導語：如何才能寫好一篇立體幾何，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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（1） 證明：OD∥平面PAB；

（2） 當k=■時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；

（3） 當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為PBC的重心？

下面我們通過對此題的分析和解決，來思考高三立體幾何的復習策略．

一、 明確考試要求，找準復習目標

立體幾何是研究空間中點、線、面間位置關系的科學．高考考查的關于空間中點、線、面間位置關系的問題大致可以分為兩類：一類是定性判斷，主要有判斷點是否在線上或面內，直線和直線、直線和平面以及平面和平面是否平行或垂直等，如上題中的第（1）問；另一類是定量求解，即求解直線與平面之間的夾角、距離，以及與夾角、距離有關的問題，如上題中的第（2）、（3）問．明確了考試的內容，我們就能將主要精力放在重點知識和重點方法的學習和復習上．

二、 知曉考試難度，樹立得分信心

本題為2005年高考浙江試卷解答題的第4題，難度系數約為0.7，屬于中檔題．絕大多數同學都能得分，部分同學還能拿到較高的分數甚至是滿分．另外，高考數學試卷中關于立體幾何內容的問題一般還會有一道選擇題和一道填空題，難度略低于解答題，總分值為23分左右，約占試卷總分的15％．立體幾何部分總體難度為中低檔，只要樹立起充分的信心，通過科學系統地復習，立體幾何部分要拿到高分并不困難．

三、 學會知識串網，注重方法積累

明確了考點和難度之后，我們需要對本部分的知識內容有熟練的掌握．立體幾何所涉及的知識點比較多，概念之間容易混淆，在復習的過程中，可以通過列知識圖表、畫網絡圖等形式，將知識串聯起來，形成屬于自己的知識網絡結構，有利于知識的記憶和提取．

圖2所示是立體幾何的一個典型圖例，通過它我們可以很好地建立起有關立體幾何的知識網絡．簡言之就是“一個模型、兩種關系、三大交角、四個公理、五大步驟、六種距離”.通過這個模型，我們可以發現平行和垂直兩大位置關系，尋找線線角、線面角和面面角三類夾角，揭示立體幾何的四大公理，訓練求角過程一般所遵循的 “一找二作三轉化四證明五求解”的解題程序，計算點、線、面三元素之間的距離．

如從四面體E－BFG中，我們可以找到構成它的四個直角三角形；EG，EF和平面GBF是三垂線定理的常見模型．高考立體幾何的解答題一般以柱或錐為背景，在圖2中稍加連線，就可得到典型的柱體、錐體，其中對線面關系、角度、距離等問題都有體現；應用9B知識解題，需要建立適當的空間直角坐標系，在上圖中也能找到兩兩垂直關系的三線來建立坐標系.圖2所示的結構也是高考立體幾何題的創題背景．

四、 關注演練提升，著意形成能力

練習是復習備考必不可少的環節，一方面可以進一步熟悉知識、體會方法；另一方面，同學們需要在實踐中不斷錘煉，才能提高分析問題和解決問題的能力．

例題第（1）問中要證明線面平行，常用方法是將問題轉化為證明直線和直線平行或者平面和平面平行．所以既可以在平面PAB內找與直線OD平行的直線，也可以尋找過OD且與平面PAB平行的平面．解法如下：

解（1）： O，D分別為AC，PC的中點， OD∥PA.又 PA?奐平面PAB， OD∥平面PAB．

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關鍵詞:立體幾何;作圖;語言互譯

中圖分類號:G633文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2010)07-0196-01

一、立體幾何入門從作圖開始

空間圖形是立體幾何特有的一種語言形式,因為很多時候,看題目里的文字,感到模模糊糊,畫個圖一看,就清清楚楚了。

在初中學習平面幾何時,已經形成了強大的“思維定勢”,結果對于立體幾何圖形也往往不加分析地從平面幾何的角度來理解空間圖形問題,常把空間圖形看成平面圖形,以至于妨礙三維空間的建立。必須下大力氣,盡快打破平面圖形的思維習慣,逐漸熟悉根據紙上畫的圖形而想象出物體在空間的真實形狀。反過來,又能逐步學會將空間的三維物體用線條直觀地在一張紙上表現出來。

為此,可采用實物,多角度地“寫生”,多畫圖,才能從中悟出空間圖形和平面圖形的差異和聯系,更合理地畫出空間圖形。例如,可以對長方體進行觀察,擺出不同的位置,從各種角度畫出圖形,看從哪些角度畫出的圖形更有立體感;又如,三個面在空間中相交的各種情況,是立體幾何圖形的基礎,可以用硬紙片做模型,擺出各種不同情況的空間位置,逐一畫圖聯系,打好繪制基本圖形的功底。

二、分清平面幾何與立體幾何的聯系與區別

立體幾何與平面幾何有著緊密的聯系。因為立體幾何中的許多定理、公式和法則都是平面幾何定理、公式和法則的推廣,處理某些問題的方法也有許多相似之處。但必須注意的是,這兩者又有著明顯的區別,有時平面幾何知識的局限性會對立體幾何學習產生一些干擾阻礙作用,如果僅憑平面幾何中的經驗,把平面幾何中的結論套用到空間中,就會產生錯誤。因此,在解題時需要特別注意的是,并非所有的平面幾何結論都可以推廣到空間,必須在證明所研究的圖形是平面圖形之后,才能引用平面幾何的結論。

