導語：如何才能寫好一篇分式方程應用題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1審題 弄清題意和題目的已知數、未知數，并找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系

2設未知數 選擇一個適當的未知數用字母表示，并根據題目中的數量關系用含未知數的代數式表示有關的未知量

3列方程 根據相等關系列分式方程

4解方程 其過程可以省略

5檢驗 首先檢查所列方程是否正確，然后檢查所列方程的解是否符合題意

6寫答 千萬不要忘記單位

以上六個步驟，審題是基礎，難點是找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系，關鍵是設未知數和用未知數的代數式表示有關的未知量

現舉例介紹，供同學們參考

例1 2008年5月12日，四川省汶川發生80級大地震，某中學師生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數比第一天捐款人數多50人，且兩天人均捐款數相等，那么兩天共參加捐款的人數是多少?人均捐款多少元?

分析:解答本題要注意利用如下相等關系：

第一天人均捐款數=第二天人均捐款數

解:設第一天捐款的人數為x人，則第二天捐款的人數為(x+50)人，依題意，得

=

解方程得, x=200

經檢驗, x=200是所列方程的解，且符合題意

所以兩天捐款人數為x+(x+50)=450，人均捐款為 =24

答:兩天共參加捐款的有450人,人均捐款24元

例2 甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定:用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點跑回到起跑線(如圖所示)；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續賽跑，用時少者勝結果:甲同學由于心急，掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完 事后，甲同學說:“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學說:“撿球過程不算在內時，甲的速度是我的12倍” 根據圖文信息，請問哪位同學獲勝?

分析：要判斷哪位同學獲勝，應把甲、乙兩位同學跑完全程的時間分別求出來 不難發現，表示本題全部含義的一個相等關系為：

甲跑完全程的時間+乙跑完全程的時間=甲、乙兩同學所用的全部時間的和

解:設乙的速度為每秒x米，則甲的速度為每秒12x米 依題意，得 +6+ =50

解之, x=25

經檢驗, x=25是所列方程的解，且符合題意

所以甲跑完全程的時間為 +6=26(秒),乙跑完全程的時間為 =24(秒)

答:乙同學獲勝

例3 某文化用品商店用2000元購進一批學生書包，面市后發現供不應求，商店又購進第二批同樣的書包，所購數量是第一批購進數量的3倍，但單價貴了4元，結果第二批用了6300元

(1)求第一批購進書包的單價是多少元?

(2)若商店銷售這兩批書包時，每個售價都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?

分析：解答本題要注意利用如下相等關系：

第二批所購書包數量=第一批所購書包數量的3倍

解:(1)設第一批購進書包的單價是x元，則第二批購進書包的單價是(x+4)元 依題意，得

= ×3

解方程得, x=80

經檢驗, x=80是所列方程的解, 且符合題意

答:第一批購進書包的單價是80元

(2)不難計算出,第一批所購書包數量為 = =25(個),第二批所購書包數量為25×3=75(個)

所以兩批書包的全部售價為(25+75)×120元，即12000元

因為兩批書包的全部進價為(2000+6300)元，即為8300元

篇2

北師大版八年級下冊第三章第四節第三課時《列分式方程解應用題》。

一、設計思路：教材分析：

本節教學內容是在學過一元一次方程和二元一次方程及其應用之后進行的，是對方程應用的擴展，又是進一步學習可化為一元二次方程的分式方程的基礎。學習了分式方程后，也為解決實際問題拓寬了思路，打破了列方程解應用題時代數式必須為整式的這一限制。

1、學情分析：學生已認識了分式方程這樣的數學模型，并且學會了解分式方程，同時已掌握了利用一元一次方程解應用題的方法步驟，為本節分式方程的應用打下了基礎。

2、設計理念：根據學生已有的知識結構，結合教材特點，選擇引導式教學法、自主式探究法，積極培養學生的學習興趣，爭取讓更多的學生達到學習目標。注重“學生是學習的主體”這一教學思想的體現，教學中通過設計開放性問題讓學生認真分析、主動探索、積極討論、友誼合作、嘗試總結。使學生由被動接受知識變為主動地去獲得知識。

三、教學目標:知識與技能：通過情景激趣，引導學生觀察分析，在與列一元一次方程解應用題的類比中得出列分式方程解應用題的方法步驟。過程與方法：學生親身經歷探究相等關系的過程，再次體會應用方程思想解決數學問題的方法。情感態度：體會數學來源于生活，又應用于實際生活。

四、教學重點：認識列分式方程解應用題的基本方步驟。

五、教學難點：尋找等量關系的方法，體會建模的過程。

六、教具準備：選擇學生身邊的問題情境，制成多媒體課件。

七、教學方法：主要采用引導式教學法、自主式探究法。教師要引導學生認真分析題意，積極思考，主動探索，盡量讓學生自己找出等量關系，歸納出列分式方程解應用題的一般步驟。課堂上讓學生始終處于主動學習的狀態，教師只起引導作用。

八、教學過程：

（一）、復習引入

出示題目：解方程略學生活動：兩名學生板演，其他同學自主完成后交給同伴檢查、交流，達成共識。最后另選兩名同學點評板演的情況。教師活動：巡視指導，總結引入。解分式方程的思路是利用轉化思想，先將其轉化為已學過的一元一次方程，再通過驗根來完成求解的。今天我們將要學習列分式方程解應用題，這與已學過的列一元一次方程解應用題基本類似，但又有區別，希望同學們在學習過程中認真體會。設計意圖：既復習解分式方程的三個步驟，又為本節課的教學掃清障礙，作好鋪墊。教師的總結引入承上啟下，既點明了本節的學習內容，又道出了類比對象，同時提出了問題，引發學生注意與思考，并自然過渡到新課。

（二）、情境分析 構建模型

出示“房屋出租問題”的情境（教材P92 ），并依次出示思考題：（1）你能找出這一情境中的等量關系嗎？（2）根據這一情境你能提出什么問題？（3）你能利用方程求出這兩年間房屋的租金各是多少嗎？學生活動（1）：仔細讀題，認真分析題意。找出情境中的已知量、未知量，分析量與量之間的關系，最后找出等量關系，完成思考題（1）?；顒有问剑合茸灾鞣治?，再小組討論、交流后選一名代表板書找到的等量關系，各小組進行比賽，看哪個小組找到的等量關系多還用的時間少，最后集體交流、訂證 ，選出優勝組。 教師活動：巡回指導，及時點撥。鼓勵引導學生能從多角度分析出等量關系。集體訂證整理后教師大屏幕展示學生找出的所有等量關系，包括：①第二年每間房屋的租金=第一年每間房屋的租金+500元。②第一年出租房屋的間數=第二年出租房屋的間數。根據這一情境你最想知道什么?不防提出來讓大家幫你解決。

篇3

關鍵詞： 屋面和鋼筋頭；硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料；應用

中圖分類號：TU198 文獻標識碼：A

引言：

建筑的節能和墻體的改造的改革政策的不斷深化施工，工程隊采用在現場噴涂硬泡聚氨酯屋面保溫防水等一體化新興技術正在興起。

1. 屋面和鋼筋頭

我國在傳統的屋面保溫材料中，居民大多數采用的是擠塑聚苯板、珍珠巖，近年來珍珠巖有逐漸淘汰的趨勢，而屋面的防水材料大多數采用的卻是卷材防水。然而當遭遇到里外露鋼筋頭的陡坡屋面或造型怪異的屋面時，上述無論哪種做法均有很大的弊端，因為塊體和卷材受本身形態限制無法有效貼合需做防水保溫的鋼筋頭、造型基面，影響防水保溫質量，若發生穿刺性破壞還將影響材料的使用年限，而硬泡聚氨酯噴涂克服了上述難點，其成型后穩定的化學性能可保證長久的使用年限。

