導(dǎo)語：如何才能寫好一篇角的分類，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

教材分析：

“角的分類”是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)4年級上冊第二單元第三課時的內(nèi)容。它是在學(xué)生初步認(rèn)識角，會用量角器量角的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，教材借助兩把折扇的實物素材認(rèn)識平角和周角。通過觀察、動手實踐、探究掌握銳角、直角、鈍角、平角、周角之間的關(guān)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容是現(xiàn)實的、有意義的。在教材的編排方法上，它充分采用了不完全歸納法，步步設(shè)疑，層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生在做中悟理、在看中歸納、在用中深化揭示新知。考慮到學(xué)生的年齡特點和知識水平，教材以直觀操作作為思維的起點，綜合運(yùn)用了基本的邏輯方法和數(shù)學(xué)方法，在培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力、遷移類推能力、自主探究能力和歸納概括能力方面均有較為重要的作用。

學(xué)情分析：

學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識了銳角、直角和鈍角，并學(xué)會了測量角的度數(shù)，知道直角的度數(shù)是90度。他們在生活中也接觸了大大小小不同的角。但是學(xué)生對角的認(rèn)識多存在于直觀和感性認(rèn)識層面上，缺乏理性的認(rèn)識。

教學(xué)目標(biāo)：

1.使學(xué)生根據(jù)角的度數(shù)區(qū)分直角、銳角、鈍角、平角和周角，并理解這些角之間的關(guān)系。

2.通過生動、有趣的數(shù)學(xué)情境和活動，培養(yǎng)學(xué)生動手操作、觀察比較、抽象概括的能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

3.培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和自主探究學(xué)習(xí)的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

教學(xué)重、難點：

認(rèn)識平角、周角，依據(jù)角的度數(shù)區(qū)分銳角、直角、鈍角、平角和周角，利用平角和周角來求出兩條相交直線所形成的4個角的大小。認(rèn)識周角。

教學(xué)設(shè)想：

本節(jié)課考慮到學(xué)生的心理特點和對知識的認(rèn)知程度，我把課堂交給學(xué)生，放手讓學(xué)生去探索交流、去尋找問題的答案。考慮到分類這一現(xiàn)象生活中到處可見，我把學(xué)習(xí)建立在學(xué)生原有的生活和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，讓數(shù)學(xué)帶上生活味，充分調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性，滲透分類的思想。

教具學(xué)具：折扇、活動角、量角器、三角板。

教學(xué)過程：

一、談話交流，導(dǎo)入新課

師：同學(xué)們，昨天我們學(xué)習(xí)了角的測量，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)和角有關(guān)的知識。（板書課題：角的分類。）

【設(shè)計意圖：本節(jié)課我采用直接導(dǎo)入的方式，重在讓學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生能夠很快把精力投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中來。】

（請學(xué)生自己畫幾個角，然后小組內(nèi)把組員所畫的角進(jìn)行分類。）

匯報分類的結(jié)果（銳角、直角、鈍角），并板書。除了這3種角，我們今天還要認(rèn)識兩種新的角。如果有同學(xué)知道，則由學(xué)生說出。（平角和周角）如果學(xué)生說不出則教師呈現(xiàn)。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生畫角，并回顧之前學(xué)過的角，是為后面學(xué)習(xí)角的分類以及幾種角之間的關(guān)系做鋪墊。】

二、自主探究，學(xué)習(xí)新知

1.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)書第41頁例2

（1）出示平角和周角。

（2）學(xué)生質(zhì)疑。（這是角嗎？）

（3）小組內(nèi)討論：平角和周角到底是不是角。

（4）匯報。結(jié)合角的定義，學(xué)生會知道第一個圖形有一個頂點，兩條邊，是從一點引出兩條射線所圍成的圖形，所以應(yīng)該是角。

第二個圖形學(xué)生可能會理解不了，因為直觀看去只有一個頂點、一條邊。拿出折扇慢慢打開，使學(xué)生看清把扇子轉(zhuǎn)了一圈的動作，明白是兩條邊重合在一起，所以也應(yīng)該是角。

（5）動手畫一個平角，一個周角。

（6）找身邊的平角和周角。

【設(shè)計意圖：平角與周角的定義直接給出，而至于什么樣的角是平角，什么樣的角是周角，為什么說這樣的角是角，這一系列的問題都由學(xué)生通過自主活動找到答案，教師適時地點撥，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。這樣的學(xué)習(xí)過程，調(diào)動學(xué)生多種感官參與到課堂學(xué)習(xí)活動中來。找身邊的平角與周角，鞏固學(xué)生對在生活中處處都有角，都有數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識。】

2.學(xué)習(xí)例3

我們現(xiàn)在都認(rèn)識了哪些角？（銳角、直角、鈍角、平角、周角。）你知道這些角之間有什么關(guān)系嗎？

（1） 學(xué)生小組內(nèi)測量上課初所畫的角的度數(shù)。填學(xué)習(xí)匯報單。

（2） 通過小組討論，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)銳角小于90度，直角等于90度，鈍角大于90度小于180度，平角等于180度，周角等于360度。

（3）總結(jié)：銳角小于90度，直角等于90度，鈍角大于90度小于180度，平角等于180度，周角等于360度。

1平角=2直角

1周角=2平角=4直角

【設(shè)計意圖：測量角的度數(shù)，可以對上一節(jié)所學(xué)的角的測量這一部分知識進(jìn)行鞏固。學(xué)生在小組內(nèi)測量，那么測量的過程中就會發(fā)現(xiàn)，直角、平角、周角的度數(shù)是唯一的，而銳角、鈍角的度數(shù)是不唯一的，他們就會自主去探究銳角和鈍角度數(shù)的范圍。】

三、學(xué)以致用，拓展升華

知識大闖關(guān)。（課件出示。）

第一關(guān)：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.拿出活動的角，按老師的要求，擺出各種角。

2.教材第43頁第2題。

3.判斷。

（1）1平角=2直角。 （ ）

（2）鐘面上3：00時，時針和分針?biāo)傻慕鞘卿J角。（ ）

（3）鈍角都大于銳角。（ ）

（4）常用的計量角的大小的單位是“度”。（ ）

（5）角的大小與角兩邊叉開的大小有關(guān)。（ ）

第二關(guān)：拓展延伸

1.教材第43頁第4題。

2.利用三角板拼角。

3.教材第44頁第7題。

【設(shè)計意圖：設(shè)計闖關(guān)練習(xí)的目的是為了充分調(diào)動學(xué)生的興趣，練習(xí)以課本中的習(xí)題為主，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展。其中用活動的角擺角和用三角板拼角的練習(xí)，不但隨機(jī)性強(qiáng)，而且能使學(xué)生的練習(xí)不局限于紙筆。】

四、回顧所學(xué)，課堂小結(jié)

篇2

一、運(yùn)用角平分線的定義溝通角之間的關(guān)系

例1（湖北荊州）如圖1，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P點，將一個直角三角板的直角頂點放在P點處，且使它的一條直角邊過A點，另一條直角邊交CD于E.找出圖中與PA相等的線段，并說明理由.