三、三種語言互譯十分必要

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本文正是通過對高考立體幾何試題（理科）進行分類、整理和匯總，讓讀者能明白四川省高考立體幾何考查的內容，并作出相應對策. 四川省高考立體幾何試題，分值相對穩定，其題型一般是一個解答題，一個選擇或填空題.解答題處于整卷解答題的中間，從知識方面看一般和棱柱和棱錐有關，主要考查線線關系.線面關系和面面關系，其重點是考查空間想像能力和推理運算能力.下面是我對四川省高考立體幾何試題的一些分類和分析。

1. 線類

如圖1所示， ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的

圖1

（ A） BD∥平面CB1D1

（ B） AC1BD

（ C） AC1CB1D1

（ D）異面直線AD 與 CB1所成的角為

解析：選 。顯然異面直線 與 所成的角為45°

2. 球類

設M，N 是球O 半徑OP 上的兩點，且NP=MN=OM ，分別過N，M，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三個圓，則這三個圓的面積之比為 （ ）

（A）3：5：6 （B）3：6：8 （C）5：7：9 （D）5：8：9

解析：由題知，M 、 N是 OP的三等分點，三個圓的面積之比即為半徑的平方之比。在球的軸載面圖中易求得：

R2-（R3）2=8R29，R2-（2R3）2=5R29

故三個圓的半徑的平方之比（見文獻[1]）為R2：89R2 ：59R2，故本題選D。

本題著意考查空間想象能力。

3. 棱柱類

已知正四棱柱的對角線的長為 6，且對角線與底面所成角的余弦值為 33，則該正四棱柱的體積等于________________。

答案：2。

解析：設四棱住的邊長為a，高為h.

由題意得 a2+a2+h2=6cosθ=26a=33=>a=1h=2=>V=a2h=2

每年的選擇題、填空題難度設計均為容易題和中檔題，多為線線.線面關系，近五年四川省高考解答題部分，立體幾何通常是一個，以棱柱、棱錐、直角梯形為載體，其中直線與直線、直線與平面的位置關系一直是高考立體幾何的考查熱點，因為這類題目既可以考查多面體的概念和性質，又可以考查空間的線線和線面關系，并將證明和計算有機地結合在一起，可以比較全面準確地考查考生的空間想像能力.邏輯推理能力以及運算能力.一般設置兩個或三個小題，層層遞進，由淺入深。

[例]：已知PCBM 是直角梯形，∠PCB=90° ，BM∥BC ， PM=1，BC=2又 AC=1，∠ ACB=120°， ABPC，直線AM 與直線PC 所成的角為60°

（Ⅰ）求證：平面PAC 平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角M-AC-B 的大小；（Ⅲ）求三棱錐P-MAC 的體積。

本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關知識，考察思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力。

解法一：如圖2

圖2

（Ⅰ） PCAB，PCBC

PC平面ABC

PC包含于平面PAC

平面PAC平面ABC

（Ⅱ）取 BC的中點N ，則CN=1，連結AN，MN

PM∥CN

MN ∥PC，從而 MN平面ABC

作NHAC ，交AC 的延長線于H ，連結MH

則由三垂線定理知， ACMH

從而 ∠MHN 為二面角M-AC-B 的平面角

直線AM 與直線 PC所成的角為60°

∠AMN=60°

在ACN 中，由余弦定理得AN= AC2+CN2-2AC?CN?con120°=3

在AMN 中， MN=AN?cot ∠AMN=3×33=1

在CNH 中，NH=CN?sin∠Nch=1× 32= 32

在MNH 中，tan∠MHN= MNNH=1 32= 233

故二面角M-AC-B 的平面角大小為 arctan 233

（Ⅲ）由（Ⅱ）知， PCMN為正方形

VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN=13×12AC?CN?sin120°?MN= 312

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面ABC 內，過C 作CDCB ，建立空間直角坐標系C-XYZ （如圖3）