2. 硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料

作為防水的保溫一體化專用材料，噴涂硬泡聚氨酯體現了其自身一定的價值，在現場噴涂硬泡聚氨酯不僅要克服傳統材料防水的不保溫方面、保溫的不防水方面、并且防水層一旦滲漏將會造成保溫層失效等一系列弊病。況且在與其他的單一防水或保溫材料的比拼中，其他材料相比硬泡聚氨酯材料具有比較明顯的優勢：但是硬泡聚氨酯材料具有一材多用的功能，不僅同時具備防水保溫、隔音等諸多功能之外，況且保溫性能優良的優勢，在國內具有良好的聲譽，其也是國內建材材料中導熱系數最低小、熱阻值最高的保溫材料之一，更何況具有理想的不透水的效果。因而我國居民在家具生活中大部分將會采用這種的硬泡聚苯板來代替以往的傳統材料，如果建筑商采用在現場噴涂以達到防水保溫層的連續無接縫，防水抗滲性能優異，可有效節約材料、工期。

3.硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料介紹

硬泡聚氨酯的發展歷史：建筑行業所用到的硬泡聚氨酯體保溫材料是屬于聚氨酯工業場中的一個重要分支，因為其具有一材多用的特點，并且同時具備保溫、防水等功能。本類產品在20世紀60年代以來已經在歐洲建筑行業應用已超過40多年的歷史，由于其生產工藝比較嫻熟和成熟、混合密度高、耐用年限竟然長達30余年。在西歐的一些國家還專門通過立法把硬泡聚氨酯作為建筑行業的指定保溫防水用材。并且在近10年來，由于我國在建筑行業的回暖，伴隨著國內的大好發展前景，我國建筑行業的節能市場的迅速響應其發展，硬泡聚氨酯一體化保溫產品在建筑行業的保溫防水領域得到了廣泛的應用，并且已經成為了主導市場的保溫節能主流產品。 在我國的發展開始之初,硬泡聚氨酯在防水保溫一體化材料方面可以說是情景很不明朗，在國內建筑業的應用也是尚處于初始階段的試驗過程。然而可喜的是，我國為了加快建筑保溫材料的革新工程，國家開展了一系列的座談會，只為促進硬泡聚氨酯在建筑節能領域的廣泛的推廣應用，因此國家司法部的建設部科學司專門成立了“硬泡聚氨酯建筑節能應用方面的推廣工作小組”,以推進硬泡聚氨酯在保溫防水材料方面從而國內建筑節能行業的應用。下面來介紹一下：

3.1 硬泡聚氨酯的保溫、防火性能好

概念：硬泡聚氨酯是由聚醚多元醇（簡稱A料）和異氰酸酯（簡稱B料）中加入適量的發泡體和固化劑等添加劑之后，經化學反應之后產生了閉孔率不超過95%的聚氨酯硬泡體聚合物，因為其導熱系數＜=0.024W/（m?K），而此僅僅為EPS發泡聚苯板導熱系數的一半，節能效果非常好。又由于其噴涂厚度在40mm就能達到國家規定節能65%的要求。因而在材料密度≥55Kg/m3,壓縮性能≥300kPa，尺寸穩定性（70℃，48h）≤1%，吸水率≤1%，不透水。摻加一定比例阻燃劑后硬泡聚氨酯材料的防火性能良好，自身燃燒性能可達到B1級，屬于熱固性保溫材料，遇火不熔化，表面形成致密碳化層，無燃燒滴落物，具有較好的阻火性能。

3.2 硬泡聚氨酯的防水性能優良

聚氨酯硬泡體連續致密的表皮和95%的高強度互聯壁閉孔，具有理想的不透水性。采用現場噴涂法施工達到防水保溫層連續無接縫，形成無縫屋蓋保溫殼體，防水抗滲性能優異。根據《硬泡聚氨酯保溫防水工程技術規范》GB50404-2007附錄A 硬泡聚氨酯不透水性試驗方法，0.2MPa,30min不透水。硬泡聚氨酯在低溫-50℃情況下不脆裂，在高溫+150℃情況下不流淌，不粘接，可正常使用，抗老化強度的溫度范圍大，優于一般卷材防水。根據圖集08BJ1-1，P366第11行，噴涂厚度不小于40mm可以作為兩道防水層。

硬泡聚氨酯在防水保溫一體化材料方面不僅使施工成本降低了，加快了施工進度，其應用的效果帶來的是節能型經濟在社會節約資源方面產生的效益巨大。據有關行業專家評估分析，到本世紀2020年，如果城鎮居民建筑要求全部達到節能標準，每年則可節省3.35Et標準煤；空調在高峰負荷運行則可減少8000萬kW的電力，這相當于我國電力從1988年到2002年這5年新增電力容量的總和，其也是相當于4.5個三峽大壩的年發電量，或相當于每年國家可以節省電力建設投資1萬億元。

4.應用

作為建筑材料的應用，我們需要了解建筑材料的優缺點，并且要知道產品的好次，結合我們在實際工程中的應用，現需要介紹一個硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料在坡屋面防水保溫設計過程中的應用情況。 應用背景：中國科學院坐落于北京，然而中國科學院西苑區的醫院在擴建一期工程中成為醫院綜合樓的主樓，并且工程位于北京市海淀區的西苑操場醫院院內，綜合樓的主樓為框架桿式鏈條剪力墻結構，主要分為地下2層，地上3層，且檐口高度14m，建筑面積28866。由于其地理位置緊貼著圓明園和頤和園，因此工程要求在設計仿古屋方面破費周折，南北坡屋面上預留Φ10多個鋼筋頭以用來掛著小青瓦和琉璃瓦，并且直接噴涂硬泡聚氨酯，而后再繼續鋪掛琉璃瓦。

5.結語

由于西方國家在建筑行業防水保溫方面方面相對起步較早，而我國應用硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料起步較晚，自1997年才從德國引進有關硬泡聚氨酯的技術和設備，在1998年我國才正式推廣使用。經過近幾年國家加大了對硬泡聚氨酯的研究和推廣應用，修訂《硬泡聚氨酯保溫防水工程技術規范》，扶持此領域企業發展等措。硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料已經實現國產化，并且已經達到了國外先進技術水平，在我國生產的聚氨酯已經在世界其他國家暢銷，我國勞動力較低，降低了生產成本。我國技術綜合了自身的特點，技術的程度大部分提高，并且成本的降低已為國內大面積的推廣應用硬泡聚氨酯防水保溫一體化材料奠定了基礎。硬泡聚氨酯不僅僅僅應用在立體面，也可以應用于平屋面，但是對平面的要求是平屋面在Ⅰ級防水處需要再增加一道防水購，并需要處理好女兒墻、管根等節點的做法。在坡屋面上處理外露鋼筋頭部位的防水和保溫，硬泡聚氨酯的應用更有優勢，其效果是其它材料所不能達到的。

參考文獻：

[1]GB8624-2006 建筑材料燃燒性能分級方法[S].北京： 中國標準出版社，2006

[2]GB50404-2007 硬泡聚氨酯保溫防水工程技術規范[S].北京：中國計劃出版社，2007.