解析：由DP平分∠ADC可得∠ADP＝∠PDC＝45由AD∥BC可得∠ADP＝∠DPC，從而得到∠PDC＝∠DPC，所以PC＝DC.又因為AB＝DC.所以AB＝PC.由于直角三角板的直角頂點放在點P處，所以∠APE＝90從而∠APB＋∠EPC＝90，又因為∠EPC＋∠PEC＝90，所以∠APB＝∠PEC.在PAB和EPC中，因為∠B＝∠C＝90AB＝PC，∠APB＝∠PEC，所以PAB≌EPC，從而可得PE＝PA.

點評：本題把角平分線置于矩形的背景之中，與平行線組合使用，溝通了角與角之間的關(guān)系.由于角平分線、平行線都具有轉(zhuǎn)化角的作用，在兩者共存的圖形中常會出現(xiàn)等腰三角形，所以命題者常將兩者組合，設(shè)計出精彩紛呈的題目.

二、運(yùn)用角平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化垂線段的長度

例2（河南省）如圖2，點P是∠AOB的角平分線上一點，過P作PC∥OA交OB于點C．若∠AOB＝60，OC＝4，則點P到OA的距離PD等于_____．

解析：因為OP平分∠AOB，∠AOB＝60，所以∠AOP＝∠BOP＝30由PC∥OA可得∠OPC＝∠AOP＝∠BOP＝30，所以PC＝OC＝4，∠PCB＝∠OPC＋∠POC＝60 由于點P是∠AOB的角平分線上一點，且PDOA，所以可聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)――角平分線上的點到角兩邊的距離相等，為此過點P作PEOB于點E，則PE＝PD.在RtPCE中，由∠PCE＝60可得∠CPE＝30，從而PC＝2CE＝4，由勾股定理可得PE＝ ＝＝2，從而點P到OA的距離為PD＝PE＝2.

點評：角平分線的性質(zhì)是角的軸對稱性的一個具體體現(xiàn)，由條件“PDOA”聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)是解決本題的思維突破口.本題通過添加輔助線，構(gòu)造出了角平分線性質(zhì)的基本圖形，巧妙實現(xiàn)了垂線段長度的轉(zhuǎn)化.

三、運(yùn)用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)巧作角平分線

例3（江西省南昌市）如圖3，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形．請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（請保留畫圖痕跡）．

解析：由條件OA＝OB可聯(lián)想到連接AB，得到等腰三角形OAB.根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，要畫出∠AOB的平分線，只需作底邊AB上的中線.考慮到AB是矩形AEBF的對角線，根據(jù)矩形的性質(zhì)，要作出AB的中點，只要連接EF，那么AB與EF的交點C就是AB的中點，從而過點C作射線OC就可得到∠AOB的平分線（如圖4）.

點評：命題者把等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的基本圖形與矩形的基本圖形進(jìn)行了有機(jī)的組合.本題有兩個巧妙之處，一是矩形對角線的交點恰好就是等腰三角形底邊的中點，二是等腰三角形底邊上的中線恰好就是頂角的平分線.正是這兩個“巧妙”，為我們作角的平分線提供了一種新方法.

四、以角平分線為軸構(gòu)造翻折型全等三角形

例4（山東省濟(jì)寧市）如圖5，A、B分別為x軸和y軸正半軸上的點.OA，OB的長分別是8，6，直線BC平分∠ABO交x軸于C點，P為BC上一動點，P點以每秒1個單位的速度從B點開始沿BC方向移動.

（1）求直線BC的解析式；

（2）設(shè)PA－PO＝m，P點的移動時間為t.

①當(dāng)0＜t≤4時，試求出m的取值范圍；

②當(dāng)t＞4時，你認(rèn)為m的取值范圍如何？(只要求寫出結(jié)論)

解析：（1）如圖5，在RtABO中，根據(jù)勾股定理，由OA＝6，OB＝8可得AB＝10.由于BC平分∠ABO，所以可過點C作CDAB于點D，易證得OBC≌DBC，所以BD＝BO＝6，OC＝CD，又因為AB＝10，所以AD＝4.設(shè)OC＝CD＝x，在RtACD中，由勾股定理得CD2＋AD2＝AC2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，所以點C的坐標(biāo)為(3，0).設(shè)BC的解析式為y＝kx＋b，把B(0，6)、C(3，0)代入得，解得，所以BC的解析式為y＝－2x＋6.

（2）先考慮t＝4這種特殊情形（如圖6），此時PB＝4 ，又因為BC＝ ＝＝3，所以PC＝ 4－3 ＝.作PHOA于點H，易得OBC∽HPC，所以 ＝＝，即＝，所以CH＝1.由OC＝3，CH＝1可得OH＝4，又因為OA＝8，所以H為OA的中點，又PHOA，所以此時PO＝PA，即m＝0.

①當(dāng)0＜t≤4時（如圖7），顯然PA≥PO，即m≥0.由于BC是∠OBA的角平分線，所以可考慮構(gòu)造翻折型全等三角形，為此在BA上截取BE＝BO＝6，易證得BPO≌BPE，從而PE＝PO.在PAE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，PA－PE＜AE，而AE＝4，所以PA－PE＜4，又因為PE＝PO，所以PA－PO＜4，即m＜4，又此時m≥0，所以當(dāng)0＜t≤4時，0≤m＜4.

②當(dāng)t＞4時（如圖8），顯然PA＜PO，即m＜0.同①可得m＜4，所以當(dāng)t＞4時，m＜0.

