儲方式浪費空間，而采用字符串來處理，對算法設計及空間利用率都是很好的選擇。

【關鍵詞】

大整數；算法模擬

0 引言

隨著社會經濟和高端科學的發展， 超大數理級的處理也越來越多的應用的社會生活的各個領域。比如在國家經濟生活中，決策者們需要通過收集，處理，統計和分析工農業中有關的數據。從而得到精確的結果。借以指導下一步的社會經濟發展。在航空領域，科技工作者們更要處理大量的數據，其中不乏一些超大的數據或超高精度的數據，整個處理過程不能有絲毫的馬虎。在密碼領域，如果能采用超大的數據進行算法設計，對社會保密工作將會有一個極大的提升。因此，大整數的處理是研究計算機數字處理的重要問題之一，所謂的大整數，是指超過目前各編譯器所定義的最高精度的整型數。目前計算機所標稱的有效數值范圍仍是依據計算機的字長規定的，像現在的pentium64 位超過了20 位的有效數字就不能完整表示了。

1 問題分析

如果要完成大整數的四則運算，首先要解決的問題是如何存儲運算數的問題， 其次是設計算法實現運算的過程。

1.1 超大數存儲技術

1.1.1 整型數組存儲

采用數組這種常用存儲方式進行如下處理，將輸入的數據拆成單個的字符， 并將該字符存放在整型數組的一個單元中，然后進行相關的運算，如圖1 所示：

采用這種方式存儲，對存儲數據的任何一位的數據的訪問、修改都非常方便， 但是，空間利用率非常低，存儲0~9 之間的一個數最多占用4 個位，而在vc++ 中任一個整型占四個字節，即是32 個位，可見空間的利用率最多才到1/8。這樣一來， 雖然算法設計過程簡單而可行，但是空間付出了大量的代價，況且數組的大小是一個靜態值，對空間的支配沒有自由。

1.1.2 鏈式存儲

鏈表是可以動態使用存儲空間的一種存儲方式，為了有效利用空間，我們定義數據類型是char 型的鏈表結點，以字符單鏈表的形式存放要處理的大整數的各位上數值。但是我們都知道，單鏈表的操作中對于隨機訪問鏈表中的數據和尋找鏈表的前驅結點要花費大量的時間，而且鏈表中每個結點存放’0’~’9’之間的一個字符， 則至少浪費了半個字節加上一個指針的空間，利用率小于25%。所以空間上雖然有節省，但是總體效率還是很不好。

1.1.3 字符串存儲

將每個大整數看成一個字符串，采用字符數組的方式存儲這些字符串，每個數組元素仍然存放一個數據字符，空間利用率比整型數組大得多，可以發現利用率在12.5%~50% 之間，而且由于是順序存儲， 對于數據的訪問、找前驅、后繼等操作能夠在短時間完成

綜上所分析：字符串存儲無論在算法設計還是在空間利用上都比較好，所以我們采用了第三種方式，即字符串方式實現存儲。

1.2 運算方法設計

1.2.1 符號處理

(1) 本算法用字符串的長度帶符號標識數據的正負性，比如－ 99999 ， 在0 ～ 9 之間

的字符個數是5，則用Len ＝－ 5 同時標識數據－ 99999 的長度與正負性。

(2) 算法中先將符號處理，后調用函數對數據進行處理，下面是對符號進行處理的情況：

A、如果加法中兩個數異號，則調用減法；如果兩個數同號，調用加法函數，結果為負數則在結果前添上“－”。

B、如果減法中兩個數異號，則調用加法，結果與被減數同號；如果兩個數同號， 則調用減法。當同為正時，如果被減數大， 則用被減數減去減數，否則用減數減去被減數，結果前添上“－”；當同為負數時，當被減數絕對值比減數的大時，則則用被減數減去減數，結果前添上“－”，否則用減數減去被減數。

C、如果乘除法中兩數異號，則結果為負；如果兩數同號，則結果為正。除法中， 余數符號和被除數保持一致。

1.2.2 數據處理

本算法主要涉及四則運算的加、減、乘、除。

加法：從個位開始（從右至左），將加數和被加數長度相同的部分，帶進位（有進位為1，無進位為0）按位相加，并將結果按從左至右的順序存放；如果被加數（加數）較長，則先用比加數（被加數）長的部分加上最后一次的進位，然后從右至左的順序依次復制到開始時所得結果的后面。最后，調用翻轉函數，使結果按從高位到低位的順序輸出。