篇4

［關鍵詞］應用題 列表法 分析 分式方程

［中圖分類號］G42 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1009-5349（2012）01－0177－01

列方程解應用題是數學學習中的重難點之一，怎樣使學生快速分析題意，準確列出方程，解決實際問題？“等量關系”是列方程的依據，又與問題中所有的基本量密切相關，用列表法來分析，將題目給出的條件和要求反映的基本量在一個表格中顯示出來，使那些較為復雜的關系條理清楚、明朗，能較快發現等量關系，準確快速列出方程，大大降低解題難度。

如北師大版八年級數學下冊中分式方程的應用題，一般都涉及三個基本量，根據三者的關系可用其中的兩個量表示出第三個量，又有兩種情況之分，均可列成3×4表格來分析。

例1：有兩塊面積相同的小麥試驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg。已知第一塊試驗田每公頃的產量比第二塊少3000kg，分別求這兩塊試驗田每公頃的產量。

分析：此題中有三個基本量：面積、單位產量、總產量（三者關系為：總產量=單位產量×面積），又有第一塊、第二塊之分?？闪斜砀駷椋?/p>

由面積相同易得方程 = 。

例2：從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長600km的普通公路，另一條是全長480km的高速公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半。求該客車由高速公路從甲地到乙地所需的時間。

分析：此題中有三個基本量：路程、速度、時間（三者關系為：路程=速度×時間），又有普通、高速之分?？闪杏筛咚俾匪俣缺绕胀房?5km/h易得方程 -

例3：為了幫助遭受自然災害的地區重建家園，某學校號召同學們自愿捐款。已知第一次捐款總額4800元，第二次捐款總額5000元，第二次捐款人數比第一次多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等。如果設第一次捐款人數為x人。那么x滿足怎樣的方程?

分析：此題中有三個基本量：人數、人均捐款、總捐款（三者關系為：總捐款=人均捐款×人數），又有第一次、第二次之分?？闪斜砀駷椋?第一次 第二次

由兩次人均捐款恰好相等易得方程 = 。

例4：某市為治理污水，需要鋪設一段全長為3000m的污水排放管道。為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的功效比原計劃增加25%，結果提前30天完成這一任務。實際每天鋪設多長管道？

分析：此題中有三個基本量：工作量、功效、時間（三者關系為：工作量=功效×時間），又有原計劃、實際之分?？闪斜砀駷椋?原計劃 實際

由提前30天完成易的方程 - =30。

例5：某質檢部門抽取甲、乙兩廠相同數量的產品進行質量檢測，結果甲廠有48件合格產品，乙廠有45件合格產品，甲廠的合格率比乙廠高5%，求甲廠的合格率。

篇5

專題1 一元一次方程（組）

考點解讀：單獨求一元一次方程（組）的解和字母系數的值的題很少見，即使有也很簡單，只要掌握基本概念就可解答，命題的主要方向是一元一次方程（組）的簡單應用?郾

考點1 列一元一次方程

例1 （2011年湘潭卷）湘潭歷史悠久，因盛產湘蓮，被譽為“蓮城”?郾 李紅買了8個蓮蓬，付50元，找回38元，設每個蓮蓬的價格為x元，根據題意，列出方程為 ?搖?郾

解：50-8x=38?郾

溫馨小提示：這是一元一次方程命題的重點?郾 解題的關鍵是尋找等量關系?郾

考點2 二元一次方程解的識別

例2 （2011年益陽卷）二元一次方程x-2y=1有無數多個解，下列四組值中不是該方程的解的是（ ）

A?郾x=0，y=-■.?搖?搖 B?郾x=1，y=1.?搖?搖 C?郾x=1，y=0.?搖?搖 D?郾x=-1，y=-1.

分析：將所有選項逐一代入驗證，即可得到答案?郾

當x=1，y=1時，x-2y=1-2×1=-1≠1?郾 選B?郾

溫馨小提示：將x與y的值代入方程，若使方程成立，則是方程的解，否則就不是方程的解?郾

考點3 求字母系數的值

例3 （2011年棗莊卷）已知x=2，y=1是二元一次方程組ax+by=7，ax-by=1的解，則a-b的值為（ ）?郾

A?郾 -1?搖?搖 B?郾 1?搖?搖 C?郾 2?搖?搖 D?郾 3

解：因為x=2，y=1是二元一次方程組ax+by=7，ax-by=1的解，

所以有2a+b=7，2a-b=1.解得a=2，b=3.所以a-b=-1?郾 選A?郾

溫馨小提示：根據二元一次方程組解的定義，把解代入方程組，即可求a-b的值?郾

專題2 分式方程

考點解讀：解分式方程和分式方程的應用是命題的重點?郾 解分式方程要注意驗根，在實際應用中，自變量還受實際問題的限制?郾

考點1 解分式方程

例4 （2011年鄂州卷）解方程：■+■=1?郾

解：方程兩邊同乘以x（x+3）得2（x+3）+x2=x（x+3），

解得x=6?郾

經檢驗，x=6是原分式方程的解?郾

溫馨小提示：解分式方程的基本思路是“轉化”，把分式方程轉化為整式方程求解?郾 另外，解分式方程一定要驗根?郾

考點2 增根問題

例5 （2011年雞西卷）分式方程■-1=■有增根，則m的值為（ ）?郾

A?郾 0和3?搖?搖 B?郾 1?搖?搖 C?郾 1和-2?搖?搖 D?郾 3

解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，即x=m-2.

因為原分式方程有增根，增根只能是x=1或者x=-2，

當x=1時，得m=3；當x=-2時，得m=0?郾

而當m=0時，分式方程變為■-1=0，此方程不成立?郾

所以m的值為3?郾 選D?郾

溫馨小提示：當x滿足最簡公分母等于0時，它就是分式方程的增根，再代入原方程檢驗?郾 本題中容易出現選A的錯誤，原因是沒有再代入原方程檢驗?郾

考點4 分式方程無解

例6 （2011年龍東卷）已知關于x的方程■-■=0無解，則a的值為?搖 ?郾

解：原方程兩邊同時乘以x（x+1），得ax-（2a-x-1）=0，

即（a+1）x=2a-1?郾

一方面，當a+1=0，即a=-1時，2a-1≠0，方程無解?郾

另一方面，原分式方程無解，即x（x+1）=0，解得x=0或x=-1?郾

當x=0時，代入（a+1）x=2a-1，得2a-1=0，解得a=■；

當x=-1時，代入（a+1）x=2a-1，得-a-1=2a-1，解得a=0?郾

綜上所述，a的值為-1，0，■?郾

溫馨小提示：分式方程無解，說明分母為0，由此可求出方程的增根，再將增根回代，即可求得a值?郾 本題中容易忽視由分式方程轉化的整式方程無解的情況?郾

考點5 列分式方程解應用題

例7 （2011年畢節卷）小明到一家批發兼零售的文具店給九年級學生購買考試用2B鉛筆，請根據下列情景解決問題?郾

（1） 這個學校九年級學生總數在什么范圍內？

（2）若按批發價購買6支與按零售價購買5支的所付款相同，那么這個學校九年級學生有多少人？

分析：由已知得總人數不多于300人，若多購買60支，則可按批發價付款，說明總人數大于240人?郾

解：（1）依題意，得 240＜學校九年級學生總數≤300?郾

（2）設九年級學生總數為x，根據題意，得

■×5=■×6?郾 解得x=300?郾

經檢驗x=300是原方程的解?郾

答：這個學校九年級學生有300人?郾

溫馨小提示：本題以人物的情景對話為背景，考查我們解決實際問題的能力. 在閱讀對話中，發現解決問題的條件，建立數學模型求解?郾

專題3 一元一次不等式（組）

考點解讀：會用數軸表示不等式（組）的解集，理解不等式的基本性質，構建一元一次不等式（組）解決實際問題是考試的重點.