圖3

由題意有 A（ 32，- 12，0）

設 P（0，0，Z0）（Z0>0）

則 M（0，1，Z0）， AM=〔 - 32， 32，Z0〕CP=（0，1，Z0）

由直線AM 與直線 PC所成的解為 60°

得 AM?CP=AM?CP?cos60°

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一、命題的常用判斷方法

1.直接法

若對定義、公理、定理等掌握靈活，可直接判斷，稱為“直接法”。

例1．垂直于同一平面的兩直線平行。用符號表示即：mα，nα？圯m∥n

顯然，這個命題是正確的，即直線與平面垂直的性質定理。

例2．垂直于同一直線的兩平面平行。用符號表示即：mα，mβ？圯α∥β

這個命題也是正確的。

例3．如一條直線平行于一個平面，則該直線平行于該平面內的任何直線。用符號表示即：a∥α，b∈α？圯a∥b

這個命題是假命題。只要對直線和平面平行的性質定理掌握的準確就可正確判斷。另外也可通過實物演示，如圖：

2.模擬法

模擬法就是結合實物加以模擬演示。

例4．垂直于同一平面的兩平面平行（假命題）

可用墻角來模擬說明。

3.否定檢驗法

有一些命題，看起來是真命題，并且通過實驗演示也容易演示錯誤。

例5．如果兩條直線和一個平面所成的角相等，則兩直線平行。

由于有“兩條平行直線與同一個平面所成的角相等”這個正確命題作為經驗，用實物演示時往往容易演示成下圖，從而認為該命題為真，而事實上該命題為假命題。

判斷這樣的命題可用以下思路：否定所給命題，再利用已知條件演示或作圖，若能做出圖形，則所給命題為假命題。

如例5可先假定兩直線不平行，再利用已知條件，及構造兩條不平行的直線與一個平面所成的角相等，而兩直線不平行可以卻相交，可以用實物演示：

這種方法為“否定檢驗法”，對很多似是而非的命題判斷很有效。

二、常用的構造命題法

通過比較我們發現很多命題都有相似處，所以可利用一些方法自己“構造”并判斷命題。通常構造命題的方法有：利用四種命題的關系構造命題；利用變換“關鍵詞”構造命題，比如在原有命題中，將關鍵詞“點”“直線”“平面”互相轉化，將“平行”“垂直”進行轉化等，并且注意文字表述和符號表述。

例6．利用變換關鍵詞的方法構造命題

已知命題：若兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行。

符號表示即：a∥b，c∥b？圯a∥c（真）

⑴若兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行。

符號表示即：ab，cb？圯a∥c（假）

⑵若兩個平面都和一條直線平行，則這兩個平面平行。（已知命題中的直線變平面）

符號表示即：α∥a，β∥a？圯α∥β（假）

⑶若兩個平面都和第三個平面平行，則這兩個平面平行。（已知命題中的直線變平面）

符號表示即：α∥γ，β∥γ？圯α∥β（真）

⑷若兩條直線都和一個平面平行，則這兩條直線平行。（已知命題中的直線變平面）

符號表示即：a∥α，b∥α？圯a∥b（假）

⑸若兩條直線都和一個平面垂直，則這兩條直線平行。（已知命題中的平行變垂直）

符號表示即：aα，bα？圯a∥b（真）

⑹若兩個平面都和一個平面垂直，則這兩個平面平行。符號表示即αγ，βγ？圯α∥β（假）

⑺若兩個平面都和一條直線垂直，則這兩個平面平行。（已知命題中的平面變直線）

符號表示即：mα，mβ？圯α∥β（真）

例7．利用四種命題的關系構造命題

原命題：如果兩條直線平行，則它們和第三條直線所成的角相等（真）

逆命題：如果兩條直線和第三條直線所成的角相等，則兩直線平行（假）

否命題：如果兩條直線不平行，則它們和第三條直線所成的角不相等（假）

逆否命題：如果兩條直線和第三條直線所成的角不相等，則兩直線不平行（真）

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在高中數學課程中，立體幾何的內容是一個難點內容。有不少學生一開始學就模模糊糊，缺乏空間感，總是把立幾問題看作平幾問題。也有些學生對課本中的概念，定理如數家珍，但遇到具體題目時卻無從下手。也有些學生知道如何證明，但書寫時總是寫不清楚，條理混亂，邏輯性差。因此，如何培養學生的空間想象能力，促進學生發展空間思維能力是教師在教學過程中應當思考的問題。本文就個人的一點體會在此談談。

1 結合生活實例

剛開始學習立體幾何時，學生的空間思維較差，對圖形的理解更加感性化。初中學過的正方體、長方體、球、圓柱、圓錐等幾何體都是生活中較常見的實物模型。高中階段要在這個基礎上抽象出點，直線，平面間的位置關系，要由感性認識轉化為理性思維。在這種思維發展的起步階段應該側重于具體的實物模型或生活實例，不能拔苗助長，否則容易引起學生的恐懼感，造成不良的心理反應。

教學時可以把黑板、講臺當作平面，把它們的兩條平行邊當作平行直線，把墻角當作互相垂直的三條直線或互相垂直的三個平面，把教室的燈管與地面間的位置關系當作線面平行，三棱鏡的三條邊當作三條平行直線，旗桿與地面間的位置關系當作線面垂直。把門的開合當作平面繞直線旋轉，把打開的課本當作二面角。還有可以把筆當作直線，把課本當作平面，根據需要進行擺放來表示直線與平面間的位置關系。

對一些學生特別難以理解的問題，教師可以根據問題自制一些簡單的教具來幫助學生理解。教具所用材料宜來源于學生易接觸到的事物，便于學生接受。演示教具時應針對學生思維的誤區或者盲點，注重實效，不宜變成一種表演或者一種作秀。

2 明確三種表述

對于公理、定理應讓學生掌握用三種語言(文字語言、符號語言、圖形語言)進行表述，而且能將這三種語言相互結合，相互轉化。教學時不少教師更注重符號語言和圖形語言，因為考試時比較少用到文字語言。其實用文字語言更容易理解定理、公理，因為符號和圖形更加抽象，而文字則更加具體，學生易于接受。當然用文字語言表述時可以將定理內容進行概括、濃縮，取其主干，棄其枝葉。