減法：先將被減數和減數長度相同的部分進行帶借位相減（有借位為1，無借位為0），并將結果按從左至右存放；然后， 將被減數比減數長的部分減去借位，并將其從右至左的順序依次復制到開始時所得結果的后面。最后，調用翻轉函數和去零函數（去掉高位的0），使結果按從高位到低位的順序輸出。

乘法：A、將乘數進行按位分解；

B、調用一個多位數乘以一位數的函數。如果是乘的個位的話，就不用在乘積后面加0 ；否則，如果乘的是十位上的數， 則在結果后添一個0 ；如果是百位上的數， 則在結果后添兩個0．．．．．．

C、將結果累加；

D、重復B 和C 的操作，直到乘數長度為0。

除法：如果除數為0，給出提示”除數不能為0 ！”并跳出程序，讓用戶再次輸入；

如果被除數比除數小，則商為0，并將被除數作為余數；否則：

A、取數：即從被除數中取出長度與除數長度相同的數。

B、分析：如果被取出的數比除數大或等，則用除數與j （1<j<11）相乘，若被除數小于除數與j 的乘積且大于除數與j-1 的乘積，則商j-1。

如果被取出的數比除數小，則商0 且從被除數中再取一位，然后重復A 的操作。

C、重復A 和B 的操作，直到被除數長度為0。

圖 1 2 算法分析

加法：在平時的計算機運算中，當數據超過一定長度，機器會自動進行取余，從而得不到想要的數，比如說，c 語言中的unsigned int 型，他的取值范圍是0~65535，如果用65535+1，你將得不到65536，而是得到（65535+1）%65536=0。所以在此要另找新的途徑。在加法中最難解決的是進位處理問題及如果進行加法運算，我們參照了歸并排序的思想，先把長度為L1（加數與被加數中較短長度）對應位相加，然后對剩余位n-L1 位進行進位處理，在此過程中我們用到了2 個字符串， 所以時間與空間復雜度均為O（n）級，可見此方法是可行的。

減法： 減法與加法類似，時間與空間復雜度均為O（n）級。

乘法： 假設被乘數的長度為n，乘數的長度為m。在算法中，我們將乘數分解為單個字符并與被乘數相乘，并進行m 和的累加，所以實現過程中用了兩重循環， 其時間復雜度為O（m*n）級，空間復雜度為O（m+n）級。

除法： 每次取出與除數長度相等或比除數長度大1 的位數進行運算，其中調用了減法，在減法中又調用了乘法的子函數，所以時間復雜度為O（m*n2）

3 算法實現

由于實現大整數的四則運算是借助VC++ 軟件設計平臺，因此下面對四則運算的實現過程采用C++ 進行描述

3.1 加法實現過程

功能：將str1 和str2 相加，返回結果存在str 中。其中，for 循環用來對兩個數長度相等的部分進行按位相加，表達式： str+=(str1[i]+str2[j]+c-96)%10+'0' 表示把str1[i] 與str2[i] 相加后所得的字符存放于str 中；c=(str1[i]+str2[j]+c-96)/10 表示取得這次的進位。while 循環用來帶進位（沒有進位則為0）處理較長數的剩余部分。最后，如果仍有進位，則用表達式str+= c + '0' 存放到str 中。因為以上所得的結果是逆序的，所以調用翻轉函數reverseStr( ) 即可得正確的結果。

核心代碼如下：

for(i=str1.size()-1,j=str2.size()- 1;i>=0&&j>=0;i--,j--)

{

s t r + = ( s t r 1 [ i ] + s t r 2 [ j ] +c-96)%10+'0';

c=(str1[i]+str2[j]+c-96)/10;

}

while(i>=0&&j<0)

{

str+=(str1[i]+c-48)%10+'0';

c=(str1[i]+c-48)/10;

i--;

}

while(j>=0&&i<0)

{

str+=(str2[j]+c-48)%10+'0';

c=(str2[j]+c-48)/10;

j--;

}

if ( c > 0 )

str+= c + '0';

reverseStr(str);