易錯點：在不等式兩邊同乘以（或除以）一個負數，忘記改變不等號的方向.

考點1 不等式的基本性質

例8 （2011年深圳市）已知a、b、c均為實數，若a＞b，c≠0，下列結論不一定正確的是（ ）?郾

A?郾 a+c＞b+c?搖?搖 B?郾 c-a＜c-b C?郾■＞■?搖?搖 D?郾 a2＞ab＞b2

分析：根據不等式的性質，逐一驗證即可得出結果?郾

解：因為a＞b，所以-a＜-b，而c≠0，所以a+c＞b+c、c-a＜c-b、■＞■均正確，只有a2＞ab＞b2不一定正確. 選D?郾

溫馨小提示：在運用不等式的基本性質3時，要明確不等號的方向是變還是不變?郾

考點2 解一元一次不等式（組）

例9 （2011年佛山卷）解不等式組：■-1＜x，x-（3x-1）≥-5?郾

解：解不等式■-1＜x，得x＞-2；

解不等式x-（3x-1）≥-5，得x≤3.

因此原不等式組的解集是-2＜x≤3?郾

溫馨小提示：不等式組的解集可以通過“數軸法”確定，也可以通過“口訣法”確定?郾

考點3 確定一元一次不等式（組）的整數解

例10 （2011年煙臺卷）不等式4-3x≥2x-6的非負整數解有（ ）.

A?郾 1個?搖?搖 B?郾 2個?搖?搖 C?郾 3個?搖?搖 D?郾 4個

解：解不等式，得x≤2，因為x是非負整數，所以x=0，1，2，共有3個. 選C?郾

溫馨小提示：求不等式（組）的整數解是比較簡單的基礎題，考查的頻率卻較高.

考點4 確定一元一次不等式組中的字母系數的范圍

例11 （2011年安順卷）若不等式組5-3x≥0，x-m≥0有實數解，則實數m的取值范圍是（ ）.

A?郾 m≤■?搖?搖 B?郾 m＜■?搖?搖 C?郾 m＞■?搖?搖 D?郾 m≥■

解：解不等式5-3x≥0，得x≤■，解不等式x-m≥0，得x≥m，

不等式組有實數解，所以m≤x≤■，m必須滿足m≤■?郾 選A?郾

溫馨小提示：解本題時，要理解“有實數解”的意義，同時不要遺漏等于■的情況?郾

考點5 一元一次不等式的應用

例12 （2011年廣州卷）某商店5月1日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案. 方案一：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格的8折優惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品，一律按商品價格的9?郾5折優惠?郾 已知小敏5月1日前不是該商店的會員?郾

（1）若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應支付多少元？

（2）請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍內時，采用方案一更合算？

解：（1）120×0?郾95=114（元），所以實際應支付114元?郾

（2）設購買商品的價格為x元. 根據題意，得0?郾8x+168＜0?郾95x，

解得x＞1 120.

當購買商品的價格超過1 120元時，采用方案一更合算?郾

溫馨小提示：解決這類問題，認真審題，讀懂方案是解題的關鍵?郾

例13 （2011年桂林卷）某校志愿者團隊在重陽節購買了一批牛奶到“夕陽紅”敬老院慰問孤寡老人，如果給每個老人分5盒，則剩下38盒，如果給每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得一盒?郾

（1）設敬老院有x名老人，則這批牛奶共有多少盒？（用含x的代數式表示）

（2）該敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

分析：（1）根據“給每個老人分5盒，則剩下38盒”可求牛奶共有（5x+38）盒數?郾 （2）根據“每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得一盒”可知：1≤最后一個老人的牛奶盒數＜5，由于前面的（x-1）個老人每人6盒，總共（5x+38）盒，最后一個老人分得的牛奶盒數為（5x+38）-6（x-1），因此有1≤（5x+38）-6（x-1）＜5?郾

解：（1）依題意，得牛奶盒數為（5x+38）盒?郾

（2）根據題意，得5x+38-6（x-1）＜5，5x+38-6（x-1）≥1?郾 解得39＜x≤43?郾

因為x為整數，所以x=40，41，42，43?郾

答：該敬老院至少有40名老人，最多有43名老人?郾

溫馨小提示：利用不等式及不等式組解決實際問題時，都要先確定一個取值范圍，再根據實際情況來做出判斷?郾 如本題老人的數目必須是整數，故最小值為40?郾 另外，要注意根據“不足”、“至少”等詞的含義列不等式?郾

專題4 一元二次方程

專題解讀：一元二次方程是中考的重點. 解一元二次方程一般不難，根的判別式及根與系數的關系的簡單應用、列一元二次方程解實際問題是命題的重中之重，在本刊第6期作專題講解.

考點1 一元二次方程的解法

例14 （2011年聊城卷）解方程：x（x-2）+x-2=0?郾

分析：可以先通過整理，使得原方程轉化一元二次方程的一般式，進而利用求根公式或因式分解或通過配方求解，考慮方程的結構，不如視（x-2）為一個整體，通過因式分解求解?郾

解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1?郾

溫馨小提示：解一元二次方程，因式分解是首選方法?郾

考點2 用一元二次方程解決生活中圖形類問題

例15 （2011年六盤水卷）小明家有一塊長8m、寬6m的矩形空地，媽媽準備在該空地上建造一個花園，并使花園面積為空地面積的一半，小明設計了如下的四種方案供媽媽挑選，請你選擇其中的一種方案幫小明求出圖中x的值?郾

分析：分別從各種方案的圖形中獲取信息，尋求等量關系，利用面積關系構建一元二次方程求解?郾 這是一道開放性題，可任選一種方案計算.

方案一：（8-x）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

而x1=12不合題意，舍去?郾 所以x=2?郾

方案二：（8-2x）（6-2x）=■×8×6，解得x1=6，x2=1?郾

而x1=6不合題意，舍去?郾 所以x=1?郾

方案三：■×（8-x）（6-x）×2=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

而x1=12不合題意，舍去?郾 所以x=2?郾

方案四：■×（8-2x+8）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

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1．數形結合思想

數和式是問題的抽象和概括，圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。華羅庚先生說得好：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好?！边@句話闡明了數形結合思想的重要意義。學生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。比如在講“圓與圓的位置關系”時，我讓學生自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關系，然后可激發學生積極主動探索兩圓的位置關系反映到數上有何特征。這種借助于形通過數的運算推理研究問題的數形結合思想，在教學中要不失時機地滲透。這樣不僅可提高學生的遷移思維能力，還可培養學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。

2．化歸思想

化歸思想是數學思想方法體系主梁之一。在實數的運算、解方程(組)、多邊形的內角和、幾何證明等的教學中都有讓學生對化歸思想方法的認識，學生有意無意接受到了化歸思想。如已知(x+y)2＝11，xy＝1求x2+y2的值，顯然直接代入無法求解，若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子(x+y)2－2xy，則易得：原式＝9；又如“多邊形的內角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決，這都是化歸思想在實際問題中的具體體現?；瘹w思想是解決數學問題的一種重要思想方法?；瘹w的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解。實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等。