篇3

1． 通過操作根據(jù)三角形角、邊的特點給三角形分類，認(rèn)識各種三角形。

2． 經(jīng)歷操作、分析思考的過程，感悟分類、抽象概念的數(shù)學(xué)思想。

3． 在操作、思考中逐步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

教學(xué)重點：

能準(zhǔn)確地按照三角形角、邊的特點給三角形分類，認(rèn)識各種三角形的特征。

教學(xué)難點：

各類三角形之間的聯(lián)系和區(qū)別。

教師準(zhǔn)備：

課件、7個有代表性的三角形教具（兩套）、等腰和等邊三角形紙片。

學(xué)生準(zhǔn)備：

小組：一套7個有代表性的三角形、一張白卡紙、一套三角板。

個人：等腰和等邊三角形紙片、釘子板。

一、激發(fā)需要，揭示課題

1． 三角形各部分名稱：（屏幕出示：三角形圖）同學(xué)們，這是什么圖形？哪位同學(xué)愿意給大家介紹一下三角形各部分的名稱。（屏幕出示圖及名稱）

2． 師生舉例：生活中你在哪里見過三角形？老師也收集了一些（屏幕出示圖片：三角板，紅領(lǐng)巾，花瓶，積木；自行車，警示牌，房屋，長江大橋；金字塔等）。的確，在我們生活中會經(jīng)常用到三角形。

3． 揭示課題：把這些三角形放在一起（屏幕出示更多三角形）。看到這么多三角形，你有什么想法？這節(jié)課我們就來對三角形進(jìn)行整理，學(xué)習(xí)三角形的分類。

二、動手操作，合作探究

（一）合作探究

學(xué)生以小組為單位嘗試按照不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，教師參與到學(xué)生的分類活動中。

（二）匯報交流

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生分類主要有以下4種、3種或兩種，還可能有其他分類方法。

（1）按角分，分兩類。哪一組先來展示？并說明是按什么標(biāo)準(zhǔn)來分類的？分成幾類？（2和6都有直角分一類，其他5個沒有直角分一類。）老師用教具把分類展示在黑板上。

（2）按角分，分三類。有沒有也是按角分但不是分成兩類的？（2和6都有直角分一類，1和3都有鈍角分一類，4、5、7全是銳角分一類。）與剛才不同的是把1和3有鈍角的單獨(dú)分成了一類。還有沒有按角分，分得不同的？【板書：按角分】

（3）按邊分，分三類。除了按角分還有別的分類標(biāo)準(zhǔn)嗎？分成幾類呢？（2、3、4都有兩條邊相等分一類，5是三條邊相等分一類，1、6、7三條邊都不相等分一類。）老師用教具把分類展示在黑板上。（師擺三排）有沒有按邊分，分得不同的？

（4）按邊分，分兩類。兩類的：有邊相等的分一類，無邊相等的分一類；與剛才不同的是把5分到兩條邊相等一類。還有沒有按邊分，分得不同的呢？【板書：按邊分】同學(xué)們，除了按角分和按邊分還有別的標(biāo)準(zhǔn)嗎？若有，要展示判斷。

（三）初步研究按角分的三角形

（1）直角三角形。同學(xué)們即會定標(biāo)準(zhǔn)又會操作，將三角形按角分了類，還按邊分了類。我們先來看按角分的三角形，第一組三角形的角有什么相同的地方？（有一個角是直角，另兩個角是銳角）（屏幕出示圖文）叫什么名字？你在哪里知道這個名字的？【板書：直角三角形】

（2）鈍角三角形。再看第二組三角形的角有什么相同的地方？（有一個角是鈍角，另兩個角是銳角）（屏幕出示圖文）什么名字？【板書：鈍角三角形】

（3）銳角三角形。再看第三組三角形的角又有什么相同的地方？（三個角都是銳角的三角形）（屏幕出示圖文）三個角都是銳角的三角形是（生：銳角三角形）。【板書：銳角三角形】

（四）猜三角形活動

事實上，三角形的個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這幾個，按角分的三角形，除了這三種，還有別的種類嗎？【板書：三角形的種類】（學(xué)生可能回答有或沒有，也可能疑惑不回答）看來大家意見還不夠統(tǒng)一，不過沒關(guān)系，我們一起來做個猜三角形的活動后大家就明白了。

（1）猜直角三角形

①順猜：袋子里裝著三角形，只露一個角請猜是什么角三角形？說說你的想法。有沒有不同的？（若有猜銳角或鈍角三角形的，追問：你是怎樣想的？其他同學(xué)的意見呢？讓正確的反駁。）

②反證：三角形中有了一個直角，還會有第二個直角嗎？如果有兩個直角會是什么樣子呢？想象一下。（屏幕出示：兩個角是直角的演示圖■）你發(fā)現(xiàn)了什么？有了兩個直角還能圍成三角形嗎？師小結(jié)：說明三角形中有了一個直角，還會有第二個直角嗎？（不會）有一個直角還會有鈍角嗎？（屏幕出示：第二個角是鈍角演示圖■）師小結(jié)：說明三角形中有了一個直角還會有鈍角嗎？（不會）也就是說三角形中有了一個直角后，另外的兩個角既不可能是直角也不可能是鈍角，另外兩個角一定是銳角。

③簡潔：（屏幕出示：有一個角是直角，另兩個角是銳角的三角形是直角三角形。）你能把這句話說得簡潔些嗎？（有一個角是直角的三角形是直角三角形。）

（2）猜鈍角三角形

誰來猜是什么角三角形？說說你的想法。（屏幕出示：有一個角是鈍角，另兩個角是銳角的三角形是鈍角三角形。）誰又能把第二句話說得簡潔些？（有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。）

（3）露一個銳角猜三角形

還想猜嗎？（銳角三角形）有沒有不同的？（直角三角形）還有沒有不同的？（鈍角三角形）三種情況都有可能嗎？誰來說說你是怎樣想的？師展示：同樣大的一個銳角所在的三角形可能是銳角三角形，也可能是直角三角形，還可能是鈍角三角形。什么是銳角三角形呢？改成“有一個角是銳角”行嗎？改成“有兩個角是銳角”行嗎？為什么？必須三個角都是銳角的三角形才是銳角三角形。

（五）三角形中至少有兩個銳角

直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形雖然名稱不同，但都有什么角？（銳角）各有幾個銳角？（2個3個）三角形中有2個銳角或3個銳角，可以怎么說？（三角形中至少有兩個銳角）誰能解釋一下至少在這里是什么意思。