3.2 減法實現過程

功能：將較大數str1 與較小數str2 進行相減，結果存放在str 中。其中，For 循環用來對str1 與str2 長度相等的部分按低位到高位相減。若str1[i] 的相應位減去借位位以后仍然比str2[i] 大，則不需要進行借位。此時用表達式str+=(str1[i]- str2[j]-c)%10+'0' 把求得相減后的第i 位上的字符放在str 中，置c=0 表示沒有借位；若str1[i] 減去借位位后比str2[i] 小，則需要借位，表達式str+=(str1[i]- str2[j]+10-c)%10+'0' 表示把借位后求得第i 位的字符存于str 中，置c=1 表示有借位，如此反復循環進行。while 循環的作用是減完str2 后，對str1 剩余部分進行帶借位處理，其原理與for 循環相似。按照上面的算法我們得到的字符有兩處需要處理：a、我們得到的字符串是逆序的，需要用翻轉函數reverseStr( ) 進行處理。b、相減后可能高位存在0，這種情況需要調用deletezore（）進行處理。

核心代碼如下：

f o r ( i = s t r 1 . s i z e ( ) - 1 , j = s t r 2 . s i z e ( ) - 1;j>=0;i--,j--)

{

if(str1[i]-c>=str2[j])

{

str+=(str1[i]-str2[j]-c)%10+'0';

c=0;

}

else

{

str+=(str1[i]-str2[j]+10-c)%10+'0';

c=1;

}

}

while(i>=0)

{

if(str1[i]-c>='0')

{

str+=str1[i]-c;

c=0;

}

else

{

str+=str1[i]+10-c;

c=1;

}

i--;

}

reverseStr(str);

str = deleteZero(str);

3.3 乘法實現過程

在乘法的實現過程中用到了v o i d c t o d ( s t r i n g &s t r , i n t a [ ] ) 、s t r i n g multiply1(string& str, int n) 函數，先介紹這兩個函數。ctod(string &str,int a[]) ：其功能是將字符串轉換成整型數組。str 存放被轉換的字符串Int a[] 存放轉換后的整型數組。string multiply1(string& str, int n) ：其功能是用str 種的字符轉換成整型數，然后乘以n。rst 存放結果。

核心代碼：

for (int i = str.size()-1; i >= 0; --i)// 從str 的右邊第一位開始乘n

{

rst+=((str[i]-'0')*n +c)%10 + '0';// 取得乘積的個位數

c =((str[i]-'0')*n+c)/ 10;// 取得乘積的進位位

}

if ( c > 0 )// 如果最后有進位位，將其轉換成字符型

rst += c + '0';

reverseStr(rst);// 將結果從高到低換位

功能：用str1 存放被乘數，str2 存放乘數，rst1 保存被乘數與乘數每一位的乘積，rst2 用于累加rst1 的累加和， 調用ctod 函數將str2 字符串轉換成整型數組放在int b[6000] 中，b[0] 用于存放數組b[6000] 的長度。在處理的時候是從b[6000] 的最后一個元素b[b[0]] 開始逆序處理。由于個位數與被乘數相乘不需要在后面補0，故單獨處理， rst2=multiply1(str1,b[b[0]])。其他位上的數則調用rst1=multiply1(string& str, int n)， 并做若干次rst1+=‘0’操作（如果n 是十位上的數則rst1 后加一個0，若是百位上的數則加兩0….）。累加每次所得的乘積， rst2= add(rst1,rst2)。由于乘積最后結果的高位可能為0，所以調用deletezero（）函數去除高位的0。

核心代碼：

 

ctod(str2,b);// 將字符串轉換成整型數據

 

rst2=multiply1(str1,b[b[0]]);// 由于個位與str1 相乘不需乘10，所以就單獨處理

 

for(i=b[0]-1;i>=1;i--)//str1 依次與b 中的每個數相乘

篇6

一、善于從兒童的年齡特點和規律出發，以舊拓新

課的開始，龍老師出示一道口算題和一道整數四則運算題，但學生在復習舊知識的基礎上巧妙的過渡到新知識探索環節，促使學生“愿問其詳”，激發他們的求知欲望。接著教師出示例1，讓學生通過與基本訓練題對比而導入新課，為學習新的知識從心理需求到知識鋪墊做了必要的準備。