例如：線面平行的判定，可以說成“面外的一條直線與面內的一條直線平行，則面外的直線與平面平行”，面面垂直的判定可以說成“面內的一條直線垂直于另一個平面，則這兩個平面垂直”。還可以簡化為“線線平行線面平行，面面平行線線平行”等文字，這時應讓學生明確這些線與面分別代表定理中什么線和什么面，明確它們的具體含義，否則學生很容易產生誤解。例如：“線線垂直線面垂直”學生會誤解為兩條直線互相垂直就推出了一條直線與另一條直線所在平面垂直。

用文字語言表述時應結合符號和圖形，三者都不能忽視，圖形能體現空間結構特點，而符號則能表示線面間的關系。因此將這三種表述結合起來，能讓學生全面掌握，透徹理解。

3 注重定理用法

不少學生對定理內容很熟悉，但真正解題時很茫然。特別遇到要作輔助線的問題時會束手無策，不知所措。因此，教學時既要讓學生理解掌握定理本身，更要教會學生如何使用定理，定理的用法是對定理中已知條件，所需條件以及結論之間的邏輯關系的一種重新整合，是對定理內含的一種深層次的挖掘。

例如：判定線面平行，其中直線和平面是已知的，那就要在平面內找到一條與已知直線平行的直線，因此思維的關鍵就是在圖中找到滿足條件的直線。問題轉化為線線平行，常見的線線平行關系有三角形的中位線，平行四邊形的對邊等。當然也可以通過面面平行的定義來得到線面平行，也可以用面面平行的性質定理得到線線平行。

又如：判定線面垂直，根據判定定理，要在平面的內找兩條分別與已知直線垂直的相交直線。問題就轉化為線線垂直，常見的線線垂直關系有等腰三角形底邊的中線與底邊垂直，直角三角形的兩直角邊，另一組線面垂直得到線線垂直等。線面垂直也可以根據面面垂直的性質定理得到。

對于定理應明確它的作用是什么，它的條件有哪些，要找哪些條件，特別是一些關鍵條件，更要重點強調。對一些常見問題應進行歸納總結，形成通性通法。

4 注重三個細節

4.1 培養作圖能力。在立幾問題中識別圖形是最基本的能力，學生由平面幾何過渡到立體幾何，思維的障礙就是不能準確地識圖，往往會將空間圖形看成平面圖形。教學時讓學生根據要求作一些基本的線面位置關系的草圖，或給定圖形模仿作圖有利于提高學生的識圖能力，從而提高學生的空間想象能力。

4.2 使用彩色粉筆。有些立體幾何圖形較復雜，線面較多時，可以按不同的線面關系使用彩色粉筆將它們區分開來，不同的顏色代表不同的線面組合。有時不同的解法需要添加不同的輔助線，這時也可以用彩色粉筆加予區分。有時一些比較重要的線面關系也可以用彩色粉筆，以示強調。當然教學時應根據實際需要添加彩筆，不可濫用，否則達不到預期效果。如果彩筆使用得當，可以增強圖形的空間感，從而有助于培養學生的空間思維能力。

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1. 下列命題中錯誤的是（ ）

A. 如果平面[αβ]，那么平面[α]內一定存在直線平行于平面[β]

B. 如果平面[α]不垂直于平面[β]，那么平面[α]內一定不存在直線垂直于平面[β]

C. 如果平面[αγ]，平面[βγ]，[αβ=l]，那么[lγ]

D. 如果平面[αβ]，那么平面[α]內所有直線都垂直于平面[β]

2. 一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）

[正（主）視圖][2][側（左）視圖][俯視圖][2] [2][2] [2]

A. [2π+23] B. [4π+23]

C. [2π+233] D. [4π+233]

3. 空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的（ ）

A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件

C. 充要條件 D. 非充分非必要 條件

4. 如圖，四棱錐[S-ABCD]的底面為正方形，[SD]底面[ABCD]，則下列結論中不正確的是（ ）

A. [ACSB]

B. [AB]∥平面[SCD]

C. [SA]與平面[SBD]所成的角等于[SC]與平面[SBD]所成的角

D. [AB]與[SC]所成的角等于[DC]與[SA]所成的角

5. 過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，所得截面的面積與球的表面積的比（ ）

A. [316] B. [916] C. [38] D. [932]

6. 平面[α]的斜線[AB]交[α]于點[B]，過定點[A]的動直線[l]與[AB]垂直，且交[α]于點[C]，則動點[C]的軌跡是（ ）

A. 一條直線 B. 一個圓

C. 一個橢圓 D. 雙曲線的一支

7. 已知正方體外接球的體積是[323π]，那么正方體的棱長等于（ ）

A. [22] B. [233]

C. [423] D. [433]

8. 關于直線[m，n]與平面[α，β]，有以下四個命題：①若[m∥α，n∥β]且[α∥β]，則[m∥n]；②若[mα，nβ]且[αβ]，則[mn]；③若[mα，n∥β]且[α∥β]，則[mn]；④若[m∥α，nβ]且[αβ]，則[m∥n].其中真命題的序號是（ ）

A. ①② B. ③④

C. ①④ D. ②③

9. 棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（ ）

A.[22] B.[32] C.[2] D.[3]

10. 在半徑為[R]的球內放入大小相等的4個小球，則小球半徑[r]的最大值為（ ）

A. [（6-2）R] B. [（2-1）R]

C. [14R] D. [13R]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 過棱錐一條棱的兩個三等分點，分別作平行于底面的平面，這兩個平面把棱錐分成三部分，則這三部分的體積之比（自上而下）為 .