（六）研究按邊分的三角形

（1）等腰三角形

①概念、通過按邊分類，我們發(fā)現(xiàn)三角形的邊還有特殊的情況。第一組的三角形的邊有什么特點？取個什么名字？【板書：等腰三角形】什么是等腰三角形？（屏幕出示：兩條邊相等的三角形是等腰三角形。）

②各部分名稱。這兩條相等的邊就是腰，另一條邊是底。兩腰之間的夾角是頂角，剩下的兩個角是底角。（直角橫放）哪位同學(xué)上來給大家邊指邊介紹等腰三角形各部分名稱？師小結(jié)：不管怎樣擺放，相等的兩條邊才是腰。請標(biāo)出8號三角形各部分名稱。

③驗證底角相等。除了兩腰相等，等腰三角形還有什么特征呢？請用8號三角形去發(fā)現(xiàn)吧！你發(fā)現(xiàn)了什么？怎樣發(fā)現(xiàn)的？（量）還有什么方法？（對折）請生邊展示完全重合邊驗證底角相等。

（2）等邊三角形

第二組三角形的邊有什么特點？什么名字？（等邊三角形）【板書：等邊三角形】什么是等邊三角形？（屏幕出示：三條邊都相等的三角形是等邊三角形。）等邊三角形也是正三角形。除了三條邊都相等，等邊三角形還有什么特征呢？請用9號三角形去發(fā)現(xiàn)吧！怎樣發(fā)現(xiàn)的？還有什么方法？請生展示對折兩次傳遞相等的方法。

（3）等腰三角形和等邊三角形的關(guān)系

什么是等腰三角形？什么是等邊三角形？等邊三角形是不是等腰三角形呢？看來意見又不統(tǒng)一雙方各派一名代表發(fā)表意見。師小結(jié)：等腰三角形的條件是兩條邊相等，等邊三角形具備兩條邊相等的條件，等邊三角形還具備三邊相等的特點，所以等邊三角形是特殊的等腰三角形。

三、彈性活動，落實建構(gòu)

1． 其實這些三角形還可以用釘子板來圍一圍，請你圍一個喜歡的三角形。

篇4

關(guān)鍵詞 分類教學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用

所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。

一、分類教學(xué)的內(nèi)涵

分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。

分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。

教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。

認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。

講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：

通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。

二、分類教學(xué)法能夠增強(qiáng)思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：

（一）根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。

例1，化簡解：

這是按絕對值的意義進(jìn)行分類。

例2、比較與易得的錯誤，導(dǎo)致錯誤在于沒有注意到數(shù) 可表示不同類的數(shù)。而對數(shù) 進(jìn)行分類討論，既可得到正確的解答：

〉0 時 ，= 0 時 ，< 0 時 ，

（二）根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類

學(xué)習(xí)一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類研究 大于0，等于0，小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題 的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程 的根的三種情況。

（三）根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

例如 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是（ ）。

分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD，如圖，可得腰上的高是 或從幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、在教學(xué)和學(xué)習(xí)中充分體現(xiàn)分類思想

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題

例3、已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是實數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m－1=0 和 m－110 兩種情況來研究解決問題。

解：當(dāng)m＝l 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y＝－x－1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當(dāng) m11 時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

當(dāng)＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.

拋物線 y=－x2－2x－1，的頂點（－1，0）在x軸上。

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

參考文獻(xiàn)：

篇5

一、摸清情況，分類排隊

新生入學(xué)后，筆者便組織兩次基礎(chǔ)摸底考試，考試內(nèi)容包括基本概念、定理、公式、計算題、推理題等，兩份試卷題量不一，難易相差較大。通過考試成績，將全班學(xué)生分成A、X兩類，把基本掌握初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的劃為A類，其余的劃為X類。在開課一個月內(nèi)，通過課堂提問、作業(yè)完成情況等，進(jìn)一步掌握學(xué)生的真實情況，又將X類分為B類和C類。所謂B類，是指盡管數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，但智力條件和綜合素質(zhì)并不差，在初中階段由于主客觀原因而掉隊的學(xué)生；所謂C類，是指不但基礎(chǔ)差，而且綜合素質(zhì)相對差一些的學(xué)生。開始分類時，B、C類的學(xué)生不宜太少，各類學(xué)生的比例大體相當(dāng)。

二、指標(biāo)考核，動態(tài)管理

通過建立相應(yīng)的指標(biāo)考核體系，隨時調(diào)整學(xué)生的分類。指標(biāo)內(nèi)容分為軟硬兩部分，軟指標(biāo)包括學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)主動性和自覺性、互幫互學(xué)情況、素質(zhì)能力等，有學(xué)生本人、教師、班主任、課代表、班長等打分評價；硬指標(biāo)包括課堂作業(yè)和課后作業(yè)的完成情況和質(zhì)量、課堂提問的回答情況、考試考核的分?jǐn)?shù)的等。上述指標(biāo)體系按分值進(jìn)行綜合，確定評價得分，根據(jù)全班的評價得分情況進(jìn)行順序排隊，確定各類的分?jǐn)?shù)線。各類分?jǐn)?shù)線動態(tài)下浮，每兩周一次，半學(xué)期后，A類學(xué)生占到二分之一以上，B類四分之一左右。

三、分類要求，按類施教

中專數(shù)學(xué)課的教學(xué)目的主要有三個，其一是培養(yǎng)他們嚴(yán)密的邏輯思維能力和基本的運(yùn)算技能；其二是作為重要的文化基礎(chǔ)課，滿足與專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課等后續(xù)課程的教學(xué)需要；其三是學(xué)生繼續(xù)升學(xué)深造的一門必考課程。對不同類別的學(xué)生確定不同的培養(yǎng)目標(biāo)。

1.課前預(yù)習(xí)――任務(wù)不同

在每堂課結(jié)束前，都要布置下堂課的預(yù)習(xí)內(nèi)容，并分類提出任務(wù)和要求。例如，“倍角公式”的教學(xué)，A類學(xué)生的要求是掌握公式的推導(dǎo)及變形應(yīng)用：B類學(xué)生的任務(wù)是了解公示的推導(dǎo)及公式的直接應(yīng)用；C類學(xué)生則要求記住公式。

2.課堂提問――重點不同

對不同類別的學(xué)生提出不同難度、不同深度的問題，通過學(xué)生的回答情況，既可以了解學(xué)生對上次課內(nèi)容的掌握情況，又能對學(xué)生課前預(yù)習(xí)的檢查和督促，還是進(jìn)行動態(tài)管理的依據(jù)。對達(dá)到目標(biāo)要求的學(xué)生及時鼓勵使之向上一類努力，對B類學(xué)生達(dá)到A類預(yù)習(xí)要求的及時提高要求，對個別學(xué)生不求上進(jìn)、完不成預(yù)習(xí)任務(wù)的，課后個別談話，掌握動向，經(jīng)常督促檢查。