二 善于提出問題，引導學生發現問題

“學源于思、思源于疑”。嘗試題的出示，促使學生心理上產生疑惑而發生認識上的沖突，激發了學生的內部動機，有利于在新舊知識的聯結點上展開教育。因而老師應注意在關鍵處提出一些問題，且內容恰當，難易適度，并富于思考性，易調動學生思維的積極性。老師出示嘗試題后，說：“誰能不通過老師的講解就能做題？”引導學生自己去探索知識，做的過程中提出：“先算什么？后算什么？”由于學生對這些知識并不陌生，很快會根據先算什么，后算什么而計算。這一系列問題，對于學生的思維，有明確的導向作用。

三 、善于引導學生從多角度地思考問題，培養學生遷移類推能力

老師在教學中，很注意學生在什么知識點上會產生思維障礙，就在這個地方解決，為了弄清例2怎樣計算，讓學生運用例1探索的方法，類推遷移，嘗試做，增強學生的感性認識。然后類推到“做一做”練習之中。

四 、善于積極引探，發揮兩主作用

教學大綱指出：“教學過程中，要充分發揮教師的主導作用和學生學習的積極性、主動性。教學時，教師通過積極的“引”，來激發學生主動地“探”，使教與學產生共振，和諧發展。如教師出示例2時，問例2與例1相對有什么不同？啟發學生積極思維；讓學生主動探索出：分數四則運算題，先算什么，后算什么，同時注意培養學生的歸納思維能力。

五 、善于精心設計練綱指出

“練習是使學生掌握知識，形成技能，發展智力的重要手段。練習主要在課內進行，練習要有層次，有針對性，講究方式，使全班學生都得到較多的練習機會等。”老師在課堂練習中，除基本訓練打基礎外，還應出示了“嘗試題”，誘發學生學習的積極性，邊算邊討論，成功地解答嘗試題后。教師還根據本節課的教學重點、難點，設計了三個層次的專項練習：1.基本訓練。2.變式練習。3.游戲練習。為學生設計多層次的嘗試思維情景，讓學生看有所思，練有所想。

六 、善于加強信息交流，促進嘗試成功

嘗試成功的重要條件之一是學生討論，是在學生獲得自己的努力結果之后進行的生動活潑、獨具一格的“語言和思維訓練”，這種討論使師生之間、學生之間在情感上得到交流和滿足，有利于培養學生的數學語言表達能力和分析推理能力，發展學生思維，加深理解教材。老師在課堂教學中設計學生討論，根據學生輸送的信息，針對學習新知識的缺陷，作畫龍點睛式的講解，確保學生系統地掌握知識。與此同時，老師也要參與討論，及時了解情況，并根據學生輸來的信息，及時進行針對性的講解，以“教”促“學”，“學”中有“教”，密切了教與學的關系，保證了嘗試成功。

七、善于板書簡練，畫龍點睛

篇7

有理數四則混合運算是先乘方，再乘除，最后加減；同級的運算，從左到右進行；如有括號，先算括號里邊的，多重括號時，按先小括號、再中括號、最后大括號的順序進行。

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。

整數也可看做是分母為一的分數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。是“數與代數”領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。

（來源：文章屋網 ）

篇8

教材：青島版小學數學六年級上冊第五單元信息窗一

教學片斷：

師：誰能找出有用的數學信息？

生1：我國擁有世界遺產30處。

生2：其中文化遺產占7 ／ 10，自然遺產占2 ／ 15，其他遺產占1 ／ 6。

師：誰能提出數學問題？

生3：我國文化遺產有多少？

生4：我國的文化遺產和自然遺產一共有多少？

生5：我國的其他遺產有多少？

師：你們提的問題都很有價值。今天我們先來研究生4提的問題（師板書）。先自己思考看能找出幾種不同的方法。

生6：我想利用線段圖來進行講解。

把30處看做單位“1”，減去其他遺產所占的1 ／ 6，就能求出文化遺產和自然遺產一共占5 ／ 6。再求30的5 ／ 6就可以了。列式：（1－1 ／ 6）×30＝5 ／ 6×30＝25（處）。