3．方程思想

眾所周知，方程思想是初等代數思想方法的主體，應用十分廣泛，可謂數學大廈基石之一，在眾多的數學思想中顯得十分重要。所謂方程思想，主要是指建立方程(組)解決實際問題的思想方法。教材中大量出現這種思想方法。如列方程解應用題，求函數解析式，利用根的判別式、根與系數關系求字母系數的值等。教學時，可有意識的引導學生發現等量關系從而建立方程。如我講“利用待定系數法確定二次函數解析式”時，就啟發學生去發現確定解析式的關鍵是求出各項系數，可把他們看成三個“未知量”，告訴學生利用方程思想來解決，那學生就會自覺的去找三個等量關系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學生只知其然，不知其所以然。與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關系的數學思想，諸如換元，消元、降次、函數、化歸、整體、分類等思想，這樣可起到“撥亮一盞燈，照亮一大片”的作用。

4．整體思想

整體思想在初中教材中體現突出，如在實數運算中，常把數字與前面的“+，－”符號看成一個整體進行處理；又如用字母表示數就充分體現了整體思想，即一個字母不僅代表一個數，而且能代表一系列的數或由許多字母構成的式子等；再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理，如：(a+b+c)2＝[(a+b)+c] 2視(a+b)為一個整體展開等等，這些對培養學生良好的思維品質，提高解題效率是一個極好的機會。

5．分類討論思想

分類討論即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數學發現的重要手段。在教學中，如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。例如，對三角形全等判別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個三角形有三個部分(邊或角)分別對應相等，那么有哪幾種可能的情況？同時，教材中對處理幾種識別方法時也采用分類討論，由簡到繁，一步步得出，教學時要讓學生體驗這種思想方法。

6．變換思想

變換思想是由一種形式轉變為另一種形式的思想。解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價變換，幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想。具有優秀思維品質的一個重要特征，就是善于變換，從正反、互逆等進行變換考慮問題，但很多學生又恰恰常忽略從這方面考慮問題，因此變換思想是學生學好數學的一個重要武器。例：四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上的兩點，且AE＝CF。求證：DE＝BF。這道題若是由已知向后推理較難把握方向，但用變換方法尋找證法比較容易：要證DE＝BF，只要證ADE≌CBF(證ABF≌CDE也可)；要證ADE≌CBF，因題目已知BC＝DA，AE＝CF，只要證∠DAE＝∠BCF；要證∠DAE＝∠BCF，可由ABC≌CDA得到，而由已知條件AB＝CD，BC＝DA，AE＝CF不難得到ABC≌CDA。這樣問題就解決了。

7．辯證思想

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一、要關愛學生，注重情感教學

關愛學生本是教師的天職，作為一名教師，首先對學生要關愛，對教學要負責. 尤其對后進生，他們大多數不知自己為何而學，學什么，怎么學，學有何用. 所以，教師對后進生的數學教學轉化，就要讓學生明白自己為什么學，怎樣才能喜歡數學. 這不是一句話就能解決的問題，首先要告訴學生，學習數學是為了用數學知識來解決我們生活中的問題，要在教學中設置一些與生活密切相關的問題，將數學知識技能訓練“生活化”，訓練著眼于學以致用，訓練材料應盡可能來自生活，從而激發學生學習的興趣，激起學生解決問題的欲望. 這樣一來，學生對數學學習就會逐步產生興趣，再加上教師關愛學生，耐心教學，就會讓“愛”在其中，讓學生喜歡“你”，跟“你”走，最終達成互動教學.

二、語言要和藹，情趣教學很重要

教學時，要想讓“后進生”靜下來聽課，不是件容易的事，讓學生靜下來又要讓學生集中注意力，更難. 但有一種教學可以消除這兩個障礙――幽默教學. 數學后進生，大多數也是玩出頭的學生，他們對教師的語言態勢教學特別敏感，對態度和藹、語言幽默的教師特別喜歡. 態度和藹，語言幽默可以集中學生的注意力，消除學生的畏懼感，積極調動學生的聽課興趣. 如在公理“兩點間，線段最短”教學時，先講述“愚公移山”的故事，再提問“愚公移山”在開路之中用到了什么數學知識. 在故事中教學，這樣就會讓學生在數學學習中感受興趣，學而不倦.

三、創設問題，激發思維

課堂提問是組織課堂教學的重要手段，是實施啟發式教學的一個重要環節. 一個好的提問，不僅能激發學生的學習興趣，而且能迅速集中學生的注意力，啟迪思維，開發智力. 著名數學家波利亞指出：“盡量通過問題的選擇、提法和安排激發讀者，喚起他處理各種各樣的研究對象.”在數學教學中，有些學生接受快，有些接受慢，因此，對于不同層次的學生，要選擇深淺不同的問題，這樣可以較好地發揮教師的主導作用和學生的主體作用，調動學生參與課堂教學的積極性，提高教學效果. 現在的初中數學教材添加了一些趣味內容“想一想”與“談一談”等欄目，這是數學教學的內容改革之一，這是有意加強了數學知識和趣味數學. 它對求知欲旺盛的學生具有較強的誘惑力，激發了學生的學習興趣的聯系，也培養了學生閱讀、動腦、觀察、想象的思維能力. 事實證明，穿插于課堂的趣味教學，不僅能滿足學生的求知欲，還能提高學生學習的主動性和積極性.

四、要大膽鼓勵學生，讓每一個人都有成功的一刻

每個后進生的智力、身心發展，每一個人對知識的需求都有所不同，這就需要教師“因材施教”. 教師要尊重每個“后進生”的不同知識需求，無論是堂上提問，還是巡堂輔導，都要在培“優”轉“差”上下工夫，要充分引導學生，使差的學生向好的方向靠攏，好的學生向更高的層次發展，鼓勵個性發展，力求使每名學生的素質在課堂上都得到應有的提高，要大膽鼓勵學生，讓每一個人都有成功的一刻，讓他們都能夠看到自己的進步，增強自己的信心，這樣就有了提高成績的希望，轉差的課題也就有了良好的開端.

五、以舊帶新，化新為舊，喚起學困生學習欲望

在講授新內容時，既要考慮數學知識本身的聯系，又要符合學生學習新內容時的認知特點. 我們知道，數學知識邏輯性很強，課堂上教師適時鞏固舊知識，以舊帶新，化新為舊，做到新舊知識的連接，可讓學生對新知識的學習有個知識基礎，吸引學生的注意力，也給那些在課下沒有完成復習的學生一個復習的時間，不至于使一些后進生新舊知識連接不上，前后脫節，形成不了知識體系. 同時，學生的學是建立在原有基礎知識之上的. 因此，課前的小測、提問盡量用一些簡單而又有說明性的小題. 知識點復習到了，就排除了后進生的一些障礙，增強其學會新知識的信心.

有的老師在課上總強調“把新知識、新問題轉移到舊知識、舊問題當中去”. 這樣學生在學習新知識時就不用死記硬背，容易消化. 例如講“分式方程”，先通過去分母轉化成帶括號方程，再去括號轉化成一般方程，再通過移項、合并同類項轉化成標準方程. 這樣學生就覺得和以前一樣，不感到陌生了. 但教師需要強調其與解一般方程之間的區別，如在去分母時，把不帶分母的項乘以公分母，去分母加小括號，驗根等. 初三的應用題是學生頭疼的問題，一些學生對應用題看都不看，若要告知他們初三應用題和初二的解方程幾乎相同，有一部分人就來了興趣，就愿意看一看、想一想，結果就又多了一部分人參與答題，通常是在教師的點撥下，問題就解決了. 我在教學中就曾經遇到過這樣的問題：

某校組織學生去距學校10 千米遠的烈士陵園掃墓，初中學生步行出發1小時后，高中學生騎車出發，反而比初中學生早到半個小時，騎車比步行每小時多走6千米，若騎車的速度是步行的2．5倍，求初中學生步行的速度.