3.課堂講授――內(nèi)容不同

課堂講授的主要精力應(yīng)用于解決重點、難點和學(xué)生在預(yù)習(xí)中沒有解決的問題。因此，講課時要根據(jù)作業(yè)、預(yù)習(xí)及提問和各類學(xué)生的實際情況，突出重點，抓住關(guān)鍵，分散難點，講清知識，循序漸進(jìn)。課前準(zhǔn)備好三種不同類型的例題，先講授直接套用公式的例題，并隨時布置課堂練習(xí)，讓C類學(xué)生隨時鞏固。再講難度較大和變形應(yīng)用的例題，讓A、B類學(xué)生進(jìn)一步提高，讓全體學(xué)生都有提高。

4.課堂練習(xí)――要求不同

課堂練習(xí)題目的選擇要有藝術(shù)性、技巧性、趣味性和目的性。既要讓全體學(xué)生在掌握基本理論的基礎(chǔ)上，利用基本方法解決問題，又要使A、B類學(xué)生通過積極思考，解答有一定難度的問題。因此要精選題型、難易相間。分類教學(xué)的課堂練習(xí)有三個好處，一是學(xué)生邊做題教師邊輔導(dǎo)，個別問題可以在學(xué)生身邊及時解決；二是課內(nèi)做題效率高，課堂內(nèi)容可以當(dāng)堂消化鞏固；三是A類學(xué)生受到督促，B、C類學(xué)生能及時得到輔導(dǎo)，所有學(xué)生學(xué)有所得，不斷提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

5.課后作業(yè)――題量不同

課后作業(yè)的選擇應(yīng)做到：難易有度；加強(qiáng)對概念的理解；掌握計算和表達(dá)方法；檢查所學(xué)定理、公式、法則的掌握情況；搞清容易混淆的概念；防止學(xué)生忽略某些條件的習(xí)題。作業(yè)量相對大一些，但不要學(xué)生全部做完，各類別的學(xué)生可根據(jù)自己的水平有選擇地完成。通過作業(yè)和聯(lián)系，全體學(xué)生都要達(dá)到對課堂所學(xué)知識的復(fù)習(xí)、鞏固、提高的目的。

6.考試考核――難易不同

為實行分類施教的需要，考試考核的內(nèi)容既要全面具體有一定的廣度，又要有一定的難度和深度，擬定試題一般掌握：基本知識、基本應(yīng)用方面的試題占70%，有一定難度的試題占20%，難度較大的試題占10%。

篇6

等腰三角形是九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教版）八年級上冊第十二章“軸對稱”第三節(jié)的內(nèi)容。它是一個特殊的三角形，兩腰相等且兩底角相等。它的性質(zhì)可以用來解決很多幾何問題，但也正是因為它有這樣的特性，與它相關(guān)的問題會因為條件的不確定而出現(xiàn)多解。因此，在解等腰三角形邊、角問題時，常常要運(yùn)用分類思想。在等腰三角形復(fù)習(xí)課中，將分類討論作為一個專題復(fù)習(xí)很有必要。

二、學(xué)情分析：

八年級的學(xué)生已經(jīng)有了一些幾何知識的積累，在本節(jié)課以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)等腰三角形的一些知識，如等腰三角形的定義，等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等。對于等腰三角形中的分類討論，有時學(xué)生感到似乎比較簡單,但要真正完整解答,卻并非容易。學(xué)生遇到的最常見問題是漏解，有些同學(xué)甚至從初學(xué)階段到最后的復(fù)習(xí)階段都反復(fù)出現(xiàn)同樣的錯誤。要解決這一問題，除了認(rèn)真仔細(xì)，更重要的是要學(xué)會運(yùn)用分類思想解等腰三角形邊、角問題。

三、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識與技能目標(biāo)：

1、培養(yǎng)分類討論的思想；

2、會運(yùn)用分類討論的思想來解決等腰三角形有關(guān)問題。

（二）過程與方法目標(biāo)：

1、讓學(xué)生在知識點復(fù)習(xí)、歸納以及充分的變式訓(xùn)練過程中，體會分類思想；

2、在上述過程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理表達(dá)活動的過程和結(jié)論的能力。

（三）情感態(tài)度與價值觀：

1、培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識；

2、在分類討論的過程中，體驗獲得結(jié)論的快樂，鍛煉克服困難的勇氣。

四、教學(xué)重點：

1、了解等腰三角形邊、角分類討論的情況；

2、會運(yùn)用分類思想解等腰三角形邊、角問題。

五、教學(xué)難點：

會運(yùn)用分類思想解等腰三角形綜合題

六、教學(xué)思路：

首先，通過知識點流程圖復(fù)習(xí)等腰三角形邊、角有關(guān)知識點，讓學(xué)生明白因為等腰三角形邊、角的特殊性，所以在解與它相關(guān)問題時常常要分類討論。接著，通過變式訓(xùn)練讓學(xué)生了解等腰三角形邊、角分類討論情況。最后，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用分類思想解等腰三角形邊、角綜合題。