答：我國的世界文化遺產和自然遺產一共有25處。

生7：我先算出世界文化遺產和自然遺產各有多少處，再算一共有多少處。

生8：我想提問。請講清楚怎樣算出文化遺產和自然遺產各有多少處。

生7：謝謝你的質疑。從以上的數學信息中可以看出，求文化遺產實際上就是求30的7 ／ 10是多少。同理，求自然遺產就是求30的2 ／ 15是多少。列式：30×7 ／ 10＋30×2 ／ 15＝21＋4＝25（處）。

答：我國的世界文化遺產和自然遺產一共有25處。

生9：我國擁有的世界遺產一共是30處，其中包括三部分，問題是求文化遺產和自然遺產的數量，那我只要求出其他遺產有多少，用30減去其他遺產的數量，問題就解決了。列式：30－30×1 ／ 6＝30－5＝25（處）。

答：我國的世界文化遺產和自然遺產一共有25處。

生10：我也想用線段圖講解一下。

先算出文化遺產和自然遺產一共占我國的世界遺產總數的幾分之幾，再算一共有多少處。列式：30×（7 ／ 10＋2 ／ 15）＝30×25 ／ 30＝25（處）。

答：我國的世界文化遺產和自然遺產一共有25處。

生11：我想評價一下。我認為這幾種方法相比較而言，生6的方法在理解和計算上都要簡單一些，而且他講解的也很到位。

……

反思：

數學課程標準將解決問題作為一個重要目標，讓學生在學到數學知識的基礎上，進一步學會在具體情境中，利用學過的數學知識對具體問題做出有條理的分析，理清思路。只有掌握了解決問題的策略，才能更有效地提高學生的解題能力。通過總結反思，發現還要在以下方面繼續研究，爭取取得更好的教學效果。

首先，最大限度地創設和諧的課堂氛圍，搭建學生自主探索的平臺。要有效地培養學生的創新能力，需要改善師生關系，要為學生營造一種生動、活潑、民主、平等、和諧的教學氣氛，使學生的個性得到充分發展。

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關鍵詞： 型極限 無窮小量 計算

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）08（b）-0000-00

函數的極限可以分為兩大類：待定型和確定型. 型極限是指分子、分母均為無窮小量的函數的極限，是待定型極限，不能直接用四則運算法則來計算.這類極限的計算貫穿于微積分學的教學過程之中，如何簡捷地求出這類極限是每個師生所關心的問題.對于這種類型的極限，可以根據函數的結構來選用計算方法.常用的計算方法有下面四種.

1.利用有理化或約分轉化極限類型

函數極限的四則運算法則給出了求函數極限最基本的方法，而 型極限是不具備函數極限四則運算法則要求的，不能直接利用函數極限的四則運算法則來計算.對于函數是有理函數的 型極限可以將分子或分母因式分解后約去零因式，然后轉化為可以用函數極限的四則運算法則計算的極限.對于極限是 型的無理函數可以將分母或分子有理化后約去零因式再用函數極限的四則運算法則計算其極限.

2.利用導數的定義揭示極限意義

函數在某點的導數其實就是當自變數的改變量趨向于零時，相應函數的改變量與自變數改變量之比的極限，顯然是一個 型極限.可見，有的 型極也可以看成或轉化為函數在某點的導數，然后利用導數的定義來求.

3.利用無窮小量的等價替換優化計算

型極限的函數的分子、分母都是無窮小量，對于較為復雜的無窮小量用與其等價且簡單的無窮小量去替換，可以優化計算過程.

常用的等價無窮小量有：當 時， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， -1～ .

在替換的時候必須保證替換后的分子和分母與原來的分子分母等價，不能只考慮局部等價，要求整體等價.

4.利用洛必達法則簡化計算

洛必達法則是計算待定型極限的有力武器.對于符合洛必達法則條件的 型極限可以用洛必達法則計算.如果應用洛必達法則后得到的極限還是 型，只要仍滿足洛必達法則的條件，那么可以繼續使用洛必達法則.

在求 型極限的過程中，要盡可能地將函數的分子分母化為幾個因式之積的形式，可以約分的先約分，極限不為零的因式直接求出，這樣可以化簡函數的形式.同時還要靈活、綜合地運用相關方法來優化計算過程.例如，在求極限 時，先用洛必達法則可得到 ，還是 型極限.如果不化簡，再用洛必達法則計算，函數會變得比較復雜.這時，可以先求出 的極限值，這樣就可以得到 ，從而使函數得以簡化.最后可用無窮小量等價替換求得極限.

