二面角的平面角的特征

α、β是由出發(fā)的兩個半平面,O是l上任意一點，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，若在OC上任取上一點A，作AB⊥OD于B,則由特征（2）知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關(guān)系，便得到另一特征；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學(xué)中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

二面角的平面角的特征

α、β是由出發(fā)的兩個半平面,O是l上任意一點，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，若在OC上任取上一點A，作AB⊥OD于B,則由特征（2）知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關(guān)系，便得到另一特征；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學(xué)中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學(xué)中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學(xué)中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

一、類比推理在高中數(shù)學(xué)新概念學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

目前，我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種知識和概念分布相對分散，然而在開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)注重數(shù)學(xué)知識的整體性和各個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在聯(lián)系．相關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在聯(lián)系教師可以通過類比推理法來進行整理和設(shè)計后向?qū)W生展示，不斷優(yōu)化學(xué)生的概念網(wǎng)絡(luò)和知識結(jié)構(gòu)．教師在進行高中數(shù)學(xué)新概念或新知識的講解時，可以將新知識或新概念與之前學(xué)習(xí)的相近或相似的概念進行類比，推導(dǎo)出新概念的含義，同時也可以通過與相似舊概念的類比，讓新概念成為舊概念某些方面的延伸和拓展，不斷拓展和延伸學(xué)生的數(shù)學(xué)知識構(gòu)架．相比于單獨講解數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)概念，類比推理在高中數(shù)學(xué)新概念學(xué)習(xí)中的應(yīng)用能夠加深學(xué)生對新概念或新知識的掌握和記憶，通過復(fù)習(xí)舊知識或舊概念，對舊概念和舊知識的定義、推理、運用進行系統(tǒng)的回憶，然后在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生去探索新概念和新知識，這樣能夠降低學(xué)生對新知識或新概念的記憶難度，避免與舊知識或舊概念出現(xiàn)混淆．筆者在講解高中二面角相關(guān)數(shù)學(xué)知識時，通過“角”的概念來進行二面角概念的類比推理，從而幫助學(xué)生理解和掌握二面角概念．從一點所發(fā)出的兩條射線組成的圖形是角，同理，從一條直線發(fā)出兩個半平面所組成的圖形是二面角;其中角是由射線———點———射線構(gòu)成，同理，二面角是由半平面———直線———半平面構(gòu)成．角和二面角的定義、構(gòu)成以及結(jié)構(gòu)圖形之間非常類似，教師可以將角和二面角的概念進行類比推理，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想角和二面角之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生更好地理解二面角的概念．

二、類比推理在高中數(shù)學(xué)知識整合中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對概念或知識進行整合時，類比推理能夠有效對相關(guān)概念和知識進行歸納和分類．如筆者在講解向量相關(guān)數(shù)學(xué)知識時，為了幫助學(xué)生對共線向量、平面向量以及空間向量相關(guān)知識的理解和掌握，尤其是這三個向量定理關(guān)系的區(qū)分，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)這三種向量時產(chǎn)生混亂，采用了類比推理法．在進行類比推理時，讓學(xué)生先理解和掌握共線向量的定理和共線向量的相關(guān)運算，再將共線向量的相關(guān)知識推廣到平面向量中，在學(xué)生理解和掌握相關(guān)平面向量的定量以及計算后，進一步推廣到空間向量上．類比推理在高中數(shù)學(xué)知識整合中的應(yīng)用，能夠讓學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性和和諧性，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想模式，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不斷提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果．又如筆者在整合等比數(shù)列和等差數(shù)列的相關(guān)知識時，由于等差數(shù)列和等比數(shù)列在某些方面有著相似的性質(zhì)，在進行等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)知識的整合時，可以采用類比推理法進行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生運用此種方法進行推理、計算，加強這種方法的運用，從而使得學(xué)生的數(shù)列相關(guān)知識結(jié)構(gòu)更加完整和有條理，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率．