12. 如圖，正方體[ABCD-][A1B1C1D1]的棱長為1，[E，F]分別為線段[AA1，B1C]上的點，則三棱錐[D1-EDF]的體積為 .

13. 如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”. 在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是 .

14. 下列命題中正確的是 .（填上你認為正確的所有選項）

①空間中三個平面[α，β，γ]，若[αβ，][γβ，]則[α∥λ] ②若[a，b，c]為三條兩兩異面的直線，則存在無數條直線與[a，b，c]都相交 ③球[O]與棱長為[a]正四面體各面都相切，則該球的表面積為[π6a2] ④三棱錐[P-ABC]中，[PABC]，[PBAC]，則[PCAB]

三、解答題（共4小題，44分）

15.（10分）如圖，已知平面[α]，[β]，且[α?β=AB，][PCα，PDβ，C，D]是垂足.

（1）求證：[AB]平面[PCD]；

（2）若[PC=PD=1，CD=2]，試判斷平面[α]與平面[β]是否垂直，并證明你的結論.

16. （10分）在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]為直角梯形， [BC∥AD]，[∠ADC=][90°]，[BC=CD=][12AD]，[PA=PD]，[E，F]為[AD，PC]的中點.

（1）求證：[PA∥]平面[BEF]；

（2）求證：[ADPB].

17. （12分）在如圖所示的幾何體中，面[CDEF]為正方形，面[ABCD]為等腰梯形，[AB∥CD]，[AC=3]，[AB=2BC=2]，[ACFB].

（1）求證：[AC]平面[FBC]；

（2）求四面體[FBCD]的體積；

（3）線段[AC]上是否存在點[M]，使[EA∥]平面[FDM]？證明你的結論.

18.（12分）如圖，四棱錐[P-ABCD]中， [BC∥AD]，[BC=1]，[AD=3]，[ACCD]，且平面[PCD]平面[ABCD].

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易錯點一：概念不清導致錯解

例1下列命題：

①經過三點確定一個平面；

②梯形可以確定一個平面；

③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；

④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

其中正確命題有.

錯解：①②③

錯因分析：對于①，未強調三點不共線，故①錯誤；②正確；對于③，三條直線兩兩相交，如空間直角坐標系，能確定三個平面，故③正確；對于④，未強調三點共線，則兩平面也可能相交，故④錯誤.

正解：②③

例2已知直線a，b，平面α，則以下三個命題：

①若a∥b，bα，則a∥α；

②若a∥b，a∥α，則b∥α；

③若a∥α，b∥α，則a∥b.

其中真命題的個數是.

錯解：1

錯因分析：對于①，若a∥b，bα，則應有a∥α或aα，所以①不正確；對于②，若a∥b，a∥α，則應有b∥α或bα，因此②不正確；對于③，若a∥α，b∥α，則應有a∥b或a與b相交或a與b異面，因此③是假命題.綜上，在空間中，以上三個命題都是假命題.

正解：0

易錯點二：定義理解不清導致錯解

例3若直線ab，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關系是.

錯解：b與α相交或b∥α

錯因分析：直線與平面的位置關系的定義理解不清，在判斷時最易忽視“線在面內”.直線b與平面α的位置關系還有bα.所以b與α相交或bα或b∥α都可以.

正解：b與α相交或bα或b∥α

例4如圖所示，正方體的棱長為1，B′C∩BC′=O，則AO與A′C′所成角的度數為.

錯解：A′C′∥AC，

AO與A′C′所成的角就是∠OAC.

OCOB，

AB平面BB′CC′，

OCAB.又AB∩BO=B，OC平面ABO.

又OA平面ABO，OCOA.

在RtAOC中，OC=22，AC=2，

sin∠OAC=OCAC=12，∠OAC=30°或150°.即AO與A′C′所成角的度數為30°或150°.

錯因分析：沒有真正理解兩異面直線所成角的定義，∠OAC可能是OA，A′C′所成的角或其補角.在解題過程中，通過直線的平移得到角，只有銳角或直角才是兩異面直線所成的角.

正解：在RtAOC中，OC=22，AC=2，

sin∠OAC=OCAC=12，∠OAC=30°.由兩異面直線所成角為銳角或直角得AO與A′C′所成角的度數為30°.

易錯點三：忽視判定定理中的條件導致錯解

例5如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點.

（1）證明：BC1∥平面A1CD；

（2）設AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱錐CA1DE的體積.

錯解：（1）證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點.

又D是AB中點，連結DF，則BC1∥DF.

