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證明組合恒等式，一般是利用組合數的性質、數學歸納法、二項式定理等，通過一些適當的計算或化簡來完成．但是，很多組合恒等式，也可直接利用組合數的意義來證明．即構造一個組合問題的模型，把等式兩邊看成同一組問題的兩種計算方法，由解的唯一性，即可證明組合恒等式．

例1證明Cnm＝Cnm－1＋Cn－1m－1．

分析：原式左端為m個元素中取n個的組合數．原式右端可看成是同一問題的另一種算法：把滿足條件的組合分為兩類，一類為不取某個元素a1，有Cnm－1種取法．一類為必取a1有Cn－1m－1種取法．由加法原理可知原式成立．

例2證明Cnm·Cpn＝Cpm·Cn－pm－p．

分析：原式左端可看成一個班有m個人，從中選出n個人打掃衛生，在選出的n個人中，p人打掃教室，余下的n－p人打掃環境衛生的選法數．原式右端可看成直接在m人中選出p人打掃教室，在余下的m－p人中再選出n－p人打掃環境衛生．顯然，兩種算法計算的是同一個問題，結果當然是一致的．

以上兩例雖然簡單，但它揭示了用組合數的意義證明組合恒等式的一般思路：先由恒等式中意義比較明顯的一邊構造一個組合問題的模型，再根據加法原理或乘法原理對另一邊進行分析．若是幾個數（組合數）相加的形式，可以把構造的組合問題進行適當分類，如例1，若是幾個數（組合數）相乘的形式，則應進行適當的分步計算，如例2，當然，很多情況下是兩者結合使用的．

例3證明Ckm＋n＝C0mCkn＋C1mCk－1n＋C2mCk－2n＋…＋CkmC0n，其中當p＞q時Cpq＝0．

證明：原式左邊為m＋n個元素中選k個元素的組合數．今將這m＋n個元素分成兩組，第一組為m個元素，剩下的n個元素為第二組，把取出的k個元素，按在第一組取出的元素個數i（i＝0，1，2，…，k）進行分類，這一類的取法數為CimCk－in．于是，在m＋n個元素中取k個元素的取法數又可寫成ki＝0CimCk－in．故原式成立．

例4證明

Cnn＋Cnn＋1＋Cnn＋2＋…＋Cnn＋m＝Cn＋1n＋m＋1．

證明：原式右邊為m＋n＋1個元素中取n＋1個，元素的組合數，不失一般性，可以認為是在1，2，3，…，m＋n，m＋n＋1，共m＋n＋1個數中取n＋1個數．將取出的n＋1個數a1，a2…，an＋1由小到大排列，即設a1＜a2＜an＋1，按取出的最大數an＋1＝k＋1分類，顯然k＝n，n＋1，…，n＋m．當k＝n＋i時（i＝0，1，2，…，m），這一類取法數為Cnn＋i，所以取法總數又等于mi＝0Cnn＋i．原式成立．

對于某些組合恒等式，有時其左右兩邊所表示的意義都不易看出，但是如果根據組合數的特點仔細分析，或對原式進行一些適當的變形，往往可以巧妙地構造一個組合問題做為模型，證明就可化難為易．

例5證明C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1．

分析：注意，原式左端等價于C11C1n＋C12C2n＋…＋C1nCnn，這里C1iCin可表示先在n個元素里選i個，再在這i個元素里選一個的組合數，可設一個班有n個同學，選出若干人（至少1人）組成一個代表團，并指定一人為團長．把這種選法按取到的人數i分類（i＝1，2，…，n），則選法總數即為原式左端．今換一種選法，先選團長，有n種選法，再決定剩下的n－1人是否參加，每人都有兩種可能，所以團員的選法有2n－1種．即選法總數為n2n－1種．顯然兩種選法是一致的．

這里應注意2n的意義，并能用組合意義證明ni＝0Cin＝2n．

例6證明

C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋n2Cnn＝n（n＋1）2n－2．

分析：本題左邊與例5左邊類似，不同的是例5左邊為ni＝1iCin，而本題為ni＝1i2Cin．只要在例5構造的模型中加上同時還要選一個干事，并且干事和團長可以是同一個人，即可符合原式左邊．對原式右邊我們可分為團長和干事是否是同一個人兩類情況．若團長和干事是同一個人，則有n2n－1種選法；若團長和干事不是同一個人，則有n（n－1）2n－1種選法．所以，共有n2n－1＋n（n－1）2n－2＝n（n＋1）2n－2種選法．

例7證明

（C1n）2＋2（C2n）2＋3（C3n）2＋…＋n（Cnn）2＝nCn－12n－1．

分析：注意到（Cin）2＝CinCn－in，可設一個班有n個男生與n個女生，在這2n個學生中選n個同學（至少有1名男生）組成一個代表團，并指定其中一名男生為團長，按選出的男生人數i（i＝1，2，…，n）分類，這一類有iCinCn－in＝i（Cin）2種選法，總的選法有ni＝1i（Cin）2種．原式右邊的組合意義是明顯的，即直接在n個男生中選一名團長，有n種選法，再從剩下的2n－1人中選出n－1人為團員，共有nCn－12n－1種選法．

掌握了用組合意義證明組合恒等式這種方法后，還可通過構造一個組合問題的模型，編擬組合恒等式習題．如在例5中除了要選一名團長外，還要選一名干事和一名聯絡員（可以兼職）便可得ni＝1i3Cin＝n2（n＋3）·2n－3．具體證法可參照例5與例6．又如，在例7中除了在2n個同學中選出n個團員及指定一名男生為團長外，還要有一名男生擔任聯絡員（可以兼職），則可得組合恒等式：ni＝1i2（Cin）2＝nCn－12n－1＋n（n－1）Cn－22n－2．若在例7中要求，留下的女生中再選一名負責人，則有組合恒等式ni＝1i2（Cin）2＝n2Cn－12n－2．具體證明讀者可自己完成．實際上習題的編擬過程就是用組合意義證明恒等式的過程．

若把恒等式中較簡單的一邊去掉，變為化簡組合式，用此法同樣能完成化簡，讀者可自己體會．

用組合數的意義證明組合恒等式，除了對提高學生的智力及觀察分析問題的能力有幫助外，還有它獨到的好處，那就是把抽象的組合數還原為實際問題，能提高學生應用數學知識解決實際問題的能力，把枯燥的公式還原為有趣的實例，能提高學生的學習興趣．所以，老師在教學過程中適當介紹一些這方面的內容，將是大有益處的．