七、教具準(zhǔn)備：

內(nèi)角為110°、20°、50°的三角形紙板、三角板、PPT課件、電腦、投影儀等。

八、教學(xué)過程：

一、［教學(xué)環(huán)節(jié)］溫故而知新

［教學(xué)內(nèi)容］問題：請同學(xué)們根據(jù)知識點流程圖，按箭頭方向，將屏幕中的條件添加到最合適位置。

［教師活動］1、展示一幅等腰三角形邊、角知識點流程圖，讓學(xué)生添加合適條件。

2、由等腰三角形邊、角的特殊性導(dǎo)入新課。

［學(xué)生活動］1、觀察流程圖，思考問題。

［設(shè)計意圖］通過復(fù)習(xí)相關(guān)知識點，讓學(xué)生明白等腰三角形邊、角的特殊性，順利導(dǎo)入新課。

2、根據(jù)箭頭方向選擇最合適的條件。

二、變式探究

［教學(xué)內(nèi)容］【既快又準(zhǔn)】

1、ABC中，已知：AB=AC，

①若∠A=40°，則ABC的另兩個角的度數(shù)為；

②若有一個角為40°，則ABC的另兩個角的度數(shù)為；

③若有一個角為140°，則ABC的另兩個角的度數(shù)為；

2、在ABC中，已知：AB=AC

①AB=2，BC=3，則ABC的周長為；

②若有兩邊長為2、3，則ABC的周長為 ；

③若有兩邊長為2、5，則ABC的周長為 ；

［教師活動］1、提示學(xué)生畫出草圖，幫助解題。

2、提醒學(xué)生注意題目間的聯(lián)系與區(qū)別。

3、提問:為何出現(xiàn)兩個答案？如何分類討論？

4、提醒：求出三角形邊長后，應(yīng)記得判斷是否能構(gòu)成三角形。并復(fù)習(xí)如何判斷三條線段能否構(gòu)成三角形。

5、小結(jié)：在解等腰三角形邊、角問題時，要注意分類討論，防止掉入數(shù)學(xué)的“陷阱”。

［學(xué)生活動］

1、通過觀察、比較習(xí)題，畫出草圖，了解分類情況，自主得出答案。

2、共同回顧“三條線段能構(gòu)成三角形” 的判斷方法：任意兩條之和大于第三條。歸納技巧：只要最短兩條之和大于第三條即可。

［設(shè)計意圖］1、通過針對性的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生了解等腰三角形邊、角分類情況。

2、鼓勵學(xué)生發(fā)表自己對問題的理解，大膽說出解題思路，鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)語言表達(dá)能力。

三、鞏固提高

［教學(xué)內(nèi)容］

【小試牛刀】

1.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則其頂角的度數(shù)為_________。

2.若等腰三角形的底邊為5，其周長被一腰上的中線分成差為2的兩部分，求腰長。

【挑戰(zhàn)自我】

在下圖三角形的邊上找出一點，使得該點與三角形的兩頂點構(gòu)成等腰三角形。

［教師活動］1、要求學(xué)生根據(jù)題目意思，畫出符合條件草圖，寫出解題過程。

2、提問：等腰三角形按角的大小可分為幾類？等腰三角形周長被一腰上的中線分成的兩部分指的是哪兩部分？

1、提示：注意分類討論，找出所有符合要求的圖形。

2、指出學(xué)生錯誤做法，提醒要認(rèn)真審題、理解題目意思。

3、讓學(xué)生展示結(jié)果，說出方法，與大家分享。

［學(xué)生活動］

1、思考問題，根據(jù)題意畫出草圖，得出答案。

2、思考，質(zhì)疑，發(fā)表自己的見解，得出不同結(jié)果。

［設(shè)計意圖］

1、鼓勵學(xué)生發(fā)表自己對問題的理解，展示解題過程，說出解題思路，鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)書寫和語言表達(dá)能力。

2.鼓勵學(xué)生敢于質(zhì)疑發(fā)表不同意見和看法，培養(yǎng)分析問題能力。

3、培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作意識。

4、讓學(xué)生學(xué)會用分類思想解決問題。

四、體會、分享

［教學(xué)內(nèi)容］1、通過本堂課的探索,你有何收獲?

2、反思一下你所獲成功的經(jīng)驗, 與同學(xué)交流!

［教師活動］1、歸納總結(jié)今天所學(xué)內(nèi)容。

2、引出下一節(jié)課《等腰三角形中的轉(zhuǎn)化思想》。

［學(xué)生活動］學(xué)生通過對學(xué)習(xí)過程的小結(jié)，領(lǐng)會其中的數(shù)學(xué)思想方法

［設(shè)計意圖］通過梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力。

五、布置作業(yè)

［教學(xué)內(nèi)容］《等腰三角形》練習(xí)卷

（其中的思考題，學(xué)生可以根據(jù)自己的情況選擇完成）

［教師活動］1、針對學(xué)生認(rèn)知的差異設(shè)計了有層次的作業(yè)題。

2、為了下一節(jié)的學(xué)習(xí)，設(shè)計了有關(guān)等腰三角形中的轉(zhuǎn)化思想的習(xí)題。

［學(xué)生活動］根據(jù)自己的實際情況選擇完成相應(yīng)作業(yè)。

［設(shè)計意圖］1、既使學(xué)生鞏固知識，形成技能，又使學(xué)有余力的學(xué)生獲得最佳發(fā)展。

2、為了下一節(jié)的學(xué)習(xí)，起到很好的鋪墊作用。

九、教學(xué)反思：

（一）反思教學(xué)設(shè)計

本節(jié)課在教學(xué)過程中設(shè)計的一系列的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分體現(xiàn)了新課改的理念。設(shè)計力圖貫徹“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，采用“以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的現(xiàn)代教學(xué)思想。并結(jié)合多媒體，使教學(xué)過程更加直觀，學(xué)生更易于比較知識點間的聯(lián)系與區(qū)別，從而掌握知識點。本教學(xué)設(shè)計充分體現(xiàn)了知識的發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，通過知識點復(fù)習(xí)、變式訓(xùn)練等，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形邊、角問題中蘊(yùn)含的分類思想，突出重點，突破難點，抓住關(guān)鍵，得出結(jié)論。在教學(xué)過程中提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計問題讓學(xué)生做，錯誤原因讓學(xué)生說，方法與結(jié)論讓學(xué)生歸納，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動的主人。如此教學(xué)設(shè)計，對于學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成有重要的作用。

本節(jié)課首先通過知識點流程圖復(fù)習(xí)等腰三角形邊、角有關(guān)知識點，讓學(xué)生明白因為等腰三角形邊、角的特殊性，所以在解與它相關(guān)問題時常常要分類討論，從而順利導(dǎo)入新課。接著，通過變式訓(xùn)練讓學(xué)生了解等腰三角形邊、角分類討論情況，培養(yǎng)學(xué)生分類討論意識。最后，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用分類思想解等腰三角形邊、角綜合題。

（二）反思學(xué)情分析

如何進(jìn)行學(xué)情分析才能得到客觀準(zhǔn)確的結(jié)果呢？我覺得要明確分析的對象：

1、分析學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)。由于數(shù)學(xué)是一門前后知識關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)的學(xué)科，所以教師首先要了解與本堂課教學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的知識有哪些？學(xué)生的掌握情況如何？這是教學(xué)時引入和設(shè)計例題的關(guān)鍵。