所以BC1∥平面A1CD.

（2）因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CDAB.又AA1∩AB=A，于是CD平面ABB1A1.

由AA1=AC=CB=2，AB=22，得∠ACB=90°，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DEA1D.

所以VCA1DE=13×12×6×3×2=1.

錯因分析：在第（1）問解題過程中的漏掉“DF平面A1CD，BC1平面A1CD”，缺一不可，應用判定定理時需把條件羅列完全.

正解：（1）證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點.

又D是AB中點，連結DF，則BC1∥DF.

又因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

例6如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：

（1）B，C，H，G四點共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

錯解：（1）GH是A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.

又B1C1∥BC，GH∥BC.

B，C，H，G四點共面.

（2）E，F分別為AB，AC的中點，EF∥BC.

EF平面BCHG，BC平面BCHG，

EF∥平面BCHG.

A1G∥EB，A1G=EB四邊形A1EBG是平行四邊形.

A1E∥GB.

A1E平面BCHG，GB平面BCHG.

A1E∥平面BCHG.

平面EFA1∥平面BCHG.

錯因分析：在第（2）問解題過程中漏掉“A1E∩EF=E”，忽視了面面平行的判定定理中有五個條件，也是缺一不可，若沒有兩“相交”直線這個條件，不一定有面面平行，也可能相交.

正解：（2）E，F分別為AB，AC的中點，EF∥BC.

EF平面BCHG，BC平面BCHG，

EF∥平面BCHG.

A1G∥EB，A1G=EB四邊形A1EBG是平行四邊形.

A1E∥GB.

A1E平面BCHG，GB平面BCHG.

A1E∥平面BCHG.

A1E∩EF=E，平面EFA1∥平面BCHG.

易錯點四：盲目地套用性質定理導致錯解

例7如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，F為棱BC的中點.

（1）求證：直線AE直線DA1；

（2）在線段AA1上求一點G，使得直線AE平面DFG.

錯解：在平面ABCD內，過點D在平面ABCD內作平面AEH的垂線DF.

錯因分析：不能說作平面的垂線，在一個平面內作另一個平面的垂線，若兩個平面不垂直，則不能作出，若兩個平面垂直，只需作交線的垂線即可.

正解：（1）連結AD1，BC1，由正方體的性質可知，DA1AD1，DA1AB，又AB∩AD1=A，DA1平面ABC1D1，

又AE平面ABC1D1，DA1AE.

（2）所示G點即為A1點，證明如下：

由（1）可知AEDA1，取CD的中點H，連結AH，EH，

由DFAH，DFEH，AH∩EH=H，可證DF平面AHE，

AE平面AHE，DFAE.

篇8

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004―0463（2017）06―0124―01

立體幾何知識是高考考查的重點內容，但面對許多復雜的幾何計算問題，常讓人束手無策，找不到解題的突破口.正方體作為最基本的空間模型，包含了豐富的點、線、面的位置關系.若能巧妙地借助正方體解題，必然會得到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果.下面，筆者舉例說明.

一、有關三視圖的一些問題

例如 ，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的所有棱中最長的棱的長度為多少？

解法一：將三視圖還原為三棱錐D-ABC（如圖1），

側面DBC底面ABC

易知 側面DBC∩底面ABC=BC

ABBC?AB面DBC

?ABBD

由側視圖可得，BD=2，BC=4，又AB=4，

則AC=4，AD=6，那么最長棱為AD=6.

解法二：根據三視圖借助一個棱長為4的正方體（如圖2），則三視圖對應的多面體為三棱錐，易得最長棱為AD=6.

評析：在第一種解法中，只根據三視圖本能地畫出幾何體，顯然其中的線面關系不好確定，并且運算量相對較大.而第二種解法中，借助正方體可以有效實現三視圖的還原，降低計算難度，提高解題效率.

變式：一個多面體的三視圖如下圖所示，則該多面體的體積是（ ）.

A. B. C.6 D.7

解：由三視圖中三個圖都是正方形可知該幾何體是棱長為2的正方體（如圖3），截去兩個小三棱錐后余下的部分，其體積V=8-2×××1×1×1=.故選A.

二、有關異面直線的一些問題

例如，直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于多少？

解法一：延LCA到D，使AD=AC，連結A1D，BD，則四邊形A1C1AD是平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角.圖中BA垂直平分DC，得BD=BC.又直三棱柱中AB=AC=AA1，可得BC=BA1=AC1=A1D，則A1DB是等邊三角形，∠DA1B=60°，即異面直線BA1與AC1所成的角是60°.

解法二：把該直三棱柱補成一個正方體，如圖5所示，借助正方體的性質，知AC1∥BD1，則就是異面直線BA1與AC1所成的角，A1B，DA1，BD三條線段都是正方體三個面的對角線，所以構成一個等邊三角形，因此異面直線BA1與AC1所成的角等于60°.

評析：對異面直線所成的角的問題，經常通過平移直線化異面為共面來解決.在解法一中構造了一個平行四邊形完成了平移直線的任務，但此法相對較難，不容易找到解題的突破口.在解法二中，借助正方體中直線的平行關系成功的將異面直線平移到了某一個三角形中，從而通過解三角形來求角.