參考文獻

[1]劉玉璉.數學分析講義（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008，4.

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一、選擇“診斷”數學問題

小學生存在明顯的個體差異，每一個小學生都有自己的個性特征，并且每一個小學生的學習水平都有所差異。有對學習表現出高度興趣的學生，積極進行學習活動，也有尚未完成從家庭到學校過渡的小學生，學習能力比較差。教師統一施教，出現最突出的問題就是無法滿足好學生的學習需求，增加了學困生群體的學習難度，對提高小學生整體學習水平會形成負面影響。在小學數學教學中，加強對學生“一對一”診斷與干預，教師必須先選擇出具有針對性的“診斷”數學問題，全面了解每一個學生的學習情況。

現以“四則運算”為例，教師根據診斷目的設計出專門的測試題，第一道題是測試學生是否掌握四則運算的規律，第二道題是測試學生是否會計算四則運算。對于第一道測試題，教師點了一位平時學習表現不突出的學生提問：“對于一級運算應該按照怎么的順序進行計算？”學生回答：“進行一級運算，只需要按照從左向右的順序即可”，教師對學生的答案給予了肯定，對學生也進行了表揚，繼續對學生提問：“那如果加法、減法、乘法和除法都出現在同一個式子中呢？”學生猶豫了一下回答：“應該先計算乘除，再計算加減”，學生說出的答案并不完整，其他學生立即補充到：“如果有括號就先算括號內后算括號外”。檢查完學生基本知識掌握程度之后，教師用一道題檢查了學生對教學內容的應用程度，例題：645×（800-350÷35），學生根據四則運算規律，寫出解答過程：350÷35=10，800-10=790，645×790=509550，有學生覺得數字比較大，計算比較困難，還使用了簡便計算的方法，對式子中的各個數字同除以5得到：129×（160-70÷7），計算結果的速度更快。這就說明學生不僅對本章教學內容的掌握程度比較好，也很好地掌握了其他相關數學知識。

由此可見，缺乏科學有效的診斷，就難以了解到每一個學生對教學內容的掌握程度。在小學數學教學中，加強對學生“一對一”診斷與干預，教師根據教學內容要求，以及學生的學習水平，將診斷問題的難度由低到高，在分析問題的過程中，逐步發現學生對知識的掌握程度。

二、增強學生“一對一”學習模式的意識

小學數學教學中，一部分對“一對一”學習模式存在誤解，認為與教師之間的“一對一”，就是自己學習水平不高的體現，或者是教師對自己的懲罰，導致很多學生對于“一對一”學習模式并不熱衷，甚至存在恐懼感。當前，加強對學生“一對一”診斷與干預，需要教師先引導學生對“一對一”學習模式形成正確的認識。

再以“四則運算”為例，例如對于算式1：113-（34+38）÷2和算式2：（113-34+38）÷2，有很多學生出現了錯誤，有學生錯解算式1：113-72÷2=41÷2=20.5，或者113-34-38=41，41÷2=20.5，這些學生明顯是對教學內容掌握不熟的原因，為了鞏固和加深這部分學生對教學內容的理解，教師再次提問一個出現錯誤的學生：“四則運算的規律是什么？”學生回答：“如果加法、減法、乘法和除法都出現在同一個式子中，應該先計算乘除，再計算加減如果有括號就先算括號內后算括號外?！被卮鹜晁膭t運算規律之后，學生立刻發現了自己的錯解，再按照運算規律進行重新計算。

由此可見，教師在課堂上引導犯錯誤的學生糾正錯誤，在糾正錯誤的過程給學生以鼓勵和表揚，可以使學生從學習數學中獲得成就感，減少了他們心中自卑感的產生，逐步增強了他們“一對一”學習模式的意識。

三、科學評價，有效診斷，加強干預

小學生數學教學中，充分發揮“一對一”認知診斷與干預的重要作用，需要關注學生的個人評價，有效診斷小學生在學習中存在的問題，通過學習成果評價，參與到小學生學習過程中，對小學生形成干預。