2、分析學(xué)生的思維特點。數(shù)學(xué)是一門邏輯思維能力要求較高的學(xué)科，教師只有了解了學(xué)生的思維特點才能制定出適合的教學(xué)方案。

3、分析學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會遇到的困難。我在課前盡可能完整地估計出學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會遇到的各種困難，這樣就可以針對每一種問題采取不同的應(yīng)對策略。

篇7

一、三角形的形狀不確定

等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為

（ ）

A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°

分析 根據(jù)題意滿足條件的三角形可能是銳角三角形，也有可能是鈍角三角形。

解 （1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，一腰上的高在三角形內(nèi)部，它與另一腰的夾角為30°，則頂角∠C為60°，如圖1—1。

（2）當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，一腰上的高在腰的延長線上，它與另一腰的夾角為30°，則頂角的補(bǔ)角是60°，頂角的度數(shù)為120°，如圖1—2。

綜上所述，頂角的度數(shù)為60°或120°。故答案選D。

點評 因為三角形的形狀不確定，因此，所對應(yīng)的三角形的頂角的度數(shù)也就不一樣。

二、線段未確定

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A（1，1），在x軸上確定一點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有（ ）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

分析 線段OA可以是底邊，也可以是腰。

解 如圖2所示，若OA為底，則P1（1，0）；

點評 以上解答是按OA為邊時的情況討論，當(dāng)然也可以按A為頂角的頂點和O為頂角的頂點的情況討論。

三、角未確定

已知等腰三角形的一個角為80°，則它的另外兩個角是_______。

分析 題目中沒有指出80°角是等腰三角形的底角還是頂角，因此，需要分兩種情況求解。

四、邊未確定

已知AD為等腰ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求這個三角形內(nèi)角的度數(shù)。

分析 已知AD為腰上的高，則∠A為底角，而AB與AC不能確定哪個為腰，因此要分類討論。

解 分三種情況：（1）如圖3—1所示，AB=BC且ABC為銳角三角形。

因為∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠B=30°。又AB=BC，所以∠BAC=∠C=75°。

（2）如圖3—2所示，AB=BC且ABC為鈍角三角形，則∠BAC=∠C。

因為∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠ABC=90°+60°=150°，∠BAC=∠C=15°。

（3）如圖3—3所示，AC=BC，則∠BAC=∠B。

因為∠ADB=90°，∠DAB=60°，所以∠B=30°。所以∠BAC=30°，∠ACB=120°。

綜上所述，ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)分別為30°、75°、75°或150°、15°、15°或120°、30°、30°。

篇8

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性、條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力的提升。

一、把握時機(jī)，把分類思想滲透于日常教學(xué)中

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等。我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類、絕對值的意義、不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的好機(jī)會。

例如：講授完“負(fù)數(shù)、有理數(shù)”的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法。如可分為：

有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù) 有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)零負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

又如：兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不能互相交叉。

二、思維的嚴(yán)密是解決分類思想的基礎(chǔ)

所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的特征，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一小類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類

例1：化簡：|a+3|+|a-2|

分析：這是按絕對值的意義進(jìn)行分類，分別以a＜-3、-3≤a＜2和a≥2三種情況來討論，教會學(xué)生注意區(qū)分界點的無縫特征。

2.根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類

例2：解關(guān)于x的不等式：ax+3＞2x+a

分析：通過移項，不等式化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a－2＞0、a－2＝0、a－2＜0三種情況分別解不等式。

3.根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：相離、相切、相交。在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部、角的外部三種不同的情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。

三、引導(dǎo)探索，循序漸進(jìn)地提高

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題。只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤以致丟失題目的關(guān)鍵部分。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：一是涉及代數(shù)式或函數(shù)方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例3：已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m是實數(shù)）。如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：切入點應(yīng)選在是何種函數(shù)的討論上，不同的函數(shù)會有不同結(jié)局。

解：當(dāng)m=l時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當(dāng)m≠1時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y=(m-1)x2+(m-2）x-1

因而當(dāng)Δ=(m-2)2+4(m-1)=0時，函數(shù)與x軸有唯一交點，所以此時m=0。

篇9

關(guān)鍵詞 分類 滲透 思維 討論

推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)面向新世紀(jì)的合格人才，使學(xué)生具有創(chuàng)新意識，在創(chuàng)造中學(xué)會學(xué)習(xí)，教育應(yīng)更多的的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治.波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”，隨著課程改革的深入，在應(yīng)試教育“向”素質(zhì)教育“轉(zhuǎn)變的過程中，對學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法；要求學(xué)生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生進(jìn)行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。具體做法如下：

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機(jī)會。

進(jìn)行完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念教學(xué)后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)。這就為下一步分類討論奠定了基礎(chǔ)。

認(rèn)識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。

講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：通過對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對值的認(rèn)識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

又如，兩個有理數(shù)比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維縝密

（一）根據(jù)概念分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。

（二）根據(jù)法則分類

學(xué)習(xí)一元二次方程 根的判別式時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程 的根的三種情況。

（三）根據(jù)圖形分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，根據(jù)直線和圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

三、引導(dǎo)分類討論，提高解題能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教學(xué)這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)誤解。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。例如，已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是實數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m－1=0 和 m－110 兩種情況來研究解決問題。

解：當(dāng)m＝l 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y＝－x－1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當(dāng) m=1時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

當(dāng)＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.

拋物線y=－x2－2x－1，的頂點（－1，0）在x軸上

又如， 函數(shù)y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求證：y的值恒為正數(shù)。

分析：將y的表達(dá)式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決。

證明：⑴ 當(dāng)x ≤0時

x5 - x3 - x ≥0 ， y≥1恒成立；

⑵ 當(dāng)0 < x

y = x6 + （ x4 - x5 ） + （ x2 -x3 ） + （ x - 1）

x4 > x5 ， x2 > x3 ， 1> x

y > 0 成立；

⑶ 當(dāng)x = 1 時， y = 1 > 0 成立；

⑷ 當(dāng)x >1時

y = （ x6 - x5 ） + （ x4 - x3 ） + （ x2 - x ） + 1

x6 > x5 ， x4 > x3 ， x2 > x

y > 1成立

綜上可知，y > 0 成立。

由此而觀之，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

參考文獻(xiàn)：

篇10

一、識記

識記是指把某種意識到的數(shù)學(xué)信息，按其原本的形態(tài)或初步加工改組之后的形態(tài)，儲存在大腦之中，以保證在需要的時候，能再認(rèn)或再現(xiàn)這些信息。簡單地說，就是記住和識別事實材料，使之再認(rèn)或再現(xiàn)，不求理解。它是學(xué)習(xí)行為表現(xiàn)的最低水平。它又可分為認(rèn)知和識別兩級。