篇9

已知a，b為兩條不垂直的異面直線，α是一個平面，則a，b在平面α上的射影有可能是: ①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點． 上面四個結論中，正確的結論的序號是．

面對這個問題，有的同學手拿鋼筆和鉛筆在桌面上演示，也有同學利用教室空間指指點點，雖然給出了答案，但總覺得不夠放心．固然，借助學習用具、利用周圍環境，這些都是解立體幾何題的好方法，但是是否有更保險、更快捷的方法呢？有的，比如借助正方體來解決問題。

通過對圖1、圖2和圖3的觀察，我們可以直觀地發現選項①②④都是正確的，而③不正確．若a，b在平面α上的射影為同一條直線，因為與平面α相交且經過這條直線的垂直平面有且只有一個，所以此時的a，b為兩條共面直線，與條件“異面直線”不符．

總的來說，利用正方體可以便利地解答以下六個方面的立體幾何問題.

一、判斷空間直線的位置關系

例1平面α外有兩條直線m和n，如果m和n在平面α內的射影分別是m′和n′，則下列命題中不正確的命題的個數為

①m′n′?圯mn；②mn?圯m′n′；③m′與n′相交?圯m與n相交或重合；④m′與n′平行?圯m與n平行或重合．

（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

解析： 利用正方體模型，如圖4所示，可舉出①③的反例；如圖5所示，可舉出②④的反例．選D．

二、探討空間距離的大小關系

例2已知平面α平行于平面β，直線m?奐α，直線n?奐β，點A∈m，點B∈n，記點A，B之間的距離為a，點A到直線n的距離為b，直線m到直線n的距離為c，則

（A） b≤c≤a （B） a≤c≤b

（C） c≤a≤b （D） c≤b≤a

解析： 這道選擇題可用特殊情形求解．畫一個正方體，如圖6所示，可知c

三、求異面直線所成角的大小

例3如圖8所示，在直角梯形ABCD中，BC=CD，M，N是兩腰的中點，DEAB于點E．現將ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B為45°，此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B，則點M與點N的連線與AE所成角的大小為．

解析： 如圖9所示，構造正方體AD，點Q，R，N，P分別為棱HG，AF，BC與DE的中點． 對角面AGDB的對角線AD的中點M與“中截面”NPQR的對角線的交點重合，又NPQR是正方形， MNPR. AE∥PR， MNAE． MN與AE所成角的大小為90°．

四、求直線和平面所成角的大小

例4在圖10所示的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2 AE，M是AB的中點．

（1） 求證：CMEM；

（2） 求CM與平面CDE所成角的大小．

解析： （1） ACBC且AC=BC， ABC是等腰直角三角形．又EA平面ABC，DB平面ABC，可以看出題目中的幾何體是由底面為等腰直角三角形的直三棱柱截割而成．如圖11所示，以A，B，C為正方體底面的三個頂點構造正方體PR，設N為正方體棱HR的中點，正方體的邊長為2a. 則BD為正方體的一條棱，E為正方體棱AH的中點. EC==a. EM==a，MC=a， 由勾股定理可知CMEM．

（2） 以A為原點，以，，分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系． 正方體的棱長是2a， P（2a，0，0），N（0，a，2a），E（0，0，a），D（2a，2a，2a），C（0，2a，0）． 計算可得PNCD，PNDE， PN平面CDE．又M∈PC， ∠NPC的余角就是直線CM與平面CDE所成的角． 由勾股定理可得：CN=a，CP=2a，NP=3a． cos∠NPC=＝，∠NPC=45°， 直線CM與平面CDE所成的角是90°－∠NPC＝45°．

五、求二面角的平面角的大小

例5如圖12所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F．求二面角C－PB－D的平面角的大小．

解析： PD底面ABCD， PDA，PDC是直角三角形．又 ABCD為正方形，PD=DC，如圖13所示，可將四棱錐P-ABCD放入以ABCD為底面、PD為高的正方體AS中． ARRS，RS∥BC， ARBC．又ARQB，QB∥PC， ARPC． AR平面PBC． ACBD，ACPD， AC平面PBD．又二面角C-PB-D為銳二面角，直線AR與AC所成的角為60°， ∠RAC即二面角C-PB-D的平面角，大小為60°．

六、解決與球有關的問題

例6棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一球面上，若過該球球心O的一個截面如圖14所示，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是

（A） （B） （C） （D）

篇10

關鍵詞: 高中 立體幾何 審美教育 培養

美育,又稱審美教育,是素質教育的重要組成部分。在高中數學教學中,教師應注重對教學內容中美學因素的挖掘,并將其與教學實際有機融合,讓學生在學習過程中感受到美的熏陶,形成科學審美觀,提高審美能力,培養其全面科學的數學學習素養。