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【摘要】數學思想和方法是數學知識的精髓，在教學過程中滲透數學思想方法，能提高教學效果，提高學生數學素養。初中數學思想和方法主要有：數形結合的思想、分類討論的思想、整體思想、化歸的思想、轉化思想、歸納思想、類比的思想、函數的思想、辯證思想、、方程與函數的思想方法。

一、   了解《數學新課標》要求，把握教學方法

1．新課標要求，滲透“層次”教學?！稊祵W新課標》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。

2．從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。 在初中數學中，數學思想和方法，兩者之間很難分割，它們既相輔相成，又相互蘊含。在數學教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。

二、遵循認識規律，把握教學原則，實施創新教育

1．滲透“方法”，了解“思想”；2、訓練“方法”，理解“思想”；3、掌握“方法”，運用“思想”；4、提煉“方法”，完善“思想”。

三、初中階段常見的幾種數學思想方法舉例說明

【關鍵詞】數學思想 數學方法

【正文】

數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。目前初中階段，主要數學思想方法有：數形結合的思想、分類討論的思想、整體思想、化歸的思想、轉化思想、歸納思想、類比的思想、函數的思想、辯證思想、、方程與函數的思想方法等。提高學生的數學素質、指導學生學習數學方法，必須指導學生緊緊抓住掌握數學思想方法，這也是數學教學中的最重要的一環。在初中數學教材中集中了大量的優秀例題和習題，它們所體現的數學知識和數學方法固然重要，但其蘊涵的數學思想卻更顯重要，作為一線教師，要善于挖掘例題、習題的潛在功能。

九年義務教育全日制初級中學數學《新課程標準》中指出：教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。

新課程把數學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分，在數學《新課程標準》中明確提出來，這不僅是課標體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培訓創新思維的重要保證。

一、 了解《數學新課標》要求，把握教學方法

所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映。數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程序時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。若把數學知識看作一幅構思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數學思想。

1．新課標要求，滲透“層次”教學?！稊祵W新課標》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。這里需要說明的是，有些數學思想在《數學新課標》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。

教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。在《數學新課標》中要求“了解”的方法有：分類法、類比法、反證法等。要求“理解”的或“會應用”的方法有：待定系數法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學中，要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應用”的層次，不然的話，學生初次接觸就會感到數學思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導致他們失去信心。如初中數學三年級上冊中明確提出“反證法”的教學思想，且揭示了運用“反證法”的一般步驟，但《數學新課標》只是把“反證法”定位在通過實例，“體會”反證法的含義的層次上，我們在教學中，應牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學效果將是得不償失。

2．從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。關于初中數學中的數學思想和方法內涵與外延，目前尚無公認的定義。其實，在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，使數學思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的教學，具體表現為從未知到已知的轉化、一般到特殊的轉化、局部與整體的轉化，課本引入了許多數學方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數法、配方法等。在數學教學中，通過對具體數學方法的學習，使學生逐步領略內含于方法的數學思想；同時，數學思想的指導，又深化了數學方法的運用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯璧合，將創新思維和創新精神寓于教學之中，教學才能卓有成效。

二、遵循認識規律，把握教學原則，實施創新教育

要達到《數學新課標》的基本要求，教學中應遵循以下幾項原則：

1．滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎。因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機。如北師大版初中數學七年級上冊課本《有理數》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節──“有理數大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數軸教學之后，就引出了“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，“正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數”。而兩個負數比較大小的全過程單獨地放在絕對值教學之后解決。教師在教學中應把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節的重點突出，難點分散；又向學生滲透了數形結合的思想，學生易于接受。

在滲透數學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。比如，教學二次不等式解集時結合二次函數圖象來理解和記憶，總結歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”，利用數形結合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。

2、訓練“方法”，理解“思想”。數學思想的內容是相當豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進行滲透和教學。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學。如在教學同底數冪的乘法時，引導學生先研究底數、指數為具體數的同底數冪的運算方法和運算結果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數，用m、n表示指數的一般法則以后，再要求學生應用一般法則來指導具體的運算。在整個教學中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數學方法，對學生養成良好的思維習慣起重要作用。

3、掌握“方法”，運用“思想”。數學知識的學習要經過聽講、復習、做習題等才能掌握和鞏固。數學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程。只有經過反復訓練才能使學生真正領會。另外，使學生形成自覺運用數學思想方法的意識，必須建立起學生自我的“數學思想方法系統”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程。比如，運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握。學習一次函數的時候，我們可以用乘法公式類比；在學次函數有關性質時，我們可以和一元二次方程的根與系數性質類比。通過多次重復性的演示，使學生真正理解、掌握類比的數學方法。

4、提煉“方法”，完善“思想”。教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。由于數學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數學思想、方法來解決。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處。

三、初中階段常見的幾種數學思想方法舉例說明。

如數形結合思想：數和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。初中代數教材列方程解應用題所選很多是采用了圖示法的例題，所以，教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發現數量關系找出解決問題的突破口。學生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。

再如在講“圓與圓的位置關系”時，可自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關系，然后可激發學生積極主動探索兩圓的位置關系反映到數上有何特征。這種借助于形通過數的運算推理研究問題的數形結合思想，在教學中要不失時機地滲透；這樣不僅可提高學生的遷移思維能力，還可培養學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。

方程思想： 眾所周知，方程思想是初等代數思想方法的主體，應用十分廣泛，可謂數學大廈基石之一，在眾多的數學思想中顯得十分重要。

所謂方程思想，主要是指建立方程(組)解決實際問題的思想方法。教材中大量出現這種思想方法，如列方程解應用題，求函數解析式，利用根的判別式、根與系數關系求字母系數的值等。

教學時，可有意識的引導學生發現等量關系從而建立方程。如講“利用待定系數法確定二次函數解析式”時，可啟發學生去發現確定解析式的關鍵是求出各項系數，可把他們看成三個“未知量”告訴學生利用方程思想來解決，那學生就會自覺的去找三個等量關系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學生只知其然，不知其所以然。與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關系的數學思想，諸如換元，消元，降次，函數，化歸，整體，分類等思想，這樣可起到撥亮一盞燈，照亮一大片的作用。

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關鍵詞：問題情境；教學時機；數學疑難問題；教學高效作用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）11-008-01

人類的發展離不開數學，數學是人類思維的基礎。中學基礎學科的教學均有基本，明確的教學要求，初中數學的學科教學性質尤為明顯。義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地心智發展。它不僅要考慮初中數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，重視從學生已有的生活經驗出發，讓學生在數學學習中親身經歷把實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，使學生在獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。因此，初中數學教學就是幫助學生根據已有的經驗去理解知識，解除疑惑，形成三維目標的思維過程，初中數學教師要懂得創造使數學問題解決得到積極高效進行的課堂環境，做到充分尊重學生的主體地位，讓學生積極主動地去獲取掌握數學知識的解疑方法和進行教學解疑實踐。在師生共同探尋初中數學教學解疑的高效作用中以積極探索的態度，綜合應用那些已有的數學基礎知識、基本技能，創造性地解決來自課堂或實際學習生活中的新問題，以期實現獲得自覺養成的數學解疑能力，創新能力和參與活動能力。