1.認(rèn)知：指反復(fù)感知事物并記住事物特征的過程。它表現(xiàn)為對事物和表象原型的記憶，它只涉及“是什么”，這是一種最低級的“刺激――反應(yīng)”過程。主要行為表現(xiàn)有：（1）寫出或說出各種定義、定理、法則、方法、步驟等。如寫出數(shù)列的定義，說出數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟。（2）畫出各種明確要求的簡單的幾何圖形、函數(shù)圖象和方程的曲線。（3）寫出各種常用的數(shù)學(xué)符號，如各種集合符號，基本初等函數(shù)的解析式，排列數(shù)、組合數(shù)符號等等。（4）寫出各種公式或各種關(guān)系式，如平均數(shù)不等式，柱、錐、臺、球的面積公式和體積公式，圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等。

2.識別：是指在反復(fù)感知事物的過程中，能對事物與記憶中的其它相似或不相似的事物進(jìn)行比較、對照和鑒別。在該過程中，能準(zhǔn)確地找出其相互間的異同點，這種異同點應(yīng)局限在“外部特征”上。主要行為表現(xiàn)有：（1）能指出各種具體的幾何圖形之間的差異，如球與球面、正弦曲線與余弦曲線等。（2）能說出各種關(guān)系式之間結(jié)構(gòu)上的異同，如冪函數(shù)的解析式與指數(shù)函數(shù)的解析式，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（3）能指出概念間在定義上的異同，如反正弦函數(shù)的定義與反余弦函數(shù)的定義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、排列與組合的定義、橢圓與雙曲線的定義等。（4）能準(zhǔn)確說出兩種不同運(yùn)算或解題模式、方法、步驟在程序或過程環(huán)節(jié)上的差異，如解指數(shù)方程、對數(shù)方程與解指數(shù)不等式、對數(shù)不等式在格式和步驟上的異同，用綜合法和分析法在證明不等式時程序和格式敘述上的差異等。

二、理解

理解是指抓住材料的實質(zhì)，把握材料的組成要素，能準(zhǔn)確地敘述材料的結(jié)構(gòu)特征，熟悉其適用范圍和應(yīng)用條件，掌握其應(yīng)用模型，并能在規(guī)范或相似的環(huán)境中進(jìn)行一定的發(fā)展和推理，它注重“為什么”，也就是知其所以然。理解可分為說明性理解和探究性理解兩級。

1.說明性理解：就是對知識、技能的實質(zhì)性領(lǐng)會，能用自己的語言表述出來或換一種形式表述出來，能說出其結(jié)構(gòu)的組成要素及相互關(guān)系。主要行為表現(xiàn)有：（1）能把定義概念分解成幾種不同的要素，如說明集合的三個特征，說明數(shù)列極限的“ε―N”定義的組成要素等。（2）能將一種形式（文字、符號、式子、圖象等）的數(shù)學(xué)表示轉(zhuǎn)化為他種形式表示，如將等差數(shù)列的定義用數(shù)學(xué)式表示出來，根據(jù)給定的曲線方程畫出其曲線，由函數(shù)解析式作其圖象，將極限的運(yùn)算法則用文字語言敘述等。（3）能準(zhǔn)確地區(qū)分定理、命題的題設(shè)和結(jié)論。能說明公式法則的適用條件和范圍。

2.探究性理解：就是要求學(xué)生親自參與提出、解決、研究、發(fā)展問題的全過程，對某一事物在一定范圍內(nèi)可能的發(fā)展趨勢、傾向或結(jié)論，經(jīng)過學(xué)生自己動手獲得，它是較高層次上的理解。主要行為表現(xiàn)有：（1）說出某概念的所有外延形式，如說出任意角的分類、復(fù)數(shù)的分類、六面體的分類等。（2）說出某定理、公式的各種可能的用途，如說出同角三角函數(shù)關(guān)系式的作用。（3）對于給出的某些條件推出一些結(jié)論，如推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式、前n項和的公式。（4）證明一些定理和公式。（5）對一些問題成立條件進(jìn)行深入的探索和研究，如研究三角形不等式（|a|-b|≤|a+b|≤|a|+|b|）等號成立的條件。

三、運(yùn)用

運(yùn)用，是指應(yīng)用學(xué)過的知識和已有的經(jīng)驗，在一定的情境中解決問題，是知識轉(zhuǎn)化為能力的具體表現(xiàn)。運(yùn)用可分為模仿運(yùn)用、封閉運(yùn)用和開放運(yùn)用三級。

1.模仿運(yùn)用：是指直接利用某些公式、定理、法則、范例等，在相似的情境里解決相似的問題。它的主要特征有三點：一是定理法則等的直接應(yīng)用，不作復(fù)雜的轉(zhuǎn)換；二是與原始學(xué)習(xí)的情境相同或相似；三是解決的問題與原始的問題相似，即在舊情境中解決問題。很明顯，這是一種低水平的運(yùn)用。主要行為表現(xiàn)有：（1）能按一定步驟、方法、程序處理新問題，如仿照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，總結(jié)出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。（2）能根據(jù)例題、解決條件、模式相同或相似的新問題，如利用例題的處理方法，解決每節(jié)的練習(xí)題和少部分習(xí)題，這樣的運(yùn)用多數(shù)能在課堂上及時完成。

2.封閉運(yùn)用：它是指應(yīng)用學(xué)過的知識和已有的技能，解決情境中的問題。所謂“新情境”，是指學(xué)生遇到的問題與經(jīng)歷過的問題不論是條件、結(jié)論和結(jié)構(gòu)均不相同。解決這類問題，一般不能直接利用現(xiàn)成的或經(jīng)驗過的模式來完成，大都需要進(jìn)行一系列轉(zhuǎn)化過程才能實現(xiàn)。由于經(jīng)過一定的遷移可轉(zhuǎn)化為舊情境，所以是一種封閉式的運(yùn)用。主要行為表現(xiàn)有：（1）將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題解決，如將無理不等式化為有理不等式組求解。（2）把非標(biāo)準(zhǔn)式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，將問題換角度解決，如用換底法求三棱錐的體積，又如用換元法、三角代換法、數(shù)形結(jié)合法等解決數(shù)學(xué)問題。