一、高中立體幾何教學中的美學特征

1.樸素的簡潔美。

盡管高中立體幾何教材內容紛繁復雜,但在其本質上都可歸納為若干基本數學定律。這就使整個教學體系呈現樸素的簡潔美。以直線與直線位置關系教學為例,掌握此知識必須先過好“圖形關”和“語言關”。立體幾何的直線要有立體感,所以培養學生正確的作圖能力是解題的關鍵。但是無論多么復雜的圖形問題,都是圍繞點線面三者的位置關系進行分析的,其中直線與直線關系是高中時期進一步學習立體幾何的基礎,極其簡單的圖形中蘊含著豐富的內涵;另外,數學的符號語言也是最精煉、最正確的語言,高中教材中對相交直線和平行直線的概念作了更深層次的定義,強調了“同一平面”中才有相交和平行的說法,異面直線沒有相交或者平行的概念。這些定理用簡單的語言對學生樹立立體幾何概念打下了堅實的基礎。

2.神奇的對稱美。

對稱之所以給人以美感,是因為對稱中存在著某種“重復”、“均衡”、“有序”的東西。而立體幾何課程中的等角概念,對稱圖形的組合體問題,無不給人一種直觀形象的空間對稱感。而在學習直線間位置關系時,我們不僅可以根據兩條直線是否同面,判斷其相交或者平行,而且可以根據平行直線推斷其所在的圖形。例如:空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA,的中點,求證四邊形SFGH是平行四邊形。(教材必修二例題)

由直線引入空間圖形,有利于學生正確理解立體幾何的對稱之美,培養學生良好的邏輯推理分析能力,是樹立學生空間觀念的重要手段。

3.和諧的統一美。

數學教學和學習是一個循序漸進的過程,高中教材數學課程每一個知識點都不是孤立存在的,而是普遍聯系的。我們通過這種聯系能將各部分的知識統一起來,從而形成既千變萬化又和諧統一的科學數學學習體系。立體幾何對點線面角等問題的研究,是平面幾何點線面角問題的延續,所以在教授新知識的同時,教師應該適時地引導學生溫故而知新。比如,平面幾何中,學生已經學習過直線間相互平行所需條件,即在同一平面內且沒有交點的兩條直線相互平行;而學習過立體幾何后,學生更多要思考的是平行線的傳遞性,即同一平面中平行于同一直線的所有直線均相互平行。后一定理既是前面內容的補充又是其合理延續,這體現出數學課程本身各知識點的和諧統一之美。

二、高中立體幾何教學中如何突出美育特征

1.運用多種教學手段,激發學生科學創造力。

立體幾何的學科魅力在于:它能將抽象的東西形象化地想象和展示出來或描繪出來,還能將直觀、形象東西的本質抽象地揭示出來。教師在教學中不僅要運用精湛的教學語言,而且要運用直觀且富于啟發性的多種教學手段來激發學生的學習興趣和想象力。

如下圖,教師可以從直線與平面、平面與平面,以及異面直線的位置關系三個方面來啟發學生展開想象和研究,從而鼓勵學生自己探索異面、相交、平行等幾何現象的內涵。

總之,在日常教學過程中,教師應改變自身觀念,將實踐與理論相結合,有目的、有計劃地向學生展現和揭示隱藏在數學課程中的科學美。教師可以鼓勵學生自己動手做出各種幾何圖形,并在實踐中分析相關具體問題。就直線間位置關系問題,教師完全可以讓學生自己動手去探尋答案,并指導學生自己完成教材中相關習題,甚至可以創造性的對教材中相關定理進行研究和修改,不斷完善自身的理論體系。

2.多學科交叉教學,切實陶冶學生高尚情操。

多學科交叉教學,成為近年來越來越熱門的教學形式。在數學等自然科學的學科教學中,教師也應注意加入社會科學甚至人文科學的知識。其中,對美育的挖掘就是培養學生人文素質的有效途徑。在教學過程中,教師適時穿插對科學精神之美的教育,能激勵學生去追求科學上的真、善、美。美育的實質就是情感教育,使人怡情養性。教師對歷史上數學巨匠事跡的介紹可以深化學生對數學的理解,激發其情感上的共鳴,從而形成科學學習觀點。例如:拉格朗日:法國數學家、物理學家。他在數學上最突出的貢獻是使數學分析與幾何和力學脫離開來。拉格朗日是分析力學的創立者。歐幾里德是古希臘最享有盛名的數學家,以他的主要著作《幾何原本》而著稱于世,這一著作對于幾何學、數學和科學的未來發展,對于西方人的整個思維方法都有極大的影響。也比如在建筑中,往往是幾個簡潔的體塊相互穿插,想成最后的造型,其實各個體塊分別代表了一些邏輯關系。這樣,幾何就通過邏輯這個詞匯和建筑聯系起來。由此可見,數學與其他學科是廣泛聯系的,只有采用多學科交叉教學才能敦促學生更深刻地體會數學的科學美。

綜上所述,教師應充分利用數學課程簡潔、對稱、和諧等美的特征,向學生揭示數學學科的規律性和科學性,使其從內心深處去感受數學的學科美感,切實激發其數學學習的興趣,提高學習效率。所有教師應共同努力讓數學學科真正成為學生德育、智育、美育多方面發展的平臺,開創高中數學學科素質教育的新局面。

參考文獻:

[1]張相綸.教學美學[M].南京:江蘇教育出版社,1998.