三、類比推理在高中數(shù)學(xué)提出和解決問題中的應(yīng)用

人們的學(xué)習(xí)和相關(guān)思維過程都源自于對問題的提問，通過對問題的提問，從而激發(fā)人們進行思考和求知，最終解決問題，并獲得知識．學(xué)生提出問題的價值能夠有效衡量學(xué)生思維能力．類比推理在高中數(shù)學(xué)提出和解決問題中的應(yīng)用能夠有效幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和進行問題的猜想以及探索，進而有效解決問題．同時，類比推理在高中數(shù)學(xué)提出和解決問題中的應(yīng)用，能夠有效鍛煉學(xué)生思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進學(xué)生從“學(xué)會新知識”朝著“會學(xué)新知識”方面不斷發(fā)展，不斷提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和研究能力．例如，在課堂上，教師可以通過對正三角形內(nèi)任意一點到三角形三條邊的距離之和是一個定值進行類比推理，使得學(xué)生能得出正四面體內(nèi)任意一點到四面體各面的距離之和是一個定值．

［摘要］面對數(shù)量繁多的高中數(shù)學(xué)知識，如何才能快速準確地將其掌握呢？發(fā)現(xiàn)并運用知識內(nèi)容間的規(guī)律是必不可少的。在高中數(shù)學(xué)的眾多學(xué)習(xí)方法當(dāng)中，類比法不得不提。

［關(guān)鍵詞］高中數(shù)學(xué);類比法

既然數(shù)學(xué)知識是一個持續(xù)發(fā)展的過程，那么，在這之中所出現(xiàn)的內(nèi)容，必然會存在著相似之處。抓住這些相似之處，并將之作為探索新知的線索，就是適用類比法開展學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

一、類比相對內(nèi)容，打造高效課堂

將知識進行類比的一個重要切入點就是知識的相對性。在高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域，很多知識內(nèi)容都是以相對的形式出現(xiàn)的，從知識結(jié)構(gòu)到內(nèi)容特點，都像是對稱的一般。如果能夠把握住這個規(guī)律，學(xué)生們便可以通過喚醒一個知識點而很自然地聯(lián)想到另一個，讓學(xué)習(xí)效率大增。例如：在對二面角的內(nèi)容進行教學(xué)時，我發(fā)現(xiàn)，在其基本概念當(dāng)中，存在著很多和平面角相對應(yīng)的地方，于是借此展開類比，實現(xiàn)了很好的二面角教學(xué)效果。我從圖形、定義、構(gòu)成和表示法這四個角度分別進行類比：第一，從圖形角度來看，二者的形態(tài)表示自然是不同的；第二，從定義的角度來看，平面角是指從平面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形；二面角則是指從空間一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形；第三，從構(gòu)成的角度來看，平面角是由射線（半直線）——點（頂點）——射線構(gòu)成的，二面角則是由半平面——線（棱）——半平面構(gòu)成的；第四，從表示法的角度來看，平面角可以表示為∠AOB，而二面角則可以表示為α-a-β。通過對相對內(nèi)容進行類比，學(xué)生們在點與線、線與面、平面與空間的移轉(zhuǎn)中全面掌握了二面角的概念，教學(xué)效果很好。將相對內(nèi)容進行類比，為相似的數(shù)學(xué)知識之間搭建起了一座聯(lián)系的橋梁。學(xué)生們只要掌握了其中的一個知識點，便可以很順利地觸發(fā)到與之相關(guān)的內(nèi)容，大大減輕了每一次重新認知知識的精力負擔(dān)，讓新知的接受過程簡單高效。

二、類比新舊內(nèi)容，打造高效課堂

一、教材應(yīng)當(dāng)適度提高對綜合推理的訓(xùn)練

二面角作為空間中最重要的角之一，我們認為不管是哪一種教材體系，都應(yīng)當(dāng)把它列為重要的研究對象。而教材對二面角的處理僅僅設(shè)置了1課時，給師生以一帶而過的感覺。特別是對二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學(xué)生在一節(jié)課的時間內(nèi)難以掌握，所以當(dāng)學(xué)生都無法找到計算對象時，就更談不上去求解它了。另外，該部分內(nèi)容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議增加關(guān)于二面角的例題。一方面，把二面角的求解與向量方法結(jié)合起來；另一方面，借此適當(dāng)?shù)靥岣呔C合推理的訓(xùn)練。因為空間中的角度(也包括距離)是立體幾何中重要的度量問題，這些問題的解決又一定程度依賴于綜合推理。正如課程標(biāo)準中要求所說：“把幾何推理與代數(shù)運算推理有機地結(jié)合起來，為學(xué)生的思維活動開發(fā)了更加廣闊的空間，在教學(xué)中要緊緊把握這個大方向，不能有所偏廢。”