在新課程改革趨勢的大力推動下，初中數學教師的傳統教學觀念現已有明顯轉變，自覺地由題型教學逐漸轉向對問題情境的創建，學習情感的培養，學習方法的指導和學習策略的關注，把單純的培養學生學數學的刺激反應轉向學生積極思考、主動解疑的道路上來。如果說過去的教學行為是循規蹈矩，相應的教師與學生課堂行為上的變化是不明顯，那么現在有了多樣化的教學活動的認知和評價，就能夠使教學行為向更理性和更高的水平上發展，實現高效作用。筆者在初中數學教學中探索思考，認為教會學生解疑是學習初中數學的核心價值所在，需要明確和運用以下這些教學問題與策略。

一、明確“教什么”，用好教材，創建問題情境，著眼于學生的知識框架和思維規律，把握好數學問題，把數學問題作為教學指揮中心。我們知道，初中數學教學要解決的不是那些尚未解決的難度大的數學問題，而是根據已有的數學知識去再發現。透過從學生實際數學知識出發提出問題，根據學生學習心理，思維障礙的顯現與成因的考慮，結合學生數學思考的即時狀態，讓學生明確產生問題的情境去引導學生走入研究存疑問題的氣氛之中，積極調動其知識儲備，思維特征，遷移能力和學習態度及方式，產生探求解疑的欲望和動機，進行有思維目的地思考活動。由此，學生把特定的數學問題確定為自己努力思考并攻克的方向，實現教學活動以一定的方法，在一定的解疑情境中進行，從而激發學生的解疑和創造熱情。不斷沖擊往常中已有認知結構，不斷構建出新的數學認知結構。

例：1、怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？

解析：（1）剪一個三角形，記為ABC

（2）分別取AB、AC中點D、E，連接DE

（3）沿DE將ABC剪成兩部分，并將ADE繞點E旋轉180°，得四邊形BCFD.

2、思考：四邊形BCFD是平行四邊形嗎？

3、探索新結論：若四邊形BCFD是平行四邊形，那么DE與BC有什么位置和數量關系呢？

通過一個有趣的動手操作問題入手，激發學生學習興趣，然后設置一連串的遞進問題，啟發學生逆向類比猜想：DE∥BC，DE= BC.引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出問題與學生共同探索、討論解決問題的方法，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解數學知識的意義。激發了學生的求知欲和好奇心，激起了學生探究活動的興趣。

此時，師生從共有的解疑體驗出發，聯系運用學生已有的認知水平，在闡述、解析數學知識過程中，通過精心的設計教學內容和教學策略，適時解疑，勾通學生的認知沖突，積極地引導學生的數學思考，激發學生對數學解疑的內驅力，師生共同成為數學問題探究者 ，一起走入初中數學教與學的高效活動中。這種解疑高效作用的第一步就是使學生有了數學解疑的極大熱情和對數學探索與導向作用，為他們備齊解疑的方向及數學知識遷移的方法，激發數學課堂的創造和進取精神。

二、選擇與找準合適的時機進行解疑活動，使數學解疑活動產生事半功倍的高效作用。在初中數學教學中，教師不可以一味地給學生制造疑難問題，教學過程中的數學疑難問題要能夠提供合適的時機給學生，嘗試建立數學解疑的機會，讓學生根據觀察和實驗的結果，嘗試運用合適地數學思想以及常見地歸納、類比的方法探尋解疑方向，再進行問題高效解決。在這樣數學的解疑過程中，學生的求知欲和學習的積極性才能得到最大限度的激發和調動。在一堂精彩的初中數學課上，教師引導學生把知識和數學疑惑水到渠成地在合適的時機架起領悟的橋梁，僅靠例題解析是不夠的，要找準時機積極地拓展數學思維，使數學學習過程充滿著觀察、實驗、推斷等探索性和挑戰性活動。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學方式，引導學生投入到探索與交流的學習活動中來。恰如珍珠落玉盤，玲瓏剔透，一目了然。正如《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》所述，尋找這種合適的時機關鍵在于全面了解，準確把握學生的理解范圍和能力范圍，要從學情出發，考慮教學的有效性、高效性。

例：解方程：

解析過程：

師：解這個方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一樣去分母？

師：同學們討論一下，能否通過類比的方法在方程兩邊同乘以什么樣的整式（或數），可以去掉分母？

生：乘以分式方程中所有分母的公分母。

師：這個分式方程的最簡公分母是什么？

生：

師生共析：方程兩邊同乘 得：

生：解方程得

師： 是上式整式方程的解嗎？是原分式方程的解嗎？為什么？

（同學們在小組內討論，教師參與到學生的討論中，傾聽學生們的想法）

合作交流報告：在解分式方程時，我們在分式方程兩邊同乘以最簡公分母才得到整式方程，如果整式方程的根使最簡公分母的值為0，那么它就相當于分式方程的兩邊都乘以0，不符合等式變形的兩個基本性質，得到整式方程的解，必然使分式方程中有的分母為0，也就不適應原方程了，所以X=2不是原方程的根。

師生共析：產生增根的原因。

得出結論，為什么分式方程需要驗根。

本例是在學生學會解一元一次方程，并基本上了解分式方程的概念及解法的基礎上，讓學生通過觀察、類比，在進行充分討論、交流，教師在結合學生的理解情況下給予指導補充，揭開解分式方程需要驗根的原因，使問題最終得到有效的解決。讓學生的學習能力得到最大限度的提升。

因此，我們在解疑的活動中既要重視學生的參與程度，重視教學過程的情感化，又要考慮教學時機的產生，這樣不僅可以培養學生的數學思維能力，科學探索精神，而且可以使學生在數學學習活動中獲得成功的體驗，建立數學學習的自信力，這對培養學生形成全面的獨立人格具有重要作用。教師在這個關鍵教學過程中應該考慮以下幾個方面：

（1）明確樹立促進學生主動學習數學的自覺習慣。只有充分調動學生的學習內驅力，誘發學生的學習動機，激發濃厚的學習興趣，才會形成積極的學習態度和良好的學習習慣，培養出學生思維的靈活性長久性。如在教學“一元一次方程的應用”時，我用了這樣一道情境題引入新課：（2009年山東濟寧中考題）請你閱讀下面的詩句“棲樹一群鴉，鴉樹不知數，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數，鴉樹各多少？”學生看到是一道詩句的應用題，覺得很新穎一下子就來了興趣，這樣就可以牢牢吸引學生的注意力.在一個可以寬容的、民主的、支持性的數學課堂情境中，學生才會放飛思考、潛心思考、愉悅攻克困難。在這當中，教師要細致科學地鉆研把握教學內容，研究學生的思維發展規律和知識水平，提出的數學問題要有一定的難度又是學生在其學習階段力所能及的，數學教師要學會把握時機走在學生數學能力發展的前面，注意適時、適度地創造問題情境，培養學生的解疑方向和能力。