二、用向量方法研究平行關(guān)系的問題相對較少

教材中利用向量方法研究垂直關(guān)系的例題、練習(xí)及習(xí)題比比皆是，但利用向量方法研究平行關(guān)系的例題卻為數(shù)不多。且不能很好地體現(xiàn)向量方法的優(yōu)越性。

例如教材第30頁例3，課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生首先想到的不是用向量方法，反而更容易想到的是用相似三角形這一較為熟知的知識點去推證四邊形EFGH與，平行四邊形ABCD的各邊對應(yīng)平行，并且簡潔易行。類似這樣的題目還有第41頁例5(該題用反證法也很容易證明)，第79頁參考例題2(該題用三角形中位線及等腰三角形底邊上的中線也是高線的知識也很容易解決)，限于篇幅，不再一一贅述?？傊@些題口給我們的感覺只是為了介紹向量方法，但卻不能顯示出向量方法的優(yōu)越性。另外，在練習(xí)和習(xí)題中再很難找到用向量方法來研究平行關(guān)系的題目了。筆者建議，教材要讓所選例題更具有典型性和代表性，并且在練習(xí)和習(xí)題中編擬一些利用向量方法研究，平行關(guān)系(包括線線，平行、線面平行、面面平行）的題目，來充分顯示用向量方法解決立體幾何問題的優(yōu)越性。

三、教材的知識體系需要進一步條理和完整

[摘要]將現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用于中小學(xué)教學(xué)，已成為教育發(fā)展的必然趨勢，更是推進素質(zhì)教育的突破口?，F(xiàn)代教育技術(shù)使數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程與結(jié)果的教育得到更好的結(jié)合，使數(shù)學(xué)興趣、情感與數(shù)學(xué)的理性思維教育得到有機的融合，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實施提供了有利的技術(shù)保障。本文筆者通過自己的實踐與思考，從教學(xué)內(nèi)容、教師的教、學(xué)生的學(xué)三方面就如何運用現(xiàn)代教育技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)整合做了初步研究，并對存在的問題及對策進行了探討。

[關(guān)鍵詞]現(xiàn)代教育技術(shù)整合情境促進數(shù)學(xué)教學(xué)

1.引言

當(dāng)我們步入21世紀時，以計算機和網(wǎng)絡(luò)為核心的現(xiàn)代技術(shù)的不斷發(fā)展，正在越來越深刻的改變著我們的生活、工作和學(xué)習(xí)方式；同時以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論和認知主義學(xué)習(xí)理論為代表的現(xiàn)代教育理論的蓬勃發(fā)展和廣泛傳播，以及新課程標(biāo)準的實施，使我國基礎(chǔ)教育特別是高中教育面臨著難得的發(fā)展機遇，也面臨著嚴峻挑戰(zhàn)。如何運用現(xiàn)代教育技術(shù)，提高教育教學(xué)質(zhì)量，就成了我們探討和研究的一個重要課題。

簡單的說，現(xiàn)代教育技術(shù)主要指現(xiàn)代教育媒體和現(xiàn)代教育理論在教育中的運用。李克東教授根據(jù)我國國情，結(jié)合美國教育技術(shù)學(xué)會（AECT）的1994年新定義，給出了更為全面的說明，即：“現(xiàn)代教育技術(shù)是指運用現(xiàn)代教育理論和現(xiàn)代信息技術(shù)，通過對教與學(xué)過程和教與學(xué)資源的設(shè)計、開發(fā)、評價和管理，以實現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化的理論和實踐?！北疚墓P者結(jié)合自己的實踐與思考，就如何運用以現(xiàn)代信息技術(shù)為依托，以現(xiàn)代教育與心理學(xué)的理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代教育技術(shù)來優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)，做了一些初步的研究。

2．實踐與思考