（2）明確建立促進學生自主學習的尺度空間。數學教學過程因采用問題化的形式，教師要科學地根據學生的年齡特征，已有的認知結構及學生的經驗，生活出發，創建合適的問題情境，尋找合適的時機引導學生發現，分析、解決問題，使學生積極主動地去尋找解決數學問題的策略。為學生的自主學習提供可持續的機會。在這尋找過程中，教師要多關注教學過程的漸近性和情境化，我們知道，人的認識過程是由淺入深、由易到難的漸近過程，因此學生在解決數學疑難時，以多形式多層次的課堂討論、問答、操作、演示等精彩的角色活動來夯實教學解疑過程。讓學生在自我實踐探索的過程中不斷地產生合適的解疑時機，培養出學生的自主學習意識和興趣，發展自主學習數學的能力。

（3）明確落實促進學生創新學習的能力發展。選擇合適的時機進行解疑其實質是進行數學知識教學，在這過程中讓學生學會質疑，善于發現問題，培養學生的創新意識和能力，使學生主動嘗試用數學知識和思想方法去尋求解決問題的途徑。比如，在講授“直角三角形”時，從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的平分線，能夠證明出“等邊對等角”。個別學生提出是否也能通過作等腰三角形底邊上的高來證明？學生對這一問題產生了質疑，質疑點在于之前學習全等的時候知道沒有“SSA”這個定理。這時我鼓勵學生從不同的角度進行探索、分析，最終學生驚奇地發現“SSA”在一些特殊的情況下也是可能的，這為探究“HL”做鋪墊。這樣的探究、質疑盡管不夠全面，甚至是錯誤的，但其中蘊含許多創新的火花。在數學疑難問題的設置和解決過程中，讓學生學會評價，敢于發表不同、獨特見解、方法；學會總結思考，敢于分析自身學習的不足、得失，探索出適合自己的學習規律。

初中數學學習過程中有問題、有疑惑，這是師生共有的創造性活動。只有在師生共同的提出問題，解決問題過程中，以良好的問題情境尋找合適的解疑時機，養成數學的探索精神和創造品質，感受數學美和快樂。讓學生有真正的數學眼光，引導學生從無到有，從少到多，從現象到本質地發現問題，解決問題，讓學生學會思考，不斷地提升數學思維品質。

綜上所述，初中數學教學解疑活動是師生共有的創造性活動。講求教學內容的選擇，需要對數學疑難問題做出分析：分析問題背景，找出問題與數學知識的關聯；分析問題的步驟，需要師生共同的力量和智慧。學生自主分析疑難時，通過創設問題情境激發學生的求知欲望，使學生體驗和感受分析數學問題，教師在合適的時機給以必要的指導和點撥，用來控制初中數學教學的難度和進度，提高解疑的效率，在數學教學解疑過程中，一定要強調學生用數學思維與思想意識的培養和形成，把學生已有的數學知識和思想方法進行組合成思維橋梁。

在初中數學教學解疑過程中，是師生共同的一種高水平的思維活動，這一過程注重學生的主體過程，又重視教師的主導作用，二者相鋪相成。其高效作用就是使學生形成優質的數學思維與意識，培養學生的探索精神，合作意識和實際解決能力，通過解疑能使學生對數學知識形成深入地，結構化的理解，養成個人的、可以遷移的數學問題解決方法，進而產生濃厚的學習興趣，養成嚴謹、敏銳的科學精神和敢于拼搏的堅強信念。

參考文獻：

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篇10

[關鍵詞] 初中數學 轉化思想 應用

數學思想方法是初中數學的基礎知識,是素質教育對初中數學教育的基本要求。初中數學的思想方法很多,如對應思想、分類思想、轉化思想、數形結合思想等,但最活躍、最實用的是轉化思想。轉化就是把一個事物轉化為另一個事物或與之接近的、相關的事物。轉化的目的是分析問題和解決問題,轉化思想是辯證觀點的具體體現,是數學解題的一種重要方法。

一、初中數學的思想轉化形式

1.語言轉化

語言轉化就是將語言的表達形式進行轉化。如將日常語言轉化數學語言;代數中應用題文字等量關系和方程的轉化;基本規律(法則、公式、定律)與文字語言的轉化;幾何中圖形語言、符號語言和文字語言之間的相互轉化等。

2.類比轉化

類比轉化就是將對象轉為與之相似的對象。如分式的加、減、乘、除法則以及分式的通分、約分、基本性質,可類比轉化為分數的加、減、乘、除法則和分數的通分、約分、基本性質;整式因式分解概念類比轉化為無理式的因式分解概念;一元一次不等式的有關的概念和解法可轉化為一元一次方程的有關概念和解法,并強調異同點;有理數可轉化為算術數,只注意符號和取絕對值等。

3.數形轉化

數形轉化就是在數字與圖形之間建立某種關系并相互轉化來解決問題。根據圖形可構造方程;根據題意可構造函數;根據方程(或等式)可構造圖形;函數圖象的平行移動與其解析式的變化;根據函數圖象研究其性質;一元二次方程、二次函數圖象、一元二次不等式之間的關系等。

4.分解轉化

分解轉化就是將綜合問題轉化成若干個相關的簡單的小問題。這樣的轉化一般在解決綜合性較強的問題時都會遇到。如分式運算轉化為因式分解,公因式,整式加、減、乘、除運算;因式分解的分組分解、拆項和補項;平面幾何解題中將一個復雜圖形分解為若干個基本圖形。

5.等價轉化

等價轉化就是將未知事物轉化為與之相當的事物。如除法轉化為乘法;減法轉化成加法開方轉化為乘方;多元方程轉化為一元方程;分式方程、無理方程轉化為整式方程;平行線間的距離轉化為點與點之間的距離代數、平面幾何、三角問題之間的轉化;圖形的對稱、平移、旋轉轉化等。

6.間接轉化

間接轉化就是通過間接方法解決問題。如列方程解應用題的設間接未知數;解方程中的換元法;平面幾何中的添加輔助線,逆推的萬法;從反面考慮問題的方法等。

二、思想轉化在數學解題中的應用

1.已知與未知的轉化

數學解題過程中,常量與變量、已知量與未知量不是絕對的,而是相對的。有時把數字看作未知、字母看作已知,能夠給解題帶來意想不到的效果。

2.特殊與一般的轉化

在解決帶有“任意”條件的數學問題時,采用特殊值法解題是非常準確而快速的。

3.多元與一元的轉化

解題時,恰當選定主元,可有效避開干擾因素,這是求多元代數式的值、分解多元高次多項式的常用方法。

轉化方法的種類繁多,方法多樣,具體解題時要由題目條件而定,因題而異,選擇最簡捷、最快速的轉化途徑。

4.相等與不等的轉化

三、思想轉化在教學中的滲透

1.注意轉化條件

思想轉化是有一定條件的,如除法轉化為乘法的條件是倒數;減法轉化為加法的條件是相反數;數形轉化的條件是直角坐標系等等。如果忽視了這些基本條件就會出問題。在教學中,教師首先要熟悉教材內容,并做到心中有數,明確轉化條件。其次讓學生明確和掌握“轉化是有條件的,條件是什么,應該如何去創造條件”。

2.注意滲透,加強訓練

在教學中,教師必須根據教學內容,不斷地滲透轉化思想。滲透的原則是適時、適度、清晰、印象深刻。同時要注意將知識的學習和方法的運用結合起來,讓學生真正明確轉化是解決問題的有效方法。在解決具體問題時,要與已有的知識結構聯系起來。在日常的訓練中要有針對性,要先易后難、先簡后繁,要把握轉化的不同形式,養成轉化的思維定勢,使學生在訓練中體驗到通過思想轉化解題成功的喜悅,進而不斷體會和深化轉化思想在數學中的作用和樂